1.1.2四種命題1.1.3四種命題間的相互關(guān)系[學(xué)習(xí)目標]1.理解四種命題的概念，能寫出某命題的逆命題、否命題和逆否命題.2.知道四種命題之間的相互關(guān)系以及真假性之間的聯(lián)系.3.會利用逆否命題的等價性解決問題.知識點一四種命題的概念(1)互逆命題：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題叫做原命題，另一個叫做原命題的逆命題.(2)互否命題：對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這兩個命題叫做互否命題.其中一個命題叫做原命題，另一個叫做原命題的否命題.(3)互為逆否命題：對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這兩個命題叫做互為逆否命題.其中一個命題叫做原命題，另一個叫做原命題的逆否命題.知識點二四種命題的真假性的判斷原命題為真，它的逆命題不一定為真；它的否命題也不一定為真.原命題為真，它的逆否命題一定為真.題型一四種命題的概念例1寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假.(1)若m·n<0，則方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根；(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的??；(3)若m≤0或n≤0，則m＋n≤0；(4)在△ABC中，若a>b，則∠A>∠B.解(1)逆命題：若方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根，則m·n<0，假命題.否命題：若m·n≥0，則方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根，假命題.逆否命題：若方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根，則m·n≥0，真命題.(2)逆命題：若一條直線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直平分線，真命題.否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不過圓心或不平分弦所對的弧，真命題.逆否命題：若一條直線不經(jīng)過圓心或不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線，真命題.(3)逆命題：若m＋n≤0，則m≤0或n≤0，真命題.否命題：若m>0且n>0，則m＋n>0，真命題.逆否命題：若m＋n>0，則m>0且n>0，假命題.(4)逆命題：在△ABC中，若∠A>∠B，則a>b，真命題.否命題：在△ABC中，若a≤b，則∠A≤∠B，真命題.逆否命題：在△ABC中，若∠A≤∠B，則a≤b，真命題.反思與感悟(1)寫命題的四種形式時，首先要找出命題的條件和結(jié)論，然后寫出命題的條件的否定和結(jié)論的否定，再根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)寫出所求命題.(2)在寫命題時，為了使句子更通順，可以適當?shù)靥砑右恍┰~語，但不能改變條件和結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練1判斷下列命題的真假，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假.(1)若x2＋y2＝0，則x，y全為零；(2)若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac<0，則該函數(shù)圖象與x軸有交點.解(1)該命題為真命題.逆命題：若x，y全為零，則x2＋y2＝0，真命題.否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為零，真命題.逆否命題：若x，y不全為零，則x2＋y2≠0，真命題.(2)該命題為假命題.逆命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸有交點，則b2－4ac<0，假命題.否命題：若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac≥0，則該函數(shù)圖象與x軸無交點，假命題.逆否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸無交點，則b2－4ac≥0，假命題.題型二四種命題的關(guān)系例2下列命題：①“若xy＝1，則x、y互為倒數(shù)”的逆命題；②“四條邊相等的四邊形是正方形”的否命題；③“梯形不是平行四邊形”的逆否命題；④“若ac2>bc2，則a>b”的逆命題.其中是真命題的是________.答案①②③解析①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題是“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”，是真命題；②“四條邊相等的四邊形是正方形”的否命題是“四條邊不都相等的四邊形不是正方形”，是真命題；③“梯形不是平行四邊形”本身是真命題，所以其逆否命題也是真命題；④“若ac2>bc2，則a>b”的逆命題是“若a>b，則ac2>bc2”，是假命題.所以真命題是①②③.反思與感悟要判斷四種命題的真假：首先，要熟練掌握四種命題的相互關(guān)系，注意它們之間的相互性；其次，利用其他知識判斷真假時，一定要對有關(guān)知識熟練掌握.跟蹤訓(xùn)練2下列命題為真命題的是()①“正三角形都相似”的逆命題；②“若m>0，則x2＋2x－m＝0有實根”的逆否命題；③“若x－eq\r(2)是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”的逆否命題.A.①②③ B.②③C.①② D.①③答案B解析①原命題的逆命題為“若兩個三角形相似，則這兩個三角形是正三角形”，故為假命題.②原命題的逆否命題為“若x2＋2x－m＝0無實根，則m≤0”.