1[教學(xué)目標(biāo)]1.理解常微分方程及其解的概念，能判別方程的階數(shù)、線性與非線性。2.掌握將實(shí)際問題建立成常微分方程模型的一般步驟。3.理解積分曲線和方向場的概念。[教學(xué)重難點(diǎn)]重點(diǎn)微分方程的基本概念，難點(diǎn)是積分曲線和方向場。[教學(xué)方法]講授，實(shí)踐。[教學(xué)內(nèi)容]常微分方程(偏微分方程)的概念，微分方程的階，隱式方程，顯式方程，線性(非線性)常微分方程；常微分方程的通解，特解，隱式解，初值問題，定解問題，積分曲線和方向場；建立常微分方程模型的具體方法。[考核目標(biāo)]常微分方程及其解的概念，會(huì)建立常微分方程模型。1、微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展常微分方程有著深刻而生動(dòng)的實(shí)際背景，它從生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生，又成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)分析問題與解決問題的強(qiáng)有力工具。該課程是與微積分一起成長起來的學(xué)科，是學(xué)習(xí)泛函分析、數(shù)理方程、微分幾何的必要準(zhǔn)備，本身也在工程力學(xué)、流體力學(xué)、天體力學(xué)、電路振蕩分析、工業(yè)自動(dòng)控制以及化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。300多年前，Newton與Leibniz奠定微積分基本思想的同時(shí)，就正式提出了微分方程的概念.17世紀(jì)末到18世紀(jì)，常微分方程研究的中心問題是如何求出通解的表達(dá)式.19世紀(jì)末到20世紀(jì)處，主要研究解的定性理論與穩(wěn)定性問題.20世紀(jì)進(jìn)入新的階段，定性上升到理論，進(jìn)一步發(fā)展分為解析法、幾何方法、數(shù)值方法.解析方法：是把微分方程的解看作是依靠這個(gè)方程來定義的自變量的函數(shù).幾何方法：(或定性方法)把微分方程的解看作是充滿平面或空間或其局部的曲線族.數(shù)值方法：求微分方程滿足一定初始條件(或邊界)條件的解的近似值的各種方法.微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡單的微分方程用級(jí)數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利、歐拉、法國數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。后來，法國天文學(xué)家勒維烈和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理論逐步完善的時(shí)候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支。2、微分方程模型微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際問題的重要渠道之一，將實(shí)際問題建立成微分方程模型最初并不是數(shù)學(xué)家做的，而是由化學(xué)家、生物學(xué)家和社會(huì)學(xué)家完成的。求解數(shù)學(xué)模型解答實(shí)際問題的信息數(shù)學(xué)模型解釋2?為任意常數(shù)3解經(jīng)過電感L、電阻R和電容C的電壓降分別為：,其中Q為電量，由基爾霍夫第二定律得到因?yàn)?于是有這就是電流I應(yīng)滿足的微分方程.如果e(t)=常熟，得到如果又有R=0,則得到英國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯(Malthus)在1798年提出了聞名于世的Malthus人口模型的基本假設(shè)是：在人口自然增長的過程中，凈相對(duì)增長率(單位時(shí)間內(nèi)人口的凈增長數(shù)與人口總數(shù)之比)是常數(shù)，記此常數(shù)為r(生命系數(shù)).在t到t+△t這段時(shí)間內(nèi)人口數(shù)量N=N(t)的增長量為于是N(t)滿足微分方程于是變量N和t被“分離”,兩邊積分得4其中c=e為任意常數(shù).(因?yàn)镹=0也是方程(1.17)的解.代入上式可得c=N?e?",.即方程(1.17)滿足初值條件(1.19)的解為增長率→0.增長率為1.85%,由Logistic模型.(1.21),,可得Nm=82.3×10?,20世紀(jì)70年代為40億左右時(shí)增長率最大的統(tǒng)計(jì)結(jié)果相符.5工程應(yīng)用模擬方法解決物理或工程問題的理論根據(jù).以上我們只舉出了常微分方程的一些簡單的實(shí)例，其實(shí)在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的其它領(lǐng)域中，都提出了大量的微分方程問題.所以說，社會(huì)的生產(chǎn)實(shí)踐是微分方程理論取之不盡的基本源泉.此外，常微分方程與數(shù)學(xué)的其它分支的關(guān)系也是非常密切的，它們往往互相聯(lián)系、互相促進(jìn).例如，幾何學(xué)就是常微分方程理論的豐富的源泉之一和有力工具.考慮到常微分方程是一門與實(shí)際聯(lián)系比較密切的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，我們自然應(yīng)該注意它的實(shí)際背景與應(yīng)用；.而作為一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，我們又應(yīng)該把重點(diǎn)放在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究微分方程本身的問題上.因此，在學(xué)習(xí)中，不應(yīng)該忽視課程中所列舉的實(shí)際例子以及有關(guān)的習(xí)題，并從中注意培養(yǎng)解決實(shí)際問題的初步能力.但是，按照課程的要求，我們要把主要精力集中到弄清常微分方程的一些基本理論和掌握各種類型方程的求解方法這兩方面來，這是本課程的重點(diǎn)，也是我們解決實(shí)際問題的必要工具.而解決的過程為：(1)建立方程；(2)求解方程；(3)分析問題.關(guān)鍵的是第一步，即對(duì)所研究問題，根據(jù)已知定律公式以及某些等量關(guān)系列出微分方程和相應(yīng)的初始條件.如果指出了由微分方程所確定的未知函數(shù)的求法，那么未知量間的關(guān)系便找到了.尋求微分方程所確定的未知函數(shù)是微分方程理論的基本問題.1、常微分方程和偏微分方程微分方程：將自變量、未知函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來的關(guān)系式.常微分方程：只含一個(gè)自變量的微分方程.偏微分方程：自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程.是常微分方程的例子，y是未知函數(shù)，僅含一個(gè)自變量t.是偏微分方程的例子，T是未知函數(shù)，x,y,z,t是自變量.微分方程的階數(shù)：微分方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).例如，方程(1.17)、(1.19)是二階的常微分方程，而方程(1.20)、(1.21)是二階的偏微分方程.一般的n階微分方程具有形式6是非線性微分方程，而(1.17)是一個(gè)二階的線性微分方程.