13.3.1三角形的內(nèi)角（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

三角形內(nèi)角和定理.

2.內(nèi)容解析

三角形內(nèi)角和定理是本章的重要內(nèi)容，也是“圖形與幾何“必備的知識(shí)基礎(chǔ).它從“角”的

角度刻畫了三角形的特征.三角形內(nèi)角和定理的探究體現(xiàn)了由實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的研究

過程，同時(shí)也說明了證明的必要性.

三角形內(nèi)角和定理的證明以平行線的相關(guān)知識(shí)為基礎(chǔ).定理的驗(yàn)證方法——剪圖、拼圖,

不僅可以說明證明的必要性，而且也可以從中獲得添加輔助線的思路和方法.定理的證明思

路是得出三角形的三個(gè)內(nèi)角與組成平角的三個(gè)角分別相等.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：探索并證明三角形內(nèi)角和定理，體會(huì)證明的必

要性.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）探索并證明三角形內(nèi)角和定理.

（2）能運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單問題.

2.目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：學(xué)生能通過度量或剪圖、拼圖等實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步感知三角形的內(nèi)

角和等于180。，發(fā)現(xiàn)操作實(shí)驗(yàn)的局限性，進(jìn)而了解證明的必要性；在實(shí)驗(yàn)的過程中能發(fā)現(xiàn)

其中縊含的輔助線，并能運(yùn)用平行線的性質(zhì)證明三角形內(nèi)角和定理.

達(dá)成H標(biāo)（2）的標(biāo)志是：學(xué)生能運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的與三角形中角有關(guān)

的計(jì)算和證明問題.

三、教學(xué)問題診斷分析

證明三角形內(nèi)角和定理需要添加輔助線，這是學(xué)生第一次遇到添加輔助線證明定理的問

題.由于添加輔助線是一種嘗試性活動(dòng)，規(guī)律性不強(qiáng)，學(xué)生會(huì)感到困難.教學(xué)時(shí)，教師要讓每

個(gè)學(xué)生都親自動(dòng)手進(jìn)行剪圖、拼圖，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)的過程中感悟添加輔助線的方法，進(jìn)而

發(fā)現(xiàn)思路、證明定理.

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：如何添加輔助線證明三角形內(nèi)角和定理.

四、課前準(zhǔn)備

1.學(xué)生分組

共六組，每組組長(zhǎng)1人，組員5人.

2,學(xué)具準(zhǔn)備

大小適中，形狀不同的三角形紙片（每人2~3張），在紙片上標(biāo)注/I,Z2,Z3.

3.量化考核準(zhǔn)備

記分牌六個(gè)，獎(jiǎng)品若干.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

問題在小學(xué)我們已經(jīng)知道任意?個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180。，你還記得是怎么

發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論的嗎？請(qǐng)大家借助手中的三角形紙片，回憶小學(xué)時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷.

師生活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手操作，然后匯報(bào)結(jié)果.

（1）用度量的方法得出結(jié)論.

島幾個(gè)不向A型的三角彩量一量,算一算.三年形3個(gè)內(nèi)詢

的加各是多少及

A.信心之帆彳9角

3……

Aas這個(gè)A角

三■號(hào)的內(nèi)?奧

大玲￡180*.

（2）通過剪拼或折疊的方法得出結(jié)論.

圖3圖4圖5

學(xué)生可能還有其他的剪拼圖方法.

追問1：運(yùn)用以上方法獲得的結(jié)論可靠嗎？

學(xué)生回答：不可靠.

追問2：你認(rèn)為不可靠的原因有哪些？

1.度量法：度量的角度不準(zhǔn)確；只能度量有限個(gè)三角形的內(nèi)角度數(shù).

2.剪拼法，折疊法：三個(gè)內(nèi)角拼在一起后“像”平角，存在視覺誤差；只能拼接有限個(gè)

三角形的內(nèi)角.

追問3：對(duì)于這些不可靠的因素，你有什么辦法避免嗎？

1.利用計(jì)算機(jī)度量角度，既可以提高數(shù)值的精確度，還可以度量無限個(gè)三角形的內(nèi)角度

數(shù).（此方法仍不可靠）

2.通過推理的方法證明“三角形的內(nèi)角和等于18。。”.

師生活動(dòng)：小組交流，小組代表匯報(bào)交流結(jié)果，最后達(dá)成共識(shí)：需要通過推理的方法去

證明.

追問4：要證明“三角形的內(nèi)角和等于180。”，你能寫出已知、求證嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師板書.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過嚴(yán)格的邏輯推理證明”任意一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的和都等于

180°”，感悟幾何證明的意義，體會(huì)幾何證明的規(guī)范性.

追問5：通過前面的操作和證明過程，你能想出其他方法證明此定理嗎？

師生活動(dòng)：小組交流，匯報(bào)不同的作輔助線方法和不同的證明思路.

證明2：過點(diǎn)C作48的平行線/,作射線8c.

???N4=N1,（兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等）

N5=N2.（兩直線平行，同位角相等）

,:N4+N5+N3=180。，

工N1+N2+N3=180。.（等量代換）

證明3：過點(diǎn)A作8c的平行線4）.

???/4=/2,（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

ZDAC+Z3=180°,（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

AZ1+Z4+Z3=18O°,

+23=1801（等量代換）

AA

BCRDC

證明4：過點(diǎn)。作AC的平行線交AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作AB的平行線交AC于點(diǎn)F.

