2025?2026學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾六中高二(上)開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.復(fù)數(shù)z滿足2z+iz=5,則|z|=()

A./5B.JIC.2D.1

2.G=(2,1),5=(%,4),若GJ.B,則年+21=()

A.i-2,-9)B.(2,-9)C.(-2,9)D.(2,9)

3.邊長為4的正方形ABCD,E為DC中點，點F在邊3。上且則而?而=()

A.6B.12C.18D.24

4./,m是兩條不同直線，a,p,y是三個不同的平面，下列說法正確的是()

A.若〃/a,貝b〃/?B.若”/a,m〃￡,則?！ā?/p>

C.若Z1a,m//l,則m〃aD.若/=an。，a1y,。上y,貝〃1y

5.sin(w—a)-2cosa=0,則1-cos2a的值為()

A.1B]C.1D1

6.△ABC中，角A,B,C所對的邊為a,b,c.若cosA=當(dāng)上邊長a是復(fù)數(shù)z的方程z?—2z?i=4-4i(i是

虛數(shù)單位)的解，則4力BC外接圓的面積5為()

A.287rB.497rC.567rD.1127r

7.一個圓柱軸截面為正方形且它的表面積為24JT,則圓柱外接球的表面枳為()

A.327rB.16TTC.87rD.47r

8.函數(shù)y=sin(2x+0)與函數(shù)y=cosx的交點為P(g,yo),則函數(shù)fO)=sin(2x+g)的一個減區(qū)間是(其中

0<(P<7T)()

A」**]BV^爭D罟騫］

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.平行六面體48co-力i/GDi的體積為V,點M在線段上運動，則下列

三棱錐中，體積為《V的是()

O

A.三棱錐G-MCDB,三棱錐C-DrMA

C.三棱錐D]-DMBiD.三棱錐C-5MB1

10.關(guān)于復(fù)數(shù)z,下列說法正確的是()

A.若z=1+i是方程/+bx+c=0(b、ceR)的解，則Z?=-2,c=2

B.右=|z2|,則z1=z2

C.若|z-2i|=1,則復(fù)數(shù)2+3+2，的模長范圍為[4,6]

D.Zi，Z2均為復(fù)數(shù)且z=Z1?Z2，則z=Z1/2

■中，角A,B,C所對的邊分別為a,比c且篝=手，下列說法正確的是()

A.B=g

B.若b=2且4718。存在且唯一，則0<Q32或Q=2/2

C.若si〃C=,則b=Q

D.若b=2,則AABC面積最大值為1+/2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.向量G=(1,1,-3),b=(2,-1,-1),貝必在3上的投影向晟的坐標(biāo)為____.

13.tanatanp=2,cos(a+萬)="則cos(a-/?)=

14.正四面體4一8。0邊長為a,其內(nèi)切球。，則在正四面體A-BCD內(nèi)與球。和平面4C0,平面BC。，平面

ABD均相切的球的表面積為_____.(用Q表示)

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

復(fù)數(shù)Z=Q+bi(a、bER)

(1)若1<⑶<3,求z表示點在復(fù)平面內(nèi)圖形的面積.

(2)將Zi=1+化成Zi=2(cos,+isin)且Z2=1+i.求證:z1z2=2-/2(cos-^+isin

16.(本小題15分)

a=(2,0),b=(1,2),c=(-3,2).

(1)若化五十私〃乙求k值；

(2)若同=2五+39，阮=1+九加且月、B、C三點一線，求幾的值：

(3)若(t五+1)1乙求t的值.

17.(本小題15分)

四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PC=y/lPD=>f2DC=2,PD1DA,M為C8中點且PB14M.

(1)證明：平面P80J_平面PAM；

(2)求四棱錐尸-4BCD的體積；

(3)求面PAM與面PDC所成的夾角的余弦值.

18.(本小題17分)

函數(shù)f(%)=\[3sin2x—cos2x.

(1)求/(%)的值域及對稱軸方程;

(2)銳角△48C中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c且/(B)=2,b=2,設(shè)△力BC面積為S,周長為，,

求S和侑勺取值范圍.

19.(本小題17分)

圖①平面四邊形/BCD中，48=2/1，AD=6,AE=^AD.^BAE=l^CDA=1,CD=4,以BE為軸將

△ZBE折起至ZiPBa如圖②得四棱錐P-8G)E,F為PB中點,M為線段CO上動點，PC=2/5.

(1)求異面直線PD,EC所成的角的余弦值；

(2)求面積的最小值及對應(yīng)CM：M0的值;

(3)求點M到EF的距離的取值范圍.

