2024.2025學(xué)年重慶市育才中學(xué)教育集團(tuán)九年級(jí)（下）第二次自主作業(yè)

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.下列各數(shù)是無理數(shù)的是（）

A.：B.-7C.7FD.0.3

2.下面四個(gè)手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中，屬于中心對(duì)稱圖形的是（）

2

3.反比例函數(shù)〃=一*的圖象位于（）

X

A.第一，第三象限B.第一，第四象限C.第二，第三象限D(zhuǎn).第二，第四象限

4.估計(jì)（6《一，m）+e的值在（）

A.0和I之間B.1和2之間C.2和3之間D.3和4之間

5.下列調(diào)查中，最適合采用全面調(diào)查（普查）的是（）

A.對(duì)我市中學(xué)生每周課外閱讀時(shí)間情況的調(diào)查

B,對(duì)我國(guó)首艘電磁彈射航空母艦福建艦各零部件質(zhì)量情況的調(diào)查

C.對(duì)我市中學(xué)生觀看電影《哪吒之魔童鬧?！非闆r的調(diào)查

D.對(duì)我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)情況的調(diào)查

6.如圖，△43C與△OER是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，若與ADEF

的周長(zhǎng)比為2：3,則044。的道是（）

A.4：9

B.3：1

C.2：1

D.2：3

7.用圓按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有5個(gè)圓，第②個(gè)圖案中有7個(gè)圓，第③個(gè)圖案中有9

個(gè)圓，…，按此規(guī)律，第12個(gè)圖案中圓的個(gè)數(shù)是（）

第1頁，共37頁

oooooooooooooo

oooooooooooooooooo

(D②③④

A.23B.25C.27D.29

8.如圖，在△43。中，N3=30°，點(diǎn)。是邊44上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心,

以04為半徑作圓，0。恰好與〃。相切于點(diǎn)。，連接AD若力。平分NC4B

BD=瓜,則線段力。的長(zhǎng)是（）

A.2

B.瓜

9.如圖，在正方形力8C。中，E為邊AD上一點(diǎn),連接8E,在SE右側(cè)作

滿足N8FE=90°，BF=EF,連接OF.若乙=Q,則NDFE的度數(shù)為（）

A.3a

B.45°+Q

C.60°-Q

D.90°-2。

a

10.已知整式A/=Q?4+①3+G2/++Q0,且Q（）,Q】，。2,Q：3,。4均為正整數(shù),其中Q（）、。1、2

是三個(gè)連續(xù)增大的偶數(shù)；。3、Q4是兩個(gè)連續(xù)增大的奇數(shù).若Q0+QI+Q?2=Q3+QJ，則下列說法：

①若。3=5,①=—1時(shí)，則整式A/的值為6；

②若Q】是4的倍數(shù)，則M最高次項(xiàng)的系數(shù)被6整除余1；

③若。3<40,則滿足條件的整式"共有6個(gè).

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.IC.2D.3

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。

11.計(jì)算：（e一1）°一2-1=_____.

12.小慶有兩頂帽子，分別為紅色和黑色；有三條圍巾，分別為紅色，黑色和白色.他隨機(jī)拿出一頂帽子和一

條圍巾戴上，恰好都是紅色的概率是

13.如圖.在矩形力叱。中.點(diǎn)E為"t中點(diǎn)?點(diǎn)"為”?延長(zhǎng)線卜一點(diǎn).

第2頁，共37頁

連接。F,連接力/交。于點(diǎn)G,連接EG并延長(zhǎng)，交。F于點(diǎn)兒連接C7/.若43=3,A0=4,CF=2,

則C”的長(zhǎng)為______.

14.某市2025年1月5G手機(jī)用戶數(shù)量為20萬，同年3月5G用戶數(shù)量增長(zhǎng)至24.2萬，設(shè)2、3月份用戶數(shù)

量的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，可列方程為—

15.如圖，△ABC內(nèi)接于半徑為氈的。O,BD1AC于點(diǎn)。，延長(zhǎng)8。交。O

3

于點(diǎn)E,M為的中點(diǎn)，連接0M交4C于點(diǎn)尸，若4C=8，ZC=60%

48〉28C則OE=,OF=_____.

16.如果一個(gè)四位自然數(shù)出力的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0,滿足力+7=》+10,那么稱這個(gè)

四位數(shù)為“十全數(shù)”.例如:四位數(shù)7923,?.?79+23=92+10,「.7923是“十全數(shù)”；又如：四位數(shù)3418,

V34+18^41+10,3418不是“十全數(shù)”.若一個(gè)“十全數(shù)”為。應(yīng)?，則這個(gè)數(shù)為；若一個(gè)“十

全數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)。晟與后三位數(shù)字組成的三位數(shù)昭d的和被9除余1,則所有滿足條件的

“十全數(shù)”之和是.

