2026屆天津市南開大附屬中學(xué)九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖所示的幾何體是由一些小立方塊搭成的，則這個幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．2．下列四張印有汽車品牌標(biāo)志圖案的卡片中，是中心對稱圖形的卡片是（）A． B． C． D．3．如圖所示為兩把按不同比例尺進(jìn)行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均勻的，已知兩把直尺在刻度10處是對齊的，且上面的直尺在刻度15處與下面的直尺在刻度18處也剛好對齊，則上面直尺的刻度16與下面直尺對應(yīng)的刻度是（）A．19.4 B．19.5 C．19.6 D．19.74．的值等于（）A． B． C．1 D．5．一種商品原價元，經(jīng)過兩次降價后每盒26元，設(shè)兩次降價的百分率都為，則滿足等式（）A． B． C． D．6．如圖所示，是的中線，是上一點(diǎn)，，的延長線交于，（）A． B． C． D．7．如圖，把長40，寬30的矩形紙板剪掉2個小正方形和2個小矩形（陰影部分即剪掉部分），將剩余的部分折成一個有蓋的長方體盒子，設(shè)剪掉的小正方形邊長為（紙板的厚度忽略不計），若折成長方體盒子的表面積是950，則的值是（）A．3 B．4 C．4.8 D．58．作⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF，甲、乙兩人的作法分別是：甲：第一步：在⊙O上任取一點(diǎn)A，從點(diǎn)A開始，以⊙O的半徑為半徑，在⊙O上依次截取點(diǎn)B，C，D，E，F(xiàn).第二步：依次連接這六個點(diǎn).乙：第一步：任作一直徑AD．第二步：分別作OA，OD的中垂線與⊙O相交，交點(diǎn)從點(diǎn)A開始，依次為點(diǎn)B，C，E，F(xiàn).第三步：依次連接這六個點(diǎn).對于甲、乙兩人的作法，可判斷()A．甲正確，乙錯誤 B．甲、乙均錯誤C．甲錯誤，乙正確 D．甲、乙均正確9．如圖，點(diǎn)B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝30°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．75° B．70° C．65° D．60°10．下列運(yùn)算中正確的是（）A．a(chǎn)2÷a＝a B．3a2+2a2＝5a4C．（ab2）3＝ab5 D．（a+b）2＝a2+b211．下列各數(shù)中是無理數(shù)的是（）A．0 B． C． D．0.512．如圖是二次函數(shù)的圖象，使成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．某班從三名男生(含小強(qiáng))和五名女生中，選四名學(xué)生參加學(xué)校舉行的“中華古詩文朗誦大賽”，規(guī)定女生選n名，若男生小強(qiáng)參加是必然事件，則n=__________．14．如圖，已知l1∥l2∥l3，直線l4、l5被這組平行線所截，且直線l4、l5相交于點(diǎn)E，已知AE＝EF＝1，F(xiàn)B＝3，則＝_____．15．設(shè)x1，x2是方程x2+3x﹣1＝0的兩個根，則x1+x2＝_____．16．已知拋物線y＝2x2﹣5x+3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_____．17．b和2的比例中項(xiàng)是4，則b＝__．18．若方程x2﹣2x﹣1＝0的兩根分別為x1，x2，則x1+x2﹣x1x2的值為_____．三、解答題（共78分）19．（8分）為滿足社區(qū)居民健身的需要，市政府準(zhǔn)備采購若干套健身器材免費(fèi)提供給社區(qū)，經(jīng)考察，勁松公司有A，B兩種型號的健身器材可供選擇．（1）勁松公司2015年每套A型健身器材的售價為2.5萬元，經(jīng)過連續(xù)兩年降價，2017年每套售價為1.6萬元，求每套A型健身器材年平均下降率n；（2）2017年市政府經(jīng)過招標(biāo)，決定年內(nèi)采購并安裝勁松公司A，B兩種型號的健身器材共80套，采購專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)總計不超過112萬元，采購合同規(guī)定：每套A型健身器材售價為1.6萬元，每套B型健身器材售價為1.5（1﹣n）萬元．①A型健身器材最多可購買多少套？②安裝完成后，若每套A型和B型健身器材一年的養(yǎng)護(hù)費(fèi)分別是購買價的5%和15%，市政府計劃支出10萬元進(jìn)行養(yǎng)護(hù)，問該計劃支出能否滿足一年的養(yǎng)護(hù)需要？20．（8分）新羅區(qū)某校元旦文藝匯演，需要從3名女生和1名男生中隨機(jī)選擇主持人．（1）如果選擇1名主持人，那么男生當(dāng)選的概率是多少？（2）如果選擇2名主持人，用畫樹狀圖(或列表)求出2名主持人恰好是1男1女的概率．21．（8分）如圖，為測量小島A到公路BD的距離，先在點(diǎn)B處測得∠ABD＝37°，再沿BD方向前進(jìn)150m到達(dá)點(diǎn)C，測得∠ACD＝45°，求小島A到公路BD的距離．(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)22．（10分）隨著經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，環(huán)境問題越來越受到人們的關(guān)注．某校為了了解節(jié)能減排、垃圾分類等知識的普及情況，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，調(diào)查結(jié)果分為“非常了解”“了解”“了解較少”“不了解”四類，并將結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)統(tǒng)計圖回答下列問題：（1）本次調(diào)查的學(xué)生共有___________人，估計該校名學(xué)生中“不了解”的人數(shù)是__________人；（2）將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；（3）“非常了解”的人中有，兩名男生，，兩名女生，若從中隨機(jī)抽取兩人去參加環(huán)保知識競賽，請用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到名男生的概率．