過點P作PM1%,垂足為M,過點P作PNln2,垂足為N,

因為a1y,61y且any=%,§ny=電，且PMuy,PNuy,

所以PMla,PNIp,

又l=aC0,即，ua,lu0,故PM1，，PN11,

又PMCPN=P,PM,PNuy,所以11y,所以。選項正確.

故選：D.

根據(jù)空間中各要素的位置關(guān)系，逐一判斷即可.

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解?析】解：因為sin（；T-a）—2cosa=0,所以sizur=2cosa,

又因為sin2a+cos2a=1,代入可得4cos2a+cos2a=1,

解得cos^a=1,所以sin2a=1—cos2a=：,

JD

所以1—cos2a=2sin2a=2x

故選：D.

根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角的三角函數(shù)關(guān)系式化簡求得siMa=g再利用二倍角公式求解即可.

本題考查了三角函數(shù)的求值運算問題，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【蟀析】解：邊長Q是方程的解，故Q€R且Q>0,

邊長a是復(fù)數(shù)z的方程z2-2z?i=4-4i（i是虛數(shù)單位）的解，

則/—2ai=4—43

因為復(fù)數(shù)相等，虛部和實部分別相等，所以一匕解得。二2,

又S出力=V1-COS2i4=J1—（112）2=

由正弦定理可得R弓.就=7,所以△的外接圓S…*4球

故選：B.

利用復(fù)數(shù)方程解出a的值，再利用正弦定理求得外接圓的半徑即可得到答案.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及正弦定理的定義，屬于基砧題.

7.【答案】A

【解析】解：設(shè)圓柱的底面圓半徑為r,高為拄.

則根據(jù)題意可得｛靠片2ml=24/解得｛憶%

如圖所示，由圓柱和球的對稱性可知，軸截面4BCZ)的對角線為圓柱外接球的直徑,

設(shè)外接球半徑為R,則2R=J/i2+(2r)2=40,所以R=2，I.

所以圓柱外接球的表面積為4兀產(chǎn)=327r.

故選:A.

設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為九.由圓柱的軸截面是正方形，結(jié)合表面積為247r列出關(guān)于廠，h的方程組.求出

r,九.求出圓柱外接球的半徑，進而求得外接球的表面積.

本題考杳圓柱的外接球問題的求解，屬中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意得y=sin(2x+@)與丫=cos無的交點為Pg,cos$,即P?,；),

由sin(2q+*)=；,結(jié)合。<@<TT,可得w=3，所以/(x)=sin(2x+9)=sin(2x+'

由號+2々兀W2%+[W即+2kn(kGZ)，解得*+kn<x<^-+kn(kGZ)，

所以f。)的單調(diào)遞減區(qū)間為。+而尋+時(kGZ),

OD

取A=0,得/㈤的一個遞減區(qū)間是《冷，

結(jié)合白芻<=￡弱，可知IC項符合題意，其它各項均不正確.

故選:C.

根據(jù)點P在y=cosx圖象上，求出y()=然后將P(g,；)代入y=sin(2x+?)求出尹=可得f(x)=

sin(2x+^),進而運用正弦函數(shù)的單調(diào)性進行求解、即可得到本題的答案.

本題主要考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考杳了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：對4選項，因為平面48當(dāng)41〃平面OCG5，又ME48u平面遇1，

所以M到平面DCCRi，的距離為平面NB814與平面DCCiDi的距離，

所以三棱錐G-MCO的體積為%「MCD=VM-JCD=gx；IZ=：乙所以4選項正確；

對B選項，如下圖所示：

對于三棱銖C—D1M4由平行六血體的性質(zhì)得。OJ/B①,且CD[U平面。。通，

所以力竊〃平面CZM，

所以在上運動的M點距離平面CD〃的距離為定值，不妨讓M與B點重合，

所以三棱錐C-。1用力以4CDM為底，其體積與三棱錐B-CD】4的體積相等，

對于三棱錐8-CQA,以aABC為底，六面體以平行四邊形A8CD為底，

則三棱錐的底面積為六面體的底面積的一半，高相等，所以其體積為=:乙所以8選項正確:

ZJO

對C選項，如下圖所示：

對于三棱錐一DMB],直線CDi與平面。。聲相交于D1，

故A窗與平面DD】8i不平行，

二棱錐以4為底，動點M距離底面的距離隨M點運動而變化,

故該三棱錐的體積并非定值，所以C選項錯誤;

對D選項，如下圖所示：

對于三棱錐C-DiMBi，因CD]u平面CD1為內(nèi)，

故〃平面B]D】C,

所以無論M運動到何處，其到平面BiQC的距離為定值，不妨設(shè)M與B點重合，

所以三棱錐C-2MB]的體積即與三棱錐5-CB8】的體積相等，

該三棱錐以△CBa為底，六面體以平行四邊形為底，

所以該三楂錐的底面積為六面體的一半，高與六面體的高相等，

故體4積0為0所以D選項正確.