一般其成為恒等式，稱y=φ(x)為方程(1.22)的解.如果關(guān)系式Φ(x,y)=0決定的隱函數(shù)y=φ(x)為方程(1.22)的解，稱Φ(x,y)=0是方程(1.22)的隱式解.例如，一階微分方程7其中特解：方程滿足特定條件的解.定解問題：求方程滿足定解條件的求解問題.定解條件分為初始條件和邊界條件，相應(yīng)的定解問題分為初值問題和邊值問題.就是一階方程(1.1)的通解；而的特解.5、積分曲線和方向場的解y=φ(x)是xy平面上的一條曲線，將它稱為微分方程的積分曲線；而方程(1.20)的通解y=φ(x,c)對(duì)應(yīng)于xy平面上的一族曲線，稱為方程的積分曲線族；滿足初始條件y(x?)=y。的特解就是通過點(diǎn)(x?,yo)的一條積分曲線.積分曲線的每一點(diǎn)(x,y)及這點(diǎn)上的切線斜率·恒滿足方程(1.25);反之，如果一條曲線上每點(diǎn)的切線斜率剛好等于函數(shù)f(x,y)在這點(diǎn)的值，則這一條曲線就是方程(1.25)的積分曲線.8設(shè)函數(shù)f(x,y)的定義域?yàn)镈,在D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處，畫上一小線段，使其斜率恰好為f(x,y),將這種帶有小線段的區(qū)域D稱為由方程(1.25)所規(guī)定的方向場.在方向場中，方向相同的點(diǎn)的幾何軌跡稱為等斜線.微分方程(1.25)的等斜線方程為解積分曲線族是y=x2+c,y'=2x=0,即x=0是極值線，y'=2x=k(k=0,±1,…)是等斜線.例6(習(xí)題7)微分方程4x2y12-y2=xy3,證明其積分曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)成中心對(duì)稱的曲線，也是微分方程的積分曲線.證設(shè)L:y=f(x),x∈[a,b]是微分方程的一條積分曲4x2[f(x)]2-f2(x)=xf3(x),x∈[a,b而L關(guān)于(0,0)成中心對(duì)稱曲線L:y=-f(-x)=F(x),x∈[-b,-a],-x∈[a,b],所以有F'(x)=f'(-x),x∈[-b,-a]4(-x)2[f(-x)]2-f2(-x)=-所以F(x)滿足微分方程，故F(x)為微分方程的積分曲線.并且相對(duì)于L關(guān)于原點(diǎn)(0,0)成中心對(duì)稱曲線.第二章、一階微分方程的初等解法1.理解變量分離方程以及可化為變量分離方程的類型(齊次方程),熟練掌握變量分離方程的解法。[教學(xué)重難點(diǎn)]重點(diǎn)是一階微分方程的各類初等解法，難點(diǎn)是積分因子的求法以及隱式方程的解法。[教學(xué)方法]講授，實(shí)踐。[教學(xué)時(shí)間]14學(xué)時(shí)[教學(xué)內(nèi)容]變量分離方程，齊次方程以及可化為變量分離方9[考核目標(biāo)]1.一階微分方程的初等解法：變量分離法、一階線性微分方程的常數(shù)變易法、恰當(dāng)方程與積分因子法、一階隱方程的參數(shù)解法。2.會(huì)建立一階微分方程并能求解?！?變量分離方程與變量變換1)變量分離方程形如的方程，稱為變量分離方程，其中函數(shù)f(x)和g(y)分別是x,y的連續(xù)函數(shù).2)求解方法把分別理解為,f(x)的某一個(gè)原函數(shù).容易驗(yàn)證由(2.2)所確定的隱函數(shù)y=φ(x,c)滿足方程(2.1).因而(2.2)是(2.1)的通解.如果存在y。使g(y%)=0,可知y=y。也是(2.1)的解.可能它不包含在方程的通解(2.2)中，必須予以補(bǔ)上.3)例題解將變量分離，得到兩邊積分，即得因而，通解為x2+y2=c這里的c是任意的正常數(shù).或解出顯式形式即此外，y=0也是(2.3)的解.如果在(2.4)中允許c=0,則y=0也就包括在(2.4)中，因而，(2.3)的通解為(2.4),其中c是任意常數(shù).一條過點(diǎn)(x?,y?)的曲線.2、可化為變量分離方程的類型1).形如的方程，稱為齊次方程，這里的g(u)是u的連續(xù)函數(shù).其中函數(shù)M(x,y)和N(x,y)都是x和y的m次齊次函數(shù)，即對(duì)t>0有M(tx,ty)=t"M(x,y)N(tx,ty)=t"N(x,y)ii)對(duì)方程其中右端函數(shù)f(x,y)是x和y的零次齊次函數(shù)，即對(duì)t>0有f(tx,ty)=f(x,y)對(duì)齊次方程(2.5)利用變量替換可化為變量分離方程再求解.將(2.6)、(2.7)代入(2.5),則原方程變?yōu)檎砗?，得到方?2.8)是一個(gè)可分離變量方程，按照變量分離法求解，然后將所求的解代回原變量，所得的解便是原方程(2.5)的解.例4求解方程解這是齊次方程，,則原方程變?yōu)榧捶蛛x變量，即有兩邊積分，得到這里的c是任意的常數(shù)，整理后，得到此外，方程(2.9)還有解tgu=0,即sinu=0.如果(2.10)中允許c=0,則sinu=0就包含在(2.10)中，這就是說，方程(2.9)的通解為(2.10).代回原來的變量，得到原方程的通解為解將方程改寫為這是齊次方程，以,則原方程變?yōu)榉蛛x變量，得到兩邊積分，得到(2.11)的通解即u=[ln(-x)+c]2(ln(-x)+c>0)這里的c是任意常數(shù).此外，(2.11)還有解u=0注意，此解不包括在通解(2.12)中.y=x[ln(-x)+c]2(In(-x)+c>0)及解y=0.原方程的通解還可表為它定義于整個(gè)負(fù)半軸上.注：1.對(duì)于齊次方程的求解方法關(guān)鍵的一步是令后，解出y=ux,再對(duì)兩邊求關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)得,再將其代入齊次方程使方程變?yōu)殛P(guān)于u,x的可分離方程.2.齊次方程也可以通過變換而化為變量分離方程.這時(shí)x=vy,再對(duì)兩邊求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)得,將其代入齊次方程使方程變?yōu)関,y的可分離方程這一齊次方程通過變量替換任然可化為可分離方程，因而，一定要熟練掌握可分離方程的解法.2)形如的方程經(jīng)變量變換化為變量分離方程，這里的a?,a?,b?,b?,c?,c?均為常數(shù).分三種情況來討論(1)c?=C?=0情形.這時(shí)方程(2.13)屬齊次方程，有則方程可寫成令a?x+b?y=u,則方程化為這是一變量分離方程.不全為零的情形.這時(shí)方程(2.13)右端的分子、分母都是x,y的一次式，因此代表xy平面上兩條相交的直線，設(shè)交點(diǎn)為(a,β).顯然，α≠0或β≠0,否則必有c?=C?=0,這正是情形(1)(只需進(jìn)行坐標(biāo)平移，將坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)則(2.14)化為從而(2.13)變?yōu)?1)解聯(lián)立代數(shù)方程(2.14),設(shè)其解為x=α,y=β;(2)作變換(2.15)將方程化為齊次方程(2.16);(3)再經(jīng)變換將(2.16)化為變量分離方程；(4)求解上述變量分離方程，最后代回原變量可得原方程(2.13)的解.上述解題的方法和步驟也適用于比方程(2.13)更一般的方程類型此外，諸如以及M(x,y)(xdx+ydy)+N(x(其中M,N為x,y的齊次函數(shù)，次數(shù)可以不相同)等一些方程類型，均可通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q化為變量分離方程.例6求解方程解解方程組得x=1,y=2.