第2課時直線與橢圓

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說法

目幀El直線與橢圓的位置關(guān)系

例1設凡分別是橢圓［+產(chǎn)=1的左、右焦點，設過定點M。，2）的直線/與橢圓

交于不同的兩點/,B,且為銳角（其中。為坐標原點），則直線/的斜率左的取值范

圍為

【解析】顯然x=0不滿足題意，則設直線/的方程為y=Ax+2,A（xi,yi）,8（X2,歹2）,

1+爐=1，

聯(lián)立4得（1+4左2）/+16京+12=0,則4=（16左/一4（4幺+1）義12>0,解得左2

y=kx~\~2,

17

>|,可得Xl+%2=---X1X24乃+]'則Vi、2=(kx1+2)(fa：2+2)=k?x1X2+2k(x1+xi)+4.

44F+1

因為N/05為銳角,則cosZAOBX）,即。/?Q8=xiX2+yu2>0,所以％述2+歹必=（1+『）卬：2

+2…M+4=僚+4=必>。,解得—或不

k<2,即實數(shù)人的取值范圍為-7心4

變式1（2024?池州二模）已知實數(shù)x,y滿足mx2+ly1=4(m>0),若|x+2y|的最大值為

4,則加=（D）

A.出

B.-

33

C也

D-2

,2

x~\~2y=/,

【解析】令x+2y=f,貝U及W16,則加>0時，由消去x并整理得（4冽

mx2+2j/2=4,

+2)產(chǎn)一4mty-\~mt2—4=0,顯然4加+2W0,則/=(4加—4(4m+2)(mt2—4)20,整理得

0—4+8加,14d~8m胡/白1

件W-----,則n~-----=16,解得冽

mm2

目幀日橢圓的中點弦問題

例2（2024?邵陽二聯(lián)）已知直線l：x~2y~2=0與橢圓C：=1(Q>6>0)相交于4,

B兩點.若弦45被直線m-.x+2y=0平分，則橢圓。的離心率為（C）

R也

D.

A\4

【解析】設Z（xi,歹1），5（X2,歹2）,因為弦被直線加：x+29=0平分，設中點坐標

為（X0,/），所以R；"2+2義'=xo+2次=0①.因為點/,B在直線/：X—2y-2=0±,

卜i=2yi+2,

所以12=2》2+2,兩式相減可得xi—%2=2（yi—⑶②.又點4,5在橢圓上，所以

兩式相減可得之出+進?=0,代入①②可得4乎+等=0今次=4比又在

azbzqb

橢圓中，a2=b2+c\所以離心率

aV?2

〈總結(jié)提煉A

解決圓錐曲線“中點弦”問題的思路

（1）根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方

程后，由根與系數(shù)的關(guān)系及中點坐標公式求解.

（2）點差法：設直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）的坐標為/（xi,yi）,5（X2,芹），將這

兩點的坐標分別代入圓錐曲線的方程，并對所得兩式作差，得到一個與弦N8的中點和直線

48斜率有關(guān)的式子，可以大大減少計算量.

22

變式2若橢圓;+：=1上存在不同的兩點/,8關(guān)于直線y=3x+w對稱，則實數(shù)加

的取值范圍是（B）

22

【解析】橢圓即5/+9f一45=0.設4（xi,yi）,5（x2,H），45中點為M（xo,

次），則5%彳+9貨-45=0,5x夕+9比-45=0,兩式相減得5al+x2）（xi—X2）+9（yi+y2）（yi—y2）

=0,所以之一~=—所以次=1xo,代入直線方程y=3x+冽，得xo=一池，次

xi-X29次334

即J—7'一4）因為（X0,/）在橢圓內(nèi)部，所以5義距2+9X&J2<45,解得一

5m

41616

2佝

3J.

