專題3.2勾股定理的逆定理基礎(chǔ)知識(shí)夯實(shí)知識(shí)點(diǎn)01勾股定理的逆定理勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長分別為a、b、c，且___，那么這個(gè)三角形是___。知識(shí)點(diǎn)02勾股數(shù)1.勾股數(shù)概念：如果三個(gè)___a，b，c滿足關(guān)系：___，則稱a，b，c為勾股數(shù)。注意：a，b，c要成為勾股數(shù)必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：（1）滿足a2+b2=c2；（2）a，b，c必須是正整數(shù)；這里最易被忽略的是條件（2），千萬要注意！2.若a，b，c為勾股數(shù)，且k為正整數(shù)，則ka，kb，kc也為勾股數(shù)。3.常用勾股數(shù)：如；；；等。4.用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：1）（為正整數(shù)）；2）（為正整數(shù)）；3）（，為正整數(shù)）。典型案例探究知識(shí)點(diǎn)01勾股定理的逆定理例1．（24-25八年級下·云南德宏·期末）木工師傅想利用木條制作一個(gè)直角三角形，下列各組數(shù)據(jù)能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，7，8 D．5，12，14【變式1】（24-25八年級上·廣東·期末）將長度分別為6，8，10，15，17的木棒，擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（）A．B．C．D．【變式2】（24-25八年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積是（）A．5 B．4 C． D．8【變式3】（24-25八年級下·貴州黔東南·階段練習(xí)）定義：如圖，點(diǎn)M，N把線段分割成，，三段，若以，，為邊的三角形是直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)．(1)若，，，則點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)嗎？請說明理由；(2)已知點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)，且為直角邊．若，，求的長．【變式4】（24-25九年級上·吉林·期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，只用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖．(1)在圖中，將圖中陰影部分繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的新圖形涂上陰影．(2)在圖中，找到一個(gè)格點(diǎn)，連接，使．(3)在圖中，找到一個(gè)格點(diǎn)，連接，使．【變式5】（24-25八年級下·陜西安康·期末）如圖，在中，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，且，，．求證：．

知識(shí)點(diǎn)02勾股數(shù)例1．（24-25八年級下·廣東潮州·階段練習(xí)）下列不是勾股數(shù)的是（

）A．3，4，5 B．5，12，13 C．2，3，4 D．7，24，25【變式1】（2025·湖南·模擬預(yù)測）三個(gè)勾股數(shù)互質(zhì)時(shí)稱之為本原勾股數(shù)，按規(guī)律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，則第n組勾股數(shù)的第二個(gè)數(shù)為（

）．A． B． C． D．【變式2】（24-25八年級下·安徽淮北·階段練習(xí)）已知．(1)當(dāng)時(shí)，則以的值為三邊長的三角形面積為_______；(2)小安猜想：當(dāng)n取大于1的整數(shù)時(shí)，為勾股數(shù)，你認(rèn)為小安的猜想正確嗎？請說明理由．課后作業(yè)A一、單選題1．下列幾組數(shù)中，不能作為直角三角形三邊長度的是（

）A．1，1， B．3，4，5 C．5，12，13 D．4，5，62．已知、、是三角形的三邊長，如果滿足，則三角形的形狀是（

）A．底與邊不相等的等腰三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形3．下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，4．下列說法中正確的是（

）A．已知，，是三角形的三邊，則B．在直角三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方C．，，是一組勾股數(shù)D．在中，，所以二、填空題5．一個(gè)三角形三邊滿足，則這個(gè)三角形是三角形．6．有一組勾股數(shù)，知道其中的兩個(gè)數(shù)分別是5和12，則第三個(gè)數(shù)是．7．已知一個(gè)三角形的三邊長分別為、、，則這個(gè)三角形的面積為．8．如圖，大小正方形的邊長均為整數(shù)，它們的面積之和等于74．則陰影部分的面積為．三、解答題9．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請寫出(1)當(dāng)時(shí)，則，；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；（用字母n表示）(3)用（2）的結(jié)論判斷19，188，189是否為一組勾股數(shù)，并說明理由．10．如圖，，，，，．求：四邊形的面積．11．如圖，在四邊形中，．

