2024年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷01（新高考專用）

（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分笫I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、往考證號(hào)填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出母小題答案后，用2B鉗筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第I【卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求.

1.（5分）（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知集合4={0,1,2},8=V3},則4UB=（）

A.{0,1}B.{-1,0,2}C.{-1,04,2}D.{-1,1,2,3}

【解題思路】根據(jù)題意，求得B={-1,0,1},結(jié)合集合并集的運(yùn)算，即可求解.

【解答過程】由集合8={%€Z|x2<3}={-1,0,1},

又因?yàn)?=（0,1,2）,所以4UB={-1,04,2）.

故選:C.

2.（5分）（2023?四川甘孜?統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)z滿足（l—i）z=3+i.其中i為虛數(shù)單位，則|z|二（）

A.V3B.V5C.3D.5

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可得解.

【解答過程】因?yàn)椋╨—i）-z=3+i,

所以z=*既土詈1+2i,

則izi=，rq=遙.

故選:B.

3.（5分）（2023?四川甘孜?統(tǒng)考一模）已知平面向量陽b滿足向=20=2,若五1伍一?,則d與族的夾

角為（）

A.2B.2C.2D.空

6336

【解題思路】根據(jù)向量垂直及數(shù)量枳運(yùn)算律、定義可得l-2cos（d石）=0,即可求夾角.

【解答過程】由題設(shè)d?（d-=@2-G?族=o,而悶=1/瓦=2,

所以1-2cos（五㈤=0=>cos（d,b）=p｛a,b）E[0,ir],

所以值.=（

故選：B.

4.（5分）（2023?廣西南寧?南寧三中?？寄M預(yù)測(cè)）2023年10月12日，環(huán)廣西公路自行車世界巡回賽

于北海市開賽，本次比賽分別在廣西北海、欽州、南寧、柳州、桂林5個(gè)城市舉行，線路總長度達(dá)958.8公

里，共有全球18支職業(yè)車隊(duì)的百余名車手參加.主辦方?jīng)Q定選派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、8兩

個(gè)路口進(jìn)行支援，每個(gè)志愿者去一個(gè)路口，每個(gè)路口至少有一位志愿者，則不同的安排方案總數(shù)為（）

A.15B.30C.25D.16

【解題思路】當(dāng)兩組人數(shù)分別為1和4時(shí)，2和3時(shí)兩種情況，結(jié)合排列組合知識(shí)求出答案.

【解答過程】5名志愿者分為兩組，

當(dāng)兩組人數(shù)分別為1和4時(shí)，此時(shí)有&A；=10種情況，

當(dāng)兩組人數(shù)分別為2和3時(shí)，此時(shí)有髭GA鄉(xiāng)=20種情況,

綜上，不同的安排方案總數(shù)為10+20=30.

故選:B.

5.（5分）（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知為為等差數(shù)列｛&J的前幾項(xiàng)和，。7+2。9+即7=24,則S20=（）

A.240B.60C.180D.120

【解題思路】利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項(xiàng)和公式求解即可.

【解答過程】因?yàn)閿?shù)列｛每｝為等差數(shù)列，所以+2a9+?i7=2ai2+2a9=24,

所以Q12+=12,

所以Szo=2。（%：。20）-10（%+a?。）=10（a12+Q9）=120.

故選:D.

6.（5分）（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系％Oy中，橢圓「:捺+5=1（Q>b>0）的左頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)

分別為4兄動(dòng)點(diǎn)P在門t（不與r左、右頂點(diǎn)重合），Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，若而二3無，且/P4F=zlQ0F,

則r的離心率為（）

A1p1r1n-

2345

【解題思路】利用橢圓的方程與性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想即可求解.

【解答過程】如圖所示：

因?yàn)?/MF=4Q0F,所以0Q//4P,

XPF=3QF,所以黑=黑=2,

\0F\|QF|

所以|A0|=2|。?|,即a=2c,所以「的離心率e=：=[.

故選：A.