即冽的取值范圍是I

目棘回橢圓中的弦長、面積問題

例3-1（2025?湛江期中）已知橢圓￡：=1(〃>6>0)過點15ma

(1)求橢圓￡的方程;

B+4i

。2十2b2，22

19解得。2=4,爐=3,故橢圓￡的方程為比+支

【解答】依題意得

++==1,43

\a24〃

1.

⑵已知過點MT，1)的直線/與E交于/,8兩點，^\MA\-\MB\=y,求直線/的方

程.

-T,

【解答】當直線/的斜率不存在時,/：X=-1,代入橢圓方程得/

此時幽Z|=ja—1=:1|7kffla|=|+sl=|,\MA\-\MB1\0^y,不合題意，舍去；當直線/的斜率存

y-1=k(x-\-1),

在時，設/的方程為y—1=左(%+1),4(xi,yi),5(x2,8)，聯(lián)立修=]得(3+

43一，

8F+8左4尸+8左一8

4產(chǎn).2+(8乃+8《)x+4左2+8左一8=0,則/>0,+x-xiX2=------;一,\MA\

Xl23+4R3+43

=\1、+妁xi+1|,\MB|=yjl+A^2\x2+11>貝4HA/5|=(1+E2)m%2+%1+%2+l|='l+")=電

3+4A27

解得左=±1,故直線/的方程為y=x+2或夕=一x.

〈總結(jié)提煉A

斜率為后的直線/與橢圓或雙曲線相交于/(X1,勿)，8(X2,JV2)兩個不同的點，則弦長

X2|—[(1+F)[(X1+%2)2-4「1X21或|4同=1+：-[yi一列

A/D+3—).

例3-2(2025?漳州期初)已知橢圓C：三Fl,尸2,

CT

離心率為青，點尸為C上一點，△尸尸1凡的周長為2也+2,其中。為坐標原點.

2

(1)求橢圓C的方程.

a=也,~,

【解答】依題意，得解得又a2=b2+c2,所以b2=

2a+2c=2/+2,0=1.

a2~c2=l,所以橢圓C的方程為：+產(chǎn)=1.

(2)直線/：y=x+%與C交于N,8兩點.

①求△048面積的最大值；

X2_|_2_1

【解答】①設/(XI,力)，3(X2,72)＞聯(lián)立得3x2+4mx+2m2—2=0,

y=x+m,

J

則/=16僅2—4X3X(24—2)>0,解得/<3,所以xi+&=一掌，xix2=^一,\AB\=

■\/2Xyj(x\+%2)2-4%1%2=~~~X^24—8m2=--：冽.又點0到直線/：x—y-\-m=0的距離d—

22

號’所以△WB的面積了三義:"-X義…八也

22

當且僅當3—加=冽2,即冽=±?時取等號，故面積的最大值為止.

22

②設。。=。/+。8,試證明點。在定直線上，并求出定直線方程.

X=Xl+%2?

【解答】設Q(x,y),由。。=04+0及得(x,y)=(xi+x2,yi+y2),即

y=yi~\~y2.

4m

x=----

3

因為Xl+X2=-羋,所以/+玖=X1+12+2冽=個，故于是有》=-5,所

2m

3ry

以點。在定直線》=—｝上.

隨堂內(nèi)化

1.已知橢圓：+產(chǎn)=1與直線＞=x+加交于45兩點，且|/用=?，則實數(shù)加=(D)

A.11B.一也C.1D.11或1

2

82

^~y2=1,

【解析】聯(lián)立2消去y并整理，得3/+4mx+2加2—2=0./=(4%)2—

y=x+m,

4X3X(2^-2)＞0,源＜3,設.，力)，颯，㈤,則為+&=譚,他2于由題

［一51—4義冽丁=?,解得加

意得|/3|=叱+12X、(X1+X2)2—4工1%2=^^,即出又

±1.

