考點(diǎn)1二次根式二次根式概念：一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)，如都是二次根式．考點(diǎn)2二次根式的性質(zhì)1.的性質(zhì)符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言一個(gè)非負(fù)數(shù)的算數(shù)平方根是非負(fù)數(shù)提示有最小值，為02.根的方的性質(zhì)符號(hào)語(yǔ)言____（）應(yīng)用（1）正用：（2）逆用：若a≥0，則，如提示逆用可以再實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：如3.方的根（）的性質(zhì)符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言任意一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值應(yīng)用（1）正用：（2）逆用：考點(diǎn)3最簡(jiǎn)二次根式1.最簡(jiǎn)二次根式的概念（1）被開(kāi)方數(shù)不含______（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方開(kāi)得盡的______2.化簡(jiǎn)二次根式的一般方法方法舉例將被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡得因數(shù)或因式進(jìn)行開(kāi)方化去根號(hào)下的分母若被開(kāi)方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，先將被開(kāi)方數(shù)化成假分?jǐn)?shù)若被開(kāi)方數(shù)中含有小數(shù)，先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)若被開(kāi)方數(shù)時(shí)分式，先將分式分母化成能轉(zhuǎn)化為平方的形式，再進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算(a＞0，b＞0，c＞0）被開(kāi)方數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化（1）分母有理化：當(dāng)分母含有根式時(shí)，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號(hào)。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號(hào)．考點(diǎn)4二次根式的乘法法則1.二次根式乘法法則：______（二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變）．2.二次根式的乘法法則逆用：積的算術(shù)平方根：_____．3.二次根式的乘法法則的推廣（1（2），即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)之積作為被開(kāi)方數(shù)．考點(diǎn)5二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則____（二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變）2二次根式的除法法則逆用：商的算術(shù)平方根：______3.二次根式的除法法則的推廣考點(diǎn)6同類二次根式同類二次根式概念：化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)______的二次根式叫做同類二次根式．合并同類二次根式的方法：把根號(hào)外的因數(shù)（式）_____，根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)______，合并的依據(jù)式乘法分配律，如考點(diǎn)7二次根式的加減1.二次根式加減法則：先將二次根式化成______，再將被開(kāi)方數(shù)______的二次根式進(jìn)行合并．2.二次根式加減運(yùn)算的步驟：①化：將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；②找：找出化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式——將“系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)保持不變．考點(diǎn)8二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去掉括號(hào)）．二次根式的雙重非負(fù)性：（1）時(shí)，二次根式有意義，時(shí)，二次根式無(wú)意義；（2）“0”+“0”型：三類非負(fù)數(shù)：，，；【例題】1.要使式子有意義，則x的取值范圍是_______；2.若，則的算術(shù)平方根是_________．3.若實(shí)數(shù)m、n滿足，求的平方根．【練經(jīng)典】4.若無(wú)意義，則x的取值范圍是（）A.x＞0 B.x≤3 C.x＞3 D.x≥35.要使式子有意義，則x的取值范圍為_(kāi)_______．6.若，則_________．7.已知，則當(dāng)______時(shí)，的最大值=________．8.若，則________．【練易錯(cuò)】易錯(cuò)點(diǎn)：判斷二次根式有意義考慮不全造成答案不完整9.若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是（）A.且 B. C.且 D.10.若有意義，則的取值范圍是_________．根的方與方的根（1）根的方：，被開(kāi)方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)；（2）方的根：，結(jié)果必須是非負(fù)數(shù)．【例題】11.計(jì)算：．12.已知a、b、c是三角形的三邊，化簡(jiǎn)：．練經(jīng)典】13.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.14.對(duì)于實(shí)數(shù)a，如果，那么下列結(jié)論正確的是（）．A. B. C. D.15.已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）．A. B. C. D.【練易錯(cuò)】易錯(cuò)點(diǎn)：運(yùn)用時(shí)，忽略a≥016.已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A. B. C.1 D.17.若，，且，則__．二次根式的化簡(jiǎn)（1）利用“根的方”和“方的根”把二次根式化為整式；（2）利用積的算術(shù)平方根和商的算術(shù)平方根把二次根式中開(kāi)得盡方的因式開(kāi)出來(lái)；（3）利用分母有理化把二次根式中分母的根號(hào)化去．