天津市南倉中學(xué)2024至2025學(xué)年度第二學(xué)期

高一年級(jí)過程性檢測(cè)(數(shù)學(xué)學(xué)科)

本試卷分為第I卷(選擇題)和第n卷兩部分，共120分，考試用時(shí)io。分鐘.

第I卷至1頁，第II卷至2頁.

答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在答題紙上.答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在

答題紙上，答在試卷上的無效.

祝各位考生考試順利！

第I卷

注意事項(xiàng)：

1.每小題選出答案后，用鉛筆將機(jī)讀卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).

2.本卷共9小題，共36分.

一、選擇題(每小題4分，共36分)

1己知〃=(L2)，B=(-21)則()

A.a+b=0B-a-b=0C.a//bD.|?|>|^|

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量的加法坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，坐標(biāo)表示向量的共線判斷，以及坐標(biāo)求向量模長公式

即可逐一判斷.

【詳解】因?yàn)?=(1,2),3=(—2,1),

則：+力=(1,2)+(-2,1)=(-1,3),。?力=(1,2).(—2,1)=—2+2=0,故A錯(cuò)誤，B正確；

1?

又因?yàn)橐涣σ?，所以公與辦不共線，故C錯(cuò)誤；

-21

又因?yàn)閱?在+22=G|S|=^(-2)2+l2=45,所以同=園，故D錯(cuò)誤，

故選：B.

2.己知向量。=(1,3)石=(—2,4),且及在B上的投影向量為歷，則日—防與B的夾角為()

【答案】c

【解析】

11--

【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式求出A=再由①-2))力=0即可判斷.

【詳解】由方=(1,3)/=(-2,4),可得|2|=爐萬=而，|年正2)2+42=2逐，

無石=1x(—2)+3x4=10,

a-b-10-1-I_1-

因a在5上的投影向量為:^-5=——b=—b,故/=-,則)一奶=1——b,

網(wǎng)220222

因3—!母石=萬不一』出『=10—!><20=0,貝U3—工5)工5,

2222

7T

即〃—左B與5的夾角為5.

故選：c.

3.設(shè)a,b是兩條不同的直線，a,"是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()

A.若aua,buP,則a〃6B.若“〃b,a\\/3,a±a,則6，，

C.若aua,bu。，則;_L,D.若ac/3=a,b\\a,則b||tz

【答案】B

【解析】

【分析】利用空間里面的線線、線面、面面關(guān)系逐項(xiàng)分析即可得到答案.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若a||〃，aua,bu/3,則a〃人或。與6異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：若a〃沙，aLa,則〃，a,又?.?。||萬，.?.6,分，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：若。，尸，aua,bu「,則不能確定a,b的關(guān)系，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：若ac/3=a,b\\a,則人尸?；騔?ua,故D錯(cuò)誤.

故選：B.

4.一組數(shù)據(jù)4.3,6.5,7.8,6.2,9.6,15.9,7.6,8.1,10,12.3,11.2,3,則它們的75%分位數(shù)是(

A.10.3B.10.4C.10.5D.10.6

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法即可得到答案.

【詳解】把數(shù)據(jù)從小到大排序，得3,4.3,6.2,6.5,7.6,7.8,8.1,9.6,10,11.2,12.3,15.9,共有12個(gè)

因?yàn)?2義75%=9,所以75%分位數(shù)是第9項(xiàng)和第10項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

即gx（10+n.2）=10.6.

故選：D.

5.為幫助鄉(xiāng)村學(xué)校的學(xué)生增加閱讀、開闊視野、營造更濃厚的校園讀書氛圍，南開中學(xué)發(fā)起了“把書種下,

讓夢(mèng)發(fā)芽”主題捐書活動(dòng)，現(xiàn)擬采用按年級(jí)比例分層抽樣的方式隨機(jī)招募12名志愿者，已知我校高中部共

2040名學(xué)生，其中高一年級(jí)680名，高二年級(jí)850名，高三年級(jí)510名，那么應(yīng)在高三年級(jí)招募的志愿者

數(shù)目為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】求出高三年級(jí)學(xué)生所占比例，由此可求得答案.

【詳解】由題意知高三年級(jí)學(xué)生所占比例為把■=」,

20404

故應(yīng)在高三年級(jí)招募的志愿者數(shù)目為12x」=3.

4

故選：A

6.如果一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，三個(gè)側(cè)面的面積分別為2,4,4,那么該三棱錐外接球的表面積

是（）

A.12兀B.8函兀C.2471D.40兀

【答案】C

【解析】

【分析】三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴(kuò)展為長方體的外接球，求出長方體的對(duì)角線

的長，就是球的直徑，然后求球的表面積.

ab=4

【詳解】由題意可知三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為。，b,c,則。。=8,

be=8

解得abc=16,a=2*=2,c=4,

設(shè)該三棱錐外接球的半徑為R,則（2&2=/+/+°?=24,

所以S=4成2=24兀.

