專題05三角形（共51題）（解答題）

上海各區(qū)期末試題為核心，上海名校試題為拓展

一、解答題

1.（2020?上海松江區(qū)?七年級(jí)期末）在AA8C中，已知/A：ZB：ZC=2：3：5,求/A、NB、/C的度數(shù).

【答案】/4、/B、/C的度數(shù)分別為：36。，54。，90°.

【解析】

根據(jù)三角市三個(gè)角的比及三角形內(nèi)角和是180。即可得到結(jié)論；解：?.?在AABC中/A：ZB：ZC=2：3：5,

.,.設(shè)/A=2x,則/B=3x,/C=5x,

■：ZA+ZB+ZC=180°,即2x+3x+5x=180°,解得尤=18°,

；./A=2xl8°=36°,/B=3xl8°=54°,/C=5xl8°=90°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解列式是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?上海松江區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知AD〃BC,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，EB=EC.試說(shuō)明A8與CD相等

的理由.

【答案】AB=CD,理由見(jiàn)詳解

【解析】

由題意可知由于AD〃BC,利用平行線的性質(zhì)可得/AEB=N1,NDEC=N2,而EB=EC,根據(jù)等邊對(duì)等角可得

ZEBC=ZECB,等量代換可證/AEB=/DEC,再結(jié)合AE=DE,EB=EC,利用AAS可證△AEB也△￡口€：,從而

有AB=CD.解：如圖：

：AD〃BC,

.\ZAEB=Z1,NDEC=/2,

VEB=EC,

；.NEBC=/ECB,

；./AEB=/DEC,

AE=DE

在AAEB與AEDC中，＜NAEB=/DEC,

EB=EC

AAAEB^AEDC,

/.AB=CD.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明/AEB=/DEC.

3.（2020?上海閔行區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知在ZkABC中，/8=80。，點(diǎn)￡）在的延長(zhǎng)線上，ZACD=3ZA,

求：/A的度數(shù).

【答案】ZA=40°.

【解析】

利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.???/ACD=/8+NA,ZACD=3ZA,

.,.3ZA=80°+ZA,

ZA=40°.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

4.（2020?上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)閔行外國(guó)語(yǔ)中學(xué)七年級(jí)期末）根據(jù)要求畫(huà)圖（不要求寫(xiě)畫(huà)法）

（1）畫(huà)AABC,使5C=3cm,ZA=50°,ZC=100°；

（2）在△ABC中，畫(huà)出邊BC上的高.

【答案】（1）畫(huà)圖見(jiàn)詳解；（2）畫(huà)圖見(jiàn)詳解

【解析】

（1）先用有刻度的直尺畫(huà)一條線段BC,由三角形內(nèi)角和可得NB=30°，然后用量角器分別作出NB=30°，

ZC=100°即可；

（2）在（1）圖的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)線段BC,然后用直角三角板的一條直角邊與BC重合，進(jìn)而沿著B(niǎo)C進(jìn)行平移，使

另一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,邊BC上的高即可畫(huà)出.解：（1）作AABC,如圖所示：

（2）作△ABC邊BC上的高，如圖所示:

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角形及垂線的尺規(guī)作圖及三角形內(nèi)角和，熟練掌握三角形及垂線的尺規(guī)作圖及三角形內(nèi)角和是解

題的關(guān)鍵.

5.（2020?上海市建平中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E是等邊A4BC外一點(diǎn)，點(diǎn)。是邊上一點(diǎn)，AD=5E，

NCAD=NCBE,聯(lián)結(jié)ED、EC.試判斷ADCE的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】ADCE是等邊三角形，理由見(jiàn)解析

【解析】

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC,/ACB=60。,然后利用SAS即可證出AACD^ABCE，從而得出CD=CE,

ZBCE=ZACD=60°,最后利用等邊三角形的判定定理即可得出結(jié)論.解：△DCE是等邊三角形，理由如下

???△MC為等邊三角形

；.AC=BC,/ACB=60°

在八4。。和ABCE中

AC=BC

<ZCAD=ZCBE

AD=BE

:.LACDm@CE

；.CD=CE,NBCE=/ACD=60°

A&DCE是等邊三角形.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是等邊三角形的判定及性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握等邊三角形的判定及性質(zhì)和全等三角形

的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6.（2020?上海市建平中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，在AABC中，AB=AC,AD1.BC,垂足為。，點(diǎn)E在AD

上，點(diǎn)尸在AD的延長(zhǎng)線上，豆CEIIBF,試說(shuō)明小=止.

\-AB=AC,AD1BC

：.BD=()

QCE//BF

:.NCED=()

（完成以下說(shuō)理過(guò)程）

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

根據(jù)已知條件判定兩三角形全等并利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到線段DE=DF的長(zhǎng)即可；解：：AB=AC,

AD1BC,

/.BD=CD.（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線、頂角的平分線重合）

VCE/7BF,

AZCED=ZBFD,（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

在^BFD和^CED中，

NCED=NBFD

<ZEDC=ZBDF（對(duì)頂角相等）

BD=CD

.,.△BFD^ACED（AAS）

/.DE=DF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，通常利用全等三角形證明線段相等或角相等.

