§6.5數(shù)列求和

【考試要求】1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式2掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和

的幾種常用方法.

【知識(shí)梳理】

數(shù)列求和的幾種常用方法

1.公式法

直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求和.

⑴等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：

n(n—1)

S?=5=i+24

⑵等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：

nci\9q=1,

Sn=\ai—a“qai(Lq")一?

I.l—q=\~q>q力I

2.分組求和法與并項(xiàng)求和法

(I)分組求和法

若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成,則求和時(shí)可用分組求和法,

分別求和后相加減.

(2)并項(xiàng)求和法

一個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如知=(一類型，可

采用兩項(xiàng)合并求解.

3.錯(cuò)位相減法

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列

的前〃項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.

4.裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.

常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧

I(I)7—(〃L+l-)=>n—〃+「

⑵〃(〃+2)=族

1If11>

⑶(2〃-1)(2〃+1)=及2〃-12〃+1/

⑷而布?

⑸〃(〃+1)(〃+2廠E/S+1)(〃+1)(〃+2)_

【常用結(jié)論】

常用求和公式

(1)1+2+3+4+-

(2)1+3+5+7+-+(2/?-|)=n2.

(31+22+32+…+〃2=〃(〃+l*+D

(4)l3+23+33+-+n3=2.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)如果數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，且公比不等于1,則其前〃項(xiàng)和V)

(2)求S”=a+2/+3/+…+〃/時(shí)，只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘〃即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得.

(X)

⑶已知等差數(shù)列｛，“｝的公差為乩則有焉3=淋一六)(x)

(4)sin2Io+sin220+sin23°4—?4-sin288°+sin289°=44.5.(J)

【教材改編題】

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí))，

1.已知函數(shù)式〃)=]_/(當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)),

且〃”=/(〃)+_/(〃+1),則。1+。2+的+…+。100等于

()

A.0B.100C.-100D.10200

答案B

解析由題意，得ai+s+sH----F6/10()

=12-22—22+32+32-42-42+52H----F992—1002-1002+1012

=一(1+2)+(3+2)—(4+3)+——(99+100)+(101+100)

=一(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)

=-50X101+50X103=100.

2.數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”.若為=品不，則S5等于()

A.1B.eqC.eqD.eq

答案B

解析因?yàn)槿?/11\=:—II?

〃(〃十1)n〃+1

所以Ss=a\-----\ras=1-4乙。------UU

3.Sn=、+生+江---h皆等于()

A.cqB.cq

C.eqD.eq

答案B

解析由S”=：+爭(zhēng)+-H-----吟,①

得品1.2.,ri—1,ng

二寵+^H----H-^~+尹，②

①一②得，—

?n+i—??—2

?*S——

n2”

題型一分組求和與并項(xiàng)求和

例I(2023?荷澤模擬)已知數(shù)列｛〃”｝中，m=1,它的前〃項(xiàng)和S”滿足2S〃+〃"i=2"+i-l.

證明：數(shù)列卜“一T_

(1)為等比數(shù)列;

(2)求Si+S2+S3+…+S?j.

⑴證明由2S”十斯+I=2"+I—①

得2sLi+小=2〃-1(〃22),②

由①一②得為+。什］=2”(“22),

W

得?n+l=—t7n+2=>a/j+l-^-=—

又當(dāng)n=\時(shí)，由①得42=1=>〃2—g=—(。1一1),

2"'?

所以對(duì)任意的〃WN",都有如

3

故卜”一日｝是以;為首項(xiàng)，―1為公比的等比數(shù)列?

3

2〃(―1￥,-12"+(—1)”

(2)解由(1)知Cln-9=3,尸

3

2n+,+(—IV2"+i(])〃]

所以為+1=——j~，代入①得5〃=

362'

?[O1

所以5i+524--+52n=i(22+23+-+22n+,)-T[(-l)+(-l)2+-+(-1產(chǎn)]一號(hào)=彳

=(-iy，-10g22n=(-l)nH.

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

〃=-1+2-3+4-----

=(-1+2)+(—3+4)+…+[—(n—1)+〃]=5.

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，

Tn=—1+2—3+4----1)一〃

n—1—n—1〃+1

=亍一〃=—5―=

佟〃為偶數(shù)，

綜上，T?=<

[一哥，〃為奇數(shù).

題型二錯(cuò)位相減法求和

9

例2(2021?浙江)已知數(shù)列｛〃“｝的前八項(xiàng)和為S"，“尸一手旦4s.+i=3S〃-9(〃WN*).

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛兒｝滿足39+(〃-4)%=0(〃￡N*),記｛仇｝的前n項(xiàng)和為若TW物,對(duì)任意"WN*

恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

解(1)因?yàn)?szi+]=35〃-9,

所以當(dāng)〃22時(shí)，4s“二31一1一9,

兩式相減可得4而『3%，即誓=*

/9、27

當(dāng)〃=1時(shí)，4S=4(—不+6)二一彳一9,

解得?2=—

3

-

所唁4

9

所以數(shù)列｛〃“｝是首項(xiàng)為一本

公比為總的等比數(shù)列，

所以跖=一9倒1=一詈.

