專(zhuān)題12.1命題、定義、定理與證明（舉一反三講義） 【華東師大版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1判斷是否是命題】 2【題型2寫(xiě)出命題的題設(shè)與結(jié)論】 2【題型3判斷命題真假】 3【題型4舉反例】 4【題型5定理與證明】 4【題型6寫(xiě)出一個(gè)命題的已知、求證及證明】 4【題型7已知證明過(guò)程填寫(xiě)理論依據(jù)】 5【題型8根據(jù)給出的論斷組命題并證明】 7知識(shí)點(diǎn)1命題1.判斷某一件事情的語(yǔ)句叫命題．2.命題的定義包含兩層含義（1）命題必須是一個(gè)完整的句子，常為陳述句；（2）命題必須對(duì)某件事情作出肯定或否定的判斷．知識(shí)點(diǎn)2命題的組成與分類(lèi)1.許多命題由條件和結(jié)論兩部分組成．條件是已知的事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．這樣的命題通常可寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式．用“如果”開(kāi)始的部分是條件，用“那么”開(kāi)始的部分就是結(jié)論．2.命題分真假命題，正確的命題稱(chēng)為真命題，不正確的命題稱(chēng)為假命題．要判斷一個(gè)命題是真命題，可以用演繹推理加以論證；而要判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子，說(shuō)明該命題不成立，即只要舉出一個(gè)符合該命題條件而不符合該命題結(jié)論的例子就可以了．在數(shù)學(xué)中，這種方法稱(chēng)為“舉反例”．知識(shí)點(diǎn)3定義我們需要用不同的語(yǔ)句來(lái)說(shuō)明我們學(xué)過(guò)的許多名詞各自所包含的確切意義，例如，我們用“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”來(lái)說(shuō)明“平行線”所包含的意義．這樣的語(yǔ)句叫做這些名詞的定義．知識(shí)點(diǎn)4定理公認(rèn)的真命題稱(chēng)為基本事實(shí)．?dāng)?shù)學(xué)中，有些命題可以從基本事實(shí)或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理．對(duì)于基本事實(shí)，它是不需要推理論證的真命題，它可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)，它是經(jīng)過(guò)證明的真命題，但并不是所有的真命題都是定理，定理可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)．知識(shí)點(diǎn)5證明及證明的一般步驟1.根據(jù)條件、定義以及基本事實(shí)、定理等，經(jīng)過(guò)演繹推理，來(lái)判斷一個(gè)命題是否正確，這樣的推理過(guò)程叫做證明．2.證明的一般步驟根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫(xiě)出已知、求證，經(jīng)過(guò)分析找出由已知推出結(jié)論的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程，并注明依據(jù)．【題型1判斷是否是命題】【例1】（2425七年級(jí)下·四川德陽(yáng)·期中）下列語(yǔ)句是命題的有（）個(gè)．①你喜歡數(shù)學(xué)嗎？②熊貓沒(méi)有翅膀；③任何一個(gè)三角形一定有直角；④作線段AB=CD；⑤無(wú)論n是怎樣的自然數(shù)，式子n2?n+11的值都是質(zhì)數(shù)；A．3 B．4 C．5 D．6【變式11】（2526八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）下列語(yǔ)句是命題的是（

）A．作AB∥CD B．若∠1=∠2，∠2=∠3C．兩條直線被第三條直線所截 D．一條鐵路的兩根鐵軌是平行的嗎【變式12】（2526八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）下列選項(xiàng)中不是命題的是（

）A．正數(shù)大于負(fù)數(shù) B．過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的平行線C．三角形的任意兩邊之和大于第三邊 D．如果a=b,a=c，那么b=c【變式13】給出下列語(yǔ)句：①畫(huà)出已知角等于兩個(gè)已知角的和；②鈍角總大于直角；③過(guò)點(diǎn)A畫(huà)直線AB∥CD；④相等且互補(bǔ)的兩個(gè)角都是直角．其中是命題的是（

）A．只有④ B．①②④ C．②④ D．①②③④【題型2寫(xiě)出命題的題設(shè)與結(jié)論】【例2】（2425七年級(jí)下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）“垂線段最短”的題設(shè)是，結(jié)論是．【變式21】（2526七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）命題“度數(shù)之和為90°的兩個(gè)角互為余角”的條件是（

）A．90° B．兩個(gè)角 C．度數(shù)之和為90° D．度數(shù)之和為90°的兩個(gè)角【變式22】（2526八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如果∠A>∠B,∠B>∠C，那么∠A>∠C，這個(gè)命題的條件是，結(jié)論是．【變式23】（2425七年級(jí)下·上海金山·期末）將命題“在三角形中，大邊對(duì)大角”改寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式是．【題型3判斷命題真假】【例3】（2425七年級(jí)下·江蘇蘇州·期末）如圖，線段AC,BD相交于點(diǎn)O，連接AD,BC，并延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，∠BCA的平分線與∠BDE的平分線相交于點(diǎn)M．①若∠A=2∠BCM，則AE∥BC；②若∠M=2∠BDM，則AE∥MC；③若∠A=∠B，則∠EDM+∠BCM=90°；④若∠ADO=∠BCO，則A．1 B．2 C．3 D．4【變式31】（2425七年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期末）命題“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等”是命題（真/假）．【變式32】（2526八年級(jí)上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）命題：①對(duì)頂角相等；②相等的角是對(duì)頂角；③垂直于同一條直線的兩條直線平行；④平行于同一條直線的兩條直線平行．其中是真命題的有．（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)序號(hào)）【變式33】（2425七年級(jí)下·內(nèi)蒙古通遼·期末）如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AC，AB上，連接DE，DF．下列四個(gè)命題中，是真命題的是（

