第9節(jié)爪形三角形中特殊線的計算

題型分析“爪形”三角形是指在給定的一個三角形中，連接一個頂點和對邊上的任意一點構(gòu)成的

圖形，一般涉及三角形的高線、中線、角平分線的計算.通?？梢圆捎?'鄰補(bǔ)角策略”、“算兩

次”策略等利用正弦定理、余弦定理列方程求解.

題型一三角形的高線

例1(2023?新高考I卷)已知在△ABC中,A+3=3C,2sin(AC)=sinB.

(1)求sinA;

⑵設(shè)A3=5,求A3邊上的高.

解法一(1)在△ABC中,A+B=7rC,

因為A+B=3C,

所以3C=7iC,所以C=~.

4

因為2sin(AC)=sinB,

所以2sin(2-%sin得-4),

展開并整理得近(sinAcosA)=；y(cosA+sinA),

得sinA=3cosA,

又sin2A+cos2A=l,且sinA>0,

所以sinA=封電.

io

(2)由正弦定理，得

BC=-sinA$X亞=3倔

sinCV2io

2

由余弦定理，得

AB2=AC2+BC22ACBCCOSC,

即52=AG+(3府2AC3限os2

4

整理得AC23V10AC+20=0,

解得AC=g或AC=2V10.

由⑴得,tanA=3>V3,所以

又A+B=—,所以B>~,即C<B,

44

所以AB<AC,所以AC=2V10.

設(shè)A3邊上的高為/?,

^\--AB-h=--AC-BCsmC,

22

即5/7=2V10X3V5Xy,解得h=6,

所以A3邊上的高為6.

法二⑴在△ABC中,4+3=兀。，

因為A+B=3C,

所以3C=TIC,所以C=~.

4

因為2sin(AC)=sinB,

所以2sin(AQ=sin[7i(A+C)]=sin(A+C),

所以2sinAcosC2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC=3cosAsinC,

易得cosAcosCWO,

所以tanA=3tanC=3tan-=3,

4

又sinA>0,tansin2A+cos2A=l,

cosA

所以sinA=封電.

io

(2)由(1)知tanA=3>0,所以A為銳角，

又sinA二亞電,所以cosA=—,

ioio

所以sinB=sin(A+C)

=—V2X-V-io1—V2X-3-V10=2V5.

2102105

由正弦定理，得

AC=^^=^=2ViO,

sinCV2

2

故A3邊上的高為ACsinA=2V10X^=6.

10

思維建模1.設(shè)歷,丸2,%3為△ABC的邊a,"c上的高，則hi：h2：fe=-:-：-=—:—1

abcsinAsinBsinC

2.求高一般采用等面積法,即求某邊上的高，需要求出面積和底邊的長度.

高線的兩個作用:(1)產(chǎn)生直角三角形;(2)與三角形的面積相關(guān).

訓(xùn)練1設(shè)△ABC的內(nèi)角45C的對邊分別為a",c,且cos。士誓.

⑴求角B的大??；

(2)若邊A3上的高為三求cosC的值.

4

解(1)由余弦定理的推論得二?M匕普，

所以a2+Z?2c2=2d!(6zcsinB),

所以b1=c^+c12acsmB.

又因為b2=cp-+c22accosB,

所以sinB=cosB,

則tan5=1.

因為8￡(0,兀),所以*.

(2)因為AABC的面積S=/csinB

V2C2rri.ly/2

TC，貝U〃丁

由余弦定理得b2=o2+，2accosB

=f—cf+c22X^cXcX與汩

\4J428

所以b=^c,

4

應(yīng)應(yīng)L

a-csin7c^C_V5

所以cosC=

b-叵c-5

題型二三角形的中線

例2記△A5C的內(nèi)角A,5,C所對的邊分別為Q,b,c,已知bsinC=sinC+V3cosC,A=^.

⑴求

(2)在下列三個條件中選擇一個作為補(bǔ)充條件,判斷△ABC是否存在?若存在,求出△ABC的面積;若

不存在，說明理由.

①3c邊上的中線長為當(dāng)②A3邊上的中線長為夕.

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

解⑴由bsinC=sinC+V3cos。及正弦定理，得csinB=2sin（c+；）,

因為A=pA+B+C=TI,

所以csinB=2sin（7iB）=2sinB,

又sinBW0,所以c=2.

⑵選①,

法一設(shè)3C邊上的中線為AD,

則心率的CD亭.

AD2+BD2-AB2_AD2+CD2-AC2

由及余弦定理的推論得,

cosNADB=cosNADC2AD-BD-2AD-CD

化簡,得a2=2Z?2+6,

由余弦定理，得a2=Z?2+c22Z?ccosZBAC,

即(22=/?22Z?+4,

所以廿+26+2=0,該方程無實數(shù)解,

故符合條件的△A5C不存在.