(2)因?yàn)?瓦+(〃-4)%=0,

所以為=(〃-4)X(；>.

3

-

4xg>oxg)4+???+(〃-4)乂住下,①

-+(n-5)X^W(?-4)X^y,,②

①一②得）產(chǎn)_3乂（+02+03+…+?>_（〃_4/住戶

一桿凱隼LrxGF

r

=fxg）叫

所以4=-4〃XG〉+L

因?yàn)閷?duì)任意〃￡N*恒成立，

所以一4〃乂自〉”W幺（〃-4）x（,｝］恒成立，

即一3〃W%（〃一4）恒成立，

當(dāng)〃“時(shí),'W言=7—懸,此時(shí)"W1；

當(dāng)〃=4時(shí)，一12W0恒成立，

當(dāng)心4時(shí),"2言=一3—羔’此時(shí)22—3.

所以一3W7W1.

思維升華（1）如果數(shù)列｛勾｝是等差數(shù)列,｛瓦｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛斯也｝的前〃項(xiàng)和時(shí)，常

采用錯(cuò)位相減法.

（2）錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：

①在寫(xiě)出“工”與“夕工”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式''錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步淮確地

寫(xiě)出“&一贅””的表達(dá)式.

②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)必須注意公比q是否等于1,如果q=l,應(yīng)用公式

跟蹤訓(xùn)練2（2023?重慶模擬）在①0=1,〃斯+1=（〃+1）?斯，②2%+T2+…+2%=2w+,-2

這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并作答.

問(wèn)題：在數(shù)列｛?,｝中，已知.

（I）求｛〃”）的通項(xiàng)公式;

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解（1）選擇①，

因?yàn)椤?+1=（〃+1）??,所以號(hào)"=系.

所以檄是常數(shù)列.

又牛=1,所以牛=1,故小=〃.

選擇②，

因?yàn)?4+23+???+2""=2〃+i—2,

所以當(dāng)〃=1時(shí)，2,=22—2=2,解得0=1,

當(dāng)“22時(shí)，2""=2"+|—2"=2",所以%=兒

=

又0=1,所以ann.

,__,2n~1

(2)由(1)可知d，

3—1

則S尸?+孕d----卜"3〃，①

11,3,In—3,In—\/、

尹=1+了"--r3"-3〃

?I222_2/?-11司2〃-122〃+2

兩式相減得?9“=彳+三+^^---!-■IQ-

3n"-33n"3W，1,

〃+1

故

s?=\―3”?

題型三裂項(xiàng)相消法求和

例3（10分）（2022?新高考全國(guó)I）記￡為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，已知0=1"您是公差為;的

等差數(shù)列.

（1）求償〃1的通項(xiàng)公式；［切入點(diǎn)：求數(shù)歹的通項(xiàng)公式］

（2）證明：!+!+…+:<2」關(guān)鍵點(diǎn)：把小拆成兩項(xiàng)相減|

思維升華裂項(xiàng)相消法的原則及規(guī)律

（1）裂項(xiàng)原則

一般是前面裂幾項(xiàng)，后面就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止.

（2）消項(xiàng)規(guī)律

消項(xiàng)后前面剩幾項(xiàng)，后面就剩幾項(xiàng)，前面剩第幾項(xiàng)，后面就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).

跟蹤訓(xùn)練3（2022?湛江模擬）已知數(shù)列｛〃”｝足等比數(shù)列，且8的=。6，他+的=36.

⑴求數(shù)列伍”｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)6〃=/4,求數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和力”并證明：T?<｛

（4〃十1）（即”十I）J

解⑴由題意，設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為小則^3=^=8,即4=2,

?.?。2+。5=36,.??〃闖十4|d=36,即2〃1+16。1=36,解得“1=2,

????！?2-2"-1=2〃，

⑵由(D可得，3二+威”+|)

2n_1I

=(2"+1)(2"7+1)=2”+1-2""+l'

故官=61+>」----\-bn

21+l22+122+123+12〃+12M，,+I

_1_1

-2'+1-2,,+,+1

1

-3-2,,4,+1<3,

???不等式對(duì)〃￡N*恒成立.

課時(shí)精練

立基礎(chǔ)保分練

1.（2022?杭州模擬）已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列｛知｝的前〃項(xiàng)和為且S4=20,s，即*成

等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

⑵若仇=2m-|一3〃+2,求數(shù)列｛》｝的前n項(xiàng)和Tn.

解（1）設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為d（d>0）,

S4=20,

由題意得

屆=僅a8,

4X3

4〃]+-z~^=20,

即，z

、(〃1+3(7)2=5|+</)(〃I+7,

。尸2,。尸5,

解得1或（舍）,

d=2d=0

所以斯=2+(〃-1)-2=2/2.