解解方程組代入方程(2.17),則有再令則(2.18)化為兩邊積分，得因此X2(u2+2u-1)=±e即也就是(2.18)的解.因此方程(2.17)的通解為其中c為任意的常數(shù).例7電容器的充電和放電如圖(2.1)所示的R-C電路，開始時(shí)電容C上沒有電荷，電容兩端的電壓為零.把開關(guān)K合上“1”后，電池E就對(duì)電容C充電，電容C兩端的電壓uc逐漸升高，經(jīng)過相當(dāng)時(shí)間后，電容充電完畢，再把開關(guān)K合上“2”,這時(shí)電容就開始放電過程，現(xiàn)在要容C兩端的電壓uc隨時(shí)間t的變化規(guī)律.解對(duì)于充電過程，由閉合回路的基爾霍對(duì)于電容C充電時(shí)，電容上的電量Q逐漸增多，根據(jù)Q=Cuc,得到將(2.20)代入(2.19),得到u.滿足的微分方程這里R、C、E都是常數(shù).方程(2.21)屬于變量分離方程.將(2.21)分離變量，得到兩邊積分，得到即OM=ON對(duì)于方齊次方程(2.24)也可以通過變換而化為變量分離方程也可由x=yv入(2.24)得到于是積分(2.25)并代回原來變量，經(jīng)化簡整理，最后得其中c為任意常數(shù).(2.26)就是所求的平面曲線，它是拋物線，因此，反射鏡面的形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面小結(jié)：本節(jié)我們主要討論了一階可分離微分方程和齊次微分方程的求解問題.將各種類型的求解步驟記清楚的同時(shí)要注意對(duì)解的討論.§2線性方程與常數(shù)變易法在a(x)≠0的區(qū)間上可以寫成對(duì)于a(x)有零點(diǎn)的情形分別在a(x)≠0的相應(yīng)區(qū)間上討論.這里假設(shè)P(x),Q(x)在考慮的區(qū)間上是x的連續(xù)函數(shù).若Q(x)=0,(2.28)變?yōu)榉Q為一階齊線性方程.若Q(x)≠0,(2.28)稱為一階非齊線性方程.(2.3)是變量分離方程，已在例3中求得它的通解為這里c是任意的常數(shù).下面討論一階非齊線性方程(2.28)的求解方法.方程(2.3)與方程(2.28)兩者既有聯(lián)系又有區(qū)別，設(shè)想它們的解也有一定的聯(lián)系，在(2.4)中c恒為常兩邊微分，得到將(2.29)、(2.30)代入(2.28),得到即積分后得到這里C是任意的常數(shù)..將(2.31)代入(2.29),得到這就是方程(2.28)的通解.這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，通常稱為常數(shù)變易法.實(shí)際上常數(shù)變易法也是一種變量變換的方法.通過變換(2.29)可將方程(2.28)化為變量分離方程.注：非齊線性方程的通解是它對(duì)應(yīng)的齊線性方程的通解與它的某個(gè)特解之和.例1求方程的通解，這里的n為常數(shù).解將方程改寫為先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，得微分之，得到以(2.34)、(2.35)代入(2.33),再積分，得將其代入公式(2.34),即得原方程的通解這里C是任意的常數(shù).例2求方程的通解.解原方程改寫為把x看作未知函數(shù)，y看作自變量，這樣，對(duì)于x及來說，方程(2.36)就是一個(gè)線性方程了.先求齊線性方程的通解為令x=c(y)y2,于是代入(2.36),得到從而，原方程的通解為這里c是任意的常數(shù)，另外y=0也是方程的解.特別的，初值問題的解為(1)一階非齊線性方程(2.28)的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程(2.3)之解；(2)若y=y(x)是(2.3)的非零解，而y=y(x)是(2.28)的解，則(2.28)的通解可表為y=cy(x)+y(x),其中c為任意常數(shù).(3)方程(2.3)任一解的常數(shù)倍或兩解之和(或差)仍是方程(2.3)的解.說明非齊線性方程任意兩個(gè)解的差y?-y?是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的解.(2)因?yàn)楣式Y(jié)論成立.故結(jié)論成立.的方程，稱為伯努利(Bernoulli)方程，這里P(x),Q(x)為x連續(xù)函數(shù).利用變量變換可將伯努利方程化為線性方程來求解.事實(shí)上，對(duì)于y≠0,用y?”乘(2.38)兩邊，得到引入變量變換從而將(2.40)、2.41)代入(2.39),得到這是線性方程，用上面介紹的方法求得它的通解，然后再代回原來的變量，便得到(2.38)的通解.此外，當(dāng)n>0時(shí)，方程還有解y=0.例4求方程·的通解解這是n=2時(shí)的伯努利方程，令z=y?1,得代入原方程得到這是線性方程，求得它的通解為代回原來的變量y,得到或者這是原方程的通解.此外，方程還有解y=0.例5求方程的解解將方程改寫為這是一個(gè)自變量為y,因變量為x的伯努利方程.解法同上.例6求方程的通解這個(gè)方程只要做一個(gè)變換，令u=e',,原方程改寫為便是伯努利方程.小結(jié)；這次主要討論了一階線性微分方程的解法.其核心思想是常數(shù)變易法.即將非齊線性方程對(duì)應(yīng)的齊線性方程解的常數(shù)變易為待定函數(shù)，使其變易后的解函數(shù)代入非齊次線性方程，求出待定函數(shù)c(x),求出非齊次方程的解.我們還討論了伯努利方程，求解過程為，先變換，將原方程化為非齊線性方程，再求解.§3恰當(dāng)方程與積分因子1、恰當(dāng)方程的定義將一階微分方程寫成微分的形式把x,y平等看待，對(duì)稱形式的一階微分方程的一般式為假設(shè)M(x,y),N(x,y)在某區(qū)域G內(nèi)是x,y的連續(xù)函數(shù)，而且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).2、恰當(dāng)方程的判定準(zhǔn)則其中(x?,y?)∈G是任意取定的一點(diǎn).證明先證必要性.因?yàn)?2.43)是恰當(dāng)方程，則有可微函數(shù)例1.解方程解這里M=xy,,則M,=x=N,所以(2.49)是恰當(dāng)方程.因?yàn)镹于y=0處無意義，所以應(yīng)分別在y>0和y<0區(qū)域上應(yīng)用定理2.3,可按任意一條途徑去求相應(yīng)的原函數(shù)u(x,y).先選取(x?,y?)=(0,1),代入公式(2.47)有再選取(x?,y?)=(0,-1),代入公式(2.47)有可見不論y>0和y<0,都有3、恰當(dāng)方程的解法解法2.分項(xiàng)組合的方法如果方程(2.43)不是恰當(dāng)方程，而存在連續(xù)可微的函數(shù)μ=μ(x,y)≠0,使得5、積分因子的求法方程(2.52)的非零解總是存在的，但這是我們只求某些特殊情形的積分因子.定理2設(shè)M=M(x,y),N=N(x,y)和φ=φ(x,y)在某區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)可微的，則方程(2.43)則函數(shù)就是方程(2.43)的積分因子.證明因?yàn)槿绻匠?2.43)有積分因子μ=μφ),則由(2.52)進(jìn)一步知即于是，有從而μ=er(odo=eC(o)反之，如果(2.53)僅是φ的函數(shù)，即則函數(shù)(2.54)是方程(2.52)的解.事實(shí)上，因?yàn)橐虼撕瘮?shù)(2.54)的確是方程(2.43)的積分因子.解這里M=y2-3xy+1,N=xy-x2,例4.