第1課時(shí)弧長(zhǎng)和扇形面積課時(shí)目標(biāo)1.理解弧長(zhǎng)和扇形面積公式,并會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)、扇形的面積,發(fā)展學(xué)生抽象思維能力的核心素養(yǎng).2.經(jīng)歷探究弧長(zhǎng)和扇形面積公式的過(guò)程,解決部分與整體的問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和運(yùn)用公式解決問(wèn)題的能力.3.在弧長(zhǎng)和扇形面積計(jì)算公式的探究過(guò)程中,感受轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學(xué)思想.4.通過(guò)用弧長(zhǎng)和扇形面積公式解決實(shí)際問(wèn)題,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系,激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題的能力.學(xué)習(xí)重點(diǎn)弧長(zhǎng)及扇形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程及運(yùn)用.學(xué)習(xí)難點(diǎn)運(yùn)用弧長(zhǎng)和扇形面積公式計(jì)算組合圖形的面積.課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)情境引入在田徑200米跑步比賽中,運(yùn)動(dòng)員的起跑位置相同嗎?為什么?教師通過(guò)課件展示圖片,提出問(wèn)題.解:起跑位置不同,為了保證每個(gè)人所跑路程為200米.在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,提出每個(gè)跑道應(yīng)該相距多遠(yuǎn)呢,關(guān)鍵是應(yīng)該知道這些彎道的“展直長(zhǎng)度”,如何計(jì)算呢?設(shè)計(jì)意圖:由現(xiàn)實(shí)圖片引出,給學(xué)生產(chǎn)生視覺上的強(qiáng)烈沖擊,產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲,為下面探究新知識(shí)打下基礎(chǔ).讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)來(lái)源于生活并應(yīng)用于生活的辨證思想,初步感受弧長(zhǎng)的作用.探究新知我們知道,弧是圓的一部分,弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)的一部分.想一想,如何計(jì)算圓周長(zhǎng)?圓的周長(zhǎng)可以看作是多少度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)?由此出發(fā),1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少?n°的圓心角呢?分析:在半徑為R的圓中,因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C=2πR,所以1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是2πR360,即πR180.于是n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為典例精講例1制造彎形管道時(shí),經(jīng)常要先按中心線計(jì)算“展直長(zhǎng)度”,再下料,試計(jì)算如圖所示的管道的展直長(zhǎng)度L(結(jié)果取整數(shù)).解:由弧長(zhǎng)公式,得AB的長(zhǎng)l=100×900×π180=500π≈1570(mm)因此所要求的展直長(zhǎng)度L=2×700+1570=2970(mm).設(shè)計(jì)意圖:由圓的周長(zhǎng)和周角的定義分析出1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng),進(jìn)而得出n°圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)公式,體現(xiàn)了新舊知識(shí)的聯(lián)系.教師給出扇形圖片,學(xué)生觀察圖片,嘗試歸納概念.扇形:由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫做扇形.思考:由扇形的定義可知,扇形面積就是圓面積的一部分.想一想,如何計(jì)算圓的面積?圓面積可以看作是多少度的圓心角所對(duì)的扇形的面積?1°的圓心角所對(duì)的扇形面積是多少?n°的圓心角呢?分析:在半徑為R的圓中,因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的扇形的面積就是圓面積S=πR2,所以圓心角是1°的扇形面積是πR2360.于是圓心角為n°的扇形面積是S扇形比一比:n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)和扇形面積之間有什么關(guān)系?(教師提問(wèn),學(xué)生討論交流,得出結(jié)論.)S扇形=nπR2360=nπR·典例精講例2如圖,圓心角為60°的扇形的半徑為10cm.求這個(gè)扇形的面積和周長(zhǎng).(精確到0.01cm2和0.01cm)學(xué)生獨(dú)立思考后師生共同解答.解:∵n=60,r=10cm,∴扇形的面積為S=nπr2360=60×π×102360=扇形的周長(zhǎng)為l=2r+nπr180=20+60×π×10180=20+10π設(shè)計(jì)意圖:類比弧長(zhǎng)公式的研究方法,學(xué)生可以自行推倒扇形面積公式并應(yīng)用,鍛煉學(xué)生的推理能力.