(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)求的長．12．如圖，在中，，，所對的邊分別為，，，若，試說明：是直角三角形．B一、單選題1．三角形的三邊長為，則這個(gè)三角形是（

）．A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形．2．如圖，在中，，，那么的長為（

）A．5 B． C． D．3．如圖，在長方形中，，，點(diǎn)，分別是，邊上一點(diǎn)，且，．則圖中的直角三角形有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．已知為正整數(shù)，且，下列各項(xiàng)為三角形的三條邊長：①，②，③，④，其中必定構(gòu)成直角三角形的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題5．若的三邊a，b，c滿足，則的面積為．6．已知三邊長分別為a，b，c，且滿足，則的形狀為．7．如圖，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，當(dāng)長為時(shí)，為直角三角形．8．如圖，在四邊形中，，則的度數(shù)為，四邊形的面積為．三、解答題9．如圖，在四邊形中，，且．(1)求證：；(2)求四邊形的面積．10．為了讓學(xué)生更多的參與到勞動(dòng)實(shí)踐中，育才中學(xué)開辟了一片勞動(dòng)基地，然后中間用柵欄將這塊勞動(dòng)基地劃分成兩部分，分別種植花卉和蔬菜（如圖），其中，已知，，，．(1)求花卉區(qū)的面積；(2)若學(xué)校在蔬菜基地周圍修兩條步道（寬度忽略不計(jì)）和，這兩條步道的長度相差多少米？11．如圖，點(diǎn)，，在同一條直線上，，，，，，連接，求點(diǎn)到的距離．12．在中，，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，連接．(1)【基礎(chǔ)設(shè)問】若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，則是三角形．（填“等腰”“等邊”或“直角”）(2)如圖，連接，若平分，，，，則．(3)如圖，若，，求證：點(diǎn)在的平分線上．(4)【能力設(shè)問】如圖，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，始終保持與相等，是的垂直平分線，交于點(diǎn)．①判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；②若，，，求線段的長．C1．如圖是張伯伯承包的一塊待開墾的四邊形田地為田間的一條小路，且，已知，，，．(1)求四邊形田地的面積；(2)為了方便灌溉，張伯伯打算從靠近河岸的邊上引一條水渠到點(diǎn)處，請你幫他計(jì)算這條水渠的最短長度．2．在中，，設(shè)為最長邊，當(dāng)時(shí)，是直角三角形；當(dāng)時(shí)，通過比較代數(shù)式和的大小，探究的形狀（按角分類）．(1)當(dāng)三邊長分別為6，8，9時(shí)，為________角形；當(dāng)三邊長分別為6，8，11時(shí)，為________三角形；(2)猜想：當(dāng)________時(shí)，為銳角三角形；當(dāng)________時(shí)，為鈍角三角形；(3)當(dāng)時(shí)，探究的形狀，并求出對應(yīng)的的取值范圍．3．定義：若過三角形一個(gè)頂點(diǎn)的線段，將這個(gè)三角形分為兩個(gè)三角形，其中一個(gè)是直角三角形，另一個(gè)是等腰三角形，則稱這個(gè)三角形是等直三角形，這條線段叫做這個(gè)三角形的等直分割線段．例如：如圖1，在中，于，且是等直三角形，是的一條等直分割線段．(1)定義理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）；(2)定義應(yīng)用：如圖2，在中，是的等直分割線段，，，求的長；(3)應(yīng)用提升：在中，是的等直分割線段，則AC的長可以為___________．4．探究一：如圖，均為正方形．問題：（）若圖中的為直角三角形，的面積為，的面積為，則的面積為________；（）若的面積為，的面積為，同時(shí)