法二設(shè)邊上的中線為AD,

貝勵劣行+宿，

兩邊平方得標(biāo)2=#近2+2萬.元+北2),

gp|=lx(4+2X2&x|+Z;2),

即廬+26+2=0,易知該方程無實數(shù)解，

故符合條件的△ABC不存在.

選②，

設(shè)A3邊上的中線為CT,貝ljCF=V7,AF=BF=^AB=1.

在△ACT中，由余弦定理C產(chǎn)=AR2+AC22ACARCOSA,

得7=1+〃2萬cosg,整理得b2b6=0,

解得b=3或Z?=2(舍去).

故AABC的面積S=-bcsinA，X3X2X—.

2222

思維建模如圖，在△ABC中,AD為3c的中線.

(1)余弦定理法

在△A3。中，AB2=AD2+BD22BDADCOS/ADB,①

在△ACD中，

AC2=AD2+DC22ADDCCOSZADC,②

①+②得到AB2+AC2=2(BD2+AD2).

(2)向量法

由TAD=|(A5+ZC),^HUD2=^b2+c2+2bccosZBAC)

⑶倍長中線法

借助平行四邊形性質(zhì):平行四邊形對角線的平方和等于四邊形的平方和.

易得2（4。2+432）=3。2+（24。）2

(4)中線公式

在△ABC中，3C邊上的中線和三邊有如下關(guān)系(可以用上面三種方法推導(dǎo))4。=匣尹星

當(dāng)然除了上述常用的方法以外,還有坐標(biāo)法等技巧.

訓(xùn)練2(2025?福建九地市質(zhì)檢)在△ABC中，內(nèi)角A,5C的對邊分別是a,b,c,且asmC=

csinB,C=—.

3

(1)求3的大?。?/p>

(2)若443。的面積為求邊上中線的長.

解⑴?:asinC=csinB,

由正弦定理，得sinAsinC=sinCsinB,

V0<C<7i,sinC>0,sinA=sinB,

0<A<7l,0<B<7l,/.A=B或A+5=7l(舍去)，

'：A+B+C=n,且C=—,

36

⑵依題意得型=%/?sinC,

42

\*A=B,.\a=b,

?3V319-2nV3a2z.777

■?——=-asm—=---，彳尋Ha=b=73,

4234

由正弦定理，得c=竺半=3,

設(shè)3c的中點為D,

連接AD,如圖，

因為2（22CAB）,

AD=4-AB+AC+2AB-ACCOSZ

解得AD=叵.

2

題型三三角形的角平分線

例3(2025?江西重點中學(xué)協(xié)作體聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,其外接圓的

半徑為2g,且bcosC=a+^-csinB.

⑴求角B-

(2)若NA3C的平分線交AC于點D,BD=^3,點E在線段AC上,且EC=2EA,求ABDE的面積.

解(1)由正弦定理可得sinBcosC=sinA+fsinCsinB.

又sinA=sin(B+C)

=sinBcosC+cosBsinC,

則cosBsinC+-ysinCsinB=0.

VCeCO.Ji),AsinC^O,AcosB+ysinB=0,

即tanB=y/3.

又5￡(0,兀),???5號.

(2)由⑴可知B號,

B

CDEA

又AABC的外接圓的半徑為2百，

??.由正弦定理得上=4點所以b=6,

sinB

,.?3。平分/ABC,

1TT

???ZCBD=ZABD=-ZABC=^.

23

由SAABC=S^BCD-^S^ABD,

可得工acsin—=^a-V3sm-+-c-V3sin

232323

即4zc=V3(a+c),①

由余弦定理得b^a2-^-Saccos午，

即(〃+C)2〃C=36,②

由①②可得a=c=2?.

所以BDLAC,又,：EC=2AE,貝ljDE=1,

故&BDE=[xiXg=手.

思維建模角平分線問題的處理策略:在△ABC中,AD平分N3AC

⑴角平分線定理岑塔；

(2)利用兩個小三角形面積和等于大三角形面積處理.

訓(xùn)練3(2025?長沙模擬)已知在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,其中a=4,48cos

C=V3Z?csinA.

⑴求A；

(2)已知AM為NA4c的平分線,且與3C交于點M,若AM=^,求△ABC的周長.

解(1)根據(jù)題意可得V^tzcosC+csinA=V3Z?,

由正弦定理得V^sinAcosC+sinAsinC=V3sinB,

又V^sinB=V3sin(A+C)=V3sinAcosC+V3cosAsinC,

故sinAsinC=V3cosAsinC,

又sinCWO,所以sinA=V3cosA,則tanA=V3,

因為AG(0,兀)，所以人三.

(2)因為SMBC=S^ABM+S^ACM,

所以與csinNBAC=-AM-c-sinNBAM+-AM-b-sinNCAM,

又AM平分NB4c

^ZBAM=ZCAM=^BAC=^

、/

所—以KI一1b1eX—V31Xv/—2V2CX-1+-1X-2V2bJvX/1

貝即Z?c=^p(Z?+c),

33V3

由余弦定理得a1=b2+c12bccosZBAC,

HP16=b2-^-c2bc,

所以16=(Z?+c)23Z?c=(Z?+c)2^^(Z?+c),

解得匕+。=2傷(負(fù)值舍去)，

故△ABC的周長為2V6+4.

