202L2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之統(tǒng)計(jì)（一）

一,選擇題（共7小題）

1.（2025?新高考U）樣本數(shù)據(jù)2,8,14,16,20的平均數(shù)為（）

A.8B.9C.12D.18

2.（2024?天津）下列圖中，相關(guān)性系數(shù)最大的是（）

3.（2024?上海）已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對(duì)此描述正確的是（）

A.氣候溫度高，海水表層溫度就高

B.氣候溫度高，海水表層溫度就低

C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢(shì)

D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢(shì)

4.（2024?新高考H）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的10（）塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝

產(chǎn)量（單位：kg）并部分整理下表：

畝產(chǎn)[900,950)[950,1030)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

量

生產(chǎn)61218302410

數(shù)

據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量中位數(shù)小于1050依

B.100塊稻田中的畝產(chǎn)量低于1100口的稻田所占比例超過(guò)80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200必至300網(wǎng)之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900依至1000依之間

5.（2023?天津）鶯是鷹科的一種鳥，《詩(shī)經(jīng)?大雅?旱麓》曰“鶯飛戾天，魚躍于淵”.周尾花因花瓣形如

鶯尾而得名（圖1）,寓意鵬程萬(wàn)里、前途無(wú)量.通過(guò)隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鶯尾花的花萼長(zhǎng)

度和花瓣長(zhǎng)度（單位：?！ǎ?，繪制對(duì)應(yīng)散點(diǎn)圖（圖2）如下：

圖1圖2

計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為0.8642,利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.750lx+0.6105.根據(jù)

以上信息，如下判斷正確的為（）

A.花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度不存在相關(guān)關(guān)系

B.花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度負(fù)相關(guān)

C.花萼長(zhǎng)度為1cm的該品種虎尾花的花瓣長(zhǎng)度的平均值約為5.8612c,”

D.若選取其他品種鶯尾花進(jìn)行抽樣，所得花萼長(zhǎng)度與花瓣長(zhǎng)度的樣本相關(guān)系數(shù)一定為0.8542

6.（2023?上海）如圖為2018-2021年上海市貨物進(jìn)出口總額的條形統(tǒng)計(jì)圖，則下列對(duì)于進(jìn)出口貿(mào)易額描

A.從2018年開始，2021年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最大

B.從2018年開始，進(jìn)出口總額逐年增大

C.從2018年開始，進(jìn)口總額逐年增大

D.從2018年開始，2020年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最小

7.（2023?上海）根據(jù)所示的散點(diǎn)圖，下列說(shuō)法正確的是（）

90-

80-

70-

40--?,,

30-_______________________________________

156120156180

身高

A.身高越大，體重越大B.身高越大，體重越小

C.身高和體重成正相關(guān)D.身高和體重成負(fù)相關(guān)

二.多選題（共1小題）

（多選）8.（2023?新高考I）有一組樣本數(shù)據(jù)xi,X2,…，X6,其中劉是最小值，X6是最大值，則（）

A.X2，X3，X4,X5的平均數(shù)等于XI，X2，…，X6的平均數(shù)

B.X2，X3，X4,X5的中位數(shù)等于XI,X2，…，X6的中位數(shù)

C.X2,X3，刈，X5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于XI，X2,…，X6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.X2，X3,X4,工5的極差不大于XI，X2,…，X6的極差

三,填空題（共3小題）

9.（2024?甲卷）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次

取1個(gè)球.記機(jī)表示前兩個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，記〃表示前三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則機(jī)與〃差的絕對(duì)值

不超過(guò);的概率是.