23．（10分）教材習(xí)題第3題變式如圖，AD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D分別作AC和AB的平行線，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F.求證：四邊形AEDF是菱形．24．（10分）數(shù)學(xué)概念若點(diǎn)在的內(nèi)部，且、和中有兩個角相等，則稱是的“等角點(diǎn)”，特別地，若這三個角都相等，則稱是的“強(qiáng)等角點(diǎn)”.理解概念（1）若點(diǎn)是的等角點(diǎn)，且，則的度數(shù)是.（2）已知點(diǎn)在的外部，且與點(diǎn)在的異側(cè)，并滿足，作的外接圓，連接，交圓于點(diǎn).當(dāng)?shù)倪厺M足下面的條件時，求證：是的等角點(diǎn).（要求：只選擇其中一道題進(jìn)行證明！）①如圖①，②如圖②，深入思考（3）如圖③，在中，、、均小于，用直尺和圓規(guī)作它的強(qiáng)等角點(diǎn).（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）下列關(guān)于“等角點(diǎn)”、“強(qiáng)等角點(diǎn)”的說法：①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點(diǎn)；②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點(diǎn)；③正三角形的中心是它的強(qiáng)等角點(diǎn)；④若一個三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn)，則該點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等；⑤若一個三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn)，則該點(diǎn)是三角形內(nèi)部到三個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，其中正確的有.（填序號）25．（12分）建設(shè)中的大外環(huán)路是我市的一項(xiàng)重點(diǎn)民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量為120萬立方，原計劃由公司的甲、乙兩個工程隊從公路的兩端同時相向施工150天完成.由于特殊情況需要，公司抽調(diào)甲隊外援施工，由乙隊先單獨(dú)施工40天后甲隊返回，兩隊又共同施工了110天，這時甲乙兩隊共完成土方量103.2萬立方.（1）問甲、乙兩隊原計劃平均每天的施工土方量分別為多少萬立方？（2）在抽調(diào)甲隊外援施工的情況下，為了保證150天完成任務(wù)，公司為乙隊新購進(jìn)了一批機(jī)械來提高效率，那么乙隊平均每天的施工土方量至少要比原來提高多少萬立方才能保證按時完成任務(wù)？26．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點(diǎn)C，使DC＝BD，連結(jié)AC，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：AB＝AC；（2）求證：DE為⊙O的切線；（3）若⊙O的半徑為5，sinB＝，求DE的長．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【解析】試題分析：根據(jù)三視圖中，從左邊看得到的圖形是左視圖,因此從左邊看第一層是兩個小正方形，第二層左邊一個小正方形，故選D考點(diǎn)：簡單組合體的三視圖2、B【解析】根據(jù)中心對稱圖形的概念：如果一個圖形繞某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與它自身重合，我們就把這個圖形叫做中心對稱圖形，逐一判斷即可．【詳解】A.不是中心對稱圖形，故錯誤；B.是中心對稱圖形，故正確；C.不是中心對稱圖形，故錯誤；D.不是中心對稱圖形，故錯誤；故選：B．本題主要考查中心對稱圖形，掌握中心對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．3、C【分析】根據(jù)兩把直尺在刻度10處是對齊的及上面直尺的刻度11與下面直尺對應(yīng)的刻度是11.6，得出上面直尺的10個小刻度，對應(yīng)下面直尺的16個小刻度，進(jìn)而判斷出上面直尺的刻度16與下面直尺對應(yīng)的刻度即可．【詳解】解：由于兩把直尺在刻度10處是對齊的，觀察圖可知上面直尺的刻度11與下面直尺對應(yīng)的刻度是11.6，即上面直尺的10個小刻度，對應(yīng)下面直尺的16個小刻度，且上面的直尺在刻度15處與下面的直尺在刻度18處也剛好對齊，因此上面直尺的刻度16與下面直尺對應(yīng)的刻度是18+1.6=19.6，故答案為C本題考查了學(xué)生對圖形的觀察能力，通過圖形得出上面直尺的10個小刻度，對應(yīng)下面直尺的16個小刻度是解題的關(guān)鍵．4、A【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可得解.【詳解】.故選：A.此題屬于容易題，主要考查特殊角的三角函數(shù)值.失分的原因是沒有掌握特殊角的三角函數(shù)值.5、C【分析】等量關(guān)系為：原價×（1-下降率）2=26，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【詳解】解：第一次降價后的價格為45（1-x），