(2)由(1)得，〃"=2〃，

所以仇=4(〃+1)—3/2,

所以7；=4X2-33+4X3-344-?+4(?+l)-3n+2=4[2+3+-+(n+l)]-(33+34+-+3n+2)

-2+〃+127(1-3〃)2_LA,27_312

—4〃,c-.r—2〃I07?I個(gè)—/->.

2.(2023?寧波模擬)已知數(shù)列｛m｝滿足斯+g-2/(即+|—縱)+1=0,且0=1.

(1)求出如。3的值,猜想數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且兒=一^,求數(shù)列｛幻｝的前〃項(xiàng)和

d,i-an+\

解(1)由已知得，當(dāng)〃=1時(shí)，白20—2(〃2—0)+1=0，又。1=1,代入上式，解得42=3,同

理可求得3=5.猜想an=2n—\.

(2)由⑴可知功=2/i—1,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以S〃=/,

則d=(2〃-1)(2〃+1)

!

44|_+——(2〃-1)——(2〃+1)_1|

=尹￡?一廠2〃+)

所以公=|i+10旬+|)+鼎-圳+…+日+念匕-恭7)

苧如一南=患

3.(2023?呂梁模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列■力的前〃項(xiàng)和為S,且滿足4S”=3〃+1)2.

(1)求證：數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列；

(2)設(shè)為=2",求數(shù)列｛如七｝的前〃項(xiàng)和Tn.

⑴證明在4s”=(?！?I)?中，令〃=1,可得41=1,

因?yàn)?s〃=m〃+i)2,①

所以當(dāng)2時(shí)，45?-|=(0?-1+1)2,②

①一②得，4%=(如+1)2—(如_1+1)2,

整理得3〃+a”-1)3“一a”-1-2)=0,

因?yàn)?>0,所以斯一如一1=2(〃22),

所以數(shù)列｛6｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

⑵解由⑴得角=2〃-1,所以的仇=(2〃-1)?2”,

所以7；=lX2,+3X22+5X23+-+(2n-l)-2%

27；=1X2?+3X23+…+(2〃-3>2"+(2/i-1)-2,,+,,

兩式相減得,-7；=2+2X(22+23+…+2")—⑵[-1)?2""=-6+(3—

所以4=6+(2幻一3>2”+i.

〃為奇數(shù),

。?淄博模擬)已知數(shù)列｛?｝滿足『且研鵬%…+1,為偶數(shù)

4.(2222,(〃￡N)設(shè)兒=

儂-1?

(1)證明:數(shù)列｛兒+2｝為等比數(shù)列,并求出｛兒｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列｛m｝的前2〃項(xiàng)和.

解(1)由題意知，4+1=的什|=242〃=2(?2"-1+1)=2兒+2,

fIo

所以1=2,又6+2=〃|+2=4,

‘"；〃二十Z

所以仍”+2｝是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列，

則仇+2=42廠|=2"一，

所以為=2"+|—2.

(2)數(shù)列｛斯｝的前2n項(xiàng)和為S2〃=ai+42+43~l--卜。2n

=(3+43+45+…+42，Ll)+(s+?4+…+。2〃)

=(0+43+。5H---1-〃2"-l)+(〃l+a3H----l-42,Ll+〃)

=2(。[+03+45]---卜仇-1)+〃

=2(/%+岳+…+/?”)+〃

=2X(22+23+-+2n+,-2?)+z?

4(1-2")+?

-2X-.—^一3〃一2"+3—3〃-8.

I—2

過(guò)綜合提升練

5.(2023?蚌埠模擬)給出以下條件:①。2,。3,3+1成等比數(shù)列：②S+l,S2,S3成等比數(shù)

列；③S“=%￥(〃￡N").從中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，再解答.已知遞增筆差數(shù)

列他”｝的前〃項(xiàng)和為S”且41=2,.

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)若｛a｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列｛兒｝的前〃項(xiàng)的和7；.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解(1)設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為d,則J>0,

選擇條件①：

因?yàn)?2,43,出+1成等比數(shù)列，

所以4=33+1),所以(2+2d)2=(2+d>(2+3d+1),化簡(jiǎn)得/—d—2=0,

解得d=2或d=—1(舍)，

所以數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式為4=2+(〃-1)X2=2〃.

選擇條件②：因?yàn)?+1,S2,S3成等比數(shù)列，

所以貸=(S]+1)$,所以(2X2+/=(2+l>(3X2+3①,化簡(jiǎn)得/一/一2=0,

解得d=2或〃=一1(舍)，

所以數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為小=2+(〃-l)X2=2〃.

選擇條件③：

因?yàn)?=笠々〃￡z),

所以當(dāng)〃時(shí),=

22Sn-\4

兩式相減得,

因?yàn)樗筗O,所以知+|一%-1=4,即2d=4,所以d=2,

所以數(shù)列他