7.(5分)(2023?廣東?統(tǒng)考二模)如圖，直線y=l與函數(shù)/aXAsinM+^OlAOMXWIvm旅

圖象的三個(gè)相鄰的交點(diǎn)為A,B,C,且\BC\=2TT,則/(X)=()

C.竽sin(*+g)D.竽sin1+§

【解題思路】由題意可得相鄰對(duì)稱軸間距離求出周期得出3排除BD,再由》=0區(qū)分AC即可得解.

【解答過程】因?yàn)槿源?n,\BC\=Zu,

所以相鄰兩對(duì)稱軸間的距離；+n=即周期T=3TT,所以3=?二：

2231r3

排除BD,

當(dāng)《二0時(shí)，代入f(x)=2sinGx+W),可得/(O)=V5>1,滿足題意，

代入/(%)=畔sin(|x+*可得/(O)=第x"=1,不符合題意，

因?yàn)?x70%=4.2,則70%分位數(shù)為第5個(gè)，即為16.7,

所以這6年我國社會(huì)物流總費(fèi)用的70%分位數(shù)為16.7萬億元，故B正確;

由圖表可知，2017?2022這6年我國社會(huì)物流總費(fèi)用與GDP的比率的極差為14.8%-14.6%=0.2%,故C

正確；

由圖表可知，2022年我國的GDP為17.8+14.7%v121.1萬億元，故D錯(cuò)誤.

故選:BC.

10.（5分）（2023?云南大理?統(tǒng)考一模）如圖，正方體力的棱長為1,則下列四個(gè)命題正

確的是（）

A.正方體48。。一力出。也的內(nèi)切球的半徑為苧

B.兩條異面直線D1C和所成的角為;

C.直線8c與平面力8。1。1所成的角等于m

D.點(diǎn)。到面力CD1的距離為產(chǎn)

【解題思路】根據(jù)正方體和內(nèi)切球的幾何結(jié)構(gòu)特征，可判定A錯(cuò)誤；連接AC,CD］，把異面直線2c和8cl所

成的角的大小即為直線D】C和力為所成的角，△AC/為正三角形，可判定B正確；證得平面ABC］。］，

進(jìn)而求得直線3C與平面RBCiDi所成的角，可判定C正確；結(jié)合等體積法，得到匕-.5=%LACD，進(jìn)而可

判定D錯(cuò)誤.

【解答過程】對(duì)于A中，正方儂48CO-4181cl5的內(nèi)切球的半徑即為正方體ABC。-4181Goi的校長的

一半，所以內(nèi)切球的半徑R=/所以A錯(cuò)誤.

對(duì)于B中，如圖所示,連接AC,CDi，

因?yàn)?V/G5且力8=QOi，則囚邊形48。1么為平行四邊形，所以8cl〃力。1，

所以異面直線DQ和8G所成的角的大小即為直線D￡和4劣所成的角乙的大小，

又因?yàn)?=。停=或，則△4CD1為正三角形，即4401。=￡所以B正確；

對(duì)于C中，如圖所示，連接在正方形881GC中，BC1J.BC

因?yàn)?IBJL平面B81GC,當(dāng)。（=平面881。1。，所以A8J.B1C.

又因?yàn)?18n8G=B,zlBu平面486。1，BQu平面48GD1，

所以當(dāng)。_L平面48G5，所以直線8C與平面48。也所成的角為乙C8G=力

所以C正確；

對(duì)于D中，如圖所示，設(shè)點(diǎn)。到面AC。1的距離為九，因?yàn)椤?CD1為正三角形，

所以SgcDi=：X4。x皿sing二景

又因?yàn)镾-CD=^xADxCD=l，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換可知：VD_ACD1=VD1_ACD,

即"/IXSMCA="DDIXSMCD，即"/1'：="”，解得/1=￡所以D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.（5分）（2023?廣西玉林?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知宜線x+y=O與圓M:%2+（y—2）2=r2相切，則下列

說法正確的是（）.