故選：ABD.

利用三棱錐的體積公式，轉(zhuǎn)化三棱錐的頂點，再與六面體的高和底面進行比較，即可求解.

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】解：因為實系數(shù)一元二次方程的虛根是成對出現(xiàn)的，故z=l-i也是方程的解.

根據(jù)韋達定理，在方程“2+bx+c=o中，兩根之和-b=1+i+1-i=2,

則Z?=-2；兩根之積c=(1+i)x(1-i)=1一理=2,所以選項A正確.

設(shè)Zi=-1,z2=則區(qū)|=|一1|=1,%|=|1|=1,

即憶11=㈤，但ZiwZ2，所以選項3錯誤.

設(shè)2=%+yi(x,y€R),由|z-2i|=l,可得+yi—2i|=1,

根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式/+°/一2尸=1

這表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(%,y)在以(0,2)為圓心，1為半徑的圓上.

而z+3+2i=%+3+y+23其模長表示圓上的點(x,y)到點(-3,-2)的距離

圓心(0,2)到點(-3,-2)的距離為5,

因為圓的半徑為1,所以圓上的點到點(一3,-2)的距離最小值為5-1=4,最大值為5+1=6,

即復(fù)數(shù)z+3+2i的模長范圍為[4,6],所以選項C正確.

設(shè)Zi=Q]+打晨z2=a2+b2i(,alfa2,bltb2€R),

則z=Zi-z2=(%+bri)x(a2+b2i)=ara2—bxb2+(為82+a2bi)3

根據(jù)共規(guī)復(fù)數(shù)的定義Zi=%-仇i,z2=a2-b2i>

則Z[?z2—(%—x(a2—b2t)=aia2—bxb2—(。血+a2b1')i,

所以W=z；所以選項。正確.

故選：ACD.

利用實系數(shù)一元二次方程的虛根成對出現(xiàn)的性質(zhì)判斷選項A;舉反例判斷選項&利用復(fù)數(shù)的幾何意義求

解選項C：利用復(fù)數(shù)的乘法和共策復(fù)數(shù)的定義求解選項D

本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，如復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實系數(shù)-元二次方程的解的性質(zhì)：復(fù)數(shù)的模的概念：復(fù)數(shù)的幾何

意義與模的計算；復(fù)數(shù)的共規(guī)運算性質(zhì).

IL【答案】RCD

【解析】解：由正弦定理得鬻=空==①嗡嚴(yán)，

彳上簡得■/^sirMcosB-sinCcosB=sinBcosC,

所以4cos8=sinBcosC+sinCcosB=sin(F4-C)=sinA,

根據(jù)sinAH0,可得cos8=/,結(jié)合B￡(0,%)，可得B=*,所以A錯誤；

若△/IBC存在且唯一，則62?；?=。5出8,結(jié)合b=2解得0<Q32或Q=22，所以8正確：

若sinC=y/~2sinA,則sin(1-A)=yJ~2sinA,即苧cosA+^sinA=\T2sinA,

化簡得sMA=cos4即tazM=1,所以4=J,可得力=B=J,b=a,所以C正確；

若b=2,則由余弦定理得力2=a2+c2—2accosB=a2+c2—\/~2ac=4,

可得Q2+。2=MQC+4N2QC,即QCW4+2\/~L當(dāng)且僅當(dāng)Q=C時取等號，

因為△ABC的面積S=^acsinB=^ac<^x(4+2/1)=1+72,

所以當(dāng)。=。時，△/18C面積最大值為l+，2,可知/)正確.

故選：BCD.

利用正弦定理化簡已知等式，結(jié)合兩角和與差的正弦公式化簡，推導(dǎo)出然后運用解三角形的知識

對各個選項依次進行驗證，即可得到本題的答案.

本題主要考查三角恒等變換公式、正弦定理與余弦定理、運用基本不等式求最值等知識，考查了計算能

力、邏輯推埋能力，屬于中檔題.

12.【答案】?,-|,一|)

【解析】解：因為向量五=(1,1,一3),S=

所以刷上的投影向量為需看=需小=舒那與=(*/等

故答案為：有_:,_|).

