專題06數(shù)列求和（裂項相消法）(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：等差型 2題型二：無理型 5題型三：指數(shù)型 8題型四：通項裂項為“”型 11三、專題06數(shù)列求和（裂項相消法）專項訓練 13一、必備秘籍常見的裂項技巧類型一：等差型=1\*GB3①特別注意②如：（尤其要注意不能丟前邊的）類型二：無理型=1\*GB3①如：類型三：指數(shù)型①如：類型四：通項裂項為“”型如：①②本類模型典型標志在通項中含有乘以一個分式.二、典型題型題型一：等差型例題1．（2023秋·四川成都·高三校考階段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，因為，所以，解得，所以，所以數(shù)列的通項公式為（2）因為，所以.所以數(shù)列的前n項和.例題2．（2023秋·甘肅白銀·高二?？茧A段練習）在①，，②這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題．(1)已知數(shù)列的前n項和為，______，求的通項公式；(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)答案詳見解析(2)答案詳見解析【詳解】（1）選條件①：，，解法一：由，，得，，當時，，所以，又也符合，所以．解法二：由，得，所以數(shù)列是常數(shù)列，所以，所以．選條件②，，時，，又，顯然不符合上式，所以.（2）選條件①：，所以．因此，所以．選條件②，，當時，，又，符合，所以．例題3．（2023秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學校考階段練習）已知數(shù)列滿足，.(1)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請說明理由；(2)若數(shù)列的前10項和為361，記，數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】(1)數(shù)列成等比數(shù)列，證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）數(shù)列成等比數(shù)列，證明如下：根據(jù)得，；，，，即數(shù)列成等比數(shù)列.（2）由（1）得，，，故，由，得.令，當時，單調遞增，且，故，，，，，當時，，綜上，知例題4．（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯(lián)考階段練習）記遞增的等差數(shù)列的前n項和為，已知，且．(1)求和；(2)設，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）設的公差為d（）．因為，所以，由得，解得，所以，得，所以，．（2）由（1）得，，所以．題型二：無理型例題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)當數(shù)列的公差不為0時，記數(shù)列的前n項和為，求證：.【答案】(1)或(2)證明見解析【詳解】（1）設數(shù)列的公差為d，由，，成等比數(shù)列，得，即，即，解得或.當時，；當時，.綜上所述，或.（2）由（1）可知，當數(shù)列的公差不為0時，，，則，，所以，又，所以.例題2．（2023秋·廣東·高三河源市河源中學校聯(lián)考階段練習）在等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，求不等式的解集．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：設數(shù)列的公比為，因為成等差數(shù)列，所以，即，又因為，則，即，解得，所以數(shù)列的通項公式為．（2）解：由，可得，所以又由，可得，即，即，所以，所以不等式的解集為．例題3．（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）設各項均不為零的數(shù)列的前項和為，且對于任意，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前99項和.【答案】(1)(2)9【詳解】（1）由題知.當時，；當時，，所以，所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列是首項為2，公差也為2的等差數(shù)列，則，所以.（2）由（1）得，，即.例題4．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列的前項和為，，．(1)求的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，證明：當時，．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）設公差為，則，即，解得，所以.（2），所以，所以，所以，當時，，所以當時，.題型三：指數(shù)型例題1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考階段練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，．(1)求的通項公式；(2)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.（2）由（1）得：，，，.例題2．（2023秋·福建寧德·高二福鼎市第一中學?？茧A段練習）已知數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當時，，得，當時，，則，，即，兩邊同時除以，得，即數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，，即，所以數(shù)列的通項公式；（2），即，，，即，隨著的增大，增大，所以的最小值為，隨著的增大，無限接近1，所以.例題3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由已知，所以，當時，滿足條件，所以；（2）由于，所以，所以，所以，顯然在上為增函數(shù)，，又，所以；綜上，.例題4．（2023·廣西南寧·南寧市武鳴區(qū)武鳴高級中學?？级＃┮阎獢?shù)列滿足（且），且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列的前n項和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因為，所以，兩式相減得，當時，，又，所以，所以，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以；（2）因為，所以，因為，所以，得證.題型四：通項裂項為“”型例題1．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預測）記為數(shù)列的前項和，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，可得，兩式相減得，整理得，可知數(shù)列是3為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以．（2）由（1）可得：，則，所以．例題2．（2023春·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列的前項和為，滿足，(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前20項和.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由，得，而，因此數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，，即，當時，，顯然也滿足上式，所以.（2）由（1）知，，，因此，所以.例題3．（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足：，.(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)令，求的前n項和.【答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1）證明：由，所以，所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，即（2）由（1）知：，所以.又，例題4．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）設正項數(shù)列的前n項和為，已知，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因為，所以①，所以時，②．由，得，即．因為各項均為正數(shù)，所以，即，因為，所以，，解得，，，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，所以．（2）由（1）得．當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，．所以三、專題06數(shù)列求和（裂項相消法）專項訓練一、單選題1．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列的通項公式為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得則即，故．故選:C．2．（2023秋·河南鄭州·高三鄭州外國語學校?？茧A段練習）等比數(shù)列中，，數(shù)列，的前n項和為，則滿足的n的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【詳解】由題意得，所以，所以，令，整理得，解得，故選：A.3．（2023·全國·高三專題練習）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號．用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)．已知正項數(shù)列的前n項和為，且，令，則（