10.（2023?上海）現(xiàn)有某地一年四個(gè)季度的G。。（億元），第一季度GQP為232（億元），第四季度GQP

為241（億元），四個(gè)季度的GDP逐季度增長(zhǎng)，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的GDP

為■

11.（2023?上海）某校抽取100名學(xué)生測(cè)身高,其中身高最大值為186“〃，最小值為154c小，根據(jù)身高數(shù)

據(jù)繪制頻率組距分布直方圖，組距為5,且第一組下限為153.5,則組數(shù)為

四,解答題(共6小題)

12.(2025?新高考I)為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過(guò)超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1000

人，得到如卜.列聯(lián)表:

超聲波檢查結(jié)果正常不正常合計(jì)

組別

患該疾病20180200

未患該疾病78020800

合計(jì)8002001000

(I)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P,求產(chǎn)的估計(jì)值；

(2)根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).

2

aY2_九(ad-bc)

一(a+b)(c+d)(a+c)3+d)

P(【乂22女)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

13.(2024?甲卷)某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造.升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨

機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下:

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)

甲車間2624050

乙車間70282100

總計(jì)96522150

(I)填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間

產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？

(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率〃=0.5.設(shè)方為升級(jí)改造后抽取的〃件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如

果萬(wàn)＞p+1.65型乒i，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)

為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（S畫到2.247）

n(ad-bc)2

(Q+b)(c+d)(a+c)(/?+d)'

P（心人）0.0500.0100.031

k3.8416.63510.828

14.（2024?上海）水果分為一級(jí)果和二級(jí)果，共136箱，其中一級(jí)果102箱，二級(jí)果34箱.

（1）隨機(jī)挑選兩箱水果，求恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱的概率；

（2）進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級(jí)果和二級(jí)果各匚箱；

（3）抽取若干箱水果，其中一級(jí)果共120個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46：二級(jí)果48

個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個(gè)水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果

的質(zhì)量.

15.（2024?上海）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29（X）0名學(xué)生中抽取580

人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：

時(shí)間范圍[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

學(xué)業(yè)成績(jī)

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)K不少于1小時(shí)的人數(shù)約為多少？

（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）.

（3）是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？

16.（2024?甲卷）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造.升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨

機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn),數(shù)據(jù)如下:

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)

甲車間2624050

乙車間702821(X)

總計(jì)96522150

（1）填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間

產(chǎn)品的估級(jí)品率存在差異？

（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率〃=0.5.設(shè)步為升級(jí)改造后抽取的〃件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如

果萬(wàn)＞p+1.65脛手，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)

為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？（M畫引2.247）

2

附.憶2_n（Qd-bc）

P1J-八一（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）'

P（產(chǎn)2k）0.0500.0100.031

k3.8416.63510.828

17.（2023?乙卷）某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試臉，每次配

對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處

理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為2,-10）.試

驗(yàn)結(jié)果如下：

試驗(yàn)序i2345678910

號(hào)i

伸縮率545533551522575544541568596548

Xi

伸縮率536527543530560533522550576536

記zi=xi-v（i=1,2,…，10）,記zi,Z2,…，zio的樣本平均數(shù)為H樣本方差為

（1）求2,52；

（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高.（如

果彳之2舄?jiǎng)t認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高,

否則不認(rèn)為有顯著提高）

202L2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之統(tǒng)計(jì)（一）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

題號(hào)1234567

答案CACCCCC

二.多選題（共1小題）

題號(hào)8

答案BD

一.選擇題（共7小題）

1.（2025?新高考H）樣本數(shù)據(jù)2,8,14,16,20的平均數(shù)為（）

A.8B.9C.12D.18

【考點(diǎn)】平均數(shù).

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】利用平均數(shù)公式計(jì)算即可.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查均值的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2024?天津）下列圖中，相關(guān)性系數(shù)最大的是（）

yk

C.0xD.Ox

【考點(diǎn)】樣本相關(guān)系數(shù)；變量間的相關(guān)關(guān)系.

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法：概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】利用散點(diǎn)圖，宜接判斷相關(guān)性系數(shù)的大小即可.

【解答】解：由題意可知選項(xiàng)A的散點(diǎn)圖可知，相關(guān)關(guān)系強(qiáng)，I”越接近于1,相關(guān)程度越大；

所以A的相關(guān)性系數(shù)最大.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查散點(diǎn)圖的應(yīng)用，相關(guān)性系數(shù)的判斷，是基礎(chǔ)題.