A.過（0,5）作圓M的切線，切線長為迎

B.圓歷上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線％-y+3=0的距離為日

C.若點(diǎn)（匕y）在圓M上，則的最大值是2+國

D.圓(％-3)2+(y-3/=2與圓M的公共弦所在直線的方程為3x+y-7=0

【解題思路】對(duì)于A：根據(jù)題意可得圓心和半徑，結(jié)合切線性質(zhì)分析求解：對(duì)于B：根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到

直線的距離分析求解；對(duì)于C：設(shè)“4=匕分析可知直線+2k=0與圓M有公共點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)到直線

的距離分析求解；對(duì)于D：根據(jù)兩圓方程判斷兩圓的位置關(guān)系即可.

【解答過程】圓M:/+(y—2)2=丁2的圓心M(O,2),半徑為r,

若直線x+y=0與圓+(y-2)2=丁2相切，則丁=套=應(yīng).

對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)辄c(diǎn)4(0,5)到圓心時(shí)(0,2)的距離|“*=3>魚=丁，

可知點(diǎn)A在圓外，所以切線長為J|M川2-N=近,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閳A心M(0,2)到直線x-y+3=。的距離為d=甯=^=1r,

所以圓M上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線％-y+3=0的距離為號(hào)，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槿酎c(diǎn)(x,y)在圓歷上，則一四WxwVL可知％+2=0,

設(shè)上=M則kx-y+2k=0,

x+2J

可知直線kx-y+2k=0與圓M有公共點(diǎn)，則展學(xué)工企，解得2-遮工〃32+國，

vk2+l

所以吃的最大值是2+遮，故C正確；

x+2

對(duì)于選項(xiàng)D：圓(％—3)2+(y—3)2=2的圓心N(3,3),半徑R=魚,

則|MN|=J(3—0產(chǎn)+(3-2尸=g,可得|MN|>R+r,

所以兩圓外離，沒有公共弦，故D錯(cuò)誤：

故選：ABC.

12.(5分)(2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(%)=。眇+加-*+5,既有極大值點(diǎn)又有極小值點(diǎn),

則()

A.QCV0B.be<0C.a(b+c)<0D.c2+4ab>0

【解題思路】根據(jù)極值定義，求導(dǎo)整理方程，結(jié)合一元方程方程的性質(zhì)，可得答案.

x

【解答過程】由題知方程(。)=ae*-be-+c=竺子型=0,

ae"+ce*—b=0有兩不等實(shí)根11，x2,

令「=眇，￡>0,則方程+或一b=0有兩個(gè)不等正實(shí)根ti，J，

aH0

。(

A=2+4ab>oc2+4ab>0

ti+12=-2>0，ac<0，

ab<0

(￡也=一￡>0

七S4產(chǎn)乙2”一記故ACD正確,B錯(cuò)誤.

（,a（D+c）=ab+ac<0

故選:ACD.

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之.”圍棋，起源于中

國，至今已有四千多年歷史，蘊(yùn)含著中華文化的豐富內(nèi)涵.現(xiàn)從3名男生和2名女生中任選3人參加圍棋

比賽，則所選3人中至多有1名女生的概率為:

10

【解題思路】利用組合的知識(shí)結(jié)合古典概型的概率公式可解?.

【解答過程】從5人中任選3人，一共有量種選法.

所選3人中至多有1名女生的情況有以下兩種：3人全都是男生，有髭種選法；3人中有2名男生1名女生，

有鬃G種選法.則所選3人中至多有I名女生的概率P=型奢=白，

Ls10

故答案為：看.

14.（5分）（2023?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知Q>0,b>0,且滿足Q+28=3,則用+察產(chǎn)的最

2a2o+1

小值為Z.

【解題思路】根據(jù)基本不等式即可求解.

【解答過程】由于Q>0,b>0,所以

a24-42b2+b+2a2(2b+l)b+2a2121

------1-----------:—=7；H-----1-----------；-----=-H----1--(2b4-1)+-——

2a2b+12a2b+12a2k2b+12

>2lax-+2I-(2b+1)x-^--1=4--=-,

72a72b+l222

a_2

當(dāng)且僅當(dāng)115一12，即。=2,b時(shí)等號(hào)成立.