根據(jù)投影向量的計算公式即可求解.

本題主要考查了空間向量的數(shù)量積運算，考查了投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】一：

【解析】解：因為tanahm/?=；；：；；；；2=2,所以析osacosg=sinasin0(*),

由cos(a+0)=cosacosp—sinasinp=—cosacosp=

得cosacos。二一g,

代入(*),可得sinasin。=2cosacos^=—|,

123

故cos(a-A)=cosacosp+sinasin^=

故答案為：—

根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系和和角的余弦公式可求出cosacos/?=—；,s出asm/?二Y，再由差角的余弦公式

得到答案.

本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

14.【答案】■小

【解析】解：設(shè)球。的半徑為R,取8C的中點為E,內(nèi)切小球球心為01，半徑為r,

連接E4ED,設(shè)DG為正四面體力一BCD的高，球0口球0與側(cè)面8CD分別相切于點H,F,

顯然點。在。G上，G是底面HBC的中心，截面圖如F：

D

乂正四面體力—8CD邊長為Q,所以。E=4E=52一（講=三心

所以GE=：AE=ga，DG=7DE?-GE2=?，

365

連接。F,由△帥——端=南=考，解得”噂

:東球AU17thr>八rrccr"0\HD0\VAG-2R—Tv6

連接。/,乂由△DOiH^ADOF^—=-=>-=AG-R=>r=24a，

所以球。1的表面積為S=4TTX號研=*2.

故答案為：/小.

先根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征求出內(nèi)切球。半徑R，然后根據(jù)相似關(guān)系求出球。i的半徑r,最后利用球的表面

積公式即可求解.

本題考杳正四面體的內(nèi)切球問題的求解，屬中檔題.

15.【答案】8TT；

由題意：z2=1+i=-/2(cos4-isin,

所以2g=2(cos、+is嗚)xV3(cos,+is嗚)

=2>J_2x[(cos-cos-一sin[sin/+i(sin-cos-+cosgsin-)]

=2/2x[cos(1+令+isin(1+=2/2(cos^+isin芻

【解析】(1)復(fù)數(shù)Z=Q+bi(Q、bER),由1W|Z|W3,可得復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的軌跡圖形是圓環(huán)，如

圖：

其中，圓環(huán)的內(nèi)圓半徑為1,外圓半徑為3,所以圓環(huán)的面枳為：7rx32-n-xI2=8TT,

即為復(fù)數(shù)z表示的點在復(fù)平面內(nèi)圖形的面積.

(2)證明：由題意：Z2=l+i=v2(cos*+isin》,

所以Z1Z2=2(cos^+isin^)x/2(cos^+isin^)

lnnnnnnnn

=2V2x[(coscos-sinsin^-)+i(sin2cos^-+cossinJ

=2/2x[cos(1+9+isin(|+$]=2/2(cos+isin碧).

(1)根據(jù)復(fù)數(shù)模的概念，判斷復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對應(yīng)的圖形，再求面積.

(2)利用復(fù)數(shù)的乘法運算化簡證明.

本題考杳及數(shù)的模與代數(shù)表示，屬于中檔題.

16.【答案】-2.

3

2'

1

6

【解析】⑴???—=(2,0),1=(1,2),???0+/=(2k+1,2),

又下=(-3,2),且+.?.[2k+l)x2=—3x2,解得憶=一2；

(2)va=(2,0),b=(1,2),

AB=2a+3b=(7,6),BC=a+nb=(2+n,2n),

乂4、R、C三點共線，.??而〃瓦，.??(2+〃)x6=7x2n,解得n二|；

(3)va=(2,0),b=(1,2),

ta+b=(2t+1,2),

又3=(-3,2),且+

(2t+l)x-34-2x2=0,解得￡=1.

(1)根據(jù)向量的線性坐標(biāo)運算求出S'+?=2/c+1,2,然后利用向量共線的坐標(biāo)公式列方程求解即可;

(2)根據(jù)向量的線性坐標(biāo)運算求出通，前的坐標(biāo)，然后利用向量共線的坐標(biāo)公式列方程求解即可；

(3)根據(jù)向量的線性坐標(biāo)運算求出i(T+//=2t+l,2,然后利用向量垂直的坐標(biāo)公式列方程求解即可.

本題考查向量的線性坐標(biāo)運算法則、向量共線的坐標(biāo)公式、向量垂直等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是

中檔題.