解方程(y2+2x2y)dx+(xy+x3)dμ=x3y2其中α,β是待定實(shí)數(shù).容易看出只須α=3,β=2,上述函數(shù)確實(shí)是積分因子，其實(shí)就是上面找到一個(gè).例5.解方程M?(x)M?(y)dx+N?(x)N?(y)dy=0使得M?(y?)=0,則y=y。是此方程的解；若有x?使得N?(x?)=0,則x=x?是此方程的解；若例6、試用積分因子法解線性方程(2.28).解將(2.28)改寫為微分方程這里M=P(x)y+Q(x),N=-1,而方程(2.55)兩邊乘以,得P(x)e-JPxidydx-e-P(x)ddy+Q(x)e-jPadx=0(2.56)為恰當(dāng)方程，又分項(xiàng)分組法因此方程的通解為即與前面所求得的結(jié)果一樣.注：積分因子一般不容易求得可以先從求特殊形狀的積分因子開始，或者通過觀察法進(jìn)行“分項(xiàng)分組”法求得積分因子.§4一階隱方程與參數(shù)表示1、一階隱方程(y')2-(x+y)y'+xy=0,可化為y'=x但難以從方程中解出y’,或即使解出y′,而其形式比較復(fù)雜，則宜采用引進(jìn)參數(shù)的方法求解.一般隱式方1)y=f(x,y')1)討論形如其中p為參數(shù)，c是任意常數(shù).其中p為參數(shù)，c是任意常數(shù).或2)討論形如Ⅱ)不顯含y(或)x的方程3)討論形如解令y'=p=tx,則由方程得4)討論形如代入,得到其中c是任意常數(shù).此外，當(dāng)y'=0時(shí)原方程變?yōu)閥2=4,于是y=±2也是方程的解.由dy=pdx得到dy=tgtcostdt=si所以y=-cost+c其中c是任意常數(shù).第三章一階微分方程解的存在定理1.理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐次逼近法，熟練[教學(xué)重難點(diǎn)]解的存在唯一性定理的證明，解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。[教學(xué)方法]講授，實(shí)踐。[教學(xué)時(shí)間]12學(xué)時(shí)§1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程來源于生產(chǎn)實(shí)踐際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀的各種現(xiàn)象并預(yù)測未來的可能情況。在第二章介紹了一階微分方程初等解法的幾種類型，但是，大量的一階方程一般是不能用初等解法求出其通解。而實(shí)際問題中所需要的往往是要求滿足某此初值問題的研究就顯得十分重要，從前面我們也了解到初值問題的解不一定是的條件才能保證初值問題解的存在性與唯一性，而討論初值問題解重要的地位，是近代常微分方程定性理論，穩(wěn)定性理論以及其他例如方程過點(diǎn)(0,0)的解就是不唯一，易知y=0是方程過(0,0)的解，此外，容易驗(yàn)證，y=x2或更一般地，函數(shù)都是方程過點(diǎn)(0,0)而且定義在區(qū)間0≤x≤1上的解，其中c是滿足0<c<1的任一數(shù)。解的存在唯一性定理能夠很好地解釋上述問題，它明確地肯定了方程的解在一定條件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精確解的微分方程為數(shù)不多，微分在唯一性是進(jìn)行近似計(jì)算的前提，如果解本身不定所求的是哪個(gè)解。而解的存在唯一性定理保證了所求解的存在性和唯一性。(1)顯式一階微分方程這里f(x,y)是在矩形域：R:|x-x?I≤a,|y-y?≤b(3.2)|f(x,y?)-f(x,y?)|≤L|y?-y?|成立，則方程(3.1)存在唯一的解y=φ(x),在區(qū)間|x-x?I≤h其中L稱為Lipschitz常數(shù).1)求解初值問題(3.1)的解等價(jià)于積分方程2)構(gòu)造近似解函數(shù)列{φ(x)}y,得到如果φ?(x)=φ?(x),那么φ?(x)是積分方程的解，否于是得到函數(shù)序列{φ(x)}.3)函數(shù)序列{(x)}在區(qū)間[x?-h,x?+h]上一致收斂于φ(x),即4)φ(x)是積分方程上的連續(xù)解.為了討論方便，只考慮區(qū)間x?≤x≤x?+h,對(duì)于區(qū)命題1設(shè)y=φ(x)是方程(3.1)定義于區(qū)間的定義于x?≤x≤x?+h上的連續(xù)解.反之亦然.即命題2對(duì)n=k+1時(shí)也成立.由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有的n均成立.命題3函數(shù)序列{φ(x)}在x?≤x≤x?+h上是一致收斂的.于是{φn(x)}的一致收斂性與級(jí)數(shù)(3.9)的一致收斂性等價(jià).為此，對(duì)級(jí)數(shù)(3.9)的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì).設(shè)對(duì)于正整數(shù)n,有不等式If(x,φ,(x))-f(x,φ(x)≤L|φ(以及{φ(x)}在x?≤x≤x?+h上一致收斂于φ(x),可知f(x,φn(x))在x?≤x≤x?+h上一致收斂于,則u(x)是x?≤x≤x?+h的連續(xù)可微函數(shù)，且u(x?)=0,0≤g(x)≤u(x),u'(x)=Lg(x),u'(x)≤Lu(x),(u'(x)-L即(u(x)e?-)'≤0,于是在x?≤x≤x?+h上，u(x)e?1x≤u(x?)e-Lxo=0故g(x)≤u(x)≤0,即g(x)=0,x?≤x≤x?+h,命題得證.對(duì)定理說明幾點(diǎn)：(1)存在唯一性定理中的幾何意義.個(gè)個(gè)Px?不不P在矩形域R中|f(x,y)|≤M,故方程過(x?,y%)的積分曲線y=φ(x)的斜率必介于-M與M之間，過點(diǎn)(x?,y?)分別作斜率為-M與M的直線.當(dāng)時(shí)，即(如圖(a)所示),解y=φ(x)在x?-a≤x≤x?+a上有定義；當(dāng)時(shí)，即(如圖(b)所示),不能保證解在x?-a≤x≤x?+a上有定義，它有可能在區(qū)間內(nèi)就跑到矩形R外去，只有當(dāng)才能保證解y=φ(x)在R內(nèi)，故要求解的存在范圍是(2)、由于李普希茲條件的檢驗(yàn)是比較費(fèi)事的，而我們能夠用一個(gè)較強(qiáng)的，但卻易于驗(yàn)證的條件來代替他，即如果函數(shù)f(x,y)在矩形域R上關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)f'(x,y)存在并有界，即|f'(x,y)|≤L,,則李普希茲條件條件成立.事實(shí)上這里(x,y?),(x,y?)∈R,0<θ<1.如果f,(x,y)足李普希茲條件的函數(shù)f(x,y)不一定有偏導(dǎo)數(shù)存在.例如函數(shù)f(x,y)=|y|在任何區(qū)域都滿足李普希茲確定的解在整個(gè)區(qū)間[a,β]上有定義、連續(xù)(4)、Lipschitz條件是保證初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件.例如試證方程經(jīng)過xoy平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的.證明y≠0時(shí)，f(x,y)=yln|y|,此對(duì)x軸外的任一點(diǎn)(x?,y?),方程滿足y(x?)=y。的解都是唯一存在的.又由保證xoy平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的.If(x,y)-f(x,0)=|yln|yll=所以方程右端函數(shù)在y=0的任何鄰域并不滿足Lipschitz條件.