3.（2024?上海）已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對(duì)此描述正確的是（）

A.氣候溫度高，海水表層溫度就高

B.氣候溫度高，海水表層溫度就低

C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢(shì)

D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢(shì)

【考點(diǎn)】樣本相關(guān)系數(shù)；回歸分析?：變量間的相關(guān)關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)：運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】利用變量的性關(guān)系，判斷選項(xiàng)即可.

【解答】解：成對(duì)數(shù)據(jù)相關(guān)分析中，如果相關(guān)系數(shù)為正，當(dāng)x的值由小變大，y的值具有由小變大的變

化趨勢(shì)，

所以4、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)據(jù)相關(guān)分析，是基礎(chǔ)題.

4.（2024?新高考H）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝

產(chǎn)量（單位：kg）并部分整理下表：

畝產(chǎn)[900,950）[950,1000）[1000,1050）[1050,1100）[1100,1150）[1150,1200）

量

生產(chǎn)61218302410

數(shù)

據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量中位數(shù)小于1050依

B.10。塊稻田中的畝產(chǎn)量低于1100依的稻田所占比例超過(guò)W0%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200依至300打之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900依至1000版之間

【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù).

【專題】整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解；數(shù)據(jù)分析.

【答案】C

【分析】根據(jù)頻率分布表，判斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可.

【解答】解:對(duì)于A,根據(jù)頻率分布表知,6+12+18=36V50,所以100塊稻田畝產(chǎn)量中位數(shù)不小于1050依,

選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,畝產(chǎn)量不低于1I（X）口的稻田頻數(shù)為24+10=34,所以畝產(chǎn)量低于110（）總的稻田所占比例為

100-34

---——=66%,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

100

對(duì)于C,畝產(chǎn)量的極差最大值為1200-900=300,最小值為1150-950=200,所以極差介于200依至

30（）依之間，選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,估計(jì)平均數(shù)為元=忐（6X925+12X975+18X1025+30X1075+24X1125+10X1175）=1067,

選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考行頻率分布直方圖、百分位數(shù)、分層抽樣、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，

是中檔題.

5.（2023?天津）鶯是鷹科的一種鳥，《詩(shī)經(jīng)?大雅?旱麓》曰“鶯飛戾天，魚躍于淵”.鶯尾花因花瓣形如

鶯尾而得名（圖1）,寓意鵬程萬(wàn)里、前途無(wú)量.通過(guò)隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鶯尾花的花萼長(zhǎng)

度和花瓣長(zhǎng)度（單位：5?）,繪制對(duì)應(yīng)散點(diǎn)圖（圖2）如下：

圖1

計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為0.8642,利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.7501x+0.6105.根據(jù)

以上信息，如下判斷正確的為（）

A.花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度不存在相關(guān)關(guān)系

B.花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度負(fù)相關(guān)

C.花萼長(zhǎng)度為1cm的該品種鶯尾花的花瓣長(zhǎng)度的平均值約為5.86120〃

D.若選取其他品種鶯尾花進(jìn)行抽樣，所得花萼長(zhǎng)度與花瓣長(zhǎng)度的樣本相關(guān)系數(shù)一定為0.8542

【考點(diǎn)】變量間的相關(guān)關(guān)系.

【專題】對(duì)應(yīng)思想：綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯思維.

【答案】C

【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖及線性相關(guān)的知識(shí)，即可求解.

【解答】解：???相關(guān)系數(shù)r=0.8642>0.75,且散點(diǎn)圖呈左下角到右上角的帶狀分布，

???花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈正相關(guān)，且相關(guān)性較強(qiáng)，???A,8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)x=7時(shí)，代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.7501.1+0.6105,可得）=5.8612,

???花萼長(zhǎng)度為7a〃的該品種彎尾花的花瓣長(zhǎng)度的平均值約為5.8612c〃?，???。選項(xiàng)正確；

若選取其他品種鶯尾花進(jìn)行抽樣，所得花萼長(zhǎng)度與花瓣長(zhǎng)度的樣本相關(guān)系數(shù)不?定是0.8642,工。選項(xiàng)

錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性相關(guān)問題，屬基礎(chǔ)題.