三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題8分）

5a:-1>3（a:+1）

解不等式組：1?,1.

-x—14—-X

23

18.（木小題8分）

先化簡(jiǎn)，再求值：m-其中6滿足：Tn2-m-l=（）.

19.（木小題10分）

在學(xué)習(xí)了矩形，菱形和正方形的相關(guān)知識(shí)后，某數(shù)學(xué)小組進(jìn)行了更深入的研究.他們發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形一

條對(duì)角線的中點(diǎn)作一邊的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點(diǎn)和另?條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是

平行四邊形，可利用證明三角形全等得到此結(jié)論.根據(jù)他們的想法與思路，完成以下作圖和填空：

第3頁，共37頁

根據(jù)以上信息，解答下列問題:

(1)填空：a=，m=,n=；

(2)科技社和文藝社中，哪個(gè)社團(tuán)更受學(xué)生歡迎？請(qǐng)說明理由(寫出一條理由即可)；

(3)本學(xué)期有5()0名學(xué)生參加了科技社，請(qǐng)估計(jì)其中對(duì)科技社“比較滿意”(80<z<90)的人數(shù).

科技社的20份評(píng)分扇形統(tǒng)計(jì)圖

21.(本小題10分)

某市為推進(jìn)綠色出行體系建設(shè)，擬對(duì)現(xiàn)有新能源汽車充電設(shè)施讓行擴(kuò)建改造.該工程由甲，乙兩家電力工程

公司共同承擔(dān)施工任務(wù).已知若由甲公司獨(dú)立施工，完成全部工程需要30個(gè)工作日；若采用乙公司先行施工

10個(gè)工作日，剩余工程由甲乙兩公司聯(lián)合施工20個(gè)工作日的方式，亦可完成全部工程.

(1)求乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)充電站擴(kuò)建工程需要多少個(gè)工作日？

(2)現(xiàn)工程預(yù)算為不超過60萬元，已知甲公司施工費(fèi)用為每口L5萬元，乙公司施工費(fèi)用為每口1萬元.若采

用乙公司先獨(dú)立施工若干工作日后，再由甲乙兩公司聯(lián)合施工的方式完成工程，則甲公司至少需要參與施

工多少個(gè)工作日？

22.(本小題10分)

如圖1,在菱形48。中，對(duì)角線4C與8。交于點(diǎn)。，BD=i2,47=16,點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，連接

OE,動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)力出發(fā)，沿力T0運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)4由發(fā)，沿—0運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P,。的運(yùn)

動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)。時(shí)，P，0兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接。P,OE,OQ.設(shè)運(yùn)動(dòng)

的時(shí)間為戈秒，記ABOQ的面積為為，/XPOE的面積與動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間之比為於?

第5頁，共37頁

(1)請(qǐng)直接寫出幼，生分別關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量X的取值范圍；

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)陰，V2的圖象：請(qǐng)寫出函數(shù)力的一條性質(zhì)；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出協(xié)〉沙2時(shí)X的取值范圍.(近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過0.2)

23.(本小題1()分)

周末小明和小亮準(zhǔn)備去公園景點(diǎn)。放風(fēng)箏.如圖，A,B,C,。為同一平面內(nèi)的四個(gè)景點(diǎn).已知景點(diǎn)4位于景

點(diǎn)4的正北方向500米處，景點(diǎn)。位于景點(diǎn)力的北偏東30°方向，景點(diǎn)力位于景點(diǎn)4的北偏東60°方向，景

點(diǎn)C位于景點(diǎn)B的東北方向，景點(diǎn)。位于景點(diǎn)D的正北方向.

(參考數(shù)據(jù)：72%1,4b乃y1.73，2.45)

(1)求景點(diǎn)C到景點(diǎn)。的距離(結(jié)果保留根號(hào))；

⑵小明選擇路線4-BtC以IGn/s的速度前往景點(diǎn)C處，小亮選擇路線4。一。以ISm/s的速

度Eif往景點(diǎn)C處.已知兩人同時(shí)出發(fā)且勻速前進(jìn)，請(qǐng)通過計(jì)算說明誰先到達(dá)景點(diǎn)。(結(jié)果保留整數(shù)).

第6頁，共37頁

24.(本小題1()分)

如圖，已知拋物線y=a/+歷；+4(0網(wǎng))與x軸交于點(diǎn)4(一4,0),8(2,0),與y軸交于點(diǎn)C,連接NC,BC.

(1)求該拋物線解析式：

(2)如圖1,點(diǎn)P是直線力。上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PDL4C于。，點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE,

當(dāng)PO+/。有最大值時(shí)，求PE+的最小值；

(3)如圖2,在8c上取一點(diǎn)。，連接O。，使NQOC+NQCO=45。，將拋物線沿射線。。方向平移

個(gè)單位得到新拋物線J,點(diǎn)M為新拋物線/上對(duì)稱軸右側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)，過M作MN[IAC交直線BC于點(diǎn)N,

連接"4,當(dāng)N3A/N=N0C3時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)〃的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)心坐標(biāo)的其中一

種情況的過程.