此題說明Lipschitz條件是保證初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件.2)考慮一階隱方程由隱函數(shù)存在定理，若在(x?,yo,y%)的某一鄰域內(nèi)F連續(xù)且F(x?,yo,y%)=0,而則必可把y唯一地表為x,y的函數(shù)則方程(3.12)存在唯一的解y=y(x)|x-x?I≤h(h為足夠小的正數(shù))y(x?)=yo,y'(x?)=y%1、近似計(jì)算和誤差估計(jì)對(duì)方程的第n次近似解φn(x)和真正解φ(x)在|x-x?≤h內(nèi)的誤差估計(jì)式此式可用數(shù)學(xué)歸納法證明.設(shè)有不等式例1討論初值問題解的存在唯一性區(qū)間，并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超過0.05的近似解，其中，R:-1≤x≤1,-1≤y≤1.解,由于|,根據(jù)誤差估計(jì)式(3.16)的，也就是說解的存在區(qū)間是很小的.可能隨著f(x,y)的存在區(qū)域的增大，而能肯定的解得存在區(qū)間反而縮小。例如，上一節(jié)的例1,當(dāng)定義區(qū)域變?yōu)镽:-2≤x≤2,-2≤y≤2時(shí)，念，盡量擴(kuò)大解的存在區(qū)間，把解的存在唯一性定理的結(jié)果由局部的變成大范圍的.1、飽和解及飽和區(qū)間定義1對(duì)定義在平面區(qū)域G上的微分方程設(shè)y=φ(x)是方程(3.1)定義在區(qū)間I?cR上的一個(gè)解，如果方程(3.1)還有一個(gè)定義在區(qū)間I?cR上的另一解y=ψ(x),且滿足則稱y=φ(x),x∈I?是可延拓的，并稱y=ψ(x)是y=φ(x)在I?上的延拓.否則如果不存在滿足上述條件的解y=4(x),則稱y=φ(x),x∈I?是方程(3.1)的不可延拓解或飽和解，此時(shí)把不可延拓解的區(qū)間I?稱為一個(gè)飽和區(qū)間.2、局部李普希茲條件定義2若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且對(duì)G內(nèi)每一點(diǎn)P,都存在以P點(diǎn)為中心，完全含在G內(nèi)的閉矩形域R,使得在R,上f(x,y)關(guān)于y滿足李普希茲條件(對(duì)于不同的點(diǎn)，閉矩形域R。的大小和李普希茲常數(shù)L可能不同),則稱f(x,y)在G上關(guān)于y滿足局部李普希茲條件.定理3(延拓定理)如果方程的右端函數(shù)f(x,y)在(有界或無界)區(qū)域G∈R2上連續(xù)，且在關(guān)于y滿足局部李普希茲條件，則對(duì)任意一點(diǎn)(x?,y)∈G,方程以(x?,y?)為初值的解φ(x)均可以向左右延展，直到點(diǎn)(x,φ(x))任意接近區(qū)域G的邊界.證明V(x?,y?)∈G,由解的存在唯一性定理，初值問題存在唯一的解y=φ(x),解的存在唯一區(qū)間為|x-x?≤h?.取x?=x?+h?,y?=φ(x?),以(x?,y?)為中心作一小矩形R?∈G,則初值問題存在唯一的解y=ψ(x),解的存在唯一區(qū)間為|x-x?I≤h.φ(x)=4(x).定義函數(shù)則y=φ(x)是方程(3.1)滿足(1)(或(2))的，在滿足(1)的解y=φ(x)在定義區(qū)間上向右延伸了一段.即把解y=φ(x)看作方程(3.1)的解y=φ(x)在定義區(qū)間|x-x?≤h?的向右延拓，延拓到更大區(qū)間x?-h?≤x≤x?+h?+h?.同樣的方法，也可把解y=φ(x)向左延拓.這種將曲線向左右延拓的辦法可繼續(xù)進(jìn)行下去，最后將得到一個(gè)解y=φ(x),不能再向左右延拓了.這個(gè)解稱為方程(3.1)的飽和解.推論1對(duì)定義在平面區(qū)域G上的初值問題若f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿足局部Lipschtiz條件，則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解.推論2設(shè)y=φ(x)是初值問題其中(x?,y%)∈G的一個(gè)飽和解，則該飽和解的飽和區(qū)間I一定是開區(qū)間.從而y=φ(x)是非飽和解，矛盾.對(duì)I=(a,β)時(shí)，同樣討論，即x→β?(或x→α(1)解y=φ(x)可以延拓到區(qū)間[x?,+∞](或(-∞,x?]);例1討論方程分別通過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(ln2,-3)的解的存在區(qū)間.解此方程右端函數(shù)在整個(gè)xy平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條故通過點(diǎn)(0,0)的解為y=(1-e*)/(1+e*),這個(gè)解的存在區(qū)間為-∞<x<+00;通過點(diǎn)(ln2,-3)的解為y=(1+e*)/(1-e*),這個(gè)解的存在區(qū)間為0<x<+00+∞,但向左方只能延拓到0,因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，y→-00.yyx例2討論方程過(1,0)點(diǎn)的解的存在區(qū)間.解方程右端函數(shù)f(x,y)=1+Inx在右半平面x>0上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件.區(qū)域G(右半平面)是無界開域，y軸是它的邊界.易知問題的解為y=xlnx,它于區(qū)間0<x<+∞0上有定義、連續(xù)且當(dāng)x→0時(shí)，y→0,即所求問題的解向右方可以延拓到+∞,但向左方只能延拓到0,且當(dāng)x→0時(shí)積分曲線上的點(diǎn)(x,y)趨向于區(qū)域G的邊界上的點(diǎn).例3考慮方程f(x,y),假設(shè)f(x,y)和f,(x,y)在xoy平面上連續(xù)，試證明：對(duì)于任證明根據(jù)題設(shè)，易知方程右端函數(shù)在整個(gè)xoy平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件.又y=±a為方程在(-∞,+∞)上的解，由延拓定理可知，對(duì)Vx?,|y?ka,滿足y(x?)=y。的解y=y(x)應(yīng)當(dāng)無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，但是，由解的唯一性，y=y(x)又不能穿過直線y=±a,故只能向兩側(cè)延拓，而無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，從而解應(yīng)在(-∞,+∞)存在.注：如果函數(shù)f(x,y)于整個(gè)xoy平面上定義、連續(xù)和有界，同時(shí)存在關(guān)于y的一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則方程(3.1)的任一解均可以延拓到區(qū)間-∞<x<+∞0.練習(xí)試證對(duì)任意x?,yo,方滿足初始條件y(x?)=y。的解都在(-0,+∞)上存§3解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理在初值問題中我們都是把初值(x?,y。)看成是固定的數(shù)值，然后再去討論方程值問題的解不僅依賴于自變量x,還依賴于初值(x?,y。).