7.（2020?上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)閔行外國(guó)語(yǔ)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，已知，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接

BD、CE.

（1）說(shuō)明的理由；

（2）延長(zhǎng)BD,交CE于點(diǎn)F,求NBFC的度數(shù).

【答案】⑴見(jiàn)解析；（2）60°.

【解析】

(1)證明△ABD名ZkACE即可得到結(jié)論；

(2)由△ABD名ZkACE得到NABD=/ACE,根據(jù)/ABC=/ACB=60。推出

ZFBC+ZACB+ZACF=ZABC+ZACB=120°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/BFC的度數(shù).(1)證明：?:△ABC

和4ADE都是等邊三角形，

；.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

ZBAD=ZCAE,

A△ABDACE,

，BD=CE；

(2)VAABD^AACE,

/ABD=NACE,

,/ZABC=ZACB=60°,

.,.ZFBC+ZACB+ZACF=ZABC+ZACB=120°,

ZBFC=180°-(ZABC+ZACB)=60°.

【點(diǎn)睛】

此題考查三角形全等的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟記三角形全等的判定定理，根據(jù)

題意準(zhǔn)確證明△ABD^AACE是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?上海松江區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，在RSABC中，ZACB=90°,AC=8C,點(diǎn)￡＞在邊8c上（不與點(diǎn)8、

C重合），BELAD,重足為E,過(guò)點(diǎn)C作CF_LCE,交線段AD于點(diǎn)足

（1）試說(shuō)明△CA尸經(jīng)△C8E的理由;

(2)數(shù)學(xué)老師在課堂上提出一個(gè)問(wèn)題，如果所=2AF,試說(shuō)明的理由.班級(jí)同學(xué)隨后進(jìn)行了熱烈討論,

小明同學(xué)提出了自己的想法，可以取EF的中點(diǎn)從聯(lián)結(jié)CH,就能得出結(jié)論，你能否能根據(jù)小明同學(xué)的想法，

寫(xiě)出CD=BD的理由.

【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)理由見(jiàn)解析；

【解析】

(1)由三角形內(nèi)角和定理和余角的性質(zhì)可得/CAF=/CBE,/ACF=/BCE,由“ASA”可證△CAF之Z\CBE；

(2)取EF的中點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)CH,由全等三角形的性質(zhì)可得CF=CE,AF=BE,可證△CEF是等腰直角三角形，

由等腰直角三角形的性質(zhì)可得CH=FH=EH=^-EF,CH±EF,由“AAS”可證△CHD9ZkBED,可得CD=BD.解:

2

(1)"BELAD,

：.ZACB=ZBED=9Q°,

又,:ZADC=ZBDE,

:.NCAF=NCBE,

■：CE1CF,

:.NECF=ZACB=90°,

：./ACF=ZBCE,

XVAC=BC,

:.ACAF經(jīng)ACBE(ASA)；

(2)如圖，取所的中點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)CH,

,/△CAF^ACBE,

：.CF=CE,AF=BE,

；.△CEF是等腰直角三角形，

:點(diǎn)H是EF中點(diǎn),

CH=FH=EH=—EF,CHtEF,

2

?：EF=2AF,

：.CH=AF=FH=EH,

：.CH=BE,

又/CDH=ZBDE,/CHD=ZBED=90°,

:.ACHD咨ABEDG4AS),

：.CD=BD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題

的關(guān)鍵.

9.(2020?上海浦東新區(qū)?七年級(jí)期末)如圖，已知點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，NDCE=/A=NB,CD=CE.

(1)說(shuō)明△ACD與△BEC全等的理由；

(2)說(shuō)明AB=AD+BE的理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由三角形內(nèi)角和得/D=/BCE,再由AAS證明三角形全等；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得AC=BE,AD=BC,進(jìn)而由線段的和差得結(jié)論.(1)VZDCE=ZA,

:.ZD+ZACD=ZACD+ZBCE,

；./D=/BCE,

在小ACD和4BEC中,

ZA=NB

<ND=ZBCE,

CD=EC

AAACD^ABEC(AAS)；

(2),.,△ACD^ABEC,

；.AD=BC,AC=BE,

；.AC+BC=AD+BE,

即AB=AD+BE.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).

10.(2020?上海浦東新區(qū)?七年級(jí)期末)如圖，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,NBAC=80。，AD±BC,

AD=AB,聯(lián)結(jié)BD并延長(zhǎng)，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求/E的度數(shù).

【答案】30°.

【解析】

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可求/BAD=/CAD=L/BAC=40。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求/BDA,再

2

根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解.解：：AB=AC,/BAC=80。，AD±BC,

.".ZBAD=ZCAD=—ZBAC=40°,

2

VAD=AB,

AZBDA=—x(180°-40°)=70°,

2

ZE=ZBDA-ZCAD=70°-40°=30°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及三線合一的運(yùn)用，解決本題的關(guān)鍵是正確理解題意，能夠

根據(jù)三線合一的性質(zhì)得到相等的量.

11.（2018?上海虹口區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知AB=CD,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，EB=EC.試說(shuō)明AD//BC的理由.

【答案】詳見(jiàn)解析.