25.(本小題10分)

在RtAABC中，/_BAC=90°?NAC3=60°，點(diǎn)。為線段6c上動(dòng)點(diǎn)，連接力。，將力。繞點(diǎn)力順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)120°到小區(qū)連接。石.

第7頁，共37頁

(1)如圖1,若N4OC=3N34。，且AC=2,求OE的長(zhǎng)；

(2)如圖2,EG18C交力8于點(diǎn)G,用等式表示線段8。，力G之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,點(diǎn)尸為。七中點(diǎn)，連接3,將△4FE繞點(diǎn)力旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)少的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P,點(diǎn)￡的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為0,

直線。Q與直線3。交于點(diǎn)7,若AC=2,則當(dāng)OE取得最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)7到直線C戶距離的最大

值.

第8頁，共37頁

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：［0.3是分?jǐn)?shù)，一2是整數(shù)，它們不是無理數(shù)；

加是無限不循環(huán)小數(shù)，它是無理數(shù).

故選：C.

無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

本題考查無理數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】B

【解析】解：選項(xiàng)力、C、。都不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所

以不是中心對(duì)稱圖形，

選項(xiàng)6能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以是中心對(duì)稱圖形.

故選：B.

根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義(在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與另一個(gè)圖形重合,

那么這兩個(gè)圖形互為中心對(duì)稱圖形)逐項(xiàng)判斷即可得.

本題考查的是中心對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)18()度后與自身重合.

3.【答案】D

【解析】解：?.?一2<0,

2

.?.反比例函數(shù)？/=一±的圖象位于第二，第四象限，

X

故選：D.

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論，

本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4【答案】D

【解析】解：原式=66+遍一，區(qū)+8

=6—衣?

V2<>/6<3?

-2>-\/6>-3，

.?.6-2〉6-代〉6-3，

4>6->3?

第9頁，共37頁

/.(6禽-+H的值在3和4之間，

故選：D.

先根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則和二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算，如何估算痣的大小，再估算計(jì)算結(jié)果的大

小即可.

本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算和無理數(shù)的估算，解題關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則和二次

根式的除法法則.

5.【答案】B

【解析】解：力、對(duì)我市中學(xué)生每周課外閱讀時(shí)間情況的調(diào)查，最適合采用抽樣調(diào)查，故力不符合題意：

8、對(duì)我國(guó)首艘電磁彈射航空母艦福建艦各零部件質(zhì)量情況的調(diào)查，最適合采用全面調(diào)查，故8符合題意；

C、對(duì)我市中學(xué)生觀看電影《哪吒之魔童.鬧?！非闆r的調(diào)查，最適合采用抽樣調(diào)查，故。不符合題意；

。、對(duì)我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)情況的調(diào)查，最適合采用抽樣調(diào)查，故。不符合題意；

故選：B.

根據(jù)全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的特點(diǎn)，逐一判斷即可解答.

本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，熟練掌握全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】C

【解析】解：???△48。與△〃￡產(chǎn)是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，與△。召F的周長(zhǎng)比為2：3,

AB//DE,△工3cs△OEF,且相似比為2：3,

△408s△OOE,

0AAB_2

‘歷=礪=3'

0A-AD=2：1?

故選:C.

根據(jù)位似圖形的概念得到A3〃OE,AABCSADEF，得到/XA。3s/XOOE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

計(jì)算即可.

本跑考查的是位似變換，掌握位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】C

【解析】解：由所給圖形可知，

第①個(gè)圖案中圓的個(gè)數(shù)為5=1x2+3；

第②個(gè)圖案中圓的個(gè)數(shù)為7=2x2+3：

第③個(gè)圖案中圓的個(gè)數(shù)為9=3x2+3：

第10頁，共37頁

所以第〃個(gè)圖案中圓的個(gè)數(shù)為(2〃+3)個(gè).

當(dāng)71=12時(shí)，

2n+3=2x12+3=27(個(gè))，

即第12個(gè)圖案中圓的個(gè)數(shù)為27個(gè).

故選：C.

根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中圓的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)圓的個(gè)數(shù)依次增加2是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】C

【解析】解：連接OQ，

與8C相切于點(diǎn)。，

."00=90。，

?：0D=0A^

：.LOAD=LODA,

?「LOAD=LCAD,

：.ACAD=NOO4

01)//AC,

：,LC=90°，

?/ZB=30°，

ZCAD=ZBAD=30°

：,AB=/.BAD^

AD=BD=>/3?

AC=AD-cos/.CAD=禽x苧=，

故答案為：C.

連接O。，根據(jù)切線的性質(zhì)得到N〃OO=90。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NC=90°,在RtAAOC中由

第11頁，共37頁

40=4可得出答案.

