北師大版高中數(shù)學(xué)（必修5）2.3《解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例》（理）聽評課記錄一.基本信息

2023年10月26日，上午第三節(jié)課，授課教師張華，學(xué)科/課程名稱為高中數(shù)學(xué)（必修5），授課班級為高二（7）班，教學(xué)主題或章節(jié)為2.3《解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例》（理）。聽課人李明，職務(wù)為高中數(shù)學(xué)教研員，聽課目的為教學(xué)研究。本次課的重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)知識解決實(shí)際問題，通過具體案例講解三角形的解法在測量、導(dǎo)航等領(lǐng)域的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模和問題解決能力。教師需準(zhǔn)備教材、三角尺、多媒體課件等資源，并設(shè)計(jì)貼近生活的實(shí)例，激發(fā)學(xué)生興趣，同時(shí)注重解題步驟的規(guī)范性和邏輯性，為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的三角應(yīng)用題奠定基礎(chǔ)。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備：教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，目標(biāo)明確，圍繞“解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用”展開。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材內(nèi)容結(jié)合多媒體課件呈現(xiàn)，包含仰角、俯角、方位角等實(shí)際案例圖示，便于學(xué)生直觀理解。三角尺等教具用于課堂演示，增強(qiáng)互動(dòng)性。備課過程中，教師對知識點(diǎn)銜接合理，如先復(fù)習(xí)正弦定理、余弦定理，再過渡到實(shí)際應(yīng)用，符合認(rèn)知規(guī)律。

2.教學(xué)過程：

開始階段：教師通過“如何測量教學(xué)樓高度”的情境導(dǎo)入，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。通過提問“生活中哪些問題可以用三角函數(shù)解決”，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際，效果較好。但導(dǎo)入時(shí)間略長，約5分鐘，可適當(dāng)壓縮。

展開階段：教師采用講授與討論結(jié)合的方式，先講解例題“測量河流寬度”，逐步分析仰角、三角形的邊角關(guān)系，再組織學(xué)生分組討論“測量旗桿高度”的解題思路。多媒體動(dòng)畫演示三角板移動(dòng)過程，幫助學(xué)生理解動(dòng)態(tài)變化。但部分學(xué)生計(jì)算能力不足，教師需加強(qiáng)個(gè)別指導(dǎo)。在討論環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)到位，但部分小組討論偏離主題，說明小組分工和任務(wù)設(shè)置需進(jìn)一步優(yōu)化。

結(jié)束階段：教師通過“總結(jié)解題步驟”和“對比不同案例”的方式歸納知識，強(qiáng)調(diào)“模型建立—數(shù)學(xué)化—求解—檢驗(yàn)”的解題流程。作業(yè)布置分為基礎(chǔ)題和拓展題，分層設(shè)計(jì)合理。但時(shí)間分配上，總結(jié)環(huán)節(jié)占用較多，導(dǎo)致拓展題講解倉促，建議調(diào)整時(shí)間分配。

3.師生互動(dòng)：師生交流頻率較高，教師通過提問、追問等方式檢查學(xué)生理解程度，如“這個(gè)角的正弦值如何表示？”“計(jì)算結(jié)果是否符合實(shí)際？”等。約70%學(xué)生能積極回應(yīng)，但互動(dòng)存在單向性，教師多采用封閉式提問，建議增加開放性問題，如“還有其他測量方法嗎？”，促進(jìn)深度思考。學(xué)生參與度整體較高，尤其在案例討論中表現(xiàn)出興趣，但部分學(xué)生因計(jì)算錯(cuò)誤而被動(dòng)放棄，需關(guān)注個(gè)體差異。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)：學(xué)生整體學(xué)習(xí)積極性較高，對實(shí)際案例表現(xiàn)出好奇心，課堂專注度達(dá)85%以上。在合作學(xué)習(xí)中，部分小組能自主分工，如“畫圖”“計(jì)算”“檢驗(yàn)”等，但存在分工不均現(xiàn)象，需教師明確規(guī)則。優(yōu)秀學(xué)生能獨(dú)立完成復(fù)雜計(jì)算，但中等生在邊角關(guān)系轉(zhuǎn)換上存在困難，教師需提供更多支架。