故選：C.

7.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)VA5C的三個(gè)內(nèi)角

AB,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,面積為s,貝上三斜求積”公式為5=-a2c2-上士~,

VL12門

若"sinC=2sinA，（a+cj=6+〃，則用“三斜求積，，公式求得VABC的面積為（）

A.昱B.C.1D.1

22

【答案】A

【解析】

【分析】對(duì)于"sinC=2sinA，利用正弦定理角化邊可得呢=2,繼而化簡（a+c）?=6+〃可得

6+十2—/=2,代入“三斜求積”公式即得答案.

2

【詳解】由asinC=2sinA得/c=2a,:.ac=2f

由(Q+C)=6+b2a2+c2—b2=6—2QC=2，

22

痂q』22(a+c-b^~hrpyl73

收I2月[4]UJJ2

股癬：A

___.2-?____、

8.如圖，AB是以CO為直徑的半圓圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn),=點(diǎn)〃為線段AC中點(diǎn)，則/0=

()

------

CD

1--1—.1-一2--

A.-DC+-DNB.-L)C+-DN

3223

C.-DC+-DND.-LXJ+-DN

2332

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的線性表示可得.

【詳解】因4,5是以。為直徑的半圓圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，易知A3='C。，

2

由題設(shè)福=—麗=—X—反=—工，CA=CD+DN+NA=-DC+DN+-DC=——DC+DN,

332333

由題意加=友+兩=反+工國=反+工乂1—2就+兩］=2配麗，

2213J32

故選：D

9.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正三棱柱容器，所有棱長都為6cm,將一個(gè)球放在容器口，再向

容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)，測(cè)得水深為5cm,如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（

4

B.一?cm3

3

16932

C.----7rcm3D.—〃cm3

63

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)球的截面圓即為正三棱柱底面三角形的內(nèi)切圓，求得截面的半徑，再利用球的截面性質(zhì)求解.

【詳解】解：設(shè)球半徑為凡球的截面圓的半徑為廣，即為正三棱柱底面三角形的內(nèi)切圓的半徑，

則%=—x6x6xsin60°=—r(6+6+

底221

解得r=6,

由球的截面性質(zhì)得：R=,3+(做一，

解得R=2，

432

所以球的體積為丫=—〃&=—〃，

33

故選：D

第II卷

注意事項(xiàng)：

1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題紙上.

2.本卷共11小題，共84分.

二、填空題（每小題4分，共24分）

10.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為6的概率是.

【答案《

【解析】

【分析】分別求出基本事件總數(shù)，點(diǎn)數(shù)和為6的基本事件的個(gè)數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式解答即可.

【詳解】根據(jù)題意可得總的基本事件數(shù)為6x6=36個(gè).

點(diǎn)數(shù)和為6的基本事件有（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）共5個(gè).

所以出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)和為6的概率為9.

36

故答案為：—.

36

11.在VABC中，若有sin2（3+C）=sin23+sin2C-sinBsinC,則角A的大小是.

兀

【答案】y##60°

【解析】

【分析】首先根據(jù)sin2（5+C）=sin2A,以及正弦定理角化邊化簡條件等式，再結(jié)合余弦定理，即可求解.

【詳解】由sin2（5+C）=sin2A,再根據(jù)正弦定理邊角互化可知，

?2=b2+c2-be>B|JcosA=b+c~,且則A=2.

2bc2''3

TT

故答案為：—

3

12.如圖，已知等腰三角形△0'48,。4=48是一個(gè)平面圖形的直觀圖，斜邊O'B'=2,則這個(gè)平面圖

【答案】2企

【解析】

【分析】先根據(jù)直觀圖的性質(zhì)求出直觀圖的面積，再利用平面圖與直觀圖面積的關(guān)系求出平面圖形的面積.

【詳解】由直觀圖可知，△OA5'為等腰直角三角形，設(shè)0'4=43'=。，

根據(jù)勾股定理得1+4=22,解得。=后，

19

則直觀圖中SQA,B'=5=L

則平面圖形的面積為S^OAB==272.

故答案為：2夜.

13.已知樣本數(shù)據(jù)2、4、8、加的極差為10,其中根＞0,則該組數(shù)據(jù)的方差為.

59

【答案】—

4

【解析】

【分析】由題意先求得加，再求得數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由方差的計(jì)算公式求值即可.