2+1）=高2

\22b+l

故答案為:[

15.（5分）（2023?四川甘孜?統(tǒng)考一模）設(shè)尸青）為/⑺的導(dǎo)函數(shù),若=則曲線y=/（x）

在點(diǎn)（1/（1））處的切線方程為ez—y-e=0.

【解題思路】對(duì)?原函數(shù)求導(dǎo)并求得/''(1)=e,再由導(dǎo)數(shù)幾何意義寫出切線方程.

【解答過程】由題設(shè)/'(*)=(%+1)$一。(1),則((l)=2e-/(l)=/(l)=e,

所以/'(%)=x(e*—e),則/'(1)=0,

綜上，點(diǎn)處的切線方程為y=e(x-l),OPex-y-e=0.

故答案為：ex-y-e=O.

16.(5分)(2023上?四川成都?高三?？茧A段練習(xí))在三棱錐S-48C中，^BAC=3^SCA=90。，SA1AB,

SB=A，AB=3,則三棱錐S-ABC外接球的體積為經(jīng)n.

【解題思路】找到外接球的球心，計(jì)算出外接球的半徑，從而求得外接球的體積.

【解答過程】依題意43154,力81力。,5月門4。=4,54月。(=平面54。，所以481平面S4C,

由于A9u平面ABC,所以平面48cl平面SAC.

設(shè)D,E分別是BC,4C的中點(diǎn)，則DE〃71B,所以。E工平面54c.

設(shè)/是三角形S4c的外心，SA=713^9=2,

由正弦定理得兄4=3x；=2,

sin30°2

過廣作FO1平面S4C,過。作0。1平面力BC,FOC\DO=0,連接E凡

EFc^SAC,則DE1EF,所以四邊形。OEF是矩形，

則。是三棱錐S-218c外接球的球心.

由于4F「平面S4C,月f以0F_L4廣，

在。中，AF=2,0F=

Rtzk/IFOF=-2,

所以。4=[4+1=1，也即三棱錐S—ABC外接球的半徑為

yj422

所以外接球的體枳為Fx=等

故答案為：

-y6-TT.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）（2023?上海奉賢?統(tǒng)考一模）在△/18C中，設(shè)角力、B、。所對(duì)邊的邊長分別為a、b、c,已知

75c=y/3bcosA+asinF.

（1）求角8的大??；

（2）當(dāng)Q=2&,b=26時(shí)，求邊長c和ZiABC的面積S.

【解題思路】（1）借助正弦定理將邊化為角，結(jié)合C=H-（A+8）及兩角和的正弦公式計(jì)算化簡即可得;

（2）根據(jù)正弦定理即可計(jì)算出4結(jié)合8可求出C,再試用正弦定理即可得到c,再使用面積公式即可得到

面積.

【解答過程】（1）由正弦定理得x/JsinC=V^sinBcosA+sinAsinB,

由于C=7i—（A+8）,則VJsin（A+8）=\[3s\nBcosA+sinAsinB,

展開得V5sinAcosB+百sin8cos4=百sin8cos4+sinAsinB,

化簡得75cos8=sinB,

則⑶[6=V3>

所以8=三

J

（2）由正弦定理，得第=^1=$,即有sin4=f,

sinjsinAsinC2

因?yàn)镼Vb,所以A是銳角，即力=；,

4

因?yàn)?+C=g,

所以C=需，

c=交^xsinC=4（sin-cos-+sin-cos-）=4x恒W?=遍+及，

所以S&A8c="QbsinC=-x2A/3X2A/2X（sin-cos-+sin-cos

22\6446/

=2A/6X^=3+V3.

4

18.（12分）（2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛?。那皫醉?xiàng)和為，，且滿足2醫(yī)=an+l,neN\

⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛九｝滿足與=冊(cè)+」一，求數(shù)列｛5｝的前九和

即心+1

【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式求出首項(xiàng)，得出當(dāng)〃工2時(shí)，+和國=：（5+1）2相

減并化簡可得an-an-i=2,即可求得答案:

（2）利用（1）的結(jié)果可得bn=%1+'一的表達(dá)式，利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式以及裂項(xiàng)法求和，即

可求得答案.