2.設直線/：y=fcc+3與橢圓C：；+.=l相交于兩點，且A8的中點為」T'3

則-:

【解析】設"gy),Bg㈤,故呼+。=1，

1,兩式作差得

94

=0,即3f)3+xD+(y2f)M+/)=o,所以左=9=—幽垃.因為45的中點為

94X2—xi9(yi+j/2)

1'3),所以xi+x2=—2,歹1+玖=2,所以左='

〃yi4X(2)4

2

3X2~Xi9X-3,

3

3.（2023?新高考n卷）已知橢圓C：；+產(chǎn)=1的左、右焦點分別為居，尸2,直線y=x+

機與。交于/,3兩點，若△尸M3面積是△尸2A8面積的2倍，則加=（C）

A.2B

3-f

「也

c.------D

3--J

y=x-\-m,

【解析】聯(lián)立定+產(chǎn)=]消去＞可得4爐+6冽x+3加2—3=0,則/=36加2—4X4（3冽2

-3）＞0,解得一2＜切〈2.易知尸1（一啦，0）,尸2（也，0）,設尸1到的距離為4,b2至U45

|一也十詞

的距離為辦，則必々|成+利由必星竺一生

,(h==2,

SAF2ABdi|也十刈[\j2+m\

解得m

配套精練

A組夯基精練

一、單項選擇題

1.若直線加x+"*=9和圓，+產(chǎn)=9沒有交點，則過點（相，"）的直線與橢圓：+，=1

的交點個數(shù)為（C）

A.1個B.至多一個

C.2個D.0個

已知直線＞=一｝+與橢圓：

2.2C5兩點，線段45的中

點為尸（2,1）,則橢圓。的離心率是（A）

A.金1

B.

22

1

C.-D.

44

1,

從而3+b=0,故”口

【解析】設4（xi,yi）,B（X2,㈤,則

1,a2b1x\~X2

學土叨,由題意可得Xi+X2=4,w+/=2,…/則-1從而！K,

〃+j2)X1一％2

故橢圓。的離心率e

a22

22

3.（2024?張家口調(diào)研）已知橢圓￡+々=1（°>6>0）的一條弦所在直線的方程是x—y+5

a1b1

=0,弦的中點坐標是Af（一%1），則橢圓的離心率是（C）

A.-B.也

2

D,也

25

22

【解析】設直線％—y+5=0與橢圓[+各=1相交于/（ri,yi）,5（x2,H）兩點.因為

45的中點為M（—4,1）,所以xi+&=—8,刃+方=2,易知直線的斜率左="二更=1.

X1~X2

由杉遇兩式相減得（XLX2）/+X2）+℃乎+/）=°,所以9=—

22

^|+^=1,abXI~X2

字吐上，所以?=：,所以橢圓的離心率

。>i+〉2屋4Q\1az2

4.（2024?汕頭一模）如圖，設居，尸2分別是橢圓的左、右焦點，點尸是以西乃為直徑的

圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長尸尸2與橢圓交于點0,若|尸尸1|=4|0E2],則直線2尸2

的斜率為（C）

A.--B.-1

2

C.12D.-3

【解析】如圖，連接尸歹1,QFi,由點尸在以月1后為直徑的圓上，故PFiLPF?.又點、P,

。在橢圓上，所以|尸尸i|+|尸尸2|=2m\QFi\+\QF2\=2a9設|QB|=冽，^\PFi\=4\QF2\=4m9

則有|PQ|=2Q—4加+加=2。一3冽，|尸@=2。一冽，則可得（4冽）2+（2〃-3加）2=（2〃一切下，解得

a=3m,ik\PF2\=2a—4m=2m,則tanN尸產(chǎn)2尸i='|^^=2,故kPF2=tan（冗一/PF#i）=—tan

/PFiFi=-2.