【詳解】由題意得加-2=10,所以加=12,所以該組的平均數(shù)為2+4+8+12

42

由方差的計(jì)算公式可知：S2=gJ—+[—+[12—59

V

故答案為：—

4

14.如圖所示，在VABC中，NAC3=90°，ABAC=30°.BC=1.在三角形內(nèi)挖去半圓(圓心。在邊

AC上，半圓與BC,相切于點(diǎn)C,M,與AC交于點(diǎn)N),則圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)

體的體積為.

【答案]2生

27

【解析】

【分析】

幾何體是圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體，是一個(gè)圓錐內(nèi)挖去一個(gè)球后剩余部分，求出圓錐的

體積減去球的體積，可得幾何體的體積.

【詳解】幾何體是圖中陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體，

是一個(gè)圓錐內(nèi)挖去一個(gè)球后剩余部分，

且球是圓錐的內(nèi)切球，

所以圓錐的底面半徑是1,高為退，球的半徑為，，

可以得到tan30°=℃-r—,

BC3

所以圓錐的體積為、萬1.、行=走"，

33

球的體積為3%?(且)3=正n，

3327

所以陰影部分繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為且萬-述萬=±叵萬，

32727

故答案為：正兀.

27

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的體積的求解問題，在解題的過程中，注意分析幾何體的特征，涉及到

的知識(shí)點(diǎn)有錐體的體積公式和球的體積公式，屬于簡單題目.

15.在△OAB中，。4=。3=2,43=26，點(diǎn)尸是線段。4上的動(dòng)點(diǎn)，則麗.麗的最小值為

；當(dāng)麗.而取得最小值時(shí)，sinZPBA=.

【答案】①.--②.坦

414

【解析】

【分析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，確定48兩點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)設(shè)。(x,0),0〈x<2,用坐標(biāo)法求得數(shù)

量積，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)得最小值，并由數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得cos然后由平方關(guān)系得正弦值.

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(2,0),

r+22

又△OAB中，cosZAOB=~~(^=_L,從而/A03=3,

2x2x223

所以_B(2cos-^^,2sin-^~),BPS(—1,-\/3),

設(shè)P(x,0),04x<2,

則麗?麗=(2—x,0>(—1—x,G)=(2—x)(—1—x)=f—%—2=(x—^)2—2,

24

19

所以x=-時(shí)，QA.取得最小值-一，

24

此時(shí)尸g,0),貝ij麗=(|,—括),麗=(3,—百)，

9

cosZPBA=SS25A/7

工-,又ZPBAe(0,兀),

BPBA\

所以sinNPBA=71-cos2ZPBA=Jl-(^)2=叵，

V1414

故答案為：Tf

三、解答題（每題12分）

16.已知向量萬萬滿足G=（l,-1）,|51=1.

~*JL—*-?

（1）若的夾角為耳，求）也|M+z?|；

（2）若（。一求五與5的夾角.

【答案】(1)a-b-，\a+b|=+

【解析】

【分析】（1）由數(shù)量積的定義以及向量的模長公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；

（2）由題意可得（之-5）3=0,再由數(shù)量積的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

由題意可得|a|=7i2+（-i）2=3，

則MB=問?忖?COSy=A/2xlx-i=,

\a+b\=++27L+W=J2+2x+1=13+0-

【小問2詳解】

由（商一5）_LZ?可得（己一6）?5=0,即=B=1,

即忖?忖?cos<a,b>=^/2xlxcos<a.b>=1,

__J211--兀

所以cos<a出〉=y且<a,b>e[r0,7i],所以<a,6>=w，

77

即日與方的夾角為一.

4

17.己知，是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共朝復(fù)數(shù)是三，且滿足z+2z=

（1）求復(fù)數(shù)z的模|z|；

（2）若復(fù)數(shù)z（2-mi）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】（l）|z|=V5.

⑵-1（加<4.

【解析】

【詳解】分析：（1）設(shè)復(fù)數(shù)z=x+y，（x,yeH）,則[=%一,，由題意得3x-yi=3-萬，再根據(jù)復(fù)數(shù)相

等即可求解.

（2）由（I）化簡得2（2-7次）=（1+2，）（2-“方）=（2+2m）+（4-m，，再由復(fù)數(shù)z（2-7力）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)

應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，列出方程組即可求解.

詳解：（1）設(shè)復(fù)數(shù)z=x+y?x,yeR）,則彳=無一M，

/、（5+z）（l-z）

于是x+yz+Zlx-yDny；-----,即3%-/=3-2，,

3%=3[x=l

所以《C，解得<C，故z=l+2L

H=-2b=2

（2）由⑴得z（2—加）=（1+2。（2—疝）=（2+2m）+（4-m）i,

由于復(fù)數(shù)z（2-mz）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,

2+2m>0

所以《解得一1〈加＜4.