【解析】

由E是A。的中點(diǎn)，可得AE=￡>E,結(jié)合已知可證AA8Eg且/EBC=/ECB,可得由三

角形內(nèi)角和平角定義，易得/AEB=/EBC,由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可證明AO//BC.解：證明，：點(diǎn)E為

中點(diǎn)，

：.AE=DE,

又；BE=CE,AB^DC,

：.LABE咨ADCE,NEBC=NECB

：.NAEB=/DEC,

又；/EBC+/ECB+/BEC=180°,ZAEB+ZDEC+ZBEC^180°,

/AEB=/EBC

：.AD//BC.

【點(diǎn)睛】

此題為平行線的證明，通過(guò)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可證明AD//BC,中間過(guò)程涉及知識(shí)點(diǎn)有三角形全等的判定與

性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

12.（2018?上海虹口區(qū)?七年級(jí)期末）說(shuō)理填空：如圖，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，EC=EB,/CDA=120。，DF//BE,且

DF平分/CDA,求證：ABEC為等邊三角形.

D

解：因?yàn)镈F平分/CDA（已知）

所以/FDC=2?/.（）

2

因?yàn)镹CDA=120。（已知）

所以NFDC=°.

因?yàn)镈F//BE（已知）

所以NFDC=N.（）

所以NBEC=60。，又因?yàn)镋C=EB,（已知）

所以ABCE為等邊三角形.（）

【答案】ZADC；角平分線的意義；60；ZBEC；兩直線平行，同位角相等；有一個(gè)角為60。的等腰三角形是

等邊三角形.

【解析】

利用角平分線的性質(zhì)得出/FDC的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)得出NBEC的度數(shù)，進(jìn)而得出4BCE為等邊三角

形.解：：DF平分NCDA,（已知）

，/FDC」NADC.（角平分線的意義）

2

,/ZCDA=120°,（已知）

ZFDC=60°.

VDF/7BE,（已知）

.,.ZFDC=ZBEC=60°.（兩直線平行，同位角相等）

ZBEC=60°

又；EC=EB,（已知）

.?.△BCE為等邊三角形.（有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形）

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)已知得出/FDC=/BEC是解題關(guān)鍵.

13.（2018?上海虹口區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，在AABC中，點(diǎn)。、E分別在邊A3、AC±,CD與BE交于點(diǎn)

O,且滿足5Q=CE,Z1=Z2.試說(shuō)明△A5C是等腰三角形的理由.

A

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

由已知易證AOBO烏/XEC。，可得NDBO=/ECO,BO^CO,繼而可得/O8C=NOC8,從而得結(jié)論.解：：

Zl=Z2-BD=CE,ZDOB=ZEOC,

：.ADBO經(jīng)AECO,

：.ZDBO^ZECO,OB=OC,

:"CBO=NBCO,

ZDBO+ZCBO^ZECO+ZBCO

即/D8C=/EC8,

：.AB^AC,

即△ABC為等腰三角形.

【點(diǎn)睛】

此題考查等腰三角形的證明，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)概念及相關(guān)定理是解題關(guān)鍵.

14.（2018?上海楊浦區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知。是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，。是線段50延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

且4403=120。，求NBDC的度數(shù).

【答案】600

【解析】

先證AAO。是等邊三角形，得出AABC是等邊三角形，再證△ABOgAACD,得NAO5=NADC=120°,

從而得出/BOC的大小.?；/AOB=120。，AZAOD=60°

,/AO=OD,AAOD是等邊三角形

.?.NS4c=60。，AB=AC

：△ABC是等邊三角形，.,.ZBAC=60°,AB=AC

ZBAC=ZOAD,，ZBAO+ZOAC=ZOAC+ZCAD

；./BAO=/CAD

在4BAO和4CAD中

AO=AD

<NBAO=ZCAD

AB=AC

：.AABO^AACD

；?ZAOB=ZADC=120°

???ZBDC=ZADC-ZADO=60°

【點(diǎn)睛】

本題考查全等的證明和等邊三角形的性質(zhì)和證明，解題關(guān)鍵是證AABOgAACD.

15.（2018?上海楊浦區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知NS=NC=90。，AE±ED,AB=EC,點(diǎn)產(chǎn)是AD的中點(diǎn),

說(shuō)明石產(chǎn)，的理由.

解：（已知），NAEZ）=90°（垂直的意義）.

又?.?NB=90°（已知），；.NB=NAEE>（等量代換）.

?/ZAEC=ZB+ZBAE（）.

即NAED+/DEC=NB+NBAE.；.NBAE=/DEC（等式性質(zhì)）.

N5=NC（已知）

在AASE與AECD中，<A3=EC（已知）

NBAE=NDEC（已證）

AAABE^NECD（）,

???AE=ED（）

,/（已知），

EF±AD（）.

【答案】三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和；ASA；全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等；點(diǎn)尸是A￡）的中

點(diǎn)；等腰三角形三線合一

【解析】

先利用ASA證兒鉆石之八石。。，得到△AED是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證所_LA￡>.解：：

AE工ED（已知），,NAED=90°（垂直的意義）.

又?.?NB=9O°（已知），；.NB=NAEE>（等量代換）.

