上海師范大學(xué)附屬外國語中學(xué)高考數(shù)學(xué)熱身考試卷2024.6班級

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一、填空題（1-5題每題4分，7-12每題5分，共54分）1.對于復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求得，直接求出復(fù)數(shù)的虛部即得.【詳解】由復(fù)數(shù)得，所以的虛部為，即.故答案為：2.若排列數(shù),則___________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)計算公式即可求出.【詳解】因為，已知，所以，即故答案為4【點睛】本題主要考查了排列數(shù)計算公式，屬于中檔題.3.函數(shù)的零點是______.【答案】##【解析】【分析】直接解方程即可.【詳解】令，得，即函數(shù)的零點是.故答案為：.4.在的展開式中，項的系數(shù)是______．【答案】10【解析】【分析】求出二項式的展開式的通項，再求出指定項的系數(shù).【詳解】二項式的展開式通項為，由，得，所以項的系數(shù)是.故答案為：105.數(shù)列滿足（為正整數(shù)），且與的等差中項是5，則首項______【答案】1【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．【詳解】數(shù)列滿足為正整數(shù)），則數(shù)列為等比數(shù)列，不妨設(shè)其公比為，則，因為與的等差中項是5，所以，即，解得．故答案為：1．6.若底面半徑為1的圓錐的體積為，則該圓錐的側(cè)面積為______.【答案】【解析】【分析】由圓錐體積公式求出高，進而利用勾股定理求出母線長，最后利用圓錐的側(cè)面積公式求解即可.【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑、圓錐的高、圓錐的母線長分別為，則，所以，由勾股定理可知：，因此該圓錐的側(cè)面積是.故答案為：7.已知點，將繞坐標(biāo)原點O逆時針旋轉(zhuǎn)至，則點的橫坐標(biāo)為________【答案】##【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，則，設(shè)為終邊上的一點，則，則，解得，故答案為：.8.的內(nèi)角、、所對邊長分別為，面積為，且，則角______.【答案】##【解析】【分析】將的面積，及，代入條件計算即可.【詳解】的面積，因為，所以，所以，又，所以.故答案為：9.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則______．【答案】0.94【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布對稱性即可求出指定區(qū)間的概率.【詳解】由正態(tài)分布的對稱性得.故答案為：0.94.10.已知若向量在向量方向上的數(shù)量投影為，則實數(shù)_______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量投影公式，代入求值.【詳解】由條件可知，向量在向量方向上的數(shù)量投影為，解得：.故答案為：311.若?是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等邊三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率.【詳解】因為△ABF2為等邊三角形，可知，A為雙曲線上一點，，B為雙曲線上一點，則，即，∴由，則，已知，在△F1AF2中應(yīng)用余弦定理得：，得c2=7a2，則e2＝7?e＝故答案為：【點睛】方法點睛：求雙曲線的離心率，常常不能經(jīng)過條件直接得到a，c的值，這時可將或視為一個整體，把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的方程，從而得到離心率的值.12.已知正方形的邊長為2，中心為，四個半圓的圓心均為正方形各邊的中點（如圖），若在上，且，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，,又，利用向量的坐標(biāo)運算，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變形與性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，又，則，，即，解得，,因為，則，所以當(dāng)時，取得最大值1，則的最大值為.故答案為：.二、選擇題（13、14每題4分，15、16每題5分，共18分）13.已知p：a>1，q：<1，則p是q的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.既不充分也不必要 D.充分必要【答案】A【解析】【分析】解不等式，結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷即可.【詳解】由，解得：a<0或a>1，顯然是的子集，即p能推出q，但q推導(dǎo)不出p故p是q的充分不必要條件，故選：A.14.某社區(qū)通過公益講座宣傳交通法規(guī).為了解講座效果，隨機抽取10位居民，分別在講座前、后各回答一份交通法規(guī)知識問卷，滿分為100分.他們得分的莖葉圖如圖所示（“葉”是個位數(shù)字），則下列選項敘述錯誤的是（）A.講座后的答卷得分整體上高于講座前的得分B.講座前答卷得分分布較講座后分散C.講座后答卷得分的第80百分位數(shù)為95D.講座前答卷得分的極差大于講座后得分的極差【答案】C【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖即可判斷AB；再根據(jù)百分位數(shù)的計算公式即可判斷C；根據(jù)極差的定義即可判斷D.【詳解】有莖葉圖可知講座后的答卷得分整體上高于講座前的得分，故A正確；講座前的答卷得分主要分布在之間，而講座后主要分布在之間，則講座前的答卷得分分布較講座后分散，故B正確；講座后答卷得分依次為，因為，所以第80百分位數(shù)是第8個數(shù)與第個數(shù)的平均數(shù)，為，故C錯誤；講座前答卷得分的極差為，講座后得分的極差為，所以講座前答卷得分的極差大于講座后得分的極差，故D正確.故選：C.15.已知是定義在R上的偶函數(shù)，若、且時，恒成立，且，則滿足的實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性來求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，，令，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，對任意的，，所以，函數(shù)為上的偶函數(shù)，且，由可得，即，即，所以，，即，解得.故選：A【點睛】方法點睛：形如的已知條件，往往是給出函數(shù)的單調(diào)性，可以利用函數(shù)單調(diào)性的定義來進行求解.利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性來求解不等式，可將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式的形式，然后結(jié)合單調(diào)性、奇偶性去掉函數(shù)符號，再解不等式來求得答案.16.設(shè)P為曲線C:上的任意一點，記P到C的準(zhǔn)線的距離為d．若關(guān)于點集和，給出如下結(jié)論：①任意，中總有2個元素；②存在，使得．其中正確的是（）A.①成立，②成立 B.①不成立，②成立C.①成立，②不成立 D.①不成立，②不成立【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，的圓心，證明當(dāng)點在原點處時，點在點的軌跡圓外，即可得出結(jié)論.