6.（2023?上海）如圖為2018-2021年上海市貨物進(jìn)出口總額的條形統(tǒng)計(jì)圖，則下列對(duì)于進(jìn)出口貿(mào)易額描

述錯(cuò)誤的是（)

B.從2018年開始，進(jìn)出口總額逐年增大

C.從2018年開始，進(jìn)口總額逐年增大

D.從2018年開始,2020年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最小

【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)據(jù)分析.

【答案】C

【分析】結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖中條形圖的高度、增量的變化，以及增長(zhǎng)率的計(jì)算方法，逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：顯然2021年相對(duì)于2020年進(jìn)出口額增量增加特別明顯，故最后一年的增長(zhǎng)率最大，A對(duì)；

統(tǒng)計(jì)圖中的每一年條形圖的高度逐年增加，故8對(duì)；

2020年相對(duì)于2019的進(jìn)口總額是減少的，故C錯(cuò)；

顯然進(jìn)出口總額2021年的增長(zhǎng)率最大,而2020年相對(duì)于2019年的增量比2019年相對(duì)于2018年的增

量小，

且計(jì)算增長(zhǎng)率時(shí)前者的分母還大，故2020年的增長(zhǎng)率一定最小，。正確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)圖問題，以及增長(zhǎng)率的計(jì)算，屬于中檔題.

7.（2023?上海）根據(jù)所示的散點(diǎn)圖，下列說(shuō)法正確的是（）

90-

80-

70-

40--?,.

30-

156iSorF6?iw

身高

A.身高越大，體重越大B.身高越大，體重越小

C.身高和體重成正相關(guān)D.身高和體重成負(fù)相關(guān)

【考點(diǎn)】散點(diǎn)圖.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的分布情況，即可得解.

【解答】解：根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可得：身高和體重成正相關(guān).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性相關(guān)的概念，屬基礎(chǔ)題.

多選題（共1小題）

（多選）8.（2023?新高考I）有一組樣本數(shù)據(jù)XI,X2,…，X6,其中XI是最小值，X6是最大值，則（）

A.X2,X3,X4,工5的平均數(shù)等于XI,4,???,環(huán)的平均數(shù)

B.X2,X3,X4,X5的中位數(shù)等于XI,X2,…，X6的中位數(shù)

C..V2,A3，A4,X5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于XI，X2，…，X6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.X2,X3，X4,X5的極差不大于XI,X2,…，X6的極差

【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)；用樣本估計(jì)總體為離散程度參數(shù).

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】BD

【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，極差的概念逐一判定即可.

【解答】解：A選項(xiàng)，X2,心，X4,X5的平均數(shù)不一定等于X2,…，X6的平均數(shù)，A錯(cuò)誤；

A選項(xiàng)，X2>X3，X4,X5的中位數(shù)等于的.",X],%2,…，X6的中位數(shù)等于％,8正確；

22

C選項(xiàng)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)XI，X2>-?X6為0,I,2,8,9,10,可知.11,X2,…，K6的平均數(shù)是5,X2,X3,

X4,X5的平均數(shù)是5,

XI,北，X6的方差s/=卜[(0-5)2+(1-5)2+(2-5)2+(8-5)2+(9-5)2+(10-5)2]=

X2，X3,X4,xs的方差s22=x[(1-5)2+(2-5)2+(8-5)2+(9-5)2]=予，

22

S1>S2f/.5I>52?C錯(cuò)誤.

。選項(xiàng)，X6245，X22X1,-X2，。正確.

故選：BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的計(jì)算，是基礎(chǔ)題.

三,填空題(共3小題)

9.(2024?甲卷)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次

取I個(gè)球.記〃?表示前兩個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，記〃表示前三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則加與〃差的絕對(duì)值

17

不超過(guò)的概率是彳?