）A．7 B．8 C．17 D．18【答案】B【詳解】當時，，解得（負值舍去）.由可得，所以，即，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，故，即，所以，所以，由知，，所以故，故選：B4．（2023春·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為，則數(shù)列的前項和為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，則，所以，所以.故選：C.5．（2023秋·江蘇常州·高三?？计谀┮阎棓?shù)列是公差不為的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設正項等差數(shù)列的公差為，且，，成等比數(shù)列，，即，整理得，，，，，即，即，，．故選：．6．（2023·全國·高三專題練習）等差數(shù)列各項均為正數(shù)，首項與公差相等，，則的值為（

）A．9069 B．9079 C．9089 D．9099【答案】D【詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為首項與公差相等，所以，因為，所以，所以所以，故選：D．7．（2023秋·江蘇·高二專題練習）記數(shù)列前項和為，若1，，成等差數(shù)列，且數(shù)列的前項和對任意的都有恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】數(shù)列前項和為，若1，，成等差數(shù)列，所以①，當時，.當時，②，①﹣②得，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.所以.所以，則.由于對任意的都有恒成立，所以恒成立.即，當時，，所以，解得，所以.故選：C二、多選題8．（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項和滿足，，且，，數(shù)列的前項和為，則（

）A．數(shù)列是等比數(shù)列 B．數(shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】AD【詳解】對于A項，由，得，兩式相減，得，整理可得，所以，故A正確；對于B項，當時，，解得，所以，所以數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以，所以，，顯然數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯誤；對于C項，由B知，，所以，故C錯誤；對于D項，，所以，故D正確.故選：AD.9．（2023春·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，為數(shù)列的前項和.若對任意實數(shù)，都有成立.則實數(shù)的可能取值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ABC【詳解】①②②①得，，當時，，當時，，滿足上式，故，，故，，故.故選：ABC.三、填空題10．（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，已知，且，則數(shù)列的前n項和.【答案】【詳解】依題意，，所以.故答案為：11．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前n項和.【答案】【詳解】數(shù)列中，由，得，當時，，兩式相減得，整理得，而滿足上式，因此，，所以.故答案為：12．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）在數(shù)列中，，其前n項和為，則．【答案】【詳解】因為，所以，所以.故答案為：.四、解答題13．（2023春·陜西西安·高二?？计谥校┰O數(shù)列滿足，.(1)計算，，猜想的通項公式并用數(shù)學歸納法加以證明；(2)若數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】(1)，證明詳見解析(2)證明詳見解析【詳解】（1）依題意，，，則，所以，猜想.當時，成立，假設當時，猜想成立，即，則當時，，猜想成立，所以.（2），所以.14．（2023春·山東德州·高二德州市第一中學校考期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為正項等比數(shù)列，且滿足，，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，則，解得：，所以數(shù)列的通項公式為；數(shù)列的通項公式.（2），數(shù)列的前項和．.15．（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）已知是數(shù)列的前項和，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）時，，時，經驗證時滿足，；（2），.16．（2023·全國·高二專題練習）已知為正項數(shù)列的前項的乘積，且