第04講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：垂直性質(zhì)的簡(jiǎn)單判定.....................................................2

題型二：證明線線垂直...........................................................2

題型三：證明線面垂直...........................................................4

題型四：證明面面垂直...........................................................5

題型五：面面垂直的性質(zhì)定理.....................................................7

題型六：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用.....................................................8

題型七：鱉臆幾何體中的垂直....................................................11

02重難創(chuàng)新練.................................................................13

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................19

題型一：垂直性質(zhì)的簡(jiǎn)單判定

1.設(shè)。、夕是兩個(gè)平面，“2、"是兩條直線，且/P=m.下列四個(gè)命題：

①若m〃"，則〃〃或〃〃夕②若貝！]nVfi

③若〃〃a,且〃///?,則%//〃④若"與。和夕所成的角相等，則加_1_〃

其中所有真命題的編號(hào)是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

2.（2024?四川成都?三模）已知直線/、相、〃與平面a、/3,下列命題正確的是（）

A.若/_L",mLn,則/〃〃？

B.若/La,1///3,則a，6

C.若/J_a,I,則租//ar

D.若a_1■p，a（3=m,I±m(xù),則

3.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知m，〃是兩條不同的直線，a,夕，/是三個(gè)不同的平面，下列命

題為真命題的是（）

A.若aJL6，,則a_L/B.若aJ■尸，機(jī)ua,“u尸，貝打九_(tái)L7?

C.若nVa,則加〃/D.mVn,mlla,a11[3,貝

題型二：證明線線垂直

4.（2024?四川宜賓?三模）如圖，在四棱錐P-ABCZ）中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2,ZPDC=120°,

PA=2也,點(diǎn)￡為線段PC的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在線段4B上，且A歹=；.

⑴求證：CD1EF；

（2）求三棱錐P-ABD的體積.

5.（2024?福建龍巖?三模）如圖，在四棱臺(tái)A8C￡>-A與G2中，底面四邊形ABC。為菱形,

/ABC=60°"=2招=24綜例_L平面ABCD.

證明：BD1CQ；

冗

6.如圖，三棱柱ABC-ABIG中，側(cè)面441GC是邊長(zhǎng)為2的正方形，AB=2壺,^BBXA,=-.

證明：AA,1BC1；

7.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,在平面四邊形3CDP中，PD//BC,BALAD,垂足為

A,PA=AB=BC=2AD,將.PAB沿AB翻折至！JASAB的位置，使得平面SAB1平面ABCD,如圖2所示.

（1）設(shè)平面SCD與平面&45的交線為/,證明：BCLI.

題型三：證明線面垂直

8.如圖所示，AB是（。的直徑，點(diǎn)C是〔。上異于A,平面ABC,E、尸分別為a,PC的中點(diǎn),

求證：EP_L平面PBC；

9.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱4BC-4片G中，E是qA上的點(diǎn)，且AE_L平面A^G.

求證：8CL平面441g8;

10.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓柱的軸截面ABCL（是邊長(zhǎng)為2的正方形，E是AO的中點(diǎn).

A

(1)求該圓柱體的體積；

(2)證明：￡>E_L平面ABE；

11.(2024?寧夏銀川?一模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA=PC=PD,A8〃Cr),/AOC=90,O

是AC的中點(diǎn).

(1)證明：「。，平面48^)；

(2)若AD=OC=PO=2AB=2,點(diǎn)E是尸C的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到平面PAD的距離.

題型四：證明面面垂直

12.(2024?四川資陽(yáng)?二模)如圖，在四面體ABCZ)中，AB=AC=AD=BC=BD=2,BC1,BD,E,

產(chǎn)分別為AB,AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面ACD_L平面BCD；

(2)求點(diǎn)A到平面BDF的距離.

13.（2024?四川成都模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，AB//CD,ZBAD^60°,AB=l,AD^CD=2,

BELCD.

/B

⑴證明：平面平面ABC。；

(2)若ADLDE,DE=4也,尸為CE中點(diǎn)，求三棱錐P-ABE的體積.

14.(2024?廣西?模擬預(yù)測(cè))在長(zhǎng)方體ABC。-ABIGR中，點(diǎn)區(qū)尸分別在B片，。2上，且AF，A。，

AA{=BD.

Dj____________C,

求證：平面A。。，平面AEF；

15.(2024?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=2,ZBAD=6O°,E為邊CD上

的點(diǎn)，CB=CE=1,以EB為折痕把CEB折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且三棱柱D-APE的體積為，.