VZAEC=ZB+ZBAE（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和），

即ZAED+/DEC=NB+/BAE.；.NBAE=NDEC（等式性質(zhì)）.

N3=NC（已知）

在AABE與AECD中，,A3=EC（已知）

ZBAE=ZDEC（已證）

AABE且AECD（ASA）,

AE=ED（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.

:點(diǎn)尸是A。的中點(diǎn)（已知），

EF±AD（等腰三角形三線合一）.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等的證明和等腰三角形的性質(zhì)，注意等腰三角形的“三線合一”僅指垂直于底邊的那一條直線，垂直于

兩腰的直線沒(méi)有這個(gè)性質(zhì).

16.（2018?上海楊浦區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知線段3C=5厘米，以點(diǎn)5為圓心、4厘米長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，再以點(diǎn)

C為圓心、3厘米長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧.設(shè)兩條弧在BC的上方交于點(diǎn)A,在的下方相交于點(diǎn)。，聯(lián)結(jié)A3、AC、

DB、DC.

（1）請(qǐng)按上面的步驟畫(huà)出AABC、ADBC；

（2）聯(lián)結(jié)A。，說(shuō)明A。與有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：

1?1?1?

BC

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BC±AD,理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）按照題干步驟繪制圖形即可；

（2）先證AABCdDBC,得出NABC=/DBC,再證△ABEgZkDBE,進(jìn)而得出結(jié)論.（1）圖形如下:

<

（2）如下圖，連接AD,交BC于點(diǎn)E

VAB=BD=4,AC=AC=3

在小ABC和4DBC中

AB=BD

<AC=DC

BC=BC

AAABC^ADBC

，ZABC=ZDBC

在在△ABE和^DBE中

AB=BD

<ZABC=ZDBC

BE=BE

.?.△ABE^ADBE

；.AE=ED,ZAEB=ZDEB

：/AEB+/DEB=180。，/AEB=/DEB=90。，AADXBC

【點(diǎn)睛】

本題考查全等的證明，注意，本題在證明全等過(guò)程中，會(huì)用到隱含條件：BC=BC和BE=BE.

17.（2018?上海松江區(qū)?）如圖，在A46C中，已知=點(diǎn)。、E、產(chǎn)分別在8C、AC,A3上，且

BD=CE,BF=CD.

（1）說(shuō)明ABDFMACED的理由；

（2）說(shuō)明NEDE=N3的理由.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

(1)由“SAS”可證△BDF^ACED；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得/EDC=/BFD,由三角形外角的性質(zhì)可得/FDE=/B.（1）1?在A4BC中，已

知A5=AC（已知），

:.ZB=NC（等邊對(duì)等角）.

在岫DF與ACED中,

BD=CE（已知）

?：＜ZB=NC（已證）

BF=8（已知）

/.ABDF三ACED（S.AS）.

（2）:ABDFMACED（已證），

：.ZEDC=ZDFB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

,/NFDC是ABDF的外角，

ZFDC=ZB+ZDFB（三角形的外角等于與它不相鄰的內(nèi)角和）.

又ZFDC=ZFDE+ZEDC,

-'-ZFDE=ZB（等式性質(zhì)）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，外角的性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

18.（2018?上海松江區(qū)?）書(shū)上的一個(gè)等腰三角形被墨跡污染了，只有底邊A3和底角B3可見(jiàn).

（1）請(qǐng)你畫(huà)出書(shū)上原來(lái)的等腰A4BC的形狀，并寫(xiě)出結(jié)論；（可以使用尺規(guī)或三角板、量角器等工具，但保留

畫(huà)圖痕跡及標(biāo)志相應(yīng)符號(hào)）；

（2）畫(huà)出A4BC邊A3上的高，點(diǎn)。為垂足，并完成下面的填空：

將“等腰三角形底邊上的高平分底邊和頂角”的性質(zhì)用符號(hào)語(yǔ)言表示:在AABC中，如果AC=5C,且CD,A3,

那么,且_________________.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）圖詳見(jiàn)解析，AD=BD（或）,ZACD=NBCD（或

2

ZACD=/BCD=-ZACB）.

2

【解析】

（1）作線段AB的垂直平分線分別交/B的兩邊于點(diǎn)D,點(diǎn)C,連接AC,△ABC即為所求.

（2）根據(jù)三角形的高的定義即可解問(wèn)題，利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.（1）如圖△ABC即為所求;

（2）如圖線段CD即為所求.在△ABC中，

：AC=BC,J.CD1AB；

AD=BD（或==ZACD=ZBCD（或40=/30）=工4。3）.

22

故答案為：AD=5￡>（或4￡>=3。=工45）,ZACD=N5CD（或40）=/30）=工4。3）.

22

【點(diǎn)睛】

本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

19.（2017?上海長(zhǎng)寧區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)。是等邊AABC中邊AC上的任意一點(diǎn)，且AfiDE也是等邊三

角形，那么AE與6C一定平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】AE與一定平行；理由見(jiàn)解析.