【詳解】曲線C:的焦點，則，由得，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，的圓心，當(dāng)點在原點處時，，此時，此時點的軌跡方程為，因為，所以點在圓外，則存在，使得兩圓相離，即，故①錯誤，②正確.故選：B.三、解答題（14+14+14+18+18=78分）17.已知，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）判斷單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明.【答案】（1）（2）在區(qū)間上為嚴格增函數(shù)，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，求出的值，結(jié)合函數(shù)的解析式求出的值，計算可得答案；（2）根據(jù)題意，根據(jù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法證明可得答案．【小問1詳解】根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，則有，解得，又由，解得，所以，定義域為，且，所以；【小問2詳解】在區(qū)間上為嚴格增函數(shù)．證明如下：設(shè)任意，則，由，得，即，，，所以，即，故在區(qū)間上為嚴格增函數(shù)．18.如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面是棱的中點，.（1）證明：平面；（2）若二面角為，求異面直線與所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)判定推理即得.（2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用異面直線所成角的定義求出其正切值.【小問1詳解】在四棱錐中，由底面為矩形，得，由側(cè)面底面，側(cè)面底面平面，得平面，又平面，則，又側(cè)面是正三角形，是的中點，則，又平面，所以平面.【小問2詳解】如圖，在平面內(nèi)，過點作，垂足為，顯然，由側(cè)面底面，交線為，得底面，底面，則，過作，垂足為，連接，顯然，平面，則平面，而平面，因此，則即為二面角的平面角，其大小為，在中，，則，由，得四邊形為平行四邊形，則，由，得（或其補角）為異面直線與所成角，由（1）知平面，則為直角三角形，，所以異面直線與所成角的正切值為.19.生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運動軌跡.為了解某地中學(xué)生和大學(xué)生對跑步軟件的使用情況，從該地隨機抽取了200名中學(xué)生和80名大學(xué)生，統(tǒng)計他們最喜愛使用的一款跑步軟件，結(jié)果如下：跑步軟件一跑步軟件二跑步軟件三跑步軟件四中學(xué)生80604020大學(xué)生30202010假設(shè)大學(xué)生和中學(xué)生對跑步軟件的喜愛互不影響.（1）從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機抽取1人，用頻率估計概率，試估計這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率；（2）采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學(xué)生中隨機抽取人，再從這人中隨機抽取人.記為這人中最喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）記樣本中的中學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；，，，，，，，的方差為.寫出，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）分布列詳見解析，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件乘法公式求得正確答案.（2）根據(jù)分層抽樣以及超幾何分布知識求得分布列并計算出數(shù)學(xué)期望.（3）通過計算，，來確定正確答案.【小問1詳解】從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機抽取1人，這人都最喜愛使用跑步軟件一的概率為.【小問2詳解】因為抽取的人中最喜愛跑步軟件二的人數(shù)為，所以的所有可能取值為，，所以的分布列為：所以.【小問3詳解】，證明如下：，，所以.，，所以.數(shù)據(jù)：，，，，，，，，對應(yīng)的平均數(shù)為所以所以.20.如圖，已知橢圓：的離心率為，點為其左頂點．過A的直線交拋物線于B、C兩點，C是AB的中點．（1）求橢圓的方程；（2）求證：點C的橫坐標(biāo)是定值，并求出該定值；（3）若直線m過C點，其傾斜角和直線l的傾斜角互補，且交橢圓于M，N兩點，求p的值，使得的面積最大．【答案】（1）；（2）證明見解析，定值為1；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出a，b得橢圓的方程作答.（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合中點問題推理計算作答.（3）利用（2）中信息求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出面積的函數(shù)關(guān)系，借助均值不等式求解作答.【小問1詳解】令橢圓的半焦距為c，依題意，，，解得，則，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】顯然直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)的方程為，設(shè)，由消去x得：，，則，而C是AB的中點，即有，于是，滿足，因此，所以點C的橫坐標(biāo)是定值，該定值為1.【小問3詳解】由直線過C點，其傾斜角和直線l的傾斜角互補，得直線和直線l的斜率互為相反數(shù)，則由（1）得直線的方程為，即，由消去x得：，，設(shè)，則，，點到直線：的距離，由C是AB的中點得的面積，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，的面積取得最大值，此時.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.21.已知，，是自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）若關(guān)于的方程有兩個不等實根，求的取值范圍；（3）當(dāng)時，若滿足，求證：.【答案】（1）極小值為0，無極大值.（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）把代入函數(shù)中，并求出，根據(jù)的正負得到的單調(diào)性，進而求出的極值.（2）等價于與的圖象有兩個交點，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，畫出的大致圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.（3）求出，并得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得則，，要證，只需證，只需證，即證，令，對求導(dǎo)證明即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，定義域為，求導(dǎo)可得，令，得，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取到極小值為0，無極大值.【小問2詳解】方程，當(dāng)