5.課堂管理：課堂紀(jì)律良好，學(xué)生遵守規(guī)則，但多媒體操作時(shí)個(gè)別學(xué)生分心，需加強(qiáng)監(jiān)控。時(shí)間分配基本合理，但前半段例題講解偏多，后半段練習(xí)時(shí)間不足。課堂節(jié)奏控制較好，但總結(jié)環(huán)節(jié)拖沓，建議采用思維導(dǎo)圖等可視化工具高效梳理。

6.教學(xué)技術(shù)使用：多媒體課件有效支持了教學(xué)，動(dòng)畫演示三角函數(shù)應(yīng)用直觀清晰。但部分課件細(xì)節(jié)如單位換算標(biāo)注不清，影響計(jì)算準(zhǔn)確性。教師未使用在線互動(dòng)平臺(tái)，建議嘗試如“問卷星”等工具，實(shí)時(shí)收集學(xué)生反饋，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)。技術(shù)支持主要體現(xiàn)在知識呈現(xiàn)上，對解題過程的動(dòng)態(tài)模擬不足，可引入GeoGebra等軟件增強(qiáng)互動(dòng)性。

三.教學(xué)效果評價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成：本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為“理解解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用，掌握將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的方法，并能運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決簡單測量問題”，目標(biāo)明確且符合高二理科學(xué)生的認(rèn)知水平。通過課堂觀察和隨堂練習(xí)，發(fā)現(xiàn)約80%的學(xué)生能夠理解基本應(yīng)用場景，如測量高度、寬度等，并能列出所需方程。但在復(fù)雜情境中，如涉及多角度、多三角形組合的問題，只有約60%的學(xué)生能正確建立模型。這說明教學(xué)目標(biāo)中對“復(fù)雜問題解決”的要求略高，需在后續(xù)教學(xué)中分步實(shí)施。部分學(xué)生在目標(biāo)達(dá)成上存在差異，這與個(gè)體數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和參與度有關(guān)，需教師后續(xù)進(jìn)行針對性輔導(dǎo)?？傮w而言，核心目標(biāo)達(dá)成度較高，但需關(guān)注目標(biāo)層次的區(qū)分，對學(xué)有余力的學(xué)生提供拓展性任務(wù)。

2.知識掌握：

（1）知識點(diǎn)理解：學(xué)生對正弦定理、余弦定理的應(yīng)用掌握較好，尤其在“仰角/俯角”模型中，約90%的學(xué)生能正確標(biāo)注角度并代入公式。但在實(shí)際問題的單位換算（如角度與弧度的轉(zhuǎn)換）、特殊角的值記憶等方面存在普遍性問題，如例題中“旗桿高度”計(jì)算時(shí)，約30%的學(xué)生因角度單位錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)果偏差。這反映出教師在知識銜接上需加強(qiáng)，如課前強(qiáng)調(diào)單位規(guī)范，課中通過對比案例強(qiáng)化易錯(cuò)點(diǎn)。

（2）技能掌握：計(jì)算能力方面，基礎(chǔ)題中約85%的學(xué)生能獨(dú)立完成邊長和角度的計(jì)算，但復(fù)雜方程的變形和求解能力不足，如涉及余弦定理的二次方程求解，錯(cuò)誤率高達(dá)40%。這表明技能訓(xùn)練需更注重過程指導(dǎo)，如提供“步驟模板”或“錯(cuò)誤分析案例”，幫助學(xué)生形成規(guī)范解法。作圖能力方面，部分學(xué)生不能準(zhǔn)確繪制示意圖，導(dǎo)致解題方向錯(cuò)誤，需加強(qiáng)“數(shù)形結(jié)合”方法的滲透。模型建立能力是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，約70%的學(xué)生能初步將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，但未能靈活選擇最優(yōu)模型，如測量河流寬度時(shí)，部分學(xué)生盲目使用正弦定理而忽略余弦定理的適用性。這提示教師需通過更多變式訓(xùn)練，提升學(xué)生的模型選擇能力。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀：

（1）學(xué)習(xí)興趣：本節(jié)課通過“測量教學(xué)樓”“旗桿高度”等與學(xué)生生活相關(guān)的案例，有效激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，約85%的學(xué)生表示“覺得數(shù)學(xué)有用”，課堂提問響應(yīng)積極。但部分學(xué)生在遇到計(jì)算困難時(shí)表現(xiàn)出焦慮情緒，反映出對數(shù)學(xué)的“恐懼感”依然存在，需教師通過分層評價(jià)、鼓勵(lì)性語言等方式緩解。小組合作環(huán)節(jié)中，部分小組因成員間數(shù)學(xué)水平差異導(dǎo)致討論低效，提示需優(yōu)化分組策略，如“組內(nèi)異質(zhì)、組間同質(zhì)”。