17.【答案】因為PC=2,PD=DC=所以「。2=202+。。2,即p。，

又因為00_L04且。力nOC=。，DA,OCu平面48c0,

所以PD1平面ABC。，乂因為AMu平面HBCO,所以PD14M,

又因為PB1AM,且PBnPD=P,PB,。。<=平面。8。，

所以力Ml平面PB。，又因為AMu平面PMA,

所以平面P8D1平面PM4

4

3;

<14

~7~

【解析】(1)證明：因為PC=2,PD=DC=yf2,所以PC?=PD2+

DC2,BPPD1DC,

又因為PD_LZM,且OAnDC=O,DA,OCu平面48c0,

所以尸。_L平面力BCD,又因為4Mu平面力BCD,所以PD1AM,

又因為P8_L力M,且PBCPD=P,PB,POu平面P80,

所以力Ml平面P80,又因為AMU平面PM4

所以平面PBD1平面PM4.

(2)解：由力Ml平面P8D,且8Du平面P8D,則AM18D,

所以+=3，乂因為矩形48CD,可得+40AM=5,

所以=匕力BD,又因為4M,4D=NBMA,所以乙A8D=々BMA,

即RtZiABD?RtaBMA,所以麗=而，

又因為AB=CD=^2,所以:=2,解得/D=2,

所以矩形4BCD面積為xCD=2x\!~2=2V~2?又因為四棱桂P—48C。高P0=，2,

所以四棱錐P—/18C。的體積為gX272x/2=^.

(3)以D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，由PD=V1,AD=2,AB

可得人(2,0,0),M(l,<2,0)，P(0,0,/2),則宿=(一1,71,0),而=(一2,0,77),

設(shè)平面PMA的法向量為行=(x,y,z),

則件眄=0,即(r+，Iy=D,

m-AP=0(-2%+V_2z=0

令x=，I，則y=l，z=2,所以元=(，7,1,2)，

又因為平面PDC的法向量為沆=(1,0,0)，

所以cosvm,">=麗=而用二下’

即平面PMA與平面PDC所成夾角的余弦值為手.

(1)利用勾股定理證明一個線線垂直，則可證明線面垂直，即得線線垂直.，再證明線面垂直，最后可證明

面畝垂直；

(2)利用線面垂直可得一個線線垂直，再利用相似，從而可計算邊長，即可求體積：

(3)利用空間向量法來求兩平面夾角的余弦值.

本題考杳了空間中的平行與乖育關(guān)系應(yīng)用問題，也考杳了空間角與空間幾何體的體積計算問題,是中檔

題.

18.【答案】值域為[一2,2],對稱軸方程為％=g+

se(^,/3],/e(2/3+2,6]

【解析】⑴由題意得/(%)=>/~3sin2x-cos2x=2(sin2xcos^-cos2xsin^)=2sin(2x-^),

根據(jù)sln(2x-”e[-1,1],可知戶,)的值域為[—2,2],

令2%-3+A/r,k￡Z,解得/'(%)圖象的對稱軸方程為x=^hn,keZ.

(2)由題意得f(B)=2sin(2B-^)=2,可得sin(2B=1,

結(jié)合8為銳角,可得2B—5=今解得B=￡所以，■^=2xg=g,

623sinBv3V3

根據(jù)正弦定理亮=5=心=崔，可得Q=-r^sinA.c=^=sinC,

sinAsinesinBV3V3V3

所以△48c的面積S=；acsinB=^ac=竽-4=sinA-4=sinC=4=sinCsinA,

因為sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB=^sinA+苧cos4

所以S=~^=sinA(^sinA+cosA)=isin2/1+2sinAcosA

=浮(1-cos2A)+sin2A=(sin2Acos3—cos2Asin*)+?=sin(2/l—?)+-??

3OOOOOOO

根據(jù)△ABC為銳角三角形，可知127r7r，解得?VAvJ，

1J乙

由2A—卷￡/片)，可得sin(24-￡(g,1],所以SW(4

周長/=a+b+c=-^=(sinA+sinC)+2=4=(^sinA+號cosA)+2=4sin(A+3)+2,

由于g<4+看<與，可得苧Vsin(4+,)W1,所以△ABC的底長2€(2，3+2,6].

(1)根據(jù)輔助角公式化簡，可得/?(x)=2s譏(2%-方，然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行求解，可得答

案；

(2)利用正弦定理邊角G化，結(jié)合三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)求解值域，可求出S和2的取值范圍.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、解三角形及其應(yīng)用、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，考查了計

算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題.

19.【答案】?；

2\國1

~~5~'4；

4vT5