?:DF〃AB,

Z4=Z2,—DFC,（兩直線平行，同位角相等.）

'：DE//AC,

N5=N3,（兩直線平夕亍，同位角相等）

Z6=ZDFC,（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

???N6=NL（等量代換）

VZ6+Z4+Z5=180°,

???N1+N2+N3=180。.（等量代換）

證法5證法6證法7…

設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度思考問題，進(jìn)一步體會(huì)作輔助線的方法，豐富學(xué)生的

解題經(jīng)臉.此處可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行取舍.

（三）典例分析

例1如圖，在△人8C中，NB4C=40。，ZB=75%A。是△ABC的角平分線.求NAQB

的度數(shù).

解：???/B4C=40。，4D是△ABC的角平分線,

1

：,ZBAD=-ABAC=20°.

2

在4ABD中,

NAO8=18O°-ZB-ZB/1D=180°-75°-20°=85°.

師生活動(dòng)：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路：要想求出NAQ8的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)

角和定理，只要求出ZZMD的度數(shù)即可.由丁ZbAC=40-AO是△AbC的角平分線，所以

很容易得出N陰。=20。；（2）學(xué)生獨(dú)立完成解題過程，一名學(xué)生板演，其他學(xué)生點(diǎn)評(píng)，教

師總結(jié).

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用三角賬內(nèi)角和定理求相關(guān)角的度數(shù)，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步鞏固定理內(nèi)容.

例2如圖是ABC三島的平面圖，。島在4島的北偏東50。方向，8島在4島的北偏東

80。方向，。島在8島的北偏西40。方向.從B島看A,C兩島的視角N4BC是多少度？從C

島看A,8兩島的視角NAC8呢？

解：由題意得：AD〃BE,ZDAC=50°,/O4B=80。，ZCBE=40°,

：,ZCAB=ZDAC=80°-50°=30°.

*：AD//BE,

：,ZDAB+ZABE=180。，

:.ZA13E=1800-ZDAB=180°-80°=100°,

:./ABC=ZABE-ZCBE=100°-4()。=60°.

在△ABC中，

NACB=180°-ZCAB-ZABC=180o-30°-60o=90°.

師生活動(dòng)：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的三角形的角的問題，即4B,

。三島的連線構(gòu)成△A8C所求的NAC8是△A8C的一個(gè)內(nèi)角；（2）教師引導(dǎo)學(xué)生分析解

題思路：在△A3。中，若能求出NC48和NA3C根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求出NAC8,

而根據(jù)已知條件，NCAB和NA4C很容易求出：（3）學(xué)牛獨(dú)立完成解撅過程，分享解題思

路，互相點(diǎn)評(píng)，教師總結(jié).

設(shè)計(jì)意圖：利用三角形內(nèi)角和定理解決生活中的簡(jiǎn)單問題，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)

表達(dá)能力.

（四）鞏固練習(xí)

1.如圖，從A處觀測(cè)C處時(shí)的仰角NCA。=30。,從B處觀測(cè)C處時(shí)的仰角ZCBD=45°.

則從C處觀測(cè)4,4兩處時(shí)的視角NACB-15°.

A

第（1）題圖第（2）題圖

2.如圖，在△A8C中，ZA=40°,則NB+NC+N4DE+/4EQ=280

3.直接寫由下列各圖中N1的度數(shù).

Z1=90°；Z1=85°；Z1=85°.

設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和定理的理解.

4.如圖，△ABC中，乙4=60°,NB=40。，DE//BC,則NAEO的度數(shù)是（D）

設(shè)計(jì)意圖：考杳學(xué)生運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及平行坡的性質(zhì)解決幾何問題.

5.如圖是某模具廠的一種模具.按規(guī)定，BA,CD的延長(zhǎng)線的夾角應(yīng)為61。，王師傅測(cè)得

NB=42。,ZC=79°,則可以判斷該模具不符合（填“符合”或“不符合”）要求，理

由是：三角形的內(nèi)角和內(nèi)于180。.

設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決實(shí)際問題.

6.如圖，線段。G,EM,FN兩兩相交于8,C,A三點(diǎn)，則ND+/E+N尸+NG+NM+NN

的度數(shù)是一360“.

設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生運(yùn)用三南形內(nèi)角和定理和整體思想解決幾何問題.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成后分享解題思路.

設(shè)計(jì)意圖：第I題是讓學(xué)生運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.第2題體現(xiàn)了

整體思想，使學(xué)生進(jìn)一步熟悉三角形內(nèi)南和定理.

（五）歸納總結(jié)

教師與學(xué)生?起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：

（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？

（2）為什么要用推理的方法證明“三角形的內(nèi)角和等于18（）?！?？

（3）你是怎么找到三角形內(nèi)角和定理的證明思路的？

設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心——三角形內(nèi)角

和定理，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，感悟輔助線的添加方法和在幾何證明中的作用.

（六）感受中考

1.（2024?長(zhǎng)沙）如圖，在△A8C中，NBAC=60°,28=50°,AD//BC,則N1的度數(shù)

為（C）

2.（2023?聊城）如圖，分別過的頂點(diǎn)A,B作若NCAO=25°,NEBC

=80°,則/AC8的度數(shù)為（B）

3.（2023?徐州）如圖，在△ABC中，若DE//BC,FG//AC,ZBDE=120°,NDFG=