本題考查的是切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)的定義，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的

半徑是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】D

【解析】解：過點(diǎn)尸作的延長(zhǎng)線交力。于點(diǎn)N,FHLCD于點(diǎn)片如圖所示：

.?四邊形48CQ是正方形，

\AB=BC=CD=AL)fZABC=ZC=/.CDA=90°，AD//BC,

.?FMLBC>

-.FN14O，

?.四邊形48MM四邊形MC"凡四邊形"7QV都是矩形，

?,MN=AB=BC,CM=FH=DNrNBMF=NFNE=90°，

?.AFBM+ABFM=90。，

.-ZBFE=90°,BF=EF,

■.ZXF3E是等腰直角三角形，ABFM+2EFN=90°,

?.ZFBE=45%2FBM=2EFN，

/.ABE=a,

"FBM=/ABC-ZFBE-/ABE=80°-45°-a=45°-a，

在Z\F3A/和AEFN中,

ZBA/F=ZFNE=90°

<NFBM=4EFN

BF=EF

小FBA3^EFN(AAS),

BM=FN，F(xiàn)M=EN，NFBM=NEFN=45°—a，

?;BM=BC-CM,FN=MN-FM=BC-FM,

：.BC-CM=BC-FM,

第12頁，共37頁

CM=FM^

二.矩形是正方形，

FM=FH=DN,

：.DN=EN，

又FNLW，

FN是線段ED的垂直平分線，

FE=FD,

：.￡EFN=LDFN=W—n,

:"DFE=乙EFN+2DFN=90°-2a.

故選：D.

過點(diǎn)/作FM13C，"的延長(zhǎng)線交NO于點(diǎn)MFH1CO于點(diǎn)〃，證明NFBA/=NEFN.

AFBM=45°-a.由此可證明和AEFN全等，則8M=FN,FM=EN，

ZFBM=NEFN=45°—Q,進(jìn)而得CM=FA/,則矩形MCH/是正方形，則FM=FH=DN=EN,

繼而得/EFN=2DFN=45°-Q，據(jù)此可得出NOFE的度數(shù).

此題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，理解正方形的性質(zhì)，

等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定是解決問題的關(guān)鍵.

10.【答案】D

【解析】解：①?.?@3、〃4是兩個(gè)連續(xù)增大的奇數(shù)，a3-5,

.?.。4=7,

,.,。0、。1、。2是三個(gè)連續(xù)增大的偶數(shù)，QO+Q1+Q2=Q3+Q|，

。()=2,Q]=4,Q,2—6,

2

?/M=a"+?3d+a2^++Oo,①=一1，

...M=7x(-1)4+5x(-1)3+6x(-l)2+4X(-1)4-2

=7-5+6—4+2

=6，

.?.①的說法正確；

②?.?Q】是4的倍數(shù)，

.?.設(shè)。1=4幾，則“0=4”-2,G2=4n+2,

/.。3+Q4=12n,

第13頁，共37頁

???。3、。4是兩個(gè)連續(xù)增大的奇數(shù).

/.。3=6n-1,Q.1=6幾+1,

.?.M最高次項(xiàng)的系數(shù)為6n+1,被6整除余1.

.?.②的說法正確；

③由②知：a3=6n-1,

,/?3<40,

/.6n-1<40

41

n<--?

6

?.?刀為正整數(shù),

,,,7?.—1>2,3,4?5,6,

.-.?3=5,11,17,23,29,35,

.?.滿足條件的整式M共有6個(gè).

.?.③的說法正確.

二.正確的個(gè)數(shù)是3個(gè).

故選：D.

利用題意對(duì)每個(gè)結(jié)論進(jìn)行逐一判定即可.

本題主要考查了代數(shù)式求值，多項(xiàng)式的次數(shù)與系數(shù)，熟練掌握上述定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】上

【解析】解：原式=1一：=]

1

-

故答案為:2

先算零次幕和負(fù)整數(shù)指數(shù)累，再加減.

本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握零指數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義是解決本題的關(guān)鍵.

12.【答案】\

【解析】解：列表如下:

紅色黑色白色

紅色（紅色，紅色）（紅色，黑色）（紅色，白色）

黑色（黑色，紅色）（黑色，黑色）（黑色，白色）

第14頁，共37頁

共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好都是紅色的結(jié)果有1種，

二.恰好都是紅色的概率為

6

故答案為：!

6

列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及恰好都是紅色的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案.

本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵.

13.【答案】邈

2

【解析】解：過點(diǎn)C作CP//DF,交EH于點(diǎn)P,如圖所示：

?.?四邊形48。是矩形，且43=3，40=4，

BC=AD=4,CD=AB=3,AD//BC,/_BCD=/.FCD=90°?