典例精講例3如圖,水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m,其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面積(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位).解:連接OA,OB,作弦AB的垂直平分線,垂足為D,交AB于點(diǎn)C,連接AC.∵OC=0.6m,DC=0.3m,∴OD=OC-DC=0.3(m).∴OD=DC.又AD⊥DC,∴AD是線段OC的垂直平分線.∴AC=AO=OC.從而∠AOD=60°,∠AOB=120°.有水部分的面積S=S扇形OAB-S△OAB=120π360×0.62-12AB·OD=0.12π-12×0.63×0.3≈0.22(m有水的部分實(shí)際上是一個(gè)弓形,通過(guò)例題我們發(fā)現(xiàn),弓形的面積可以通過(guò)扇形的面積與相應(yīng)三角形面積的和或差求得.設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)例題總結(jié)出弓形的面積.鞏固訓(xùn)練1.如圖,一條公路(公路的寬度忽略不計(jì))的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧AB,點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心,半徑OA=90m,圓心角∠AOB=80°,則這段彎路AB的長(zhǎng)度為(C)A.20πmB.30πmC.40πmD.50πm第1題圖第2題圖2.如圖,在扇形AOB中,AC為弦,∠AOB=140°,∠CAO=60°,OA=6,則BC的長(zhǎng)為(B)A.4π3 B.8π3 C.23π 3.如圖,☉O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B,其半徑是2m,連接AB,若∠AOB=45°,則陰影部分的面積為

π4-22m24.某校編排的一個(gè)舞蹈需要五把和圖1形狀大小完全相同的綢扇.學(xué)?，F(xiàn)有三把符合要求的綢扇,將這三把綢扇完全展開剛好組成如圖2所示的一朵圓形的花.請(qǐng)你算一算:再做兩把這樣的綢扇至少需要多少平方厘米的綢布?(單面制作,不考慮綢扇的折皺,結(jié)果用含π的式子表示)解:由三把綢扇完全展開剛好組成了一個(gè)圓可知,扇形的圓心角為120°.由題圖知,大扇形的半徑為18+12=30(cm).S大扇形=120×π×302360=300π(cmS小扇形=120×π×122360=48π(cmS綢面=S大扇形-S小扇形=300π-48π=252π(cm2).兩把綢扇所需的綢布面積是2×252π=504π(cm2).所以再做兩把這樣的調(diào)扇至少需要504π平方厘米的綢布.5.如圖,將Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△AB1C1,陰影部分為線段BC掃過(guò)的區(qū)域,已知AB=4,BC=3,求陰影部分的面積.解:∵AB=4,BC=3,∴由勾股定理,得AC=32+∵將Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△AB1C1,∴△ABC的面積等于△AB1C1的面積,∠C1AC=∠B1AB=90°.∴陰影部分的面積S=S扇形AC1C+S△ABC-S扇形AB1B-S△A設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)練習(xí)進(jìn)一步鞏固所學(xué).課堂小結(jié)本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容?(1)弧長(zhǎng)公式l=nπ(2)扇形面積S扇形=nπR2(3)弓形面積S弓形=S扇形-S三角形,S弓形=S扇形+S三角形.設(shè)計(jì)意圖:將課程中的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整理和歸納,形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系,便于學(xué)生理解和記憶.第2課時(shí)圓錐的側(cè)面積和全面積課時(shí)目標(biāo)1.理解圓錐的側(cè)面積和全面積公式,并會(huì)利用公式解決圓錐側(cè)面積或全面積的問(wèn)題,發(fā)展學(xué)生抽象思維能力的核心素養(yǎng).2.經(jīng)歷探索圓錐側(cè)面積計(jì)算公式的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生獲取新知的能力,并滲透化曲面為平面的思想,培養(yǎng)學(xué)生觀察、操作、歸納、猜想的能力以及增強(qiáng)學(xué)生的合作意識(shí),進(jìn)一步發(fā)展空間觀念的核心素養(yǎng).3.通過(guò)教學(xué)互動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力,掌握解決問(wèn)題的策略.4.通過(guò)運(yùn)用公式解決實(shí)際問(wèn)題,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題的能力.學(xué)習(xí)重點(diǎn)了解圓錐的側(cè)面積和全面積計(jì)算公式,并會(huì)應(yīng)用公式解決問(wèn)題.學(xué)習(xí)難點(diǎn)經(jīng)歷探索圓錐側(cè)面積和全面積計(jì)算公式的過(guò)程.課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)觀察思考問(wèn)題:觀察下面的物體,你能抽象出什么相同的幾何圖形?問(wèn)題:你還能舉出一些生活中的圓錐形物體嗎?設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)熟悉的生活中實(shí)物圖片引入,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,并讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系,通過(guò)舉例讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉圓錐.