第07講實(shí)數(shù)

新“翩豆”航］

1勾畫回㈣

知識(shí)點(diǎn)1：有理數(shù)與無(wú)理數(shù)

有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無(wú)限不循環(huán)小數(shù)又叫無(wú)理數(shù).

注意：

（1）無(wú)理數(shù)的特征：無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無(wú)限.無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式；

（2）常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有三種形式：①含門類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，$0：1.313113111.……③帶有根

號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開(kāi)方開(kāi)不盡，如火.

知識(shí)點(diǎn)2:實(shí)數(shù)

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

1.實(shí)數(shù)的分類

按定義分：

、品（有理數(shù)：有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)W

［無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

按與o的大小關(guān)系分：

，正有理數(shù)

正數(shù)

正無(wú)理數(shù)

實(shí)數(shù)0

負(fù)數(shù)產(chǎn)有理數(shù)

［負(fù)無(wú)理數(shù)

2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).

數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).

知識(shí)點(diǎn)3：實(shí)數(shù)運(yùn)算

1.注意：有理數(shù)關(guān)于絕對(duì)值、相反數(shù)的意義同樣適用于實(shí)數(shù)；

2.運(yùn)算法則：先算乘方開(kāi)方，再算乘除，最后算加減；如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的.

?考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一：無(wú)理數(shù)

【典例1】下列各數(shù)3,兀，-0.125,日其中無(wú)理數(shù)的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】C

【解析】在實(shí)數(shù)3,兀，-0.125,5g中，無(wú)理數(shù)有兀，下,共2個(gè)，

故選：C.

【變式1-11下列各數(shù)中，是無(wú)理數(shù)的是（）

A.3.1415926B.不C.|D.我

【答案】B

【解析】A、3.1415926是有限小數(shù)不是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、近是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

C、（是分?jǐn)?shù)不是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、強(qiáng)=2是整數(shù)不是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

22TT

【變式1-2］給出下列實(shí)數(shù)：―,日我，"，4.2i,y,0.1,-0.010010001.其中無(wú)理數(shù)有（

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【解析】；W=2,74=2，

...無(wú)理數(shù)有：M，-0.010010001…共3個(gè).

故選B.

【變式1-3］在下列各數(shù)中是無(wú)理數(shù)的有（）

/，1>0，兀，，（-5）2,出，3.1415,4,2.010010001...（相鄰兩個(gè)之間依次多一個(gè)0）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】736=6,0,戶1=5,獷1=-1是整數(shù)，屬于有理數(shù)；

，是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)；3.1415是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；

,無(wú)理數(shù)有：兀，52.010010001…（相鄰兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）共3個(gè).

故選：C.

考點(diǎn)二：實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及分類

【典例2】0,-（-1）,非,2023,-血而，-0.1212212221…（兩個(gè)1之間依次增加一個(gè)2）.

正數(shù)集合：｛｝;

負(fù)數(shù)集合：｛｝;

有理數(shù)集合：｛｝；

無(wú)理數(shù)集合：｛｝.

【解析】正數(shù)集合：｛-（-1）,小,2023｝；

負(fù)數(shù)集合：｛-血而L-0.1212212221...（兩個(gè)1之間依次增加一個(gè)2）｝；

有理數(shù)集合：｛0,-（-1）,2023,-V（H）1｝；

無(wú)理數(shù)集合：｛正，-0.1212212221…（兩個(gè)1之間依次增加一個(gè)2）｝.

【變式2-1］下列說(shuō)法正確的是（）

A.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和一定是無(wú)理數(shù)B.無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)

C.實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示D.分?jǐn)?shù)可能是無(wú)理數(shù)

【答案】C

【解析】A.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和可能是無(wú)理數(shù)，也可能是有理數(shù)，如互為相反數(shù)的一對(duì)無(wú)理數(shù)&和-它

們的和是0,是有理數(shù)，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

B.無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，無(wú)限小數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

C.實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，說(shuō)法正確，符合題意；

D.分?jǐn)?shù)是有理數(shù)，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

【變式2-2］把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：

7.5,后,1一萬(wàn),-0.i3,A/14,1.1525255225552-

有理數(shù)集合：｛｝；無(wú)理數(shù)集合：｛）;

正實(shí)數(shù)集合：｛｝;負(fù)實(shí)數(shù)集合：｛｝.