第二次降價后的價格為45（1-x）·（1-x）=45（1-x）2，

∴列的方程為45（1-x）2=26，

故選：C．本題考查求平均變化率的方法．若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2=b．6、D【分析】作DH∥BF交AC于H，根據(jù)三角形中位線定理得到FH=HC，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，據(jù)此計算得到答案．【詳解】解：作DH∥BF交AC于H，

∵AD是△ABC的中線，

∴BD=DC，

∴FH=HC，∴FC=2FH，

∵DH∥BF，，，∴AF：FC=1：6，∴AF：AC=1：7，

故選：D．本題考查平行線分線段成比例定理，作出平行輔助線，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7、D【分析】觀察圖形可知陰影部分小長方形的長為，再根據(jù)去除陰影部分的面積為950，列一元二次方程求解即可．【詳解】解：由圖可得出，整理，得，解得，（不合題意，舍去）．故選：D．本題考查的知識點(diǎn)是一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)圖形找出陰影部分小長方形的長是解此題的關(guān)鍵．8、D【分析】根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)，正六邊形的定義解答即可.【詳解】（1）如圖1，由作法知，△AOB,△BOC,△COD,△DOE,△EOF,△AOF都是等邊三角形，∴∠ABO=∠CBO=60°,∴∠ABC=120°,同理可證：∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=120°,∵AB=BC=CD=DE=EF=AF,∴六邊形ABCDEF是正六邊形，故甲正確；（2）如圖2，連接OB，OF，由作法知，OF=AF，AB=OB，∵OA=OF=OB，∴△AOF，△AOB是等邊三角形，∴∠OAF=∠OAB=60°,AB=AF,∴∠BAF=120°,同理可證，∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠FAB=120°,AB=BC=CD=DE=EF=AF,∴六邊形ABCDEF是正六邊形，故乙正確.故選D.本題考查了圓的知識，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，以及正六邊形的定義，熟練掌握各知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．9、D【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得答案．【詳解】∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝2∠BCD＝2×30°＝60°．故選：D．本題考查了圓的角度問題，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．10、A【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法與除法以，積的乘方和完全平方公式的知識求解即可求得答案．【詳解】解：A、，故A選項(xiàng)正確；B、，故B選項(xiàng)錯誤；C、，故C選項(xiàng)錯誤；D、，故D選項(xiàng)錯誤．故選：A．本題考查合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法與除法以，積的乘方和完全平方公式等知識，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.11、C【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，是無理數(shù)；0，，0.5是有理數(shù)；故選：C．本題考查了無理數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟記無理數(shù)的定義進(jìn)行解題．12、A【分析】先找出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象即可解決問題．【詳解】解：由圖象可知，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-3，0）和（1，0），