問(wèn)題1:觀察圓錐,你能說(shuō)出它是由哪些面圍成的幾何體嗎?解:圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的幾何體.底面是一個(gè)圓,側(cè)面是一個(gè)曲面.追問(wèn)1:圓錐中常見的元素有哪些?解:連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.圓錐的母線有無(wú)數(shù)條.連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓心的線段叫做圓錐的高.追問(wèn)2:圓錐的母線、高、半徑三者之間有什么關(guān)系?解:h2+r2=l2講完每一部分可以先讓學(xué)生討論,最后教師總結(jié)給出每部分的所講內(nèi)容.設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)分析得出圓錐的母線、高、半徑三者之間的關(guān)系,為后面解題作準(zhǔn)備,同時(shí)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力.問(wèn)題2:我們知道圓錐的側(cè)面是一個(gè)曲面,那么如何求它的側(cè)面積呢?將曲面變成平面,沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平.追問(wèn):圓錐的側(cè)面展開圖是什么圖形?扇形教師活動(dòng):先讓學(xué)生動(dòng)手操作,將扇形紙片折成圓錐再展開,然后提出下面的問(wèn)題讓學(xué)生搶答.(1)展開的扇形的半徑與圓錐中的哪一條線段相等?母線長(zhǎng).(2)展開的扇形的弧長(zhǎng)與底面圓的周長(zhǎng)有什么關(guān)系?相等.設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生分析出求側(cè)面積的方法,培養(yǎng)學(xué)生獲取新知的能力,并滲透化曲面為平面的思想.通過(guò)動(dòng)手操作培養(yǎng)學(xué)生的操作實(shí)踐能力,并讓學(xué)生熟悉展開的扇形中的弧長(zhǎng)和半徑與圓錐中元素的關(guān)系,為后面推導(dǎo)出圓錐的側(cè)面積公式作鋪墊,通過(guò)搶答提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.問(wèn)題3:如何計(jì)算圓錐的側(cè)面積?分析:由活動(dòng)3可知圓錐母線長(zhǎng)l,底面圓的半徑為r,那這個(gè)扇形半徑為l,弧長(zhǎng)為2πr.因此圓錐的側(cè)面積=扇形的面積=12lR=12×2πr×l設(shè)計(jì)意圖:將圓錐的側(cè)面積轉(zhuǎn)化為已學(xué)的扇形的面積,讓學(xué)生掌握解決問(wèn)題的策略.問(wèn)題4:如何計(jì)算圓錐的全面積呢?圓錐的全面積=側(cè)面積+底面積=πrl+πr2.說(shuō)明:r是底面圓的半徑,l是圓錐的母線長(zhǎng).設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)自主探究交流的方式引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出圓錐的側(cè)面積公式和全面積公式,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.問(wèn)題5:還記得前面提到的蒙古包嗎?能否利用今天學(xué)到的知識(shí)求出蒙古包的全面積?蒙古包的全面積=圓錐的側(cè)面積+圓柱的側(cè)面積.典例精講例蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成.如果想用毛氈搭建20個(gè)底面積為12m2,高為3.2m,外圍高1.8m的蒙古包,至少需要多少平方米的毛氈(π取3.142,結(jié)果取整數(shù))?解:如圖是一個(gè)蒙古包的示意圖.根據(jù)題意,下部圓柱的底面積為12m2,高h(yuǎn)2=1.8m;上部圓錐的高h(yuǎn)1=3.2-1.8=1.4(m).圓柱的底面圓的半徑r=12π≈1.側(cè)面積為2π×1.954×1.8≈22.10(m2).圓錐的母線長(zhǎng)l=1.9542+1.側(cè)面展開扇形的弧長(zhǎng)為2π×1.954≈12.28(m),圓錐的側(cè)面積為12×2.404×12.28≈14.76(m2)因此,搭建20個(gè)這樣的蒙古包至少需要毛氈20×(22.10+14.76)≈738(m2).設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生自主分析出求解思路,學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系,并為后面的練習(xí)、習(xí)題解答作準(zhǔn)備.讓學(xué)生在探究過(guò)程中進(jìn)一步加深對(duì)圓錐側(cè)面積公式的理解,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).鞏固訓(xùn)練1.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為12cm,母線長(zhǎng)為20cm,則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為240πcm2,全面積為384πcm2(結(jié)果保留π).

2.一個(gè)圓錐形的冰淇淋紙筒,其底面直徑為6cm,高為4cm,則圍成這樣的冰淇淋紙筒所需紙片的面積為15πcm2(結(jié)果保留π).

3.若圓錐的底面半徑r=4cm,高線h=3cm,則它的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角是288度.