例如：f(x,y)=y時(shí)，方程y'=y的解是V(x)=[φ(x)-4(x)]2,a則V'(x)=2[φ(x)-4(x)][f(x,φ)-f(x假設(shè)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足局部李普希茲條件，如果(x?,y?)∈G,初值問題有解y=φ(x,x?,y?),它于區(qū)間a≤x≤b上有定義(a≤x?≤b),則對(duì)任意ε>0,時(shí)，方程(3.1)滿足條件y(x?)=y。的解的全體及其邊界構(gòu)成包含S的有界閉域DcGcG,且f(x,y)在D上關(guān)于y滿足Lipschitz條件，由于D是一個(gè)有界閉域，且f(x,y)在其內(nèi)關(guān)于y滿足Lipschitz條件，由解的y=ψ(x)=φ(x,x?,y?)必能延拓到區(qū)域D的邊界上.設(shè)它在D的邊界上的點(diǎn)為(c,ψ(c))和φ(x)-4(x)≤φ(x?)-4(x?)|e?在不等式(3.18)中將區(qū)間[c,d]換成[a,b],可知當(dāng)若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足局部李普希茲條件，則方程(3.1)的解證明對(duì)V(x?,y?)∈G,方程(3.1)過(x?,y%)的飽和解y=φ(x,x?,yo)定義于V={(x,x?,y%)|α(x?,y?)≤x≤β(x?,y?),(x?,下證y=φ(x,x?,y。)在V上連續(xù).又y=φ(x,x?,y)在x∈[a,b]上對(duì)x連續(xù)，故3δ?>0,使得當(dāng)|x-x≤δ?時(shí)有取δ=min(δ,δ?),則只要(x-x)2+(x?-x?)2+(-y。)2≤82就有≤φ(x,x?,y?)-φ(x,x?,y?)|+|φ(x,x?,y?)-φ(x,xIf(x,y,2)-f(x,y?,λ)≤唯一性，對(duì)每一∈(a,β),方程(3.19)通過點(diǎn)(x?,y?)∈G的解是唯一確定的，記這個(gè)解為y=φ(x,x?,yo,?).(x?,y?,2?)∈Ga,y=φ(x,x?,y%,2)是方程(3.19)通過(x?,y?)的解，在區(qū)間a≤x≤b上有定義，其中a≤x?≤b,則對(duì)Vε>0,3δ=δ(e,a,b)>0,使得當(dāng)|φ(x,x?,y?,2)-φ(x,x5、解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理設(shè)函數(shù)f(x,y,λ)在區(qū)域G?內(nèi)連續(xù)，且在G?關(guān)于y一致地滿足局部李普希茲條件，則方程(3.19)的解y=φ(x,x?,yo,λ)作為x,x?,yo,λ的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的.6、解對(duì)初值的可微性定理如果函數(shù)f(x,y)以及都在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，則對(duì)初值問題的解y=φ(x,x?,y?)作為x,x?,y。的函數(shù)，在它有定義的范圍內(nèi)有連續(xù)可微的.證明由在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，可知f(x,y)在G內(nèi)關(guān)于y滿足局部Lipschitz條件，根據(jù)解對(duì)初值的連續(xù)性定理，y=φ(x,x?,yo)在它的存在范圍內(nèi)關(guān)于x,x?,y。是連續(xù)的.下面證明函數(shù)y=φ(x,x?,y。)在它的存在范圍內(nèi)的任一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù).顯然存在且連續(xù).由初值(x?,y%)和(x?+△x?,yo)所確定的解分別為y=φ(x,x?,y?)=φ,y=φ(x,x?+△x?,y即于是而是初值問題顯然它是x,x?,y的連續(xù)函數(shù).同樣可證存在且連續(xù).設(shè)由初值(x?,y)和(x?,yo+△y。)所確定的解分別為y=φ(x,x?,y?)=φ,y=φ(x,x?,yo+△y類似上述方法可證是初值問題的解.因而顯然它是x,x?,y的連續(xù)函數(shù).例1已知方程為試求解：方程右端函數(shù)f(x,y)=sin(xy)在xy平面內(nèi)連續(xù)，且f,=xcos(xy)也在xy平面內(nèi)連續(xù)，且其滿足y(0)=0的解為y=0.第四章高階微分方程1.理解高階線性微分方程的一般理論，n階齊次(非齊次)線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，熟練掌握n階常系數(shù)齊次線性微分方程的待定指數(shù)函數(shù)解法。2.掌握n階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法，理解n階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的待定系數(shù)法[教學(xué)方法]講授，實(shí)踐。[教學(xué)時(shí)間]16學(xué)時(shí)§4.1線性微分方程的一般理論如果f(t)=0,則方程(4.1)變?yōu)椋悍Q它為n階齊線性微分方程，而稱一般的方程(4.1)為n階非齊線性微分方程，并且通常把方程(4.2)叫對(duì)應(yīng)于方程(4.1)的齊線性方程。定理1如果a(t)(i=1,2,…,n)及f(t)都是區(qū)間a≤t≤b上的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任一to∈[a,b]x?,x(1),…,x(”-1),方程(4.1)存在唯一解x=φ(t),定義于及f(t)連續(xù)的整個(gè)區(qū)間a≤t≤b上有定義。4.1.2齊線性方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)個(gè)解，則它們的線性組合c?x?(t)+C?x?(t)+…+ckx(t)也是(4.2)的解，這里c?,C?,…,c是任意常數(shù)。特別地，當(dāng)k=n時(shí)，即方程(4.2)有解它含有n個(gè)任意常數(shù)。在什么條件下，表達(dá)式(4.4)能夠成為n階齊線性方程(4.2)的通解?為了討論的需要，引進(jìn)函數(shù)線性相關(guān)與線性無關(guān)及伏朗斯基(Wronsky)行列式等概念。設(shè)x?(t),x?(t),…,x1)在函數(shù)組y?,y?,…y,中如果有一個(gè)函數(shù)為零，則y?,y?,…yn在(a,b)上線性相關(guān).2)如果兩個(gè)函數(shù)y?,y?之比在(a,b)有定義，則它們?cè)?a,b)上線性無關(guān)等價(jià)于比式在(a,b)上不恒等于常數(shù).例1函數(shù)組y?=e*,y=e?在任意區(qū)間上都是線性無關(guān)的.例2函數(shù)組y?=sin2x,y?=cos2x,定理3若函數(shù)x?(t),x?(t),…,x(t)在區(qū)間a≤t≤b上線性相關(guān)，則在[a,b]上它們的伏朗斯基行列式的齊次線性代數(shù)方程組，它的系數(shù)行列式就是和定理4如果方程(4.2)的解x?(t),x?(t),…,xn(t)在區(qū)間a≤t≤b上線性無關(guān)，則其系數(shù)行列式W(t?)=0,故(4x(t)=c?x?(t)+C?x?(t)+…+c,x,根據(jù)疊加原理，x(t)是方程(4.2)的解。注意到(4.9),知道這個(gè)解x(t)滿足初始條件x(t?)=x(t?)=…=x("-1)(t?)=0即c?x?(t)+C?x?(t)+…+cnx(t)=0因?yàn)閏?,C?,…,c,不全為0,這就與x?(t),x?