【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

【專題】整體思想：綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

[分析]先求出從6個(gè)小球中取出3個(gè)所有可能的結(jié)果數(shù)，然后求出小與〃差的絕對(duì)值不超過(guò)0.5的結(jié)

果數(shù)，結(jié)合古典概率公式即可求解.

【解答】解：記前三個(gè)球的號(hào)碼分別為a、b、。則共有房=120種可能,

人?.a+ba+b+c.Clh2(:

令|m-n|=I”-------I|^~|<0.5可得：|a+b-2c|W3,

根據(jù)對(duì)稱性：c=1或6時(shí)，均有2種可能;

c=2或5時(shí)，均有10種可能；

c=3或4時(shí)，均有16種可能；

故滿足條件的共有56種可能，

D567

P=I2O=I5-

7

故答案為：—.

15

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，還考查了古典概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.(2023?上海)現(xiàn)有某地一年四個(gè)季度的GOP(億元)，第一季度GQP為232(億元)，第四季度GDP

為241(億元)，四個(gè)季度的GOP逐季度增長(zhǎng)，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地一年的GDP為946

（億元）

【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù).

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】946（億元）.

【分析】設(shè)第二季度GO0為/億元，第三季度GOP為），億元，則232VxV），V241,由題意可得審=

可求出X+），的值，從而求出該地一年的GOP.

4

【解答】解：設(shè)第二季度GQP為x億元，第三季度GDP為y億元，則232?產(chǎn)241,

???中位數(shù)與平均數(shù)相同，

.x+y232+x+y+241

??=，

24

Ax+y=473,

，該地一年的GDP為232+x+y+241=946（億元）.

故答案為：946（億元）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了中位數(shù)和平均數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2023?上海）某校抽取100名學(xué)生測(cè)身高,其中身高最大值為186CM,最小值為154cm,根據(jù)身高數(shù)

據(jù)繪制頻率組距分布直方圖，組距為5,且第一組下限為153.5,則組數(shù)為——.

【考點(diǎn)】根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定極差組距和組數(shù).

【專題】對(duì)應(yīng)思想：分析法：概率與統(tǒng)計(jì)：運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】計(jì)算極差，根據(jù)組距求解組數(shù)即可.

【解答】解：極差為186754=32,組距為5,且第一組下限為153.5,

32

W=6.4,故組數(shù)為7組，

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題（共6小題）

12.（2025?新高考I）為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過(guò)超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1（）00

人，得到如下列聯(lián)表：

超聲波檢杳結(jié)果正常不正常合計(jì)

組別

患該疾病20180200

未患該疾病78020800

合計(jì)8002001000

（1）記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P,求產(chǎn)的估計(jì)值;

（2）根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).

2

價(jià)x2_n（ad-Ac）

1J:—（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

P（x*k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）由樣本估計(jì)總體和古典概型的概率求法即可求得；

（2）由獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)即可求解.

1809

【解答】解：（1）由題知，樣本中超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為==77，

20010

由樣本估計(jì)總體可得超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率P=高

（2）零假設(shè)從）為：超聲波檢查結(jié)果與患該疾病無(wú)關(guān).

代入2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得：x2=1喘翦徽黑湍=半=765,625>10,828,

根據(jù)小概率值a=0.0（）l的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷〃。不成立，即認(rèn)為超聲波檢查結(jié)果與患咳疾病有關(guān),

該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的概率求解，獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.（2024?甲卷）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造.升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨

機(jī)抽取150件進(jìn)行檢臉，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)

甲車間2624050

乙車間70282100

總計(jì)96522150

（1）填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間

產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？

(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率〃=0.5.設(shè)河為升級(jí)改造后抽取的〃件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如

果萬(wàn)〉〃+1.65j9云，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)

為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？(M質(zhì)到2.247)

2

附.片=______鞏調(diào)一兒)______

P1J,八(a+b)(c+d)(a+c)(/?+d)'

P/?)0.0500.0100.031

k3.8416.63510.828

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)填寫2X2列聯(lián)表，計(jì)算產(chǎn)，對(duì)照題目中的表格，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論;

(2)由題意求得萬(wàn)，比較/和p+1.65J叢守,即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)根據(jù)題H所給數(shù)據(jù)得到如下2X2的列聯(lián)表：

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間2624

乙車間7030

零假設(shè)M)：根據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率不存在差異,

9

150X(70X24-26X30)

96x54x50x100-=4.6875>3,841,

有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異;

零假設(shè)Ho：根據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率不存在差異,

4.6875<6.635,沒有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異.