【解答過程】（1）由2周=冊(cè)+1得Sn=；（Qn+l）2,則為=：（%+1尸，解得%=1,

當(dāng)KN2時(shí),Sn-1=；（如-1+1）2，所以處1=Sn-Sn.1=；（即+1）2-］（即-1+1）2，

整理得（Q”-an-i）（an+a?_i）=2（an+。1）,

因?yàn)椋麅?cè)｝是正項(xiàng)數(shù)列，所以冊(cè)+?！?1＞。，所以時(shí)-冊(cè)-1=2,

所以｛aj是首項(xiàng)為I，公差為2的等差數(shù)列，

所以冊(cè)=1+2（n-1）=2n-1,nGN*.

（2）由（1）可得，5=2九一1,

所以%=的+缶=2n-1+0時(shí);（2〃+］）=2刀_1+票7

所以（:’《十;—）+G—q+q—：+???+表—慫）

19.（12分）（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前已被廣大消費(fèi)者

所接受.針對(duì)這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨金額穩(wěn)步提升，以下是該公司2023

年前5個(gè)月的帶貨金額：

月份X12345

帶貨金額y/萬元350440580700880

（1）計(jì)算變量幻y的相關(guān)系數(shù)r（結(jié)果精確到0.01）.

（2）求變量，y之間的線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)測(cè)2023年7月份該公司的直播帶貨金額.

（3）該公司隨機(jī)抽取55人進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下不完整的列聯(lián)表：

參加過直播帶貨未參加過直播帶貨總計(jì)

女性2530

男性10

總計(jì)

請(qǐng)?zhí)顚懮媳?，并判斷是否?0%的把握認(rèn)為參加直播帶貨與性別有關(guān).

參考數(shù)據(jù)：y=590,Sf=i(陽一x)2=10,重i=(%一刃2=176400,

￡；=1(勺一x)(yi-y)=1320,V441000?664.

2鼠區(qū)-7（%-刃，線性回歸方程的斜率5=西（項(xiàng)_君（乂_歷

參考公式：相關(guān)系數(shù)r二，截距a=歹一版.

J2Mg一盼2/2匕（7「用2%（勺問2

附：依=（3鬻江…，其中…+b+c+d.

P(K2>ko)0.150.100.050.025

ko2.0722.7063.8415.024

【解題思路】（1）直接代入求相關(guān)系數(shù)即可；

（2）根據(jù)線性回歸方程求解回歸方程即可;

（3）零假設(shè)之后計(jì)算K2,再比較大小判斷零假設(shè)是否成立即可.

［解答過程］（1）丁=Z：=1a—；（y「刃==

?;13201320?0.99

k；=1（々-乃2卜；=15-7）2>/10xV1764002XV441000

(2)因?yàn)?=gx(1+2+3+4+5)=3,9=590,￡；=i(勺—君？=10,￡乙(Xj—x)(yi-y)=1320,

所以［畸等=鬻=3.=590-132x3=194,

所以變量，y之間的線性回歸方程為夕=132%+194,

當(dāng)才=7時(shí)，y=132x7+194=1118(萬元).

所以預(yù)測(cè)2023年7月份該公司的直播帶貨金額為1118萬元.

（3）補(bǔ)全完整的列聯(lián)表如下,

參加過直播帶貨未參加過直播帶貨總計(jì)

女性25530

男性151025

總計(jì)401555

零假設(shè)%:參加直播帶貨與性別無關(guān),

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到X==3.743>2,706=如,

根據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)我們推斷/不成立，即參加直播帶貨與性別有關(guān)，該判斷犯錯(cuò)誤的概率

不超過10%.

20.（12分）（2023?上海奉賢?統(tǒng)考一模）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉嚅.如

圖，己知四面體。一48。中，PAL^-^ABC,PA=BC=1.