4-7〃>0

點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)相等和復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用，其中熟記復(fù)數(shù)的基本概念和

復(fù)數(shù)的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

18.如圖，已知平面ABC,BBJM，AB=AC=3,BC=25BB、=2近,

點(diǎn)E和尸分別為3c和AC的中點(diǎn).

（1）求證：Ef7/平面

（2）求證：平面8。用；

（3）求直線A4與平面用所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析（3）30°

【解析】

【分析】（1）連接48,推導(dǎo)出由此能證明所〃平面

(2)推導(dǎo)出AEL3C,從而平面ABC,進(jìn)而34AAE,由此能證明AEJ_平面5。片.

(3)取8及中點(diǎn)〃和5c中點(diǎn)N,連接A"，AN,NE,推導(dǎo)出四邊形AAEN是平行四邊形，從

而4N〃AE且AN=AE,進(jìn)而AN,平面3c用，NA與N即為直線弓片與平面8。鳥所成角，由此能求

出直線4片與平面5c四所成角大小.

【小問1詳解】

證明：連接48,在△ABC中，

?.?￡和尸分別是3C和AC的中點(diǎn)，，EF//AyB,

又?.?A3u平面44氏4,石產(chǎn)仁平面44A4,

.?.跖〃平面4旦氏4.

小問2詳解】

證明：■■AB=AC,E為3c中點(diǎn)，.?.AE，BC,

A4,，平面ABC,BByHAAX,二3與，平面ABC,

:.SB】_LAE,又=B,BC,5與u平面BC耳，.?.AE，平面3C及，

【小問3詳解】

解：取551中點(diǎn)〃和31c中點(diǎn)N,連接AM,AN,NE,

QN和E分別為51c和3C的中點(diǎn)，，NEHByB且NE=gB&,

:.NEHAA豆NE=%A,四邊形AAEN是平行四邊形，

AN〃AE且AN=AE,

又QAEA平面5C3],.1AN，平面BCB1,

NAB'N即為直線4片與平面BCB1所成角，

在VABC中，可得AE=2，，AN=AE=2,

?.?BMHAA,,W=AAj,/.\MHAB且A{M=AB,

又由!BBl,

在RtA4MBi中，A4=QBW+AM?=4,

在RbqiVB］中，sin=—

NAB'N=30°,即直線\B｝與平面BCBi所成角的大小為30°.

19.為了了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，方便計(jì)劃下一階段的教學(xué)重心，某校對(duì)高一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)測(cè)試.

根據(jù)測(cè)試成績(總分100分)，將所得數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100]分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示.

頻率

(1)求。的值，并估計(jì)本次數(shù)學(xué)測(cè)試成績的平均分；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(2)求樣本成績的第75百分位數(shù)；

(3)該校準(zhǔn)備對(duì)本次數(shù)學(xué)測(cè)試成績優(yōu)異(將成績從高到低排列，排在前12%的為優(yōu)異)的學(xué)生進(jìn)行嘉

獎(jiǎng)，則受嘉獎(jiǎng)的學(xué)生分?jǐn)?shù)應(yīng)不低于多少？(精確到0.001)

【答案】(1)a=0.025；71.5分；

(2)80；(3)88.667分.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)總頻率為1即可求a值；根據(jù)頻率封閉直方圖中平均數(shù)的計(jì)算方法即可計(jì)算平均數(shù);

(2)(3)根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法即可計(jì)算.

【小問1詳解】

由(0.005+0.010義2+0.015+。+0.035)><10=1,解得0=0.025.

45x0.05+55x0.1+65x0.35+75x0.25+85x0.15+95x0.1=71.5,

故本次數(shù)學(xué)測(cè)試成績的平均分為71.5分.

【小問2詳解】

因?yàn)椋?0,100］的頻率為0.15+0.01=0.25,

故樣本成績的第75百分位數(shù)為80.

【小問3詳解】

設(shè)受嘉獎(jiǎng)的學(xué)生分?jǐn)?shù)不低于x分.

因?yàn)椋?0,90),［90,100］對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.15,0.1,

所以xe［80,90)，從而(90—x)x0.015+0.1=0.12，解得%?88,667,

故受嘉獎(jiǎng)的學(xué)生分?jǐn)?shù)不低于88.667分.

20.VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知(c-JEqcosA+acosC=0.

(1)求角A的大??；

(2)若a=2,b+c=\+超+底,求VA3C的面積；

(3)若VA3C銳角三角形，且外接圓直徑為20，求受產(chǎn)的取值范圍.

7T

【答案】⑴J；

4

(2)“石；

2

(3)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知條件和正弦定理，將邊化為角，利用三角函數(shù)關(guān)系即可求出A的大?。?/p>

(2)結(jié)合余弦定理求出be,從而可求面積；

(3)結(jié)合正弦定理求出a,根據(jù)VA3