【解析】vO=-2，

7.5,,O,-0.13,714,1.1525255225552-??中

有理數(shù)集合為：｛7.5,舛，-0.13）;

無(wú)理數(shù)集合為：｛，，f，值,1.1525255225552-｝；

正實(shí)數(shù)集合為：｛7.5,后，1,714，1.1525255225552-）；

負(fù)實(shí)數(shù)集合為：｛舛，-萬(wàn)，-0.13）.

考點(diǎn)三：實(shí)數(shù)的性質(zhì)

【典例3】及-2的相反數(shù)是，0-2的絕對(duì)值是.

【答案】2-72;2-72

【解析】0-2的相反數(shù)是2-e，

V2-2<0.

，a-2的絕對(duì)值是2-0，

故答案為：2-g2-V2.

【變式3-1】2-6的絕對(duì)值是,4的相反數(shù)是，J話的算術(shù)平方根是

【答案】V5-2；2；2

【解析】V4<5,

：.2<y[5,

：.2-若<0,

A|2-V5|=-（2-A/5）=-2+V5；

?.?舛=一2,-2的相反數(shù)是2,

...拉可的相反數(shù)是2,

=4,4的算術(shù)平方根是2,

??.J記的算術(shù)平方根是2,

故答案為：-2+石；2；2.

【變式3-2]|V2-A/3|=,否-1的相反數(shù)是.

【答案】幣-貶；1-6

【解析】???應(yīng)<5

V2-V3<0,

—V3|=>/3—5/2,

6-1的相反數(shù)是-（石T），即l-g.

故答案為：V3-V2；1-73.

考點(diǎn)四：實(shí)數(shù)與數(shù)軸

【典例4】圖（1）是由10個(gè)邊長(zhǎng)均為1的小正方形組成的圖形，我們沿圖的虛線A3,8C將它剪開(kāi)后,

重新拼成一個(gè)大正方形ABCD.

（1）在圖（1）中，拼成的大正方形ABCD的面積為,邊AD的長(zhǎng)為；

（2）現(xiàn)將圖（1）水平放置在如圖（2）所示的數(shù)軸上，使得大正方形的頂點(diǎn)8與數(shù)軸上表示T的點(diǎn)重合，若

以點(diǎn)8為圓心，BC邊的長(zhǎng)為半徑畫圓，與數(shù)軸交于點(diǎn)E,求點(diǎn)E表示的數(shù).

【解析】（1）,?由10個(gè)邊長(zhǎng)均為1的小正方形剪開(kāi)后，重新拼成一個(gè)大正方形A8CD,

二大正方形ABCD的面積為10xF=10；

AAD2=10,/.AD=y/10,

故答案為：10,M;

（2）BC=AD=>J10,

以點(diǎn)B為圓心，BC邊的長(zhǎng)為半徑畫圓，與數(shù)軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)E表示的數(shù)為-1+J而或-1-布.

【變式4-1］如圖，將直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓形紙片上的點(diǎn)A放在數(shù)軸的-1處，紙片沿著數(shù)軸向左滾動(dòng)一

周，點(diǎn)A到達(dá)了點(diǎn)A的位置，則此時(shí)點(diǎn)A，表示的數(shù)是.

3，方.

-2-101

【答案】-1一萬(wàn)

【解析】由題意得，點(diǎn)A表示的數(shù)是-1-lx萬(wàn)=-1-萬(wàn)，

故答案為：T-萬(wàn).

【變式4-2］如圖，面積為2的正方形A3CD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，以A為圓心，A2為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)E,

點(diǎn)E表示的數(shù)為6,則點(diǎn)A表示的數(shù)是（）

A.->/3B.72C.73-1D.73-72

【答案】D

【解析】:?面積為2的正方形ABCD,

AB=也,

由作圖可知：AE=AB=拒,

...點(diǎn)A表示的數(shù)是石-灰.