（2）數(shù)學(xué)思維：教師通過“如何測量不可達(dá)高度”的開放性問題，引導(dǎo)學(xué)生思考多種方案，培養(yǎng)了批判性思維。但部分學(xué)生依賴教師提供的固定思路，缺乏自主探究意識，需加強(qiáng)探究式學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)。在對比不同測量方法的環(huán)節(jié)，學(xué)生能初步體會(huì)數(shù)學(xué)模型的優(yōu)越性，但對“數(shù)學(xué)文化”的滲透不足，如未提及三角測量在歷史導(dǎo)航中的應(yīng)用，可適當(dāng)補(bǔ)充，增強(qiáng)學(xué)科價(jià)值感。

（3）科學(xué)態(tài)度：通過強(qiáng)調(diào)測量結(jié)果的檢驗(yàn)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。但在實(shí)際操作中，部分學(xué)生忽視誤差分析，如測量河流寬度時(shí)直接代入計(jì)算結(jié)果而忽略單位取舍，反映出對“近似值”概念的模糊。需在后續(xù)教學(xué)中結(jié)合物理實(shí)驗(yàn)等，強(qiáng)化誤差控制意識。

綜上，本節(jié)課在知識傳遞和技能訓(xùn)練上基本達(dá)成目標(biāo)，但在分層教學(xué)、思維培養(yǎng)方面仍有提升空間。建議后續(xù)教學(xué)中：①強(qiáng)化易錯(cuò)點(diǎn)（如單位換算）的專題訓(xùn)練；②引入更多動(dòng)態(tài)幾何軟件（如GeoGebra）輔助探究；③通過案例拓展（如航海問題）提升模型的遷移能力；④關(guān)注個(gè)體差異，設(shè)計(jì)“基礎(chǔ)題+挑戰(zhàn)題”的分層作業(yè)。

四、總結(jié)與建議

1.總體評價(jià)：本節(jié)課整體效果良好，體現(xiàn)了較強(qiáng)的教學(xué)設(shè)計(jì)能力和課堂掌控力。最突出的優(yōu)點(diǎn)在于教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活，如“測量教學(xué)樓高度”的案例能有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，將抽象的數(shù)學(xué)知識與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)連接，符合“做中學(xué)”的理念。教師對知識點(diǎn)的講解邏輯清晰，特別是正弦定理和余弦定理在不同情境下的應(yīng)用舉例，有助于學(xué)生理解知識遷移。此外，多媒體技術(shù)的運(yùn)用較為得當(dāng)，動(dòng)態(tài)演示三角板移動(dòng)過程，直觀化了抽象的幾何關(guān)系，提升了教學(xué)的直觀性。課堂互動(dòng)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)合理，通過提問和小組討論，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的參與積極性，部分學(xué)生能主動(dòng)表達(dá)解題思路，體現(xiàn)了較好的師生互動(dòng)氛圍。

然而，也存在一些可以改進(jìn)的方面。首先，教學(xué)時(shí)間分配不夠均衡，導(dǎo)入環(huán)節(jié)耗時(shí)較長，導(dǎo)致后續(xù)練習(xí)時(shí)間緊張，部分拓展內(nèi)容未能充分展開。其次，對學(xué)生個(gè)體差異的關(guān)注不夠充分，在復(fù)雜問題解決環(huán)節(jié)，部分中等生和學(xué)困生顯得無所適從，教師提供的幫助更多是普遍性的講解而非個(gè)性化的指導(dǎo)。此外，教學(xué)評價(jià)方式較為單一，主要依賴課堂觀察和隨堂練習(xí)，缺乏更全面的形成性評價(jià)手段，如即時(shí)反饋的在線測試或?qū)W習(xí)單。總體而言，本節(jié)課是成功的教學(xué)實(shí)踐，但仍有提升空間，特別是在精細(xì)化教學(xué)設(shè)計(jì)和個(gè)性化支持方面。

