專題06相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、“母子”模型(共邊角模型) 2類型二、“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型) 8類型三、“K”字模型（相似模型） 13壓軸能力測評（10題） 17解題知識必備模型1.“母子”模型(共邊角模型)【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點和另外一個不是公共的頂點，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3（1）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.（2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.（3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；模型2.“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型)【模型解讀與圖示】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個三角形繞著它的項點旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個頂點不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個頂點稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。手拉手相似模型條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；.模型3.“K”字模型（相似模型）【模型解讀與圖示】K字型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個三角形相似．(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補充：其他常見的一線三等角圖形壓軸題型講練類型一、“母子”模型(共邊角模型)例題：（23-24九年級上·上海·期中）如圖，在中，D是上的點，E是上一點，且．

(1)求證:；(2)若E是的重心，求的值．【變式訓(xùn)練1】（23-24九年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，中，是上一點，，為上一點．(1)求證：；(2)若，，，，求、的長．【變式訓(xùn)練2】（3-24九年級上·福建莆田·階段練習(xí)）（1）如圖①，在中，，于點D．求證：；（2）如圖②，在中，，點D為邊上的點，于點E，延長交于點F，若，求和的值；（3）在中，，點D為直線上的動點（點D不與B，C重合），直線于點E，交直線于點F，若，請直接寫出的所有可能的值（用含n的式子表示）．類型二、“手拉手”模型(旋轉(zhuǎn)模型)例題：【發(fā)現(xiàn)問題】

（1）如圖1，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數(shù)量關(guān)系是______．（2）將圖1中的繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，直線和直線交于點．①判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②圖2中的度數(shù)是______．（3）【探究拓展】如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點，分別寫出的度數(shù)，線段、間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式訓(xùn)練1】（2024·湖北黃石·三模）（1）如圖①，和為等腰直角三角形，，求證：．（2）如圖②，，，試探究線段與線段的關(guān)系，并加以證明．（3）如圖③，，，求的最大值．

【變式訓(xùn)練2】（23-24八年級下·山東煙臺·期末）【問題呈現(xiàn)】（1）如圖1，和是兩個有公共頂點A的等邊三角形，連接，．求的值．【類比探究】（2）如圖2，和是兩個有公共頂點A的等腰直角三角形，，連接，．求證：．（3）如圖3，和是兩個有公共頂點A的直角三角形，，連接，．若能，請直接寫出此時與的數(shù)量關(guān)系．類型三、“K”字模型（相似模型）例題：（2024·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測）【感知】如圖1，在四邊形中，點P在邊上（不與A、B重合），，易證：（不要求證明）．【探究】如圖2，在四邊形中，點P在邊上（點P不與點A、B重合），．（1）求證：；（2）若，求的長．【應(yīng)用】如圖3，在中，，．點P在邊上（點P不與點A、B重合），連結(jié)，作，與邊交于點E．（3）當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出的長【變式訓(xùn)練1】（23-24八年級下·山東東營·期末）（1）如圖①，在矩形中，E為AB邊上一點，連結(jié)過點E作交于點F．①求證：．②若，，E為AB的中點，求的長．（2）如圖②，在中，，，，為AB邊上一點（點不與點A、B重合），連結(jié)CE，過點E作交于點F，當(dāng)為等腰三角形時，的長為多少？

壓軸能力測評（10題）一、填空題1．（23-24九年級下·四川成都·開學(xué)考試）已知，如圖，在中，．點D在邊上，點E為的中點，且．則長為．二、解答題2．（21-22八年級下·江蘇蘇州·期中）定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．3．（2024·山東濟(jì)南·三模）（1）如圖1，與，點D在上，點E在上，，，則，（2）如圖2，在（1）的條件下，繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，連接，，的值是否發(fā)生改變?若不變請給出證明，若改變請求出新的比值．（3）拓展：如圖3，矩形，E為線段上一點，以為邊，在其右側(cè)作矩形，且，，連接，，直接寫出的最小值．4．（23-24九年級上·四川達(dá)州·期末）如圖①，在中，，，點為邊上的一點，連接，過點作于點，交于點，連接．(1)求證：；(2)若，求證：；(3)如圖②，若，，求的值．5．（23-24八年級下·山東東營·階段練習(xí)）（1）問題：如圖1，在四邊形中，點P為上一點，當(dāng)時，求證：．（2）探究：若將角改為銳角或鈍角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）應(yīng)用：如圖3，在中，，，以點A為直角頂點作等腰．點D在上，點E在上，點F在上，且，則的長．6．（23-24八年級下·山東青島·期末）已知點為和的公共頂點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接，，請完成如下問題：(1)如圖，若和均為等邊三角形，線段與線段的數(shù)量關(guān)系是__________；(2)如圖，若，，線段與線段的數(shù)量關(guān)系為__________；(3)如圖，若，，線段與線段的數(shù)量關(guān)系為__________；(4)在（）的條件下，當(dāng)，，點，，在同一直線上時，__________．7．（23-24九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）（1）如圖1，，分別過A，C兩點作經(jīng)過點B的直線的垂線，垂足分別為E、F，，，，求CF的長度為．（2）如圖2，在矩形中，，，點E、F、M分別在上，，，當(dāng)時，求四邊形的面積．（3）如圖3，在中，，，，點E、F分別在邊上，且，若，求的長度．8．（2023·湖南懷化·模擬預(yù)測）【證明體驗】（1）如圖1，為的角平分線，，點E在上，．求證：平分．【思考探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點，連接交于點G．若，，，求的長．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，對角線平分，點E在上，．若，求的長．9．（2024·廣西南寧·二模）綜合與實踐【問題情境】在《綜合與實踐專題》課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和，其中，，將和按圖2所示方式擺放，其中點B與點F重合（標(biāo)記為點B）【數(shù)學(xué)思考】（1）當(dāng)時，延長DE交AC于點G，求證：四邊形BCGE是正方形；【深入探究】（2）老師將圖2中的繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題．①“善思小組”提出問題：如圖3，當(dāng)時，過點A作交BE的延長線于點M，BM與AC交于點N，則有請你予以證明；②“智慧小組”提出問題：如圖4，當(dāng)時，過點A作于點H，若，，求AH的長．請你思考此問題，并寫出求解過程．10．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們展開了新的探究．(1)【問題初探】如圖1，在中，點D在邊上，交于點E．繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到（點D的對應(yīng)點為點，點E的對應(yīng)點為點），連接，，得到和，如圖2，數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們