O

證明：平面平面以￡；

題型五：面面垂直的性質(zhì)定理

16.如圖，在四邊形ABC。中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，8￡>_1。,。_0=2.現(xiàn)將4^￡>沿3。邊折起,

使得平面ABD_L平面BC。，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn).

求證：3E_L平面ACD；

17.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，斜三棱柱ABC-的各棱長(zhǎng)均為2,側(cè)棱與底面45c

C

證明：點(diǎn)片在平面ABC上的射影。為A8的中點(diǎn);

18.如圖1,在矩形ABCL（中，點(diǎn)E在邊C。上，BC=DE=2EC=2,將沿AE進(jìn)行翻折，翻折后。

點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)位置，且滿足平面PAEL平面AFCE,如圖2.

⑴若點(diǎn)尸在棱上，PBc平面CEF=G,求證：CEHFG；

（2）求點(diǎn)E到平面PAB的距離.

19.（2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè)）在三棱柱ABC-A8G中，側(cè)面AACC」平面A3C,AC=3C=朋=4,

TT冗

ZACB=~,側(cè)面ACGA為菱形，且/4AC=g,。為CG中點(diǎn).

證明：平面用BCG；

題型六：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

20.如圖，在直三棱柱：中，AC=8C=1,ZACB=9Q°,。是A4的中點(diǎn)，/在匹］上，G

為中點(diǎn).

⑴求證：CGII平面C]DF；

⑵在下列給出的三個(gè)條件中選取哪兩個(gè)條件可使A瓦，平面4。耳?并證明你的結(jié)論.①尸為明的中點(diǎn)；②

AB}=A/3；③的=衣

21.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是菱形，DAB=60，PA=PD,G為的中點(diǎn).

-B

⑴求證：ADVPB-,

(2)若E為8c邊的中點(diǎn)，能否在棱尸C上找到一點(diǎn)歹，使請(qǐng)證明你的結(jié)論.

22.已知正方體ABCD-A片G2的棱長(zhǎng)為2,2尸,G分別是A4,,A耳,4。的中點(diǎn).

⑴求證：EF〃平面8G。；

(2)在線段8。上是否存在點(diǎn)"，使得平面BCQ?若存在，求線段皿的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)求EF到平面5CQ的距離.

23.(2024?江西贛州?模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱柱中，側(cè)面9GC是矩形，側(cè)面B瓦CQ是

菱形，NB[BC=60,D、E分別為棱A3、耳G的中點(diǎn)，尸為線段C￡的中點(diǎn).

(1)證明：A尸〃平面ADE；

(2)在棱B瓦上是否存在一點(diǎn)G,使平面ACGL平面B4GC?若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)G的位置，并證明你的結(jié)論;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

24.(2024?高三?山西大同?期末)如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面為矩形，上4,底面ABCD,

且M,N分別為棱A8,PC的中點(diǎn)，平面CMV與平面R4D交于直線/.

⑴求證：MN//h

(2)若尸。與底面ABC。所成角為。，當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，NV，平面PCD.

題型七：鱉嚅幾何體中的垂直

25.(2024唉國(guó)模擬預(yù)測(cè))如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD,AB±BC,E是CD上一點(diǎn),AB=DE=2,

CD=3,BC=6,將VADE沿著AE翻折，使。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸處，得到四棱錐尸-ABCE.

證明：PBLAE；

26.國(guó)家主席習(xí)近平指出：中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化有著豐富的哲學(xué)思想、人文精神、教化思想、道德理念等，

可以為人們認(rèn)識(shí)和改造世界提供有益啟迪.我們要善于把弘揚(yáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和發(fā)展現(xiàn)實(shí)文化有機(jī)統(tǒng)一起來(lái)，

在繼承中發(fā)展，在發(fā)展中繼承.《九章算術(shù)》作為中國(guó)古代數(shù)學(xué)專(zhuān)著之一，在其“商功”篇內(nèi)記載：“斜解立方,

得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉疆”.劉徽注解為：“此術(shù)席者，背節(jié)也，或曰半陽(yáng)馬，其形有似

鱉肘，故以名云鱉席，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)四個(gè)面均為直角三角形的四面體的統(tǒng)稱.在四面體P-ACB中，

B4_L平面ACB.

RR

圖1圖2

(1)如圖1,若。、E分別是尸C、尸8邊的的中點(diǎn)，求證：DE//平面ABC；

(2)如圖2,若3C_LAC,垂足為C,且/P8A=30,AB=BAC=母,求直線尸8與平面APC所成角的

大??；

(3)如圖2,若平面APC_L平面BPC,求證：四面體尸-ACB為鱉J1.