2.改進(jìn)建議：

（1）優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)，提升時(shí)間管理效能：建議壓縮導(dǎo)入環(huán)節(jié)至3分鐘以內(nèi)，聚焦核心問題，避免冗余鋪墊。在展開階段，可采用“基礎(chǔ)問題—變式練習(xí)—拓展思考”的遞進(jìn)式設(shè)計(jì)，確保核心知識講透練熟。例如，在“測量河流寬度”的例題后，可增加“測量旗桿高度”的變式題，引導(dǎo)學(xué)生自主應(yīng)用，再引入“測量不可達(dá)高度”的開放性思考，逐步提升難度。結(jié)束環(huán)節(jié)應(yīng)聚焦關(guān)鍵點(diǎn)總結(jié)，如“解題步驟模板”或“易錯(cuò)點(diǎn)清單”，避免泛泛而談。同時(shí)，建議采用“課前預(yù)習(xí)—課中練習(xí)—課后鞏固”的分層作業(yè)設(shè)計(jì)，確?；A(chǔ)知識的消化吸收。

（2）強(qiáng)化分層教學(xué)，關(guān)注個(gè)體差異：針對學(xué)生計(jì)算能力差異，可提供“計(jì)算技能包”（含特殊角值、公式變形等），并設(shè)計(jì)“基礎(chǔ)題（必做）+挑戰(zhàn)題（選做）”的分層練習(xí)。在小組討論中，可采用“優(yōu)生帶動(dòng)”模式，但需明確分工標(biāo)準(zhǔn)，如“繪圖員”“計(jì)算員”“記錄員”，避免優(yōu)生包攬。對學(xué)困生，教師可通過“非正式提問”（如“這個(gè)角是多少度？”“下一步該用哪個(gè)公式？”）給予支架，逐步建立信心。此外，可引入“錯(cuò)誤銀行”機(jī)制，將共性錯(cuò)誤整理成案例，在后續(xù)課中回顧，加深印象。

（3）豐富教學(xué)評價(jià)，增強(qiáng)反饋及時(shí)性：建議引入“4分鐘快速測”（如3道選擇題或填空題）作為課前或課后評價(jià)工具，實(shí)時(shí)監(jiān)測學(xué)習(xí)效果。結(jié)合課堂平板或在線平臺(tái)，如“雨課堂”或“問卷星”，實(shí)現(xiàn)答題后即時(shí)反饋正確率，教師可據(jù)此調(diào)整教學(xué)節(jié)奏。學(xué)習(xí)單設(shè)計(jì)應(yīng)包含“知識梳理—技能訓(xùn)練—反思評價(jià)”三部分，引導(dǎo)學(xué)生自我檢測。對開放性問題（如“還有其他測量方法嗎？”），可采用“思維導(dǎo)圖”或“辯論賽”等形式記錄學(xué)生觀點(diǎn)，評價(jià)其創(chuàng)新思維和表達(dá)能力。

（4）深化技術(shù)整合，提升互動(dòng)體驗(yàn)：當(dāng)前多媒體運(yùn)用多停留在“PPT+動(dòng)畫”層面，建議引入交互式軟件如GeoGebra，讓學(xué)生動(dòng)態(tài)操作三角板，觀察角度變化對邊長的直接影響，增強(qiáng)對定理的理解?？稍O(shè)計(jì)“虛擬測量”任務(wù)，如利用手機(jī)APP模擬測量教學(xué)樓高度，結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算誤差，提升技術(shù)應(yīng)用能力。此外，教師可錄制微課視頻講解易錯(cuò)點(diǎn)，供學(xué)生課后復(fù)習(xí)，實(shí)現(xiàn)“個(gè)性化學(xué)習(xí)”。

3.后續(xù)跟蹤：建議安排一次后續(xù)聽課，重點(diǎn)觀察教師對改進(jìn)建議的落實(shí)情況，特別是分層教學(xué)和動(dòng)態(tài)評價(jià)的實(shí)施效果。可在課后通過“教學(xué)反思座談會(huì)”形式，與教師深入交流，如分析學(xué)生作業(yè)中的共性錯(cuò)誤，探討改進(jìn)策略。同時(shí)，提供專業(yè)支持措施：

一是資源支持，推薦相關(guān)教學(xué)案例庫（如北師大版教材配套資源、K12在線課