■角平分線張角定理拓展視野

在△ABC中，三個內(nèi)角A,比C的對邊分別為a,b,c,如果NR4D=a,AD是NA4c的角平分線，則有

1(AD,AD\

COSa=2\T+T)

證明：:S/\ABC=S/\ABD^-SAACD,

Iii

A-ABXACXsin2a=-ABXAZ)Xsina+入CXAOXsina,

222

即cbX2sinacosXA￡>Xsin?+Z?XADXsina

兩邊同除以bcsina得2cos。=華+2

bc

?_1.AD\

??cosot——I—I——I.

A

BDC

典例已知AD是AABC的角平分線,AB=3,AC=5,NB4c=120。，則AD的長為.

A

BDC

答案

解析法一??N。是△ABC的角平分線，且NR4c=120。,

ZBAD=ZCAD=6Q°.

,?*S^ABD~^S^CAD=S^ABC,

：

.-2ABADsinZBAD2+-ACADsmZCAD

=^AB-ACsinZBAC,

艮「X3ADX遺+工X5ADX出

2222

=ix3X5X—,

22

解得AD=-.

8

法二由角平分線張角定理得

cos60。=償+y）4解得AD=T

訓(xùn)練（2025?廣州質(zhì)檢）已知△ABC中,A3=6,AC=2,AD為/BAC的角平分線,AD=y/3,則AABC的面

積為（）

A.2V2B.4V2

C.3V2D.3V3

答案B

解析法一設(shè)N3AD=NC4D=0,

S^ABC=S^ABD+S^ACD,

WJ-AB-AC-sinZBAC=-ABADsmZBAD+-ADACsmACAD,

222

EP|x6X2Xsin2^X6XV3Xsin^+1x2XV3Xsin仇

可得V5sin26=2sin0=2V3sinOcos0,

*.*sin6W0,則cos。=號

/.sin0=V1—cos20,

3

貝IJS^ABC=S^ABD+SMCD=1X6XV3X*X2X百X^=4A/2.

法二由角平分線張角定理得

cosZBAD=-（―+—,

2\6273

故sinZBAD=y,

所以sinZBAC=2smZBADcosZBAD=^,

故SAABC=1X6X2X^=4V2.

1.（2025?咸陽模擬）在△ABC中，內(nèi)角A,5C的對邊分別為a,b,c,且acosB+^b=c.

⑴求A；

⑵若b=3,c=V3,求AABC中3c邊上高線的長.

解（1）因為acosB+^-b=c,

由正弦定理可得sinAcosB+—sinB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,

所以/sinB=sinBcosA,

又因為0<B<TI,所以sinB>0,

所以cosA=—,

2

因為0<A<7i,所以

6

(2)由已知及余弦定理得

a2=b2+c22bccosNBAC

=9+32X3xV3Xy=3,

所以o=V3,

設(shè)△ABC中3C邊上的高線長為h,

所以SAABC=|z?csinZBAC=^ah,

解得/7=|.

故△ABC中3C邊上的高線的長為受

2

2.已知△ABC中內(nèi)角A,3,C的對邊分別是a,b,c,A=60°,c=b+l,sinB片.

⑴求c的值；

(2)設(shè)AD是AABC的角平分線,求AD的長.

解⑴sin解手,

由A=60°,可得sinA=y,

c=b+l>b,可得3為銳角，

則cosB=V1—sin2B=^-,

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

V32V73V21

=—X--F-X=----,

272714

匕日

_由i_二C二/可生屋C=逅c-l，

147

解得c=3.

(2)由⑴可得b=cl=2,

因為AD是乙BAC的平分線，

所以ZBAD=ZCAD=3Q°,

設(shè)AD=x,由S^ABC=S^ACD+S^ABD,可得

ix3X2X—=ix2xX-+ix3%xi

222222

化為5=3舊,解得產(chǎn)?,則AD=W.

3.(2025?杭州模擬)在△ABC中，內(nèi)角A,5C的對邊分別為a,b,c,已知tz(sinB+cosB)=c.

⑴求A；

⑵若c=V2,o=V5,。為3C的中點，求AD

解(1)在△ABC中，由題意及正弦定理得，

sinA(sinB+cosB)=sinC,

由A+B+C=7if得sinC=sin(A+B),

所以sinAsinB+sinAcosB

=sinAcosB+sinBcosA,

化簡得sinAsinB=sinBcosA,

因為sin3WO,所以tanA=l,

因為A@(0,兀)，所以A=2.

(2)在△ABC中，由余弦定理得，

5=b2+22bX42X—,

2

所以b22