（第4題答）

二、多項選擇題

Nv2(4,

5.已知橢圓假+gl上不同的三點/(?,力)，Bi-51J,Cg㈤與焦點網(wǎng)4,0)的距

離成等差數(shù)列，若線段NC的垂直平分線與x軸的交點為7,貝ij(AC)

A.XI+X2=8B.XI+X2—16

C.直線87的斜率左=fD.直線37的斜率后=—&

45

【解析】由題意知尸寸(xi—4)2+資=/彳一8xi+16+9—幻=；^—8處+25=

X1-5

5］,同理|CF|=、「卜2-5,因為一丁5,|X2|<5,所以|XL5<0,$2—5<0.又盟

-\-\CF\=2\BF\,所以5—^xi+5—^X2=2XQ",所以10—；(xi+x2)=g,所以XI+X2=8,

故A正確，B錯誤.因為XI+X2=8,所以設線段NC的中點為。(4,次).又4C在橢圓上,

所以臉由①—②得嚶一、<所以二9(X1+%2)

25(yi+y2)

9義8=__36即Mc=---,所以直線。7的斜率如r=—；=%，從而直線。7的

25X2”25yo25yokAC36

方程為y—#=郎。-4).令y=0,得x=||,即建‘°),所以直線的斜率左=：,故C

正確，D錯誤.

6.(2025?嘉興期初)已知橢圓C：=1(a>6>0)的左、右焦點分別是尸i(—c,0),

尸2(c,0),以尸1凡為直徑的圓與C在第一象限交于點P,延長線段尸尸2交。于點。.若1Pp2|

=2］。尸2|，則(ACD)

4a2

A.\QF2\+\PF!\=\QFI\B.S4PQF\=t

C.橢圓。的離心率為小D.kQFi=一Z

311

【解析】對于A,由橢圓的定義可得，|列』十|列司=2°,|。坊+|。6|=2以又|尸7司=2］。92|,

所以|0尸2|+|尸尸1|=|"1|,故A正確;對于B,如圖,設|0尸2|=&>0),則|a/囹=2M因為

+\PF^=2a,\QFx\+\QF^=2a,所以|PQ|=2a—2x,|QR|=2a—x.因為居后為圓的直徑，所

以/尸1尸0=90。.在RtAP尸10中,\PF^+\PQ^=\QF^,KP(2a-2x)2+(3x)2^(2a-x)2,整理

ii7

2

得a=3x,所以SAPQFx^-\PQ\-\PFi|=3x-(2a-2x)=|a,故B錯誤；對于C,在RtAPFiF2

回2

中,|PFi|=2a-2x=y,|尸尸2|普,所以|PE|2+|尸產(chǎn)2/=|尸匹F，UJ=(2c)2,解

2a

得e2=g=S,即e=9,故c正確；對于D,在RtAPFiF2中，tan尸2=毆工=3=1.

a293|PFi|4a2

3

\pc)\a3

在RtAPFig中，tan/尸/10=區(qū)口=[==所以tanZF2Fi2=tan(ZPFiQ-/PFiFQ=

|PFi|也4

3

3_1

7

tanZPFig—tanAPF\Fi42j,所以直線。咒i的斜率為左=tan（180。一N凡B。）

1+tanNPEQtanNPF1F2.i31

1~\—vx—

—tanXF2F\Q=---,故D正確.

（第6題答）

三、填空題

7.（2024?婁底一模）已知橢圓C：三+￡=l（a>b>0）的右焦點為尸，下頂點為/,過/,

尸的直線/與橢圓C交于另一點3,若直線/的斜率為1,且|/為=$則橢圓c的標準方程

為3=1.

―「2

【解析】設尸0）,由題意知，b=c,。=旭匿直線/的方程為>=x—c,與橢圓C

的方程聯(lián)立化簡得312—4cx=0,所以力=0,XB=-C,故|45]=/]XB—切=^^。=：,解得

c=也,所以b=/，a=2,橢圓。的方程為￡+1=1.

42

（第7題答）

8.（2022?新高考I卷）已知橢圓C：￡+5=l（a>b>0）,。的上頂點為/,兩個焦點分別

屋廿

為Fi,尸2,離心率為;.過B且垂直于/6的直線與C交于。，￡兩點，|DE|=6,貝iJzXNDE

的周長是.13、.