∵方程無實根，∴判別式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故為真命題.③原命題的逆否命題為“若x不是無理數(shù)，則x－eq\r(2)不是有理數(shù)”.∵x不是無理數(shù)，∴x是有理數(shù).又eq\r(2)是無理數(shù)，∴x－eq\r(2)是無理數(shù)，不是有理數(shù)，故為真命題.正確的命題為②③，故選B.題型三等價命題的應(yīng)用例3判斷命題“已知a，x為實數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，則a<2”的逆否命題的真假.解原命題的逆否命題為“已知a，x為實數(shù)，若a≥2，則關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”.判斷真假如下：函數(shù)y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的圖象開口向上，判別式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因為a≥2，所以4a－7>0，即拋物線與x軸有交點，所以關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命題的逆否命題為真.反思與感悟因為原命題與它的逆否命題的真假性相同，所以我們可以利用這一點，通過證明原命題的逆否命題的真假性來肯定原命題的真假性.這種證明方法叫做逆否證法，它也是一種間接的證明方法.跟蹤訓(xùn)練3判斷命題“若m>0，則方程x2＋2x－3m＝0有實數(shù)根”的逆否命題的真假.解∵m>0，∴方程x2＋2x－3m＝0的判別式Δ＝12m＋4>0.∴原命題“若m>0，則方程x2＋2x－3m＝0有實數(shù)根”為真.又因原命題與它的逆否命題等價，所以“若m>0，則方程x2＋2x－3m＝0有實數(shù)根”的逆否命題也為真.化歸思想的應(yīng)用例4判斷命題“若x2－y2≠0，則x－y，x＋y中至少有一個不等于0”的真假.分析原命題的真假性不容易判斷，可以找出其逆否命題，若其逆否命題的真假性容易判斷，則根據(jù)互為逆否的兩個命題的真假性之間的關(guān)系，就可以解決原命題的真假性問題了.解原命題的逆否命題：若x－y，x＋y都等于0，則x2－y2＝0.由x－y＝0，x＋y＝0，得x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0.因此，原命題的逆否命題是真命題.所以原命題是真命題.解后反思條件與結(jié)論都含有否定詞的命題在判斷其真假時，會有一定的困難，這時最好轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假，這種化歸的思想是解題的重要思想方法.根據(jù)已知集合求參數(shù)范圍例5已知p：M＝{x|x2－2x－80≤0}，q：N＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0}.如果“若p，則q”為真，且“若q，則p”為假，求實數(shù)m的取值范圍.分析先求不等式的解集，再根據(jù)條件建立不等式組求解即可.解p：M＝{x|x2－2x－80≤0}＝{x|－8≤x≤10}，q：N＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0}＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}.因為“若p，則q”為真，且“若q，則p”為假，所以MN，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,1－m≤－8，,1＋m＞10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,1－m＜－8，,1＋m≥10，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,m≥9，,m＞9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,m＞9，,m≥9，))解得m＞9，即實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|m＞9)).解后反思由“若p，則q”為真，“若q，則p”為假，得M?N，但NM，故MN，即“1－m與－8”和“1＋m與10”不能同時取等號.事實上，當m＝9時，兩個集合相等.1.命題“若a?A，則b∈B”的否命題是()A.若a?A，則b?BB.若a∈A，則b?BC.若b∈B，則a?AD.若b?B，則a?A答案B解析命題“若p，則q”的否命題是“若綈p，則綈q”，“∈”與“?”互為否定形式.2.命題“若A∩B＝A，則A∪B＝B”的逆否命題是()A.若A∪B＝B，則A∩B＝AB.若A∩B≠A，則A∪B≠BC.若A∪B≠B，則A∩B≠AD.若A∪B≠B，則A∩B＝A答案C解析注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”.3.命題“若平面向量a，b共線，則a，b方向相同”的逆否命題是_______，它是______命題(填“真”或“假”).答案若平面向量a，b的方向不相同，則a，b不共線假4.給出以下命題：①“若a，b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)”的否命題；②“正多邊形都相似”的逆命題；③“若m>0，則x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題.其中為真命題的是________.答案③解析①否命題是“若a，b不都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)”.假命題.②逆命題是“若兩個多邊形相似，則這兩個多邊形為正多邊形”.假命題.③∵Δ＝1＋4m，m>0時，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有實根，即原命題為真.∴逆否命題為真.5.“若sinα＝eq\f(1,2)，則α＝eq\f(π,6)”的逆否命題是“__________________”，逆否命題是________命題(填“真”或“假”).答案若α≠e