故選D.

【變式4-3］如圖1,把兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形分別沿對(duì)角線剪開(kāi)，將所得的四個(gè)直角三角形拼在一起，得

到一個(gè)面積為2的大正方形.若將圖1中的小正方形放到圖2的數(shù)軸上，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（）

【答案】A

【解析】???大正方形的面積為2,

...大正方形的邊長(zhǎng)為夜，

由題意得：小正方形的對(duì)角線長(zhǎng)等于大正方形的邊長(zhǎng)，即小正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為血,

，將圖1中的小正方形放到圖2的數(shù)軸上，則點(diǎn)A離原點(diǎn)的距離為0-1，

又?點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，

二則點(diǎn)A表示的數(shù)是夜-1）,即1一0.

故選：A.

考點(diǎn)五：實(shí)數(shù)的大小比較

【典例5］比較實(shí)數(shù)的大?。罕芏?

【答案】>

【解析】QA/4<V5,

二.癢1>1,

A/5-11

2>2,

Q->-,

23

V5-11

/.--------〉一.

23

故答案為：>.

【變式5-1】比較大?。?括4（填“"V"或.

【答案】<

【解析】V3<4,

:.也<2,

：.2指<4.

故答案為：<.

【變式5-2】比較大?。海?）0；（2）我般.

【答案】<;<

【解析】根據(jù)負(fù)數(shù)小于。得，-1<o,

=2=y[4，且4<8，

:.雙<瓜

故答案為：<；<.

【變式5-3】下列各數(shù)中最大的是（）

A.5B.0C.-2D.一0

【答案】A

【解析】-2<-72<0<5,

故最大的數(shù)是5.

故選：A.

考點(diǎn)六：估算無(wú)理數(shù)大小

【典例6】估計(jì)的值在（）

A.2到3之間B.3到4之間C.4到5之間D.5到6之間

【答案】A

【解析】,:如〈岳〈A，

二3<岳<4,

?*-3-l<V15-l<4-b

即2<A/15-1<3,

故選：A.

【變式6-1]若機(jī)，〃是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)且機(jī)則"2+〃=

【答案】7

【解析】???9<14<16,

V9<V14<A/16,BP3<714<4-

；加，九是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，且相<后<",

/.m=3,〃=4,

.,.加+〃=3+4=7，

故答案為：7.

考點(diǎn)七：無(wú)理數(shù)整數(shù)部分或小數(shù)部分的有關(guān)計(jì)算

【典例7】閱讀下面的材料，解答問(wèn)題.

例如：：/<近<次，即2<血<3,.?.?的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為r_2,請(qǐng)根據(jù)材料解答：

(1)同的整數(shù)部分是一，小數(shù)部分是一；

(2)已知5+6的小數(shù)部分是機(jī)，5-石的整數(shù)部分是“，請(qǐng)求出的值.

【解析】(1)1/725<A/30<736,

5<同<6,

...聞的整數(shù)部分是5,小數(shù)部分是聞-5,

故答案為：5；'TSO-5；

(2)V74<75<A/9,

/.2<V5<3,

/.7<5+V5<8,2<5-A/5<3,

m=5+^5-7,n=2,

??m+n=5+6-7+2=5

【變式7-1】3+G的整數(shù)部分是a,3-6的整數(shù)部分是6,則a+6=.

【答案】5

【解析】?；&<拒<后，

/.1<V3<2,

/.4<3+73<5,l<3-g<2,

：3+g的整數(shù)部分是a,3-代的整數(shù)部分是6,

<2=4,Z?=1,

a+Z?=4+l=5.

故答案為：5.

【變式7-2】閱讀下面的文字，解答問(wèn)題.

大家知道后是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此0的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來(lái)，于是

小明用0-1來(lái)表示0的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？

事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)?的整數(shù)部分是1,將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部

分.又例如：口<幣<也,即2<77<3,

???A/7的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為五-2.