∴時，x的取值范圍為．故選：A．本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，對稱軸等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會數(shù)形結(jié)合,根據(jù)圖象確定自變量的取值范圍，屬于中考?？碱}型．二、填空題（每題4分，共24分）13、1;【解析】根據(jù)必然事件的定義可知三名男生都必須被選中，可得答案.【詳解】解：∵男生小強(qiáng)參加是必然事件，∴三名男生都必須被選中，∴只選1名女生，故答案為1.本題考查的是事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．14、【分析】由l1∥l2，根據(jù)根據(jù)平行線分線段成比例定理可得FG＝AC；由l2∥l3，根據(jù)根據(jù)平行線分線段成比例定理可得＝＝．【詳解】∵l1∥l2，AE＝EF＝1，∴＝＝1，∴FG＝AC；∵l2∥l3，∴＝＝，∴＝＝，故答案為．本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．15、﹣1．【分析】直接根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵x1，x2是方程x2+1x﹣1＝0的兩個根，∴x1+x2＝﹣1．故答案為﹣1．本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝-，x1x2＝．16、（0,3）【分析】要求拋物線與y軸的交點(diǎn)，即令x=0，解方程即可．【詳解】解：令x=0，則y=3，即拋物線y=2x2-5x+3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3）．故答案為（0，3）．本題考查了拋物線與y軸的交點(diǎn)．求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令x=0，即可求得交點(diǎn)縱坐標(biāo)．17、1．【分析】根據(jù)題意,b與2的比例中項(xiàng)為4,也就是b:4=4:2,然后再進(jìn)一步解答即可．【詳解】根據(jù)題意可得:B:4＝4:2,解得b＝1,故答案為:1．本題主要考查了比例線段,解題本題的關(guān)鍵是理解兩個數(shù)的比例中項(xiàng),然后列出比例式進(jìn)一步解答．18、1【解析】根據(jù)題意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，所以x1+x2﹣x1x2=2﹣（﹣1）=1．故答案為1．三、解答題（共78分）19、（1）20%；（2）①10；②不能．【解析】試題分析：（1）該每套A型健身器材年平均下降率n，則第一次降價后的單價是原價的（1﹣x），第二次降價后的單價是原價的（1﹣x）2，根據(jù)題意列方程解答即可．（2）①設(shè)A型健身器材可購買m套，則B型健身器材可購買（80﹣m）套，根據(jù)采購專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)總計不超過112萬元列出不等式并解答；②設(shè)總的養(yǎng)護(hù)費(fèi)用是y元，則根據(jù)題意列出函數(shù)y=1.6×5%m+1.5×（1﹣20%）×15%×（80﹣m）=﹣0.1m+11.1．結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．試題解析：（1）依題意得：2.5（1﹣n）2=1.6，則（1﹣n）2=0.61，所以1﹣n=±0.8，所以n1=0.2=20%，n2=1.8（不合題意，舍去）．答：每套A型健身器材年平均下降率n為20%；（2）①設(shè)A型健身器材可購買m套，則B型健身器材可購買（80﹣m）套，依題意得：1.6m+1.5×（1﹣20%）×（80﹣m）≤112，整理，得1.6m+96﹣1.2m≤1.2，解得m≤10，即A型健身器材最多可購買10套；②設(shè)總的養(yǎng)護(hù)費(fèi)用是y元，則y=1.6×5%m+1.5×（1﹣20%）×15%×（80﹣m），∴y=﹣0.1m+11.1．∵﹣0.1＜0，∴y隨m的增大而減小，∴m=10時，y最?。適=10時，y最小值=﹣01×10+11.1=10.1（萬元）．又∵10萬元＜10.1萬元，∴該計劃支出不能滿足養(yǎng)護(hù)的需要．考點(diǎn)：1.一次函數(shù)的應(yīng)用；2.一元一次不等式的應(yīng)用；3.一元二次方程的應(yīng)用．20、（1）；（2）見解析，【分析】（1）由題意根據(jù)所有出現(xiàn)的可能情況，然后由概率公式即可求出男生當(dāng)選的概率；（2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與選出的是1名男生1名女生的情況，然后由概率公式即可求解．【詳解】解：(1)∵需要從3名女生和1名男生中隨機(jī)選擇1名主持人，∴男生當(dāng)選的概率P（男生）=.(2)根據(jù)題意畫畫樹狀圖，總共有12種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，而2名主持人恰好是1男1女的結(jié)果有6種，所以2名主持人恰好是1男1女的概率P（一男一女）=.本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．注意樹狀圖與列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；另外注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21、1米．【分析】過A作AE⊥CD垂足為E，設(shè)AE＝x米，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BE＝x，CE＝x，根據(jù)BC＝BE﹣CE，得到關(guān)于x的方程，即可得出答案．【詳解】解：過A作AE⊥CD垂足為E，設(shè)AE＝x米，在Rt△ABE中，tan∠B＝，∴BE＝＝x，在Rt△ABE中，tan∠ACD＝，∴CE＝＝x，∵BC＝BE﹣CE，∴x﹣x＝150，解得：x＝1．答：小島A到公路BD的距離為1米．本題考查了三角函數(shù)和一元一次方程的問題，掌握特殊三角函數(shù)值和解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵．