復習專題四小船渡河