請(qǐng)解答：

(1)歷的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是;

⑵如果的小數(shù)部分為。，近的整數(shù)部分為b,求心-耳+而的值;

(3)已知：9+45=x+y,其中尤是整數(shù)，且0<y<l,求％-丁的值.

【解析】(1)；如<屈<而，即7<炳<8,

,百的整數(shù)部分為7,小數(shù)部分為歷一7,

故答案為：7；757-7;

(2),,,79<711<716,即3<&1<4，

:?而的整數(shù)部分為3,小數(shù)部分為而一3，

即a=JT-3,

??,"的整數(shù)部分人=2,

\a-b\+>]il=6“+而=2-而+3+而=5;

⑶<囪，即2<&<3,

11<9+75<12)

9+新的整數(shù)部分為11,小數(shù)部分為9+石-11=6'-2,

X---9+A/5=x+y,JL0<J<1,

x=ll,y=y/5-2,

x-y=ll-V5+2=13-^.

考點(diǎn)八：實(shí)數(shù)運(yùn)算

【典例8】計(jì)算：

⑴3亞-|2-3]+當(dāng)；

(2)V27+V3(A/3+2)-T16-|3-2V3|.

【解析】(1)原式=3收一1+也

2

=-1>/2-1；

(2)原式=3+3+2百-4-2括+3

=5.

【變式8-1]計(jì)算：J(-10)2一卜一2國(guó)+療'+4塢.

【解析]J(T0)2T3-2閩++46

=10-（2A/5-3）-3+4A/5

=10-2A/5+3-3+4A/5

=26+10.

【變式8-2】計(jì)算：（-1）2-V25+|-3|+V8.

【解析】（—I?—5/^+1-31+㈱

=1一5+3+2

=1

【變式8-3】計(jì)算：（-3）2+2、（0-1卜卜20|.

【解析】原式=9+22-2應(yīng)

考點(diǎn)九：程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)的運(yùn)算

【典例9］如圖是一個(gè)“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”，按下面的運(yùn)算過(guò)程輸入一個(gè)數(shù)x,若輸入的數(shù)x=4,則輸出的結(jié)果y

為（）

-輸-----木----卜~）-取----算----術(shù)---平----方----根--1—星于理3和-輸--出--歹-

是有理數(shù)

B.-2c.V2D.-72

【答案】C

【解析】當(dāng)尤=4時(shí)，

A/4=2，

；2是有理數(shù)，

.?.倒回運(yùn)算，

?*.y=-J2,

故選：C.

【變式9-1］如圖是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，如果輸入的X為81,則輸出的y值為（）

---------------------是------

輸入Xf取算術(shù)平方根一g理裝盧輸出N

否

A.V3B.79C.炳D.痼

【答案】A

【解析】當(dāng)x=81時(shí)，取算術(shù)平方根為9,是有理數(shù)，

代入x=9,取算術(shù)平方根為3,是有理數(shù)，

代入x=3,取算術(shù)平方根為百，是無(wú)理數(shù)，則輸出為y=6.

故選：A.

【變式9-2］如圖所示的運(yùn)算程序中，若開(kāi)始輸入的工的值為48,第一次輸出的結(jié)果為24,第二次輸出的結(jié)

果為12,…，則第2024次輸出的結(jié)果為.

【答案】3

【解析】第一次輸出結(jié)果為24；

第二次輸出結(jié)果為12；

第三次輸出結(jié)果為6；

第四次輸出結(jié)果為3；

第五次輸出結(jié)果為6；

第六次輸出結(jié)果為3；

第七次輸出結(jié)果為6；

經(jīng)分析可得：自第三次開(kāi)始，輸出結(jié)果分別為6、3、6、3...,依次循環(huán).

2024-2=2022,2022+2=1011,

.?.第2024次輸出的結(jié)果是3.

故答案為3.

考點(diǎn)十：新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算

【典例10】對(duì)于實(shí)數(shù)”，定義㈤為不大于"的最大整數(shù)，例如：⑵=2,［-4.5］=-5,貝川石］和［-汨的距

離為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】由題意得：［百］=2,［-萬(wàn)1=-4,

...［若］和［-兀］的距離為2-（7）=6,

故選：C.