【解析】因為橢圓的離心率為e=￡=±所以a=2c,所以62=/—02=3C2,所以橢圓

的方程為^+5=1,即3爐+4產(chǎn)—12C2=0.不妨設左焦點為尸i,右焦點為尸2,如圖，因為

\AF2\^a,|。尸2尸c,a=2c,所以//尸2。=四，所以△/乃乃為正三角形.因為過耳且垂直

于/尸2的直線與C交于，￡兩點,DE為線段/6的垂直平分線，所以直線的斜率為火,

3

斜率倒數(shù)為3,直線。E的方程為c,代入橢圓方程3/+4/—12C2=0,整理化簡

得13儼一6他少一9c2=0,判別式/=(6d3c)2+4X13X9c2=62X16Xc2,所以|D￡|=

^l+("\/3)2|yi—y2|=2X—=2X6X4X-=6,所以c=",得a=2c=".因為DE為線段AFi

131384

的垂直平分線，根據(jù)對稱性，得|40|=|￡>凡|,\AE\=\EF^,所以△/￡>￡的周長等于△廠組￡

的周長，利用橢圓的定義得△凡。E的周長為|￡>6|+|比囹+\DE\=\DF^+\EF^+\DFX\+\EF\\

=\DFi\+\DF2\+\EFi\+\EF2\=2a+2a=4a=13.

四、解答題

_22他回

9.已知出(一2,0)是橢圓M：；+1=1(°>6>0)的左頂點，且〃經(jīng)過點〔2,4J

(1)求橢圓河的方程；

Q=2,

【解答】依題意可得.7?27=]解得。=2,62=3,所以橢圓河的方程為?+

口十16/i4

3

(2)若直線/：>=左。-1)與初交于/(修，力)，3(X2,H)兩點，且!+1=—1,求弦48

XlX2

的長.

2

---1-匕v=1,

【解答】聯(lián)立“3消去》得(3+4左2.2-&k2%+4(左2—3)=0,則/+%2=

y=k(x—\\

如也=芝宣.因為1)經(jīng)過定點(1,0),且點(1,0)在M的內(nèi)部，所以/>0

X1X2=一｝所以|4回

(第9題答)

3)和Pp3為橢圓C：

10.(2024?新高考I卷)已知/(0,=l(a>6>0)上兩點.

(1)求。的離心率；

8=3,

2

b=9,IA2

【解答】由題意得，2+2=解得.，所以離心率e=[=

〔層：a2

屆4尻=12,V

(2)若過點P的直線/交C于另一點8,且△/AP的面積為9,求/的方程.

3-3

【解答】方法一：kAP=---1=—~,則直線/尸的方程為歹=-4+3,即工+2y-6=0,

0-322

(0—3)2+卜一)2=空.由(1)知C:—+^=1,設點3到直線/P的距離為d,則d

\AP\=

2129

2X9口后，則將直線Np沿著與/p垂直的方向平移吆b個單位長度即可，此時該平行

=3#=55

2

|C+6|12A/5

線與橢圓的交點即為點8,設該平行線的方程為x+2y+c=0,則,解得。=6

5

—+r=l,x=—3,

x=0,.

或c=-18.當c=6時，聯(lián)立129解得或_3即5(0,-3)

一9

工+2》+6=0,y=32

f一力.當8(0,—3)時,

此時左/=直線/的方程為

或3,y=31x—3,即3x-2j-6=0,當

22

直線/的方程為即；

B時,此時ki=~,y=/,x—2y=0當。=一18時，聯(lián)立

2

3=1,

.129得2y2-27^+117=0,J=272-4X2X117=-207<0,此時該直線與橢

x+2j-18=0

圓無交點.綜上,直線I的方程為3x—2y—6=0或x—2y=0.

方法二：同方法一得到直線AP的方程為x+2y—6=0,點5到直線AP的距離d=12〉