【解析】

由△ABC和△BDE也是等邊三角形得：AB=BC,BD=BE,/ABC=/DBE=/C=60。，圖中可知/DBC=/EBD,

從而證明ADBC烏AEBA,根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到/BAE=/C=60。，等量代換得/BAE=/ABC=60。，即可

得AE〃BC.解：AE與BC一定平行.如圖所示，其理由如下：

E

D

B

■：AABC和仆BDE也是等邊三角形得，

，AB=BC,BD=BE,NABC=/DBE=NC=60。，

又：NABC=/ABD+NDBC,/DBE=/ABD+NABE,

AZDBC=ZABE,

在^DBC和4EBA中

AB=CB

<ZABE=ZCBD

BE=BD

.,.△DBC^AEBA（SAS）,

.,.ZBAE=ZC=60°,

；./BAE=/ABC=60。，

；.AE〃BC

【點(diǎn)睛】

此題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，解題關(guān)鍵在于掌握全等三角形的判定.

20.（2017?上海長(zhǎng)寧區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知：ZB=NC=ZAED=90°.

（1）請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使AABE與AECD全等,這個(gè)條件可以是.（只需填寫(xiě)一個(gè)）

（2）根據(jù)你所添加的條件，說(shuō)明人鉆石與AECD全等的理由.

【答案】（1）AB=EC（或5E=C?；駻E=EO）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）答案不唯一，可以添加條件：AB=EC；

（2）根據(jù)ASA即可證明△ABD經(jīng)Z\CEB.解：（1）AB=EC（或BE=CD或AE=ED）.

故答案為AB=EC（答案不唯一）.

(2)理由：：/B=/C=/AED=90。,

，/BAE+/AEB=90。，NAEB+/CED=90。,

；./BAE=/CED,

在^ABE和^ECD中，

NBAE=NCED

在AWE與AECD中|A3=EC,

ZB=ZC

AABEWAECD（ASA）.

【點(diǎn)睛】

此題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件.

21.（2017?上海長(zhǎng)寧區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，在A43C中，點(diǎn)。在邊上，NC=N3,Nl=2N3.說(shuō)明

是等腰三角形的理由.

下面七個(gè)語(yǔ)句是說(shuō)明AABD是等腰三角形的表述，但是次序亂了.請(qǐng)將這七個(gè)語(yǔ)句重新整理，說(shuō)明A4BD是等

腰三角形，并說(shuō)出依據(jù).

①AABD是等腰三角形；②N2=N3+NC；③N3=NC；?AB=AD-,⑤4=2/3；⑤N1=2N3；⑥

N2=2N3；?Z1=Z2.

整理如下：

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】

根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論?③N3=/C,（已知）②N2=/3+/C,

（三角形外角的性質(zhì)）

.?.⑥N2=2N3（等量代換），

,/@Z1=2Z3（已知），

/.?Z1=Z2（等量代換）,

.,.④AB=BD（等腰三角形的判定），

.,.①4ABD是等腰三角形（等腰三角形的定義）.

【點(diǎn)睛】

此題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

22.（2018?上海楊浦區(qū)?七年級(jí)期末）（1）如圖，在AABC中，AB^AC,/A=36。，8。平分/A8C交AC于D請(qǐng)

說(shuō)明ABDC是等腰三角形；

（2）在（1）的條件下請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)四個(gè)不同的方案，將AABC分割成三個(gè)等腰三角形，請(qǐng)直接畫(huà)出示意圖并標(biāo)出每個(gè)

等腰三角形頂角度數(shù)；

（3）若有一個(gè)內(nèi)角為36。的三角形被分割成兩個(gè)等腰三角形，則原三角形中最大內(nèi)角的所有可能值

為.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）72°,90°,108°,132°,126°

【解析】

（1）由已知條件，利用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)得到各角的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的定義及等角

對(duì)等邊即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）分為以下情況：①原三

角形是銳角三角形，最大角是72。的情況；②原三角形是直角三角形，最大角是90。的情況；③原三角形是鈍角

三角形，最大角是108。的情況；④原三角形是鈍角三角形，最大角是126。的情況；⑤原三角形是鈍角三角形，

最大角是132。的情況.解：⑴'：AB=AC,ZA=36°,

AZC=ZABC=72°.