(2)由題意得萬(wàn)=患=0.64,p+1.65JP(1~P'=0.5+1.65x?0.57,

所以方＞p+1.65J攻守,故有優(yōu)化提升.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，也考查了計(jì)算能力的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

14.（2024?上海）水果分為一級(jí)果和二級(jí)果，共136箱，其中一級(jí)果102箱，二級(jí)果34箱.

（1）隨機(jī)挑選兩箱水果，求恰好一級(jí)果和二級(jí)果各一箱的概率；

（2）進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級(jí)果和二級(jí)果各兀箱；

（3）抽取若T箱水果，其中?級(jí)果共120個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46：二級(jí)果48

個(gè)，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個(gè)水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果

的質(zhì)量.

【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)；分層隨機(jī)抽樣；川樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù).

【專題】整體思想：綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

17

【答案】（1）—;

45

（2）平均數(shù)285.44克；方差1427.17克2,整個(gè)果園的單過(guò)的平均質(zhì)量287.69克.

【分析】（1）由排列組合公式可得樣本空間的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)及所求的事件的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由古典概型

的概率公式可得所求的概率；

（2）由兩個(gè)級(jí)別的箱數(shù)之比，可得樣本中兩個(gè)級(jí)別的箱數(shù)；

（3）由分層抽樣的平均數(shù)及力差的計(jì)算公式，可得168個(gè)水果的方差和平均數(shù)，進(jìn)而估計(jì)136箱單果

的質(zhì)量.

【解答】解：（1）古典概型：設(shè)4事件為恰好選到一級(jí)果和二級(jí)果各一箱，樣本空間的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)

「2136x135doc

〃=C136=-----2------=9180,

4事件的樣本點(diǎn)的公式陽(yáng)=Cfo2?C%=3468,

所以/⑷4=螺=條

（2）因?yàn)橐患?jí)果箱數(shù)：二級(jí)果箱數(shù)=3：1,

所以8箱水果中有一級(jí)果抽取6箱，二級(jí)果抽取2箱:

（3）設(shè)一級(jí)果平均質(zhì)量為工,方差為戲，二級(jí)果質(zhì)量為y,方差為印，總體樣本平均質(zhì)量為z平均值,

方差為

因?yàn)樵?303.45,y=240.41,S}=603.46,Sj=648.21,

所以2=1備x303.45+y4^7QX240.41=285.44克，

11/U十一U

222

52=12黑8x[6()3.46+(303.45-285.44)]+12^48x[648.2l+(240.41-285.44)]=1427.27A.

預(yù)估：平均質(zhì)量為￥|三+笠?歹=287.69克.

136

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分層抽樣的平均數(shù)公式及方差公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6(2024?上海)為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580

人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：

時(shí)間范圍[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

學(xué)業(yè)成績(jī)

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)約為多少？

(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)(精確到0.1).

(3)是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專?題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】(1)12500人；

(2)0.9/?：

(3)學(xué)業(yè)成績(jī)與鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小M且小于2兩小時(shí)有關(guān)

【分析】(1)由己知結(jié)合頻率與概率關(guān)系即可求解；

(2)先求出樣本平均數(shù)，然后用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)即可；

(3)結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)即可判斷.