【變式10-1】定義運(yùn)算符號(hào)“☆”的運(yùn)算法則為^=府門，則（2^4）=.

【答案】3

【解析】原式=J2x4+1=y/9=3,

故答案為：3.

【變式10-2］在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中我們定義一個(gè)新運(yùn)算“A”如下：當(dāng)尤4y時(shí)，尤Ay=桐；當(dāng)時(shí)，

xAy=y,則［-9A(-3)］x［4A(-3)］的值為.

【答案】-9

【解析】：一9<-3,4>-3,

；?原式=4可x(-3)

=3x(-3)

=-9,

故答案為：-9.

考點(diǎn)十一：實(shí)數(shù)中的實(shí)際應(yīng)用題

【典例11】某農(nóng)場(chǎng)有一塊用鐵柵欄圍墻圍成的面積為600平方米的長(zhǎng)方形空地，長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之比為3:2.

(1)求該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬各為多少？

(2)農(nóng)場(chǎng)打算把長(zhǎng)方形空地沿邊的方向改造出兩塊不相連的正方形試驗(yàn)田，兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)比為4：3,面

積之和為500平方米，請(qǐng)問(wèn)能改造出這樣的兩塊不相連的正方形試驗(yàn)田嗎?并說(shuō)明理由.

【解析】(1)???長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之比為3:2,

設(shè)該長(zhǎng)方形花壇長(zhǎng)為3尤米，寬為2尤米，

依題意得：3x?2元=600,

x2=100,

x=10或x=-10(不合題意，舍去)，

3x=30,2x=20,

答：該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)30米，寬20米；

(2)不能改造出這樣兩塊不相符的實(shí)驗(yàn)田，理由如下：

兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)比為4:3,

設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為4y米，則小正方形的邊長(zhǎng)為3y米，依題意得：(仙丫+(3y)2=500,

25y2=500,

y2=20,

y=亞或y=—而(不合題意，舍去)，

.?.4丫=4而,3、=3如，

4420+3而=7A>30，

所以不能改造出這樣兩塊不相符的實(shí)驗(yàn)田.

【變式11-1］如圖，長(zhǎng)方形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形，面積分別為2和4,則陰影部分的面積為()

24

A.2亞-2B.2V2+2C.2D.I+V2

【答案】A

【解析】???矩形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形，面積分別為2和4,

???兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是應(yīng)，2,

陰影部分的面積=（2+血卜2-2-4=2&-2

故選A.

【變式11-21座鐘的擺針擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回所需的時(shí)間稱為一個(gè)周期，其計(jì)算公式為T=2萬(wàn)，;，其中T表示周

期（單位：s）,/表示擺長(zhǎng)（單位：m）.假如一臺(tái)座鐘的擺長(zhǎng)為0.2m.（萬(wàn)取3,g=9.8m/s2）

（1）求擺針擺動(dòng)的周期.

（2）如果座鐘每擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回發(fā)出一次滴答聲，那么在6分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了多少次滴答聲？

【解析】（1）???T=2小,

.?.當(dāng)/=0.2m時(shí)，7=2x3、絲=6、工=9；

V9.8V497

（2）6x60+9=420（次）.

7

答：該座鐘大約發(fā)出了420次滴答聲.

考點(diǎn)十二：實(shí)數(shù)中的規(guī)律探究題

【典例12】觀察下列各式：

第一個(gè)式子：＞"=1+貴=1+7；

第二個(gè)式子：^v+F=1+ih=1+（l4）;

第三個(gè)式子：Ji+*+;i+±=i+（；T；

（1）求第四個(gè)式子為：；

（2）求第〃個(gè)式子為：（用〃表示）；

（3）求Jl+《+*+J+J+:+J1+X+???+＞圭++的值.

【解析】（1）觀察題中所給式子可知，

第四個(gè)式子為：小+?1+力=1+（：

故答案為：3+好+:i+j=i+（;q）.

（2）由（1）中的發(fā)現(xiàn)可知，

第九個(gè)式子為：J+**=i+；^-i+W.