【例題】18.化簡(jiǎn)_____．（其中<0，＞0）19.已經(jīng)，化簡(jiǎn)：．20.計(jì)算：．【練經(jīng)典】21.化簡(jiǎn)：（）A. B. C. D.22.把中根號(hào)前的（m－1）移到根號(hào)內(nèi)得（）A. B. C. D.23.化簡(jiǎn)：__________．24.化簡(jiǎn)：二次根式的混合運(yùn)算（1）通常先將二次根式化簡(jiǎn)；（2）對(duì)于二次根式的乘法運(yùn)算，可以參照整式的乘法進(jìn)行運(yùn)算；（3）對(duì)于二次根式的除法運(yùn)算，通常先將其寫成分式的形式，再通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；（4）二次根式的加減法與整式的加減法類似，即在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式；（5）運(yùn)算結(jié)果一般要化成整式或最簡(jiǎn)二次根式；【例題】25.計(jì)算：（1）（2）26.（1）計(jì)算：．（2）化簡(jiǎn)：．【練經(jīng)典】27.下列運(yùn)算正確的是（）A.＝ B.5＝5C.×＝ D.＝328.計(jì)算：=______________29.（1）計(jì)算：（2）計(jì)算：30.計(jì)算：二次根式的大小比較（1）利用平方法比較兩個(gè)二次根式的大小（2）利用作差法比較兩個(gè)二次根式的大?。?）利用作商法比較兩個(gè)二次根式的大小（4）利用倒數(shù)法比較兩個(gè)二次根式的大小【例題】31.比較和的大?。ㄆ椒椒ǎ?2.比較和的大?。ㄗ鞑罘ǎ?3.比較與的大小（作商法）34.比較與的大?。ǖ箶?shù)法）【練經(jīng)典】35.計(jì)算4＋×的結(jié)果估計(jì)在（）A.10與11之間 B.9與10之間 C.8與9之間 D.7與8之間36.比較大小：2______4（填“＞”或“=”或“＜”）37.比較和的大??；38.比較與的大?。胃降幕?jiǎn)求值（1）已知字母的值化簡(jiǎn)求值（2）已知條件式化簡(jiǎn)求值【例題】39.已知，求代數(shù)式．40.已知且，請(qǐng)化簡(jiǎn)并求值：【練經(jīng)典】41.若實(shí)數(shù)，滿足，則的值是______________．42.已知，且x為奇數(shù)，求（1+x）?的值．43.先化簡(jiǎn)，再求值：已知a＝，求的值．44.已知，，求式子的值．【新定義小練】45.對(duì)于任意的正數(shù)m，n定義運(yùn)算為：，計(jì)算的結(jié)果為_(kāi)_____．46.我們規(guī)定運(yùn)算符號(hào)“△”的意義是：當(dāng)a＞b時(shí)，a△b＝a＋b；當(dāng)a≤b時(shí)，a△b＝a－b，其它運(yùn)算符號(hào)的意義不變，計(jì)算：(△)－(2△3)＝__________.47.若a+b=2，則稱a與b是關(guān)于1的平衡數(shù)．（1）3與是關(guān)于1的平衡數(shù)，5﹣與是關(guān)于1的平衡數(shù)；（2）若（m+）×（1﹣）=﹣5+3，判斷m+與5﹣是否是關(guān)于1的平衡數(shù)，并說(shuō)明理由．【閱讀材料類小練】48.閱讀材料：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，那么這個(gè)三角形的面積S＝．這個(gè)公式叫“海倫公式”，它是利用三角形三條邊的邊長(zhǎng)直接求三角形面積的公式．中國(guó)的秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術(shù)，故這個(gè)公式又被稱為“海倫﹣﹣秦九韶公式”．完成下列問(wèn)題：如圖，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．（1）求△ABC的面積；（2）設(shè)AB邊上的高為h1，AC邊上的高為h2，求h1+h2的值．49.在數(shù)學(xué)課上，老師說(shuō)統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的平均數(shù)不是只有算術(shù)平均數(shù)一種，好學(xué)的小聰通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索，又得到了兩種平均數(shù)的定義，他把三種平均數(shù)的定義整理如下：對(duì)于兩個(gè)數(shù)a，b，稱為a，b這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，稱為a，b這兩個(gè)數(shù)幾何平均數(shù)，稱為a，b這兩個(gè)數(shù)的平方平均數(shù)．小聰根據(jù)上述定義，探究了一些問(wèn)題，下面是他的探究過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整：（1）若a=1，b=2，則M=，N=，P=；（2）小聰發(fā)現(xiàn)當(dāng)a，b兩數(shù)異號(hào)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)N沒(méi)有意義，所以決定只研究當(dāng)a，b都是正數(shù)時(shí)這三種平均數(shù)的大小關(guān)系．結(jié)合乘法公式和勾股定理的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，他選擇構(gòu)造幾何圖形，用面積法解決問(wèn)題：如圖，畫出邊長(zhǎng)為a+b的正方形和它的兩條對(duì)角線，則圖1中陰影部分的面積可以表示N2．①請(qǐng)分別在圖2，圖3中用陰影標(biāo)出一個(gè)面積為M2，P2的圖形；②借助圖形可知當(dāng)a，b都是正數(shù)時(shí)，M，N，P的大小關(guān)系是：（把M，N，P從小到大排列，并用“＜”或“≤”號(hào)連接）．50.【閱讀學(xué)習(xí)】小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中，，，均為整數(shù)），則有．∴，．這樣小明就找到了一種把的式子化為平方式的方法．【解決問(wèn)題】（1）當(dāng)，，，均為正整數(shù)時(shí)，若，用含，的式子分別表示，，得：______，______；（2）利用（1）結(jié)論，找一組正整數(shù)，使得成立，且的值最小．請(qǐng)直接寫出，，，的值；（3）若，且，，均為正整數(shù)，求的值．【規(guī)律類小練】51.將一組數(shù)，，3，，，…，，按下面的方式進(jìn)行排列：按這樣的方式進(jìn)行下去，將所在的位置記為，所在的位置記為，那么（1）所在的位置應(yīng)記為；（2）在的位置上的數(shù)是，所在的位置應(yīng)記為；（3）這組數(shù)中最大的有理數(shù)所在的位置應(yīng)記為