27.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角

三角形的四面體稱之為鱉腌.在如圖所示的陽(yáng)馬尸-ABCD中，側(cè)棱底面ABCD,且尸￡>=8=2,點(diǎn)￡

是PC的中點(diǎn)，連接DE、BD、BE.

證明：DEL平面MC.試判斷四面體是否為鱉膀.若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角(只需寫(xiě)出結(jié)論)；若

不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

28.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角

三角形的四面體稱之為鱉臆如圖，在陽(yáng)馬P-ABCD中，側(cè)棱尸。,底面A3CD,且PD=CD,過(guò)棱尸C的

中點(diǎn)E,作EFLPB交PB于點(diǎn)F,連接DE,DF,BD,BE.

p

證明：尸3_L平面￡>EF；

1.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A,3的一

點(diǎn)，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.AELCE

B.3c〃平面ADE

C.平面4）E_L平面8CE

D.DE，平面BCE

2.（2024?江西景德鎮(zhèn)?三模）已知。，b是空間內(nèi)兩條不同的直線，a,B,7是空間內(nèi)三個(gè)不同的平

面，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若aua,則々_12

B.若a_L/?,aL/3,則aPa

C.若arc/7=a,6z±/,/?!/,貝Ija，/

D.若a上廠,ar\/3=a,b_La,則6J_a或尸

3.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）已知直線相，”和平面a,￡,alj3,aJ3=m,則〃」，的必要不

充分條件是（）

A.m//nB.n//aC.n±m(xù)D.na

4.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在正方體ABC。-A片GR中，M是棱上一點(diǎn)，平面也?

與棱CQ交于點(diǎn)N.給出下面幾個(gè)結(jié)論，其中所有正確的結(jié)論是（）

①四邊形"3NR是平行四邊形；②四邊形"8NR可能是正方形；③存在平面與直線B4垂直；④任

意平面MBND、都與平面AC4垂直.

C.①④D.①②④

5.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知兩條直線相，”和三個(gè)平面a,人y,下列命題正確的是（）

A.若機(jī)a,m/3,則a〃/?

B.若a-L/7,a±/,則6〃7

C.若￡_!_/,（31丫，aP=m,則％_L7

D.若“uy,n//a,n（3,a/3=m,則機(jī)〃7

6.（2024?江蘇常州?模擬預(yù)測(cè)）已知楊，〃為異面直線，直線/與加，〃都垂直，則下列說(shuō)法不正確的

是（）

A.若/_1_平面a,則“z//a,nila

B.存在平面a,使得/J_a,mua,n//a

C.有且只有一對(duì)互相平行的平面a和夕，其中mua,nu。

D.至少存在兩對(duì)互相垂直的平面a和￡,其中機(jī)ua,〃u"

7.（2024?廣東?一模）已知點(diǎn)P,Q分別在平面ABC。的兩側(cè)，四棱錐與四棱錐Q-ABCD的所

有側(cè)棱長(zhǎng)均為2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.四邊形ABCD可能是AB=AC=2的菱形

B.四邊形ABCD一定是正方形

C.四邊形A8CD不可能是直角梯形

D.平面4尸0不一定與平面ABC。垂直

8.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》將兩底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵.如

圖，已知直三棱柱ABC-ABC1是塹堵，其中/A4c=90。，則下列說(shuō)法中不一定正確的是（）

A.4G〃平面84cB.平面44c，平面AC。

C.AXB1BXCD.A0c為銳角三角形

9.（多選題）（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐P—ED尸的平面展開(kāi)圖中，E,尸分別是AB,BC

的中點(diǎn)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則在三棱錐P-￡DF中（）

A.!PER的面積為g

B.PD1EF

2

C.平面尸EF_L平面。跖D.三棱錐p-應(yīng)用的體積為:

10.（多選題）（2024?江蘇?二模）設(shè)〃2,〃是兩條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，下列命題中

正確的有（）

A.若〃?"L“，mua,”u分，則a_LQ

B.mA.a,mHn,nlI/3,則c_L尸

C.若c〃力，mua,nV/3,則m

D.若nV（3,mLn,則

11.（多選題）（2024?山西呂梁?二模）如圖，在平行六面體ABCD-ABCA中，底面ABC。是正方形,

。為AG與42的交點(diǎn)，則下列條件中能成為“AC]=AC"的必要條件有（）

D、

B

A.四邊形ACGA是矩形

B.平面AB耳A，平面AC￡A

C.平面BDD{B}1平面ABCD

D,直線。ABC所成的角與直線OC,AB所成的角相等

12.（2024?陜西?三模）如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A,3的一點(diǎn)，則下

面結(jié)論中正確的序號(hào)是（填序號(hào)）

①AE_LCE；?BEJ.DE；③DE，平面3CE；④平面平面BCE.