■：BD平分/ABC,

/ABD=NDBC=36。,

?：ZA=ZABD=36°,

：.ZBDC=ZA+ZABD=36°+36°=72°=ZC,

:ABDC是等腰三角形；

(2)如圖方案1,作NA3C的角平分線3。交AC于點(diǎn)。，作N3QC得角平分線。￡交3。于點(diǎn)石,

*：AB=ACfZA=36°,

：.ZC=ZABC=72°,

?；BD平分NA3C,

???ZABD=ZDBC=36°f

9

：ZA=ZABD=36°f

：.ZBDC=ZA+ZABD=36°+36°=72°,

?.?。石平分/3。。，

NEDC=/BDE=36。,

：.AABD,2BDE,△。石。為等腰三角形；

如圖方案2,作NA3C的角平分線3/交AC于點(diǎn)憶作NAC3的角平分線CM交6方于點(diǎn)M,

9

：AB=ACfZA=36°,

???ZACB=ZABC=72°,

，；BF平分/ABC,CM平分NAC8,

：.ZFBC^ZABF=36°,ZFCM^ZMCB=36°,

：.ZCFM=ZCMF=72°,

.,.△ABF,ABMC,△CNF為等腰三角形；

如圖方案3,作/AC8的角平分線CN交A8于點(diǎn)N,作/BNC的角平分線N尸交BC于點(diǎn)尸,

'：AB=AC,NA=36°,

ZACB=ZABC^12°,

：CN平分/ACB,

：.ZBCN=ZACN=36°,ZBNC=ZB=12°,

,:NP平分NBNC,

：./BNP=NPNC=36。,/N尸B=72。，

：.^ANC,&NPC,△BNP為等腰三角形；

如圖方案4,作/ABC的角平分線8。交AC于點(diǎn)。，作交AB于點(diǎn)E,

A

9：AB=AC,ZA=36°,

ZACB=ZABC=72°f

：./BCD=/BDE=/BED=72。,

,.?3。平分NA3C,

???ZABD=ZDBC=36°f

：.NA皮）=108。，

???ZA=ZADE=36°f

：.AAED,ABDE,△BCD為等腰三角形；

（3）①原三角形是銳角三角形，最大角是72。的情況如圖所示:

NABC=/ACB=72。,NA=36。，AD=BD=BC；

②原三角形是直角三角形，最大角是90。的情況如圖所示:

ZABC=9Q°,ZA=36°,AD=CD=BD；

③原三角形是鈍角三角形，最大角是108。的情況如圖所示:

A

ZACB=108°,ZB=36°,BD=CD,AC=AO；

④原三角形是鈍角三角形，最大角是126。的情況如圖所示:

A

B

/ABC=126°,NC=36°,AD=BD=BC；

⑤原三角形是鈍角三角形，最大角是132。的情況如圖所示:

ZC=132°,ZABC=36°,AD=BD,CD=CB.

綜上，原三角形最大內(nèi)角的所有可能值為72。，90°,108°,132°,126°.

故答案為：72°,90°,108°,132°,126°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等腰三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的判定及性質(zhì)，

角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理并分情況討論是解題的關(guān)鍵.

23.（2019?上海浦東新區(qū)七年級(jí)期末）如圖，在AABC和AD歷中，點(diǎn)在同一直線上，請(qǐng)你從以下

4個(gè)等式中選出3個(gè)作為已知條件,余下的1個(gè)作為結(jié)論，并說(shuō)明結(jié)論正確的理由.①A3=DE；②AC=D9；

③ZABC=NDEF；④BE=CF.

【答案】已知條件是①，②，④，結(jié)論是③，證明見(jiàn)解析

【解析】

此題答案不唯一，可選擇已知條件是①，②，結(jié)論是③.由④可得BC=EF,根據(jù)SSS可得出△ABC^ADEF,

從而證出結(jié)論③.解：已知條件是①，②，④.

結(jié)論是③.

（或：已知條件是①，③，④.結(jié)論是②.）

說(shuō)理過(guò)程：因?yàn)?（已知），

所以BE+EC=CF+EC（等式的性質(zhì)）.

即BC=EF.

在ZVIBC和ADEF中，

AB=DE

<BC=EF

AC=DF

所以AABCsADEF（SSS）.

所以NABC=NDEF（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）

【點(diǎn)睛】

本題是一道開(kāi)放性的題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，此題還可以已知①③④，再證明②，利用SAS即

可.

24.（2019?上海崇明區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，E是AD上的一點(diǎn)，EB=EC,ZABE=ZACE,

請(qǐng)說(shuō)明AD，8c.

解：因?yàn)镋B=EC（已知）,

所以NEBC=NECB(①).

又因?yàn)镹ABE=NACE（已知）,

所以ZABE+NEBC=ZACE+NECB(②).

即NABC;NACB.

所以=(③).

在八45石和△ACE中,

A3=AC（已證）

<E5=EC（已知）,

AE=AE1@）

所以△ABEZAACE（⑤）.

得NBAD=NCAD（⑥）.

所以ADL3C（⑦）.

【答案】①等邊對(duì)等角；②等式性質(zhì)；③等角對(duì)等邊；④公共邊；⑤邊、邊、邊（sss）；⑥全等三角形對(duì)應(yīng)角相

等；⑦等腰三角形的三線合一

【解析】

先根據(jù)條件證明AB^AC,得到AA5C為等腰三角形，再通過(guò)證明ZWEgAACE,得到

NBAD=NCAD,得到AD為/BAC的平分線，然后利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，證得AD,8c.解：因

為EB=EC（已知），

所以NEBC=NECB（等邊對(duì)等角）.

又因?yàn)镹ABE=NACE（已知），

所以ZABE+/EBC=ZACE+NECB（等式性質(zhì)）.

即/ABC=NACB.

所以A6=AC（等角對(duì)等邊）.

在NkABE和△ACE中，

A3=AC（已證）

<E3=EC（已知），

AE=AE1公共邊）

所以Z\ABE之八4?！辏⊿SS）.

得NBAD=NCAD（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）.