?.?點(diǎn)、E為BC中點(diǎn),

：.BE=CE=^BC=2,

CF=2,

：.CE=CF=2,

'：CP//DF,

二.CP是的中位線，

FH=2CP，

?.?點(diǎn)尸為8C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

-：AD//CF,

?ADGS4CFG,

DG4。4c

：'CD=CF=2='

/.DG=2CG，

：.BC=DG+CG=3CG=3,

CG=b

第15頁，共37頁

DG=2CG=2，

CP//DF,

：.XCPGs叢DHG,

CPCG1

'DH=DG=2

：,DH=2CP，

：.FH=DH=2CP,

.?.點(diǎn)，是。尸的中點(diǎn),

CH是斜邊。尸上的中線，

CH=\DF,

在RtAFCO中，由勾股定理得：DF=\JCD2+CF2=^/324-22=

...CH=初=半

故答案為：”.

2

過點(diǎn)C作C77/OF,交EH于點(diǎn)P,證明。戶是的中位線得FH=2CP,證明△4OG和△CFG相

似得。G=2CG，進(jìn)而得CG=1，DG=2,再證明△CPG和△OHG相似得§[=第=:，則

UnDCr2

DH=2CP，由此得F〃=Z)//=2CP，則點(diǎn)〃是。廠的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得

CH=^DF,然后由勾股定理求出。尸=，叵即可得出的長(zhǎng).

此題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，理解矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的

中位線定理，勾股定理是解決問題的關(guān)鍵.

14.【答案】20(1+1)2=24.2

【解析】解：根據(jù)題意得：20(1+工產(chǎn)=24.2.

故答案為:20(1+02=24.2.

利用該市2025年3月5G手機(jī)用戶數(shù)量=該市2025年1月5G手機(jī)用戶數(shù)量X。+2、3月份用戶數(shù)量的月

平均增長(zhǎng)率產(chǎn)，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】生芻I

第16頁，共37頁

【解析】解：連接。4,OB,過點(diǎn)。作OGL45于點(diǎn)G,如圖I所示:

圖1

???LC=60°，

.?.LAOB=2ZC=120%

/OA=OB,OG1AB

...AG=BG=]-AB,ZAOG=々BOG=\^AOB=60°，

????O的半徑為也，

3

=。3=單，

O

在Rt△04G中，NOAG=90°-ZAOG=30°，

，OG=1/204==^，

AB=2AG=7，

?/8014。于點(diǎn)D,

:.'BCD,都是直角三角形，

設(shè)CD=Q，

VAC=8,

/.BD=8—。，

在RtABCO中，ZC=60%

LCBD=900-ZC=30°，

BC=2CD=2Q，

由勾股定理得：BD=/302一c02=J(2Q)2_Q2=4Q,

在Rt'Z”18O中，由勾股定理得：AB,2=AD2+BD2,

第17頁，共37頁

72=(8-a)24-(\/3a)2?

整理得：4a2-16a+15=()?

解得：a=a="

?/AB>2BC，

7〉4Q,

7

a<二，

4

.?.a=：不合題意，舍去，

在RtZ\4OE中，ZE=ZC=60。，

?YotEf

/.DE=AD*cotE=學(xué)xcot60°=

連接AM,EM,OA,()E,延長(zhǎng)A/O交力E于點(diǎn)”，如圖2所示:

圖2

?.?點(diǎn)M為弧48E的中點(diǎn),

根據(jù)垂徑定理得：A/HL4E，AH=EH=1/2AE,

：,^AHF,△49H都是直角三角形，

在RtZXAOE中，/E=6()°，

ADAE=90°-ZE=30%

力E=20E=2x￥=華，

63

AH=EH=^AE=

第18頁，共37頁

在RtZXAHF中，NZZ4E=30°，

：,AF=2HF^

由勾股定理得：AH=\/AF2-HF'2=y/(2HF)2-HF2=\/3HF,

瓜13，313

HF=——AH=-----X------------=—

o366

在RMO〃中，由勾股定理得:

139

/.OF=HF-OH=---=~.

0—J

故答案為：效巨；I

63

連接CM,OB,過點(diǎn)。作OGL43于點(diǎn)G,先求出N4OG=60°,在RtZ\O/lG中，根據(jù)含30度角的直角

三角形性質(zhì)得OG=型，AG=1則46=7,設(shè)CO=a,則5O=8-Q,在RtZXBCD中，根據(jù)含

62

QR

30度角的直角三角形性質(zhì)得BC=2a,BD=禽Q，然后在RtZL43O中，由勾股定理可求出a=怖或a=3,

再根據(jù)43〉23。得a則。=：不合題意舍去，當(dāng)Q=：，AD=8-a=^-,解RtZX/lOE即可得

4222

出DE的長(zhǎng)；連接AM,EM,OA,OE,延長(zhǎng)MO交AE于點(diǎn)H,根據(jù)垂徑定理得MHIAE^AH=EH=]-AE,

在RtZXAOE中，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)得力E=竺必，則AH=EH=竺?，在中，

36

由勾股定理得〃/=丫3/1"=竺，然后在火濟(jì)。”中，由勾股定理得。尸="進(jìn)而根據(jù)0E=HF-0H

362

即可得出OF的長(zhǎng).