4.童心玩具廠欲生產(chǎn)一種圣誕老人的帽子,其圓錐形帽身的母線長(zhǎng)為15cm,底面半徑為5cm,生產(chǎn)這種帽身10000個(gè),你能幫玩具廠算一算至少需多少平方米的材料嗎(不計(jì)接縫用料和余料,π取3.14)?解:由題意可知,母線長(zhǎng)l=15cm,r=5cm,∴S側(cè)=πrl=π×5×15≈235.5(cm2).∴235.5×10000=2355000(cm2)=235.5(m2).答:至少需要235.5平方米的材料.設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)鞏固訓(xùn)練及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,并考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力,培養(yǎng)獨(dú)立完成練習(xí)的習(xí)慣.課堂小結(jié)設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)課堂小結(jié)總結(jié)回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容,幫助學(xué)生歸納、鞏固所學(xué)知識(shí).第2課時(shí)圓錐的側(cè)面積和全面積重要圖形,重要結(jié)論.(1)其側(cè)面展開圖扇形的半徑=母線的長(zhǎng)l;(2)側(cè)面展形圖扇形的弧長(zhǎng)=底面圓的周長(zhǎng).(1)r2+h2=l2;(2)S側(cè)=πrl;(3)S全=S側(cè)+S底=πrl+πr2.知能演練提升一、能力提升1.如果一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于它的半徑,那么此扇形稱為“等邊扇形”,則半徑為2的“等邊扇形”的面積為()A.π B.1 C.2 D.22.如圖,在扇形OAB中,已知∠AOB=90°,OA=2,過(guò)AB的中點(diǎn)C作CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為D,E,則圖中陰影部分的面積為()A.π-1 B.π2-1 C.π-12 D3.如圖,半徑為10的扇形AOB中,∠AOB=90°,C為AB上一點(diǎn),CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為D,E.若∠CDE為36°,則圖中陰影部分的面積為()A.10π B.9π C.8π D.6π4.如圖,水平地面上有一面積為30πcm2的扇形OAB,半徑OA=6cm,且OA與地面垂直.在沒有滑動(dòng)的情況下,將扇形向右滾動(dòng)至OB與地面垂直為止,則點(diǎn)O移動(dòng)的距離為()A.20cm B.24cmC.10πcm D.30πcm5.某花園內(nèi)有一塊五邊形的空地如圖所示,為了美化環(huán)境,現(xiàn)計(jì)劃在以五邊形各頂點(diǎn)為圓心,2m長(zhǎng)為半徑的扇形區(qū)域(陰影部分)內(nèi)種上花草,那么種上花草的扇形區(qū)域總面積是()A.6πm2 B.5πm2C.4πm2 D.3πm26.如圖,△ABC是正三角形,曲線CDE……叫做“正三角形的漸開線”,其中CD,DE,EF……的圓心依次按A,B,C循環(huán),它們依次相連接,若AB=1,則曲線CDEF7.如圖,在四邊形ABCD中,AB=CB,AD=CD,我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.箏形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O.以點(diǎn)B為圓心,BO長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交AB,BC于點(diǎn)E,F.若∠ABD=∠ACD=30°,AD=1,則EF的長(zhǎng)為.(結(jié)果保留π)

8.圖中的粗線CD表示某條公路的一段,其中AmB是一段圓弧,AC,BD是線段,且AC,BD分別與圓弧AmB相切于點(diǎn)A,B,線段AB=180m,∠ABD=150°.(1)畫出圓弧AmB的圓心O;(2)求A到B這段弧形公路的長(zhǎng).★9.如圖,AB為☉O的直徑,CD⊥AB,OF⊥AC,垂足分別為E,F.(1)請(qǐng)寫出三條與BC有關(guān)的正確結(jié)論;(2)當(dāng)∠D=30°,BC=1時(shí),求圓中陰影部分的面積.二、創(chuàng)新應(yīng)用★10.圖①是某學(xué)校存放學(xué)生自行車的車棚的示意圖(尺寸如圖),車棚頂部是圓柱側(cè)面的一部分,其展開圖是矩形.圖②是車棚頂部截面的示意圖,AB所在圓的圓心為O.車棚頂部是用一種帆布覆蓋的,求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e.(不考慮接縫等因素,計(jì)算結(jié)果保留π)知能演練·提升一、能力提升1.C使用扇形的面積公式S=12lR可求出其面積,即S=12×2×2=2.B3.A4.C點(diǎn)O移動(dòng)的距離即扇形OAB所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng),先運(yùn)用扇形的面積公式S扇形=nπR2360求出扇形的圓心角n=300°,再由弧長(zhǎng)公式l=nπR180,5.A6.4π關(guān)鍵是確定圓心角和半徑.因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,所以CD,DE,EF的圓心角都為因此CD=2π3,DE=4π3,EF=6π7.π8.解(1)如圖,過(guò)點(diǎn)A作AO⊥AC,過(guò)