(t),…,x(t)推論2設(shè)x(t),x?(t),…,x,(t)是方程(4.2)定義在[a,b]上的n個(gè)解，如果存在x?∈[a,b],使得推論3方程(4.2)的n個(gè)解x?(t),x?(t),…,x,(t)在其定義區(qū)間[a,b]上線性無關(guān)的充要條件是，存定理6(通解結(jié)構(gòu)定理)如果x?(t),x?(t),…,xn(t)是方程(4.2)的n個(gè)線性無關(guān)的解，則方程其中，c?,C?,…,cn是任意常數(shù)，且通解(4.11)包括了方程(4.2)的所有解。因此，(4.11)為方程(4.2)的通解；現(xiàn)在，我們證明它包括不方程的所有解。由定理1,方程的解唯一地x(t?)=x?,x'(t?)=x(1),…,能夠確定(4.11)中的常數(shù)c?,C?,…,cn的值，使(4.11)滿足(4.12)?，F(xiàn)令(4.11)滿足條件(4.12),它的系數(shù)行列式就是W(t?),由定理4知W(t?)≠0。根據(jù)線性代數(shù)方程組的理論，方程(4.13)有唯一解??,C?,…,?,。因此，只要表達(dá)式(4.11)中常數(shù)取為??,C?,…,?n,則它就滿足條件(4.12),理得證。推論方程(4.2)的線性無關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于n。因此可得結(jié)論：n階齊線性方程的所有解構(gòu)成一個(gè)n維方程(4.2)的一組n個(gè)線性無關(guān)解稱為方程的一個(gè)基本解組。4.1.3非齊線性方程與常數(shù)變易法性質(zhì)1如果x(t)是方程(4.1)的解，而x(t)是方程(4.2)的解，則x(t)+x(t)也是方程(4.1)的解。性質(zhì)2方程(4.1)的任意兩個(gè)解之差必為方程(4.2)的解。定理7設(shè)x?(t),x?(t),…,x,(t)為方程(4.2)的基本解組，而x(t)是方程(4.1)的某一解，則方程(4.1)的通解可表為x=c?x?(t)+C?x?(t)+…+cnx(t)+x(t)其中c?,c?,…,cn為任意常數(shù)。而且這個(gè)通解(4.14)包括了方程(4.1)的所有解。證明：根據(jù)性質(zhì)1易知(4.14)是方程(4.1)的解，它包含有n個(gè)任意常數(shù)，像定理6的證明過程一樣，不難證明這些常數(shù)是彼此獨(dú)立的，因此，它是方程(4.1)的通解?，F(xiàn)設(shè)x(t)是方程(4.1)的任一解，則由性質(zhì)2,x(t)-x(t)是方程(4.2)的解，根據(jù)定理6,必有一組確定的常數(shù)??,C?,…,C,使得x(t)-x(t)=c?x?(t)+c?x?(t)+…這就是說，方程(4.1)的任一解x(t)可以由(4.14)表出，其中c?,C?,…,cn為相應(yīng)的確定常數(shù)。由于x(t)的任意性，這就證明了通解式(4.14)包括方程(4.1)的所有解。#設(shè)x?(t),x?(t),…,x,(t)是方程(4.2)的基本解組，因而x=c?x?(t)+C?x?(t)+…+Cnx(t)為(4.2)的通解。把其中的任意常數(shù)c,看作t的待定函數(shù)c(t)(i=1,2,…,n),這時(shí)(4.15)變?yōu)閤=c?(t)x?(t)+c?(t)x?(t)+…+cn(t)xn(t)將它代入方程(4.1),就得到c?(t),c?(t),…,c,(t)必須滿足的一個(gè)方程，但待定函數(shù)有n個(gè)，即對(duì)t微分等式(4.16)得x′=c?(t)x(t)+c?(t)x?(t)+…+cx{(t)c(t)+x2(t)c(t)+…+x'(t)x("-2)(t)c{(t)+x?"-2)(t)c?(t)+…+x("-2)(x(”)=c?(t)x(”)(t)+c?(t)x2“)(t)+…+cn(t+x("-1)(t)c{(t)+x"-1)(t)c2(t)+…+x(”-1)(t)c(t)現(xiàn)將(4.16),(4.18)?,(4.18)?,…,(4.18),代入(4.1),并注意到x?(t),x?(t),…,x,(t)是(4.2)的解，得到x"-1)(t)c(t)+x?"-1)(t)c2(t)+…+x"-1)(t)c(t)=f(t)這樣，我們得到了含n個(gè)未知函數(shù)c′(t)(i=1,2,…,n)的n個(gè)方程(4.17)?,(4.17)?,…,(4.17)。。題目組成一個(gè)線性代數(shù)方程組，其系數(shù)行列式就是W[x?(t),x?(t),…,x,(t)],它不等于零，因而方c′(t)=φ;(t)i=這里γ;是任意常數(shù)。將所得c,(t)(i=1,2,…,n)的表達(dá)式代入(4.16)即得方程(4.1)的解顯然，它并且是方程(4.1)的通解。為了得到方程的一個(gè)解，只需給常數(shù)γ;(i=1,2,…,n)以確定的值。例如，當(dāng)取γ;=0(i=1,2,…,n)時(shí)，即得解.例3求方程的通解，以知它的對(duì)應(yīng)齊線性方程的基本解組為cost,sint。將它代入方程，則可得決定c?(t)和c?(t)的兩個(gè)方程：x=Y?cost+Y?sint+costIn|cost例4求方程tx”-x'=t2于域t≠0上的所有解。容易直接積分求得它的基本解組。事實(shí)上，將方程改寫為積分即得x'=At。所以.這里A,B為任意常數(shù)。易見有基本解組1,t2。為應(yīng)用上面的并以x=c?(t)+c?(t)t2于是這里γ?,Y?為任意常數(shù)。根據(jù)定理7,它包括了方程的所有解?！?.2常系數(shù)線性方程的解法討論常系數(shù)線性方程的解法時(shí)，需要涉及實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)及復(fù)指數(shù)函數(shù)的問題，我們?cè)?.2.1中預(yù)如果對(duì)于區(qū)間a≤t≤b中的每一實(shí)數(shù)t,有復(fù)數(shù)z(t)=φ(t)+iv(t)與它對(duì)應(yīng)，其中φ(t)和ψ(t)是區(qū)間a≤t≤b上定義的實(shí)函數(shù)，i是虛數(shù)單位，我們就說在區(qū)間a≤t≤b上給定了一個(gè)復(fù)值函數(shù)z(t)。如果實(shí)函數(shù)φ(t),ψ(t)當(dāng)t趨于t?時(shí)有極限，我們就稱復(fù)值函數(shù)z(t)當(dāng)t趨于t?時(shí)有極限，并且定義在區(qū)間a≤t≤b上每一點(diǎn)都連續(xù)時(shí)，就稱z(t)在區(qū)間a≤t≤b稱z(t)在t?有導(dǎo)數(shù)(可微)。且記此極限為或者z'(t?)。在t?處有導(dǎo)數(shù)，且如果z(t)在區(qū)間a≤t≤b上每點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，就稱z(t)在區(qū)間a≤t≤b上有導(dǎo)數(shù)。對(duì)于高階導(dǎo)數(shù)可以類似地定義。設(shè)z?(t),z?(t)是定義在a≤t≤b上的可微函數(shù)，c是復(fù)值常數(shù)，容易驗(yàn)證下列等式成立：在討論常系數(shù)線性方程時(shí)，函數(shù)eK將起著重要的作用，這里K是復(fù)值常數(shù)，我們現(xiàn)在給出它的定義，并且討論它的簡單性質(zhì)。設(shè)K=α+iβ是任一復(fù)數(shù)，這里α,β是實(shí)數(shù)，而t為實(shí)變量，我們定義有上述定義立即推得并且用K=α-iβ表示復(fù)數(shù)K=α+iβ的共軛復(fù)數(shù)。