此題主要考查了垂徑定理，含3()度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，熟練掌握含3()

度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

16.【答案】35279362

【解析】解：由“十全數(shù)”的含義得：(10a4-5)+27=524-10,

解得：a=3?

則這個(gè)數(shù)為3527；

由題意得：10Q+b+10c+d=108+c+10,即10a-93+9c+d=10,

100(z+106+c+1006+10c+d=100(z+1106+lie+d=9(Ua+126+c)+Q.+2b+2c+d上式被9除

余I,

則a+2b+2c+d=(a+b+c+d)+b+c被9除余1,

第19頁，共37頁

由題意q,b,c,d的和最大為取9+8+7+6=30,b,c的和最大為17,其和最小為1+2+3+4=10,

b,c的和最小為3,

則a+2b+2c+d最大為47,最小取13：

故a+2b+2c+d只能為19,28,37,46：

由：0Q-9b+9c+d=10得：9(1+b-c-Q)=Q+d-1,即a+d-1是9的倍數(shù)：

?「Med的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0,

34a+d<18>

24Q+d—1<17,

「.a+d—1=9,即a+d=10；由9(1+6—c-a)=Q+d-1得，6—c=a：

?.?a+2b+2c+d只能為19,28,37,46；

.,.2(b+c)只能為9,18,27,36；

?.?2(b+c)為偶數(shù)，

7.2(6+c)=18,36,即b+c=9,18；

但從c不相等，故其和不可能為18,

(I-I-C)

b二十顯然4只能為奇數(shù)；

當(dāng)〃取1,3,5,7,9時(shí),

ai3579

b56789

c43210

d97531

綜上，“十全數(shù)”為1549,7813,其和為9362；

故答案為：3527,9362.

根據(jù)“+全數(shù)”的意義即可求解；由題意得10。一9b+9c+d=10,9(UQ+126+C)+Q.+2b+2c+d,則

a+2/)+2c+d-(a+b+c+d)+b+c被9除余l(xiāng),確定出Q+2b+2c+d最大為47,最小取13,故

a+2〃+2c+d只能為19,28,37,46；由10a-加+9c+d=10得：9(1+b—c-Q)=a+d—1,確

定a+d-l是9的倍數(shù)，然后確定Q+d-l的取值范圍后得a+d=10,從而得b-c=a,b+c=9,

則消去C得b=審Q+9，然后就四個(gè)數(shù)的取值列表即可求解.

本題考查了新定義，整式的加減運(yùn)算等知識(shí)，理解新定義，正確進(jìn)行各種變形是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】2<z<6.

第20頁，共37頁

5x-1>3(1+1)①

【解析】解：41?，1小，

-X-1^4-不工②

解不等式①得，出〉2,

解不等式②得，￡《6,

「.原不等式組的解集為2〈丁46

先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集即可.

本題考查了解一元一次不等式組，能根據(jù)不等式的解集求出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵.

區(qū)【答案】解：原式=加一號(hào)嗎尹?二4

(m4-1尸rn-1

m

=m-------

m+1

_m2

7714-1,

,?/n2-m-1=0，

/.m2=m+1，

【解析】根據(jù)分式乘法法則和減法法則化簡(jiǎn)原式，再將已知方程變形為加2=[〃+1，最后代人求值便可.

本題主要考查分式乘法法則和減法法則，求代數(shù)式的值，考查了整體代入思想，關(guān)鍵是熟練掌握分式混合

運(yùn)算的順序和運(yùn)算法則，解題技巧是將已知方程變形，巧用整體代入思想可快速求值.

19.【答案】見解析；

^EAO=/.FCO>AO=C0>AE=CF^平行四邊形.

【解析】(1)解：圖形如圖所示：

/.AI3//CDfAB=CD.

.?.①/.EAO="CO，AAEO=/.CFO.

?.?點(diǎn)。是對(duì)角線/C的中點(diǎn)，

第21頁，共37頁

.?.②AO=co.

^CFO^^AEO(AAS).

.?.③AE=CF.

BE=DF.

又I3E//DF,

二.四邊形〃月。尸是④平行四邊形.

故答案為：NE4O=NR7O，AO=CO>AE=CF，平行四邊形.

(1)根據(jù)要求作出圖形；

(2)證明BE=DF，BE//DF可得結(jié)論.

本題考查作圖■基本作圖，全等三珀形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知

識(shí)解決問題.

20.【答案】15,87,97：

科技社更受學(xué)生歡迎，理由見解析(答案不唯一);

150人.