B

（1）若48=1,PC=y[3,求證：四面體P-ABC是鱉脯，并求該四面體的體積；

（2）若四面體P-力BC是鱉膈，當(dāng)4C=a（a>l）時(shí)，求二面角的平面角的大小.

【解題思路】（1）借助線面垂直證明面面垂直，結(jié)合題目所給長度，運(yùn)用勾股定理證明四面全為直角三角

形即可，體積借助體枳公式計(jì)算即可得；

（2）根據(jù)題意，會(huì)出現(xiàn)兩種情況，即448c=1或4ACB=攝分類討論計(jì)算即可得.

【解答過程】（1）?.?P41平面力BC,AB、力Cu平面力BC,

:.PALAByPA1AC,

.??△24C、△PAB為直角三角形，

在直角△PAC中，MC|=yJ\PC\2-\PA\2=V2,

在直角aPAB中，\PB\=>JPA2+PB2=x/2,

???在△ABC中，有14cl2=|AB『+|8C|2,

.'.ABIBC,故△ABC為直角三角形，

在APBC中,有|PP|2=|PB|2+|8C|2,

故PBA.BC,故APBC為直角三角形,

故四面體P-4BC四個(gè)面都是直拜三角形，即四面體P-48。是鱉嚅，

VP-ABC=^ABC-\PA\=^X^X\X1X1=^

⑵???P4J_平面BCu平面48C,

PA1.BC,

由71c=cz>1=AB,

故力C不可能是直角,

若乙48C=三，則有4B1BC,

又PAJL8C,PA.48<=平面「力8,PAQAB=>4,

故8cl平面P4B,又P8u平面P/8,

故BC1P8,

二/4BP是二面角4-BC-P的平而角，

vAC=a,BC=1,.%AB=Va2—1?：tanZ-PBA=-7==,

?va2-l

所以二面角4-BC-P的平面角的大小為arctan等.

Q2-1

若"C8=p

同理可得乙ACP是二面角A-BC-P的平面角，

所以tanZJlCP=—=

ACa

所以二面角的平面角的大小為arctan，

綜上所述，二面角力-BC-P的平面角的大小為arctan與?或arctan之

21.（12分）（2023?吉林長春?東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線E：y2=2Px（p>0）

的焦點(diǎn)為F,E的準(zhǔn)線交匯軸;點(diǎn)K,過K的直線/與拋物線E相切于點(diǎn)A,且交、軸正半軸「點(diǎn)P.己知

的面積為2.

（1）求拋物線后的方程；

（2）過點(diǎn)尸的直線交￡于知，N兩點(diǎn)，過M且平行于），軸的直線與線段OA交于點(diǎn)。點(diǎn)”滿足祈=用.證

明：直線HN過定點(diǎn).

【解題思路】（1）根據(jù)題意假設(shè)得直線/：x=my-^聯(lián)立拋物線方程求得，A《，P），再利用三角形面

積即可求得p=2,由此得解；

（2）根據(jù)題意設(shè)得MN：y=kx+1,聯(lián)立拋物線方程求得力+乃=%丫2=一再依次求得7,"的坐標(biāo)，

從而求得直線HN的方程，化簡可得"N為y=2士\由此得證.

x2~xl

【解答過程】（1）由題可知,廣層0），準(zhǔn)線％=一口K（-1,0）,

因?yàn)橹本€/的斜率存在且不為0,所以設(shè)/：x=my-^

（y2=2px?/

聯(lián)立1%=my_2，消去x,得y?一2pmy+/=o,

因?yàn)?與七相切，所以A=422(7九2-1)=0,所以7n=1或m=-1,

因?yàn)榻粂軸正半軸于點(diǎn)產(chǎn)，所以m=l,

因此y2—2py+p2=0,解得y=p,所以4&p),

故WFJLKF,所以SM"=：p2=2,所以p=2(負(fù)值舍去)，

所以拋物線E的方程為y2=4x.

(2)由(1)知4(1,2),又I：y=x+l,所以P(0,l)，

如圖所示：

因?yàn)檫^點(diǎn)P的直線交石于M,N兩點(diǎn)、,所以MN斜率存在