故答案為：3+沙春”高…J±（〃為正整數(shù)）.

1

(3)原式=i+i-g+i+g-L...+1+」

320222023

1…。,IIIII

=lx2022+1-----1-------------------------

22320222023

I

=2022+1-

2023

2022

=2022

2023

_顯_J3_J__:J6_77…，則第個(gè)數(shù)是（

【變式12-1］有一列數(shù)按如下順序排列：一石一彳彳一百5一五2023)

.J2023RJ2023「7^小J2024

.----------------LJ?-----------2--0-2--3----\_z.---------------1_J.—

2202322202322023-

【答案】D

【解析】由題知，數(shù)列中的數(shù)按負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)、正數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，

又因?yàn)?023+3=674……I,

所以第2023個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù).

將;改寫成巫可發(fā)現(xiàn)，

48

分母依次擴(kuò)大2倍，且第一個(gè)數(shù)的分母是2,

所以第2023個(gè)數(shù)的分母是22023；

分子上的被開(kāi)方數(shù)依次增加I,且第一個(gè)數(shù)分子上的被開(kāi)方數(shù)是2,

所以第2023個(gè)數(shù)的分子上的被開(kāi)方數(shù)是2024,

所以第2023個(gè)數(shù)是一《零

故選：D.

【變式12-2】將&、及、氐V4……按如圖方式排列.若規(guī)定（尤，V）表示第x排從左向右第y個(gè)數(shù)，若

J2023在（X，y）,則（2x-〉y的值為.

第i排

"<7第2排

<6<7<8<9第3排

V16VBV14VBVi2VTTVio第4排

??,,??第5排

【答案】27

【解析】觀察式子可得，

第1排的個(gè)數(shù)為2x1-1=1,前1排的總數(shù)為Inf,

第2排的個(gè)數(shù)為2x2-1=3,前2排的總數(shù)為4=2、從右到左依次增大排列，

第3排的個(gè)數(shù)為2x3-l=5,前3排的總數(shù)為9=32,從左到右依次增大排列，

第4排的個(gè)數(shù)為2x4-1=7,前4排的總數(shù)為16=42,從右到左依次增大排列,

第九排的個(gè)數(shù)為（2"-1）個(gè)，前"排的總數(shù)為/個(gè)，奇數(shù)排是從左到右依次增大排列，偶數(shù)排是從右到左依

次增大排列，

因?yàn)?4?=1936<2021,452=2025>2021,

所以J2023是在第45排,即x=45,

第45排，為奇數(shù)排，從左向右依次增大，

因?yàn)?023-1936=87,所以y=87,

將x=45,y=87代入（2x-?得（2x-，=（90-87）3=27,

故答案為：27.

?過(guò)關(guān)檢測(cè)

一、選擇題

1.下列四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.-1B.0C.3D.6

【答案】A

【解析］忘<a，

/-1<V2<2，

-1<0<>/2<3,

,最小的數(shù)是-1,

故選A.

2.實(shí)數(shù)2的相反數(shù)是（）

A.—B.-2C.--D.2

2

【答案】B

【解析】實(shí)數(shù)2的相反數(shù)是-2,故選B.

3.在實(shí)數(shù)-3,龍，O--0.518,y,0.101001…中，無(wú)理數(shù)的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【解析】-3是有理數(shù)，不符合題意；

次是無(wú)理數(shù)，符合題意；

存=-2是有理數(shù)，不符合題意；

-0.518是有理數(shù)，不符合題意；

W是無(wú)理數(shù)，符合題意；

0.101001…是無(wú)理數(shù),符合題意.

綜上：無(wú)理數(shù)有虛、—>,0.101001...,共3個(gè)，

故選:B.

4.估計(jì)J萬(wàn)-1的值在（）

A.2到3之間B.3到4之間C.4到5之間D.5到6之間

【答案】B

【解析】??,瓦〈布〈后，

4<歷<5，

，4-1<V17-1<5-1>

即3V717-1<4,

故選:B.