【解析】(1)文藝社的20份評(píng)分分?jǐn)?shù)中97分最多，有4個(gè)，所以眾數(shù)幾=97,

科技社的20份評(píng)分在D組的有20x45%=9,

則中位數(shù)為第10和第11個(gè)數(shù)據(jù)，科技社的20份評(píng)分在。組數(shù)據(jù)：82,84,84,86,86,88.

則按從小到大排列，第1()個(gè)數(shù)據(jù)為86,第11個(gè)數(shù)據(jù)為88,

財(cái)什產(chǎn)=87.

/.a%=1-10%-45%--=15%,

4u

。=15，

故答案為：15,87,97；

(2)科技社更受學(xué)生歡迎，理由如下：

科技社評(píng)分的中位數(shù)比文藝社的高，因此科技社更受學(xué)生歡迎(答案不唯一)；

(3)500x2=150(人)，

答：估計(jì)其中對(duì)科技社“比較滿意”(80</490)的人數(shù)有150人.

(1)根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)的定義求得〃?，〃，先求出科技社評(píng)分在。的百分比，即可求得。的值;

(2)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)分析，即可求解；

(3)用500分別乘評(píng)分化C組的占比，即可求解.

第22頁，共37頁

本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)以及用樣本估計(jì)總體，理解這些知識(shí)點(diǎn)的意義和計(jì)算方法是

解決問題的前提.

21.【答案】乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)充電站擴(kuò)建工程需要90個(gè)工作日；

甲公司至少需要參與施工20個(gè)工作日.

【解析】(1)設(shè)乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)充電站擴(kuò)建工程需要x個(gè)工作口，

由題意等：10x1+20(1+^)-1,

JC.rJU

解得：I=90，

經(jīng)檢驗(yàn)，N=90是原方程的解，且符合題意，

答：乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)充電站擴(kuò)建工程需要90個(gè)工作日；

(2)設(shè)乙公司獨(dú)立施工a個(gè)工作日，甲、乙合作b個(gè)工作日，

由題意得：5。+(擊+》=1，

整理得：Q,=90-4b①，

?.?現(xiàn)工程預(yù)算為不超過60萬元，

1x(a+b)+1.5bW60,

整理得：Q+2.53(60②，

把①代入②得：90-46+2.56<60,

解得：6^20,

答：甲公司至少需要參與施工20個(gè)工作日.

(1)設(shè)乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)充電站擴(kuò)建工程需要x個(gè)工作日，根據(jù)采用乙公司先行施工10個(gè)工作日，剩余

工程由甲乙兩公司聯(lián)合施工20個(gè)工作日的方式，亦可完成全部工程，列出分式方程，解方程即可；

(2)設(shè)乙公司獨(dú)立施工。個(gè)工作日，甲、乙合作人個(gè)工作日，根據(jù)采用乙公司先獨(dú)立施工若干工作日后，再

由甲乙兩公司聯(lián)合施工的方式完成工程，列出二元一次方程，整理得Q=90-4b,

再根據(jù)現(xiàn)工程預(yù)算為不超過60萬元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解決問題.

本胭主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出

分式方程：(2)找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

第23頁，共37頁

12

—x(0</45)，2

:9：y-2=—(0<工W10);

22.【答案】劭=1z7

--X+24(5<1w10)

5

函數(shù)圖象見解析，當(dāng)0<z<5,如隨x的增大而增大;

y\>沙2時(shí)x的取值范圍2.2</<5.5.

【解析】(1)二?四邊形力8CZ)是菱形，

ACLBD^AO=^AC=8?OB=^BD=6>

AB=y/AO2+BO'1=10?

?.?點(diǎn)E是48的中點(diǎn),

/.OE=；AB=5,

過。作于H,

八〃AOOB6x824

?()H=-------=-----=—,

AB105

圖1

ii9412

當(dāng)0〈①《5時(shí)，yi=-BQ-OH=-x—x=—x；

當(dāng)5<tW10時(shí)，如圖，

第24頁，共37頁

A

圖1

過B作3〃J_EQ,

BE=OE=\AB,

24

...BH=—

5f

112412

in—5OQ.BII-5(10一1)?kw———x+24,

乙/oo

12

—x(0</<5)

012：

(——x4-24(5<①(10)

*/AE=BE^OB=OD，

二.OE是△43。的中位線,

OE//AD,

94

.?.點(diǎn)P到OE的距離為F，

5

194194

/.ZXPOE的面積=-xOEx—=-x5x—=12,

/J/0

12

/.y-2=—(o</W10)；

X

(2)函數(shù)圖象如圖所示;

第25頁，共37頁

當(dāng)0<￡<5,如隨x的增大而增大；

(3)由圖象知，仇〉仍時(shí)x的取值范圍2.2<1<5.5.