此外，還可容易證明函數(shù)e具有下面的重要性質(zhì)：其中t為實(shí)變量由此可見，實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)的求導(dǎo)公式與實(shí)變量的實(shí)值函數(shù)的求導(dǎo)公式完全類似，而復(fù)指數(shù)函數(shù)具有與實(shí)指數(shù)函數(shù)完全類似的性質(zhì)?，F(xiàn)在我們引進(jìn)線性方程的復(fù)值解的定義。定義于區(qū)間a≤t≤b上的實(shí)變量復(fù)值函數(shù)x=z(t)稱為方程(4.1)的復(fù)值解，如果定理8如果方程(4.2)中所有系數(shù)a,(t)(i=1,2,…,n)都是實(shí)值函數(shù)，而x=z(t)=定理9若方程有復(fù)值解x=U(t)+iV(t),這里L(fēng)[y]=y("+p?(x)y("-1)+…+Pn??(x)y=ky"+kp?(x)y"?1+…+kpn_(x)y'=k[y”+p?(x)y”?1+…+Pn?(x)y'+L[y?+y?]=[y?+y?]”+p?(x)[y?+y?]”?1+…+Pn?1(x)[y?+y?]+p=y?"+p?(x)y,"-1+…+Pn-1(x)y?+y?”+p?(x)y?"?1+…+Pn?1(x)y?'+pn其中a?,a?,…,a為常數(shù)，稱(4.19)為n階常系數(shù)齊線性方程。它的求解問題可以歸結(jié)為代數(shù)方程求根問題，現(xiàn)在就來具體討論方程(4.19)的解法。按照§4.1的一般理論，為了求方程(4.19)的通解，只需求出它的基本解組。下面介紹求(4.19)的基本解組的歐拉(Euler)待定指數(shù)函數(shù)法。我們知道它有形如x=e?a的解，且它的通解就是x=ce?“。這啟示我們對(duì)于方程(4.19)也去試求指數(shù)注意到其中F(λ)=λ"+a?λ"?1+…+an_1λ+a是λ的n次多項(xiàng)式。易知，(4.20)為方程(4.19)的解的充要條件是：λ是代數(shù)方程的根。因此，方程(4.21)將起著預(yù)示方程(4.19)的解的特性的作用，我們稱它為方程(4.19)的特征方1)特征根是單根的情形設(shè)λ,2,…,λ,是特征方程(4.21)的n個(gè)彼此不相等的根，則相應(yīng)地方程(4.19)有如下n個(gè)解：我們指出這n個(gè)解在區(qū)間a≤t≤b上線性無關(guān)，從而組成方程的基本解組。事實(shí)上，這時(shí)由于假設(shè)λ?≠λ;(當(dāng)i≠j)。故此行列式不等于零，從而W(t)≠0,于是解組(4.22)線性無關(guān)，如果λ,(i=1,2,…,n)均為實(shí)數(shù)，則(4.22)是方程(4.19)的2)特征根有重根的情形設(shè)特征方程有k重根λ=2,則如所周知F(2)=F'(2)=…=F(k-1)(2)=0F(k)(2)≠0先設(shè)λ=0,即特征方程有因子λk,于是而對(duì)應(yīng)的方程(4.19)變?yōu)閼?yīng)于方程(4.19)的k個(gè)線性無關(guān)解1,t,t2,…,tk-1。如果這個(gè)k重根λ≠0,我們作變量變換x=ye2,注意到于是方程(4.19)化為因此F(μ+2)=G(μ)可見(4.21)的根λ=對(duì)應(yīng)于(4.24)的根μ=從?=0,而且重?cái)?shù)相同。這樣，問題就化為前面已經(jīng)討論過的情形了。方程(4.24)的k?重根μ=0對(duì)應(yīng)于方程(4.23)的k?個(gè)解y=1,t,t2,…,tki-1,因而對(duì)應(yīng)于特征方程(4.21)的k?重根2,方程(4.19)有k?個(gè)解：et,te1',t2e11,…,tki-1還可以證明(4.25)和(4.26)的全部n個(gè)解線性無關(guān)，從而構(gòu)成方程(4.19)的基本解組。仿1)一樣處理，我們將得到方程(4.19)的2k個(gè)實(shí)值解：eatcosβt,teatcosβt,t2eacosβt,…,tk-1eatcosβt解特征方程λ?-1=0的根為λ?=1,2?=-1,2?=i,2?=-i。有兩個(gè)實(shí)根和兩個(gè)復(fù)根，均是單根，這里c?,C?,C?,c?是任意常數(shù)。例2求解方程解特征方程λ3-1=0有根λ=-1,,因此，通解為其中c?,C?,C?為任意常數(shù)。例3求方程的通解。解特征方程λ3-3λ2+3λ-1=0,或(λ-1)3=0,即λ=1是三重根，因此方程的通解具有形狀其中c?,C?,C?為任意常數(shù)。例4求解方程解特征方程為λ?+2z2+1=0,或(λ2+1)2=0,即特征根λ=±i是重根。因此，方程有四個(gè)實(shí)值解故通解為x=(c?+c?t)cost+(c?+c?t)sint其中c?,C?,C?,c?為任意形狀為的方程稱為歐拉方程，這里a?,a?,…,a,為常數(shù)。此方程可以通過變量變換化為常系數(shù)齊線性方程，因而求解問題也就可以解決。事實(shí)上，引進(jìn)自變量的變換直接計(jì)算得到就可求得方程(4.29)的通解。由上述推演過程，我們知道方程(4.30)有形如y=e的解，從而方程(4.29)有形如y=x2的解，K(K-1)…(K-n+1)+a?K(K-1)…(K-n-2)+…+an=0可以證明這正是(4.30)的特征方程。因此，方程(4.31)的m重實(shí)根K=K。,對(duì)應(yīng)于方程(4.29)的mxK°,xKIn|x|,xK?In2|x|,…,xK?1而方程(4.31)的m重復(fù)根K=α+iβ,對(duì)應(yīng)于方程(4.29)的2m個(gè)實(shí)值解x"sin(βIn|x|),x"In|x|sin(βln|x|),…,x"In"?1|x|sin例5求解方程解尋找方程的形式解y=x',得到確定K的方程K(K-1)-K+1=0,或(K-1)例6求解方程現(xiàn)在討論常系數(shù)非齊線性方程的求解問題，這里a,a?,…,a,是常數(shù)，而f(t)為連續(xù)函數(shù)。(一)比較系數(shù)法類型I設(shè)f(t)=(b?"+bt"?1+…+bm1t+b)e,其中λ及b,(i=1,2,…,n)為實(shí)常數(shù)，那么方程(4.32)有形如的特解，其中k為特征方程F(Z)=0的根λ的重?cái)?shù)(單根相當(dāng)于k=1;當(dāng)λ不是特征根時(shí)，取k=0),而B?,B?,…,B是待定的常數(shù)，可以通過比較系數(shù)來確定。(1)如果λ=0,則此時(shí)x=B?t"+B?t"?1+…+B灬_t+B代入方程(4.32),并比較t的同次冪的系數(shù)，得到常數(shù)B?,B,…,B以必以必注意到a≠0,這些待定常數(shù)B?,B?,…,B2)在λ=0是k重特征根的情形，即F(0)=F'(0)=…=F(k-1)(0)=0,而F(k)(0)≠0,也就是an=an?1=…=an?k+1=0,ank≠0。這時(shí)響應(yīng)地，方程(4.32)將為則方程(4.35)化為對(duì)方程(4.36)來說，由于an-k≠0,λ=0已不是它的特征根。因此，由(1)知它有形如z=B?t"+B?t"-1+…+B的特解，因而方程(4.35)有特解滿足：夠了。我們特別地取這些任意常數(shù)均為零，于是我們得到方程(4.35)(或方程(4.32))的一個(gè)特解艾=t(Y。t"+yγt"?1+…+ym)(2)如果λ≠0,則此時(shí)可像4.2.2做法一樣，作變量變換x=ye,將方程(4.32)化為其中A?,A?,…,A都是常數(shù)。而且特征方程(4.21)的根λ對(duì)應(yīng)于方程(4.37)的特征方程的零根，并且在λ不是特征方程(4.21)的根的情形，方程(4.37)有特解?=B?t"+B?t"?1+…+B,從而方程 (4.32)有特解x=(Bt"+B?"?1+…+Bm)e;;在λ是特征方程(4.