13.（2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）已知矩形ABC。，其中AB=8,短>=4,點(diǎn)。沿著對(duì)角線AC進(jìn)行翻折,

形成三棱錐D-ABC,如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（填寫(xiě)序號(hào)即可）.

①點(diǎn)。在翻折過(guò)程中存在30,AC的情況；

②三棱錐O'-ABC可以四個(gè)面都是直角三角形；

③點(diǎn)。在翻折過(guò)程中，三棱錐D'-ABC的表面積不變；

④點(diǎn)。在翻折過(guò)程中，三棱錐。'-ABC的外接球的體積不變.

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，DC=y/2AD=>[2AC=4,AB=4AF=4EC,且防交AC于點(diǎn)G,現(xiàn)

沿折痕AC將"DC折起，直至折起后的。CL3C,此時(shí)EFG的面積為.

D

15.（2024?四川?一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,點(diǎn)E為線段CD的中點(diǎn)，沿直線AE

將VADE翻折，點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P的位置.當(dāng)平面PAE1平面ABCD時(shí)，三棱錐尸-ABC的體積為

16.（2024?廣東?二模）如圖，三棱柱ABC-4BG的底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,側(cè)面ACGA

是菱形，ZA/C=60°,AC=2,平面ABC_L平面ACGA.

(1)證明：AC±ABt；

（2）求點(diǎn)G到平面AB4A的距離.

17.（2024?河南鄭州?二模）如圖，已知三棱柱ABC—A3C的側(cè)棱垂直于底面，AB=AC,ABAC=90°,

點(diǎn)V,N分別為A3和B'C的中點(diǎn).

（1）證明：MN〃平面AA'C'C；

⑵設(shè)AB=4A4',當(dāng)％為何值時(shí)，CNL平面A'MN?試證明你的結(jié)論.

18.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱柱A2CO-AACQ中，平面ABgA和平面BCG與均垂直于

平面ABCD.

(1)求證：平面。，平面ABCD；

(2)若M為AA的中點(diǎn)，底面A5C。是正方形，/%=248=4,求三棱錐的體積.

19.（2024?四川成都三模）如圖，在三棱臺(tái)ABC-D￡F中，〃在AC邊上，平面ACFD_L平面ABC,ZACD=60°,

CH=2,CD=4,BC=?,BHLBC.

⑴證明：EF1BD；

(2)若VABC的面積為匆5,求三棱錐D-A陽(yáng)的體積.

4

匐3

1.（多選題）（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知正方體A3CZ）-ABIGD，則（）

A,直線BC與所成的角為90°B.直線BG與CA所成的角為90°

C.直線BG與平面38Q。所成的角為45°D.直線BQ與平面ABC。所成的角為45°

2.（2024年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）如圖，平面四邊形ABC。中，AB=8,CD=3,AD=5框,ZADC=90°,

2i

ZBAD=3O°,點(diǎn)、E,F^^AE=-AD,AF=-AB,將尸沿歷翻折至！PEF,使得PC=456.

（1）證明：EFLPD；

3.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在三棱錐尸-ABC中，P4,平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=^3.

⑴求證：BC1.平面出B；

4.(2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)如圖，在三棱柱ABC-AqG中，，平面ABC,ZACB=90。.

(1)證明：平面ACG4,平面B8CC；

(2)設(shè)A8=A2,AA=2,求四棱錐4一28℃的高.

5.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB±BC,AB=2,BC=2日

PB=PC=46,BP,AP,BC的中點(diǎn)分別為O,E,O,40=石。。，點(diǎn)尸在AC上，BFLAO.

⑴證明：EF//平面ADO；

(2)證明：平面ADO,平面BEB

6.(2023年新課標(biāo)全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題)如圖，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,

ZADB=ZADC=60,E為BC的中點(diǎn).

(1)證明：BCLDA-,

7.(2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題)如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,

AB=5,DC=3,EF=1,==60。，二面角產(chǎn)—DC—3的平面角為60。.設(shè)M,N分別為

的中點(diǎn).

(1)證明：FN±AD；

8.(2022年高考