(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到ACJJJD，AO=\AC=8,0B=^-DD=6,根據(jù)勾股定理得到

力。=，4。2+302=10,過。作0Hl48于〃，根據(jù)三角形的面積公式得到

0“=4繽回=熠=言，當(dāng)0<z《5時(shí)，當(dāng)5<N《1C時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式得到

AB105

’12

,(0<ar<5)94

yi={5:根據(jù)三角形中位線定理得到0E〃從。，求得點(diǎn)P到OE的距離為F，根

-—X+24(5<1w10)

5

19

據(jù)三角形的面積公式得到/=一：0〈①《10)；

X

(2)根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象得到函數(shù)的性質(zhì)；

(3)根據(jù)函數(shù)的圖象即可得到結(jié)論.

本題是四邊形的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，三角形的面積公式，勾股定理，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函

數(shù)的性質(zhì)，正確地求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】(250四一250)米；

小明先到景點(diǎn)C.

【解析】解：(1)如圖，過點(diǎn)。，點(diǎn)。分別作力8的垂線，交48的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)M、N,

由題意可知，A13=500米，A13AD=3(『，CNBD=6()°,AM13C=45°

第26頁，共37頁

AB//CD,

Z.ADB=乙NBD-^BAD=60°-30°=30°=Z4，

43=80=500米，

在RtZXBON中，3。=500米，ANBD=60%

BN=]-BD=250(米)，DN=—BD=250^(*)，

在RtAA/SC中，4MBe=45°，

：.MB=MC=DN=2506米，

/.CD=MN=MB-NB=(250^3-250)米；

(2)由題意得，3C==250%%612.5(米)，4。=2ON=5()0g弋865(米)，

小明選擇路線AtBt。的用用的時(shí)間為(500+612.5)4-1.6x695(.s),

小亮選擇路線力一O—。所用的時(shí)間為(500通十250^-250)+1.5七098(s)，

?「695<698,

小明先到景點(diǎn)C

(1)根據(jù)方向角的定義，直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)求出小明，小亮所用的時(shí)間，再進(jìn)行判斷即可.

本題考查方向角，解直角三角形的應(yīng)用，掌握方向角的定義以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵.

24.【答案】y=-re+4；

9瓜

-H----:

42

八IO、

(46)或鼠,不).

JJ

【解析】⑴把4(一4.0),8(2,0)代入到g=g2+bN+4(a4))中,

得/16G-46+4=0

得[4a+2b+4=0'

解得["=一；，

[6=-1

.?.拋物線解析式為y=一，2一北+4：

⑵過點(diǎn)P作軸于"，PH、AC交于0,

在9=一：/-1+4中，當(dāng)￡=0時(shí)，V=4,

第27頁，共37頁

.?.C(0,4),

設(shè)直線/C解析式為沙=及，+人

.f-4k+〃=0

-(b=4，

Jk=1

'(b=4'

二.直線/C解析式為沙=￡+4；

—),。(0,4),

/.OA=OC，

即也人。。是等腰直角三角形，

.?2047=45。，

:.NPQD=NAQH=90°-45°=45°,

△人(?”是等腰直角三角形，

AQ=gQH，

?：PDLAC^

?.Z\PQO是等腰直角三角形，

y/2

.?.PD=DQ=(PQ，

：.PD+AD=AO+DO+PD

=y/2QH+爭(zhēng)Q+爭(zhēng)Q

=x/2QH+V2PQ

=/2(QH+PQ)

=aPH，

AD+PO的最大值即為/77的最大值，

,拋物線解析式為V=——N+4=—+1y+0，

9

」.拋物線對(duì)稱軸為直線z=-1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一1J)，

乙

二.當(dāng)點(diǎn)P為拋物線？/=—：/—，+4的頂點(diǎn)時(shí)，有最大值，即此時(shí)4。+PO有最大值,

9

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一1,》，

作/.COG=30%過點(diǎn)E作EG1OG,

第28頁，共37頁

/.EG=QE,

:.PE+QE=PE+EG,

二.當(dāng)尸、E、G三點(diǎn)共線，且PG_OG時(shí)，PE+EG有最小值,

即此時(shí)PE+：OE有最小值，最小值為PG的長(zhǎng)：

過點(diǎn)G作GT10C于7，設(shè)直線PH,OG交于R,

設(shè)G(g/“，則OT=/i，TG=g,

在RfGOT……G忐考,

h=?

G(g,4g),

.,.點(diǎn)G在直線v=上，

即直線OG解析式為〃=禽小

在y=y/3X中,當(dāng)出=-1時(shí)，y=—\/3?

/.R(-l,-\/5),

PH=PH+HH=0+存

:NHOR=ABOG=ACOB-"OG=60°，

￡P(guān)RG=180°-NHOR-NRHO=30°,

/.PG=；PH=)+乎,

242

第29頁，共37頁

.?當(dāng)PD+4。有最大值時(shí)，QE+的最小值為2+漁；

242

(3)如圖3-1所示，過點(diǎn)。作0A13C