5.已知。，6分別是7-而的整數(shù)部分和小數(shù)部分，那么2a的值是（）

A.3-V13B.4-713C.V13D.2+岳

【答案】D

【解析】V也〈岳〈歷,

3<V13<4,

—4<—A/13<—3,

貝V3<7->/13<4,

「?a=3,

Z7=7-V13-3=4-V13,

2O-Z?=2X3-（4-V13）=2+A/I3.

故選：D.

6.對(duì)于實(shí)數(shù)x,我們規(guī)定國(guó)表示不大于x的最大整數(shù)，如［2］=2,［1.5］=1,［-2.3］=-3.對(duì)數(shù)99進(jìn)行如

下操作：99第砍＞［回］=9第2次＞［囪］=3第3次＞［G］=1,這樣對(duì)數(shù)99只需進(jìn)行3次操作后變

成1,類似地，使數(shù)520變?yōu)?需要進(jìn)行操作的次數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

［解析】520第1次＞［屈可=22第2次＞［后］=4第3次＞［間=2第4次＞=1.

對(duì)520只需進(jìn)行4次操作后變?yōu)?.

故選：B.

7.下列命題為真命題的是（）

A.有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的B.任意一個(gè)無(wú)理數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)

C.負(fù)數(shù)沒(méi)有立方根D.一個(gè)無(wú)理數(shù)乘以一個(gè)有理數(shù)結(jié)果一定是無(wú)理數(shù)

【答案】B

【解析】A、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；

B、任意一個(gè)無(wú)理數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)，正確，是真命題，符合題意；

C、負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；

D、一個(gè)無(wú)理數(shù)乘以一個(gè)有理數(shù)結(jié)果一定是無(wú)理數(shù)，錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意.

故選：B.

8.如圖，已知數(shù)軸上A,8兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)-2和萬(wàn)，則A,8兩點(diǎn)間的距離為（）

AB

_______I1III1.1____］＞

-3-2-1012034

A.2+77B.2-近C.-2+77D.-2-77

【答案】A

【解析】???數(shù)軸上A,2兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)-2和6，

,A、B兩點(diǎn)間的距離=|6-（-2）卜近+2,

故選：A.

二、填空題

9.6的相反數(shù)是；-狗的絕對(duì)值是.

【答案】-5陋

【解析】占的相反數(shù)是-石，-正的絕對(duì)值是為，

故答案為：-君；班.

io.若有的值在兩個(gè)整數(shù)。與。+1之間，則。=.

【答案】2

【解析】?.?2=a＜有＜方=3,

75的值在兩個(gè)整數(shù)2與3之間，

可得a=2,

故答案為：2.

H.計(jì)算：-07-囪=.

【答案】o

【解析】原式=3-3=0.

故答案為：0.

12.已知a,6為有理數(shù)，規(guī)定一種新的運(yùn)算“※”，例如：l?2=4x2-l=8-l=7,1+M：(一呼3)

【答案】13

【解析】(-W)=4x3-(-l)=13,

故答案為：13.

13.如圖，正方形的面積為12,則與該正方形的邊長(zhǎng)最接近的整數(shù)是.

【答案】3

【解析】???正方形的面積為12,.?.正方形的邊長(zhǎng)為舊,

V9<12<16,：.3<y/12<4,

V9<12<12.25,，3<g<3.5.

；.也最接近的整數(shù)為3.

故答案為：3.

14.比較大?。篤31—4A/2.

【答案】＜

【解析】(回)~=31,(4友『=32,

?/32>31,

/.庖<4A/2,

故答案為：＜.

三、解答題

15.計(jì)算：V16+V^27-|A/3-2|+7(-3)2-(-1)2024

【解析】V16+^27-173-21+7(-3)2-(-1)2024

=4+(-3)-(2-A/3)+3-1

=4-3-2+-\/3+3—1

=1+yfi-

16.某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)《算術(shù)平方根》之后進(jìn)行了拓展研究，新定義：對(duì)于三個(gè)互不相等的負(fù)整數(shù)，

若兩兩乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個(gè)數(shù)為“組合平方數(shù)”.例如