所以ADJ_BC（等腰三角形的三線合一）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等

是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

25.（2019?上海奉賢區(qū)?七年級(jí)期末）閱讀并填空：

如圖，△A3C是等腰三角形，AB=AC，。是邊AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，E在邊A3上且聯(lián)接。E交8C于0,

如果OE=OD,那么CD=BE,為什么？

解：過(guò)點(diǎn)E作ER||AC交8C于b

所以NACB=NEFB（兩直線平行，同位角相等）

ZD=ZOEF（）

在AOCD與△OEE中

NCOD=NFOE(

<OD=OE

ND=ZOEF

所以△OCD0AOEE，（）

所以CD=FE（）

因?yàn)?（已知）

所以（）

所以NEFB=NB（等量代換）

所以BE=FE（）

所以CD=BE

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到角的關(guān)系，然后證明△OCD且△OEE，寫(xiě)出證明過(guò)程和依據(jù)即可?解：過(guò)點(diǎn)E作

EF//AC交BC于F，

A

AZACB=ZEFB（兩直線平行，同位角相等），

:.ND=/OEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

在AOCD與△OEE中

ZCOD=ZFOE（對(duì)頂角相等）

<OD=OE（已知），

ND=NOEF（已證）

.??△OCD也△OEE,（ASA）

ACD=FE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

"AB=AC（已知）

；./ACB=/B（等邊對(duì)等角）

A/EFB=/B（等量代換）

：?BE=FE（等角對(duì)等邊）

CD=BE；

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)正確找到證明三角形全等的

條件，從而進(jìn)行證明.

26.（2019?上海楊浦區(qū)七年級(jí)期末）如圖，在入48。和兒4'3'。中，已知NA=NAl=AB=A'B'，

試把下面運(yùn)用“疊合法”說(shuō)明AABC和△A'5'C'全等的過(guò)程補(bǔ)充完整：

說(shuō)理過(guò)程：把AABC放到A/TN'C'上，使點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合，因?yàn)?，所以可?/p>

使,并使點(diǎn)C和。在AB（A'B'）同一側(cè)，這時(shí)點(diǎn)A與A'重合，點(diǎn)B與3'重合，由

于,因此;，;

由于，因此，;于是點(diǎn)c（射線AC與BC的交點(diǎn)）與點(diǎn)C'（射線A'C'與

5'C'的交點(diǎn)）重合，這樣.

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】

根據(jù)“疊合法”說(shuō)明兩三角形全等即可.說(shuō)理過(guò)程：把AABC放到AA'5'C'上，使點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合，因?yàn)?/p>

AB=A'B'＞所以可以使AB與A'5'重合，并使點(diǎn)C和。在AB（43'）同一側(cè)，這時(shí)點(diǎn)A與A'重合，點(diǎn)

B與3,重合，由于NA=N4,因此，射線AC與射線4。疊合；

由于ZB=ZB'，因此，射線BC與射線5'。'疊合；于是點(diǎn)C《射線AC與BC的交點(diǎn)）與點(diǎn)C'（射線4。

與3'。'的交點(diǎn)）重合，這樣AABC與AA'3'C'重合，即

AABC與AA'3'C'全等.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角形全等的定義，掌握“疊合法”說(shuō)明三角形全等，是解題的關(guān)鍵.

27.（2020?上海市民辦立達(dá)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，且AB=CD,AC=BD

（1）試說(shuō)明AABC/aDCB的理由；

（2）試說(shuō)明AM=DM的理由.

【答案】（1）見(jiàn)詳解；

（2）見(jiàn)詳解.

【解析】

（1）根據(jù)AB=CD,AC=BD再加上公共邊BC,利用SSS即可證明（2）由4ABC^ADCB可知ZABC=NBCD,

AB=CD

再利用AB=CD,BM=CM證明=ADCM廁有AM=DM⑴在△ABC和ADCB中，\AC=BD

BC=BC

..△ABCMAOCRSSS)

(2)'.-AABC=ADCB

:.ZABC=/BCD

AB=CD

在AABM和ADCM中，＜ZABC=/BCD

BM=CM

=^DCM(SAS)

：.AM=DM

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

28.（2020?上海市民辦立達(dá)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，BD、CE分別是△ABC的高，在BD上取BN=AC,在射線

CE上截取點(diǎn)M使得CM=BA,

（1）補(bǔ)全下來(lái)說(shuō)明△AMC和4NAB全等的過(guò)程及理由.

解：：BD、CE分別是AABC的高（已知）

/AEC=/ADB=90。（三角形高的意義）

VZAEC+ZEAC+ZACE=180°,ZADB+ZDAB+ZABD=180°（）

A（等式性質(zhì)）

在4AMC和4NAB中

AC=NB（已知）

ZMCA=ZABN（已證）

CM=BA（已知）

.,.△AMC^ANAB()

(2)猜想AM和AN有什么關(guān)系？(請(qǐng)直接回答，不需要寫(xiě)出證明過(guò)程)

【答案】(1)三角形內(nèi)角和定理；

ZACE=ZABD

SAS

(2)AM=AN

【解析】

(1)按照題目中給出的過(guò)程補(bǔ)充理由即可；(2)由△AMC取4NAB可證明AM=AN(1)三角形內(nèi)角和定理;

ZACE=ZABD

SAS

(2)VAAMC^ANAB

，AM=AN

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

29.(2019?上海普陀區(qū)?七年級(jí)期末)如圖，已知△ABC中，5D、E是BC邊上兩點(diǎn)，且AD=AE,

NBAE=NCAD=90°，

(1)試說(shuō)明△ABE與△AC。全等的理由；

(2)如果AD=BD，試判斷AAOE的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)△ADE是等邊三角形.理由見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由AD=AE得至IjNAED=ZADE,再由NBAE=NCAD=90°即可得到4ABEgZ\ACD；

(2)由AD=BD得至UZBAD=ZB,依據(jù)三角形內(nèi)角和求得NAED=60?？傻玫健鰽DE是等邊三角形.(1)：AD

=AE(已知)，

ZAED=ZADE（等邊對(duì)等角）.