【解答】解：(1)580人中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)大于1小時(shí)人數(shù)占比P=42+3+1+累7+40+27=日,

JOUJO

該地區(qū)2900()名初中學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)大于I小時(shí)的人數(shù)約為29000xII=12500；

(2)該地區(qū)初中學(xué)生鍛煉平均時(shí)長(zhǎng)約為

—1x[-1X0.5X(5+1134-045)(4+114+175)(42+1135+72)(3+40、)+2^+^2x6(1+27)]=

5802

29

(3)由題意可得2X2列聯(lián)表,

[1,2)

優(yōu)秀455095

不優(yōu)秀177308485

①提出零假設(shè)”。：成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)無(wú)關(guān)，

②確定顯著性水平a=0.05,P(x2>3.841)-0.05,

(3)y2.580x(45x308—177x50)2?

?“一(45+50)x(177+308)x(45+177)x(50+308)~

④否定零假設(shè)，即學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用樣本估計(jì)總體，由頻率分布表求平均數(shù)及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.(2024?甲卷)某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造.升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨

機(jī)抽取15()件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)

甲車間2624050

乙車間7()282100

總計(jì)96522150

(1)填寫如下列聯(lián)表：

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間

產(chǎn)品的估級(jí)品率存在差異？

(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率〃=0.5.設(shè)萬(wàn)為升級(jí)改造后抽取的〃件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如

果萬(wàn)>p+1.65型守，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)

為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？(回U^12.247)

2

時(shí)*2_n(ad-bc)

HJ:八一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P（產(chǎn)2左）0.0500.0100.031

k3.8416.63510.828

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】對(duì)應(yīng)思想：定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)填寫2X2列聯(lián)表，計(jì)算片，對(duì)照題目中的表格，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論;

（2）由題意求得萬(wàn)，比較萬(wàn)和p+1.65J匹守,即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下2X2的列聯(lián)表:

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車間2624

乙車間7030

零假設(shè)，。：根據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率不存在差異,

2—150x(70x24-26x30)2

“一96x54x50x100-4.6875>3,841,

有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異;

零假設(shè)從）：根據(jù)a=O.Ol的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率不存在差異，

4.6875V6.635,沒有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異.

（2）由題意得萬(wàn)=蓋=0.64,p+1.65=0.5+1.65x《0.57,

所以萬(wàn)＞p+1.65型守,故有優(yōu)化提升.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，也考查了計(jì)算能力的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

17.（2023?乙卷）某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配

對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處

理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為可，V（i=l,2,…10）.試

驗(yàn)結(jié)果如下：

試驗(yàn)序?2345678910

號(hào)i

伸縮率545533551522575514541568596548

Xi

伸縮率536527543530560533522550576536

yi

記-v（i=1,2,-?,10）,記zi,Z2,…，zio的樣本平均數(shù)為2,樣本方差為

（1）求2,s2；

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高.(如

果522卷，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高,

否則不認(rèn)為有顯著提高)

【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù).

【專題】應(yīng)用題；對(duì)應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)據(jù)分析.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算zi=r-y(i=l,2,10),求平均數(shù)5和方差.E

(2)根據(jù)5和2耳，比較大小即可得出結(jié)論.

【解答】解：⑴根據(jù)表中數(shù)據(jù),計(jì)算費(fèi)=普?州(i=l,2,10),填表如下:

試驗(yàn)序12345678910

號(hào)i

伸縮率545533551522575544541568596548

Xi

伸縮率536527543530560533522550576536

yi

Zi=Xi"968-8151119182012

y

計(jì)算平均數(shù)為2=余婕iz尸存x(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,

方差為?=白鵡(z(-z)2=^x[(-2)2+(-5)2+(-3)2+(-19)2+42+02+82+72+92+121=

61.

(2)由(1)知，z=ll,=2V6l<2V625=5,

所以5N2屈，認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平均數(shù)與方差的計(jì)算問題，也考查了數(shù)據(jù)分析與運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)卡片

1.列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、等可能條件下概率的意義：i般地，如果在一次試驗(yàn)中，有〃種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性

都相等，事件A包含其中的〃7種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為。（A）=號(hào).

等可能條件下概率的特征：

（I）對(duì)于每一