22、（1）50，600；（2）見解析；（3）見解析，【分析】（1）用“非常了解”的人數(shù)除以其對應(yīng)百分比可得總?cè)藬?shù)，用1減去其他所占的百分比可得“不了解”的學(xué)生所占百分比，用2000乘以“不了解”的學(xué)生所占百分比即可得“不了解”的學(xué)生人數(shù)；（2）先求出“不了解”的人數(shù)，再補(bǔ)充條形統(tǒng)計圖即可；（3）根據(jù)題意畫出表格，可得一共12種抽取情況，恰好抽到2名男生的情況有2種，再利用概率公式計算即可．【詳解】解：（1）本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為人；“不了解”的學(xué)生所占百分比為，估計該校名學(xué)生中“不了解”的人數(shù)約有（人）（2）30%×50=15（人）如下圖（3）列表如下，由表可知共有種可能的結(jié)果，恰好抽到名男生的結(jié)果有個，（恰好抽到名男生）本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用以及樹狀圖和表格求遠(yuǎn)概率，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．23、見解析【分析】由已知易得四邊形AEDF是平行四邊形，由角平分線和平行線的定義可得∠FAD=∠FDA，根據(jù)等角對等邊可得AF=DF，再根據(jù)鄰邊相等的四邊形是菱形可得結(jié)論．【詳解】證明：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD=∠FAD，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠FDA，∴AF=DF，∴四邊形AEDF是菱形．此題主要考查了菱形的判定，關(guān)鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．24、（1）100、130或1；（2）選擇①或②，理由見解析；（3）見解析；（4）③⑤【分析】（1）根據(jù)“等角點(diǎn)”的定義，分類討論即可；（2）①根據(jù)在同圓中，弧和弦的關(guān)系和同弧所對的圓周角相等即可證明；②弧和弦的關(guān)系和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、弧和弦的關(guān)系和同弧所對的圓周角相等作圖即可；（4）根據(jù)“等角點(diǎn)”和“強(qiáng)等角點(diǎn)”的定義，逐一分析判斷即可．【詳解】（1）（i）若=時，∴==100°（ii）若時，∴（360°－）=130°；（iii）若=時，360°－－=1°，綜上所述：=100°、130°或1°故答案為：100、130或1．（2）選擇①：連接∵∴∴∵，∴∴是的等角點(diǎn)．選擇②連接∵∴∴∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，∴∵∴∴是的等角點(diǎn)（3）作BC的中垂線MN，以C為圓心，BC的長為半徑作弧交MN與點(diǎn)D，連接BD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和作圖方法可得：BD=CD=BC∴△BCD為等邊三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分線交MN于點(diǎn)O以O(shè)為圓心OB為半徑作圓，交AD于點(diǎn)Q，圓O即為△BCD的外接圓∴∠BQC=180°－∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=（360°－∠BQC）=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如圖③，點(diǎn)即為所求．（4）③⑤．①如下圖所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O為△ABC的內(nèi)心假設(shè)∠BAC=60°，∠ACB=30°∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=15°∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120°顯然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①錯誤；②對于鈍角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角點(diǎn)的定義，故②錯誤；③正三角形的每個中心角都為：360°÷3=120°，滿足強(qiáng)等角點(diǎn)的定義，所以正三角形的中心是它的強(qiáng)等角點(diǎn)，故③正確；④由（3）可知，點(diǎn)Q為△ABC的強(qiáng)等角，但Q不在BC的中垂線上，故QB≠Q(mào)C，故④錯誤；⑤由（3）可知，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角都小于時，必存在強(qiáng)等角點(diǎn)．如圖④，在三個內(nèi)角都小于的內(nèi)任取一點(diǎn)，連接、、，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，∵由旋轉(zhuǎn)得，，∴是等邊三角形．∴∴∵、是定點(diǎn)，∴當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時，最小，即最?。?dāng)為的強(qiáng)等角點(diǎn)時，，此時便能保證、、、四點(diǎn)共線，進(jìn)而使最小．故答案為：③⑤．此題考查的是新定義類問題、圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、圓的內(nèi)接多邊形綜合大題，掌握“等角點(diǎn)”和“強(qiáng)等角點(diǎn)”的定義、圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、圓的內(nèi)接多邊形中心角公式和分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決此題的關(guān)鍵．