在4ABE和4ACD中

ZBAE=ZCAD

<AE=AD,

NAEB=NADC

：.AABE^AACD（ASA）；

（2）△ADE是等邊三角形.

理由：：AD=BD,

ZBAD=ZB（等邊對(duì)等角'）.

設(shè)ZB的度數(shù)為x,則ZBAD的度數(shù)為x.

?.,ZADE=ZB+ZBAD（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），

???NADE=NAED=2x.

VZB+ZAEB+ZBAE=180°（三角形的內(nèi)角和等于180°）,

x+2x+90°=180°,

解得x=30。，

ZAED=60°.

,/AD=AE（已知），

???△ADE是等邊三角形（有一個(gè)內(nèi)角等于60。的等腰三角形是等邊三角形）.

【點(diǎn)睛】

此題考查三角形全等的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定，（1）中根據(jù)AD=AE證得/AED=/ADE,得到三角形

全等；（2）中依據(jù)三角形內(nèi)角和求得ZAED=60?？傻玫健鰽DE是等邊三角形.

30.（2019?上海普陀區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知AA8C,分別以A8、AC為邊在△ABC的外部作等邊三角形

和等邊三角形ACE聯(lián)結(jié)DC、BE試說(shuō)明。C=8E的理由.

Dy

AE

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

由等邊三角形ARD和等邊三角形ACE得到ZBAD=NCAE,AD=AB,AC=AE,證得△ADC^4ABE,即可

得至！JDC=BE.：Z\A8。是等邊三角形（已知），

：.AD=AB,ZBAD=60°（等邊三角形的性質(zhì)），

同理AC=AE,ZCAE=60°,

：.ZBAD=ZCAE（等量代換），

AZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC（等式性質(zhì)），

即ZDAC=N8AE.

在4ADC和^ABE中

AD=AB

<ZDAC=ZBAE,

AC=AE

二.△ADC名△ABE（SAS）,

：.DC=BE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

【點(diǎn)睛】

此題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，依據(jù)等邊三角形得到線段及角的等量關(guān)系，由此證

得三角形全等，從而得到DC=BE.

31.（2019?上海長(zhǎng)寧區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知AD是AABC的一條中線，延長(zhǎng)AD至E，使得DE=AD，

連接BE.如果A3=5,AC=7,試求A。的取值范圍.

A

E

【答案】AD的取值范圍是1<AO<6.

【解析】

先證明AADC且AED5得到5E=AC=7,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到AE的取值范圍，從而計(jì)算出AD

的取值范圍。解：：A￡）是A45C中線，

所以BD=CD（中線的意義）

在AA￡>C和AEZ汨中，

AD=磯>（已知）

<ZADC=/磯>5（對(duì)頂角的意義）

5。=CD（已證）

AADC^AEDB（5^45）

：.BE=AC=7（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

又在AABE中，BE-AB<AE<BE+AB

???7—5<2AZ）<7+5,

1<AD<6，

；?AD的取值范圍是1<AO<6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的中線和三邊關(guān)系。條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮把中線延長(zhǎng)一倍，把分散的已

知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，注意運(yùn)用類比方法構(gòu)造相應(yīng)的全等三角形.

32.（2019?上海浦東新區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，已知中，AB=AC,。是ZVIBC內(nèi)一點(diǎn)，且05=0C,

試說(shuō)明40,6C的理由.

O

BC

【答案】詳見(jiàn)解析

【解析】

先證明ZkAC出名△AOC,再利用全等三角形的性質(zhì)得到N8A0=NC40,然后利用等腰三角形三線合一的

性質(zhì)，即可證明.證明：在AAOB與△AOC中，

，A3=AC（已知）

<03=0C（已知）

AO=A。（公共邊）

△AO8=△AOC（S.SS）

ZBAO^ZCAO（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）

VAB=AC（已知）

AAO±BC（等腰三角形的三線合一）

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題和等

腰三角形三線合一性質(zhì)的運(yùn)用.

33.（2019?上海浦東新區(qū)?七年級(jí)期末）如圖，AA5C中，ZB=NC,D、E、尸分別在A3、BC、AC上，

且BD=CE,ZDEF=ZB

求證：ED=EF

證明：=（),

且/DEC=NDEF+NFEC（如圖所示），

???ZDEF+NFEC=ZB+ZBDE（等量代換）

又,：NDEF=/B（已知），

：.NBDE=N________________（等式性質(zhì)）.

在八ERE