）①若∠BFD=∠A，則DF∥②若∠EDF=∠DEC，則DF∥③若∠A+∠AED=180°，則④若∠B=∠EDF，則AB∥A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④【題型4舉反例】【例4】（2425七年級(jí)下·陜西西安·期末）能說(shuō)明命題“兩個(gè)銳角的和一定是鈍角”是假命題的反例是（

）A．∠1=82°，∠2=40° B．∠1=89°，∠2=2°C．∠1=65°，∠2=30° D．∠1=30°，∠2=20°【變式41】為說(shuō)明命題“如果a=b，那么a=b”是假命題，你舉出的一個(gè)反例是【變式42】（2425七年級(jí)下·湖北宜昌·期末）對(duì)于命題“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能說(shuō)明它是假命題的反例是（

）A．∠1=45°,∠2=45° B．∠1=30°,∠2=60°C．∠1=60°,∠2=60° D．∠1=30°,∠2=40°【變式43】（2425七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷命題“如果0<n<1，那么n2?1>0”是假命題，只需舉出一個(gè)反例，反例中的值可以是【題型5定理與證明】【例5】請(qǐng)舉出一個(gè)關(guān)于角相等的定理：．【變式51】下列語(yǔ)句中，是定義的是（

）A．若兩角之和為90°，則這兩個(gè)角互余 B．相等的角是對(duì)頂角C．同角的余角相等 D．延長(zhǎng)BC至D使CD=BC【變式52】（2425七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）定理可以作為證明后續(xù)命題的，根據(jù)，可以得到推論：三角形的外角等于與它不相鄰的的和．【變式53】下列命題可以作定理的有個(gè)．①2與6的平均值是8；②能被3整除的數(shù)能被6整除；③5是方程12x+7=9x+2【題型6寫(xiě)出一個(gè)命題的已知、求證及證明】【例6】命題：直角三角形的兩銳角互余．

(1)將此命題寫(xiě)成“如果…，那么…”：________________________；(2)請(qǐng)判斷此命題的真假．若為假命題，請(qǐng)說(shuō)明理由；若為真命題，請(qǐng)根據(jù)所給圖形寫(xiě)出已知、求證和證明過(guò)程．【變式61】（2425七年級(jí)下·江蘇南京·期末）請(qǐng)將三角形內(nèi)角和定理的推論補(bǔ)充完整并加以證明．定理：三角形的外角等于_____________________的和．已知：求證：【變式62】證明：平行于同一條直線的兩條直線平行．已知：____________．求證：____________．證明：【變式63】（2425七年級(jí)下·山東泰安·期中）證明三角形的內(nèi)角和為180°．要求：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合畫(huà)出的圖形寫(xiě)出已知和求證，并嘗試證明．【題型7已知證明過(guò)程填寫(xiě)理論依據(jù)】【例7】（2425七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材習(xí)題8.1第6題部分內(nèi)容．如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)D．試找出∠D與△ABC的內(nèi)角∠A之間的關(guān)系．（1）小明閱讀題目后，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入∠A的度數(shù)，即可求∠D的度數(shù)．①當(dāng)∠A=60°時(shí)，∠D=___________度；當(dāng)∠A=120°時(shí)，∠D=___________度；②于是小明猜想∠D與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________；（2）以下是小明完成猜想證明的部分過(guò)程：證明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=1∵CD平分∠ACE，∴∠DCE=∠ACD=1證明過(guò)程缺失請(qǐng)你補(bǔ)全缺失的證明過(guò)程．【結(jié)論應(yīng)用】（3）如圖，在四邊形ABCD中，BF平分∠ABC,CG平分外角∠DCE，連結(jié)FG．若∠A=140°，∠D=90°，則∠F+∠G=___________度．【變式71】補(bǔ)全下列推理過(guò)程：如圖，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，試說(shuō)明DG∥BA．解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知），∴∠BFE=∠BDA=90°（垂直的定義），∴EF∥AD（____________）．∴∠2=∠3（____________）．∵∠1=∠2（已知），∴____________（等量代換）．∴DG∥AB（____________）．【變式72】（2425七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·期末）如圖，D是△ABC邊BC上的一點(diǎn)，∠B=∠BAD，∠ADC=70°．(1)求∠B的度數(shù)：請(qǐng)?jiān)诮獯疬^(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容．（理由或數(shù)學(xué)式）解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，∠ADC=70°（已知），∴∠B+______=∠ADC=70°（______）．又∵∠B=∠BAD（已知），∴∠B=______°．（等量代換）(2)若AD平分∠BAC，求∠C的度數(shù)．（請(qǐng)寫(xiě)出完整的解答過(guò)程）【變式73】（2425七年級(jí)下·廣東茂名·階段練習(xí)）如圖，∠1=∠2，∠3+∠4=180°．試說(shuō)明：AC∥請(qǐng)你完成下列推理過(guò)程（括號(hào)內(nèi)寫(xiě)出理由）：解：因?yàn)椤?=∠2，（已知）所以∥．（因?yàn)椤?+∠4=180°，（已知）所以∥，（所以AC∥【題型8根據(jù)給出的論斷組命題并證明】【例8】如圖，直線a，b，c被直線m，n所截，有下列命題：①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③m∥n．從①②③中選出兩個(gè)作為條件，第三個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)真命題，并說(shuō)明理由．【變式81】如圖，現(xiàn)有以下3個(gè)論斷：①AB∥CD；②∠B＝

(1)請(qǐng)寫(xiě)出所有的真命題；(2)請(qǐng)選擇其中一個(gè)命題加以證明．【變式82】【閱讀】在證明命題“如果a>b>0，c<0，那么a2證明：∵a>b>0，∴a2>．∴a2∵a>b，c<0，∴bc>．∴ab+bc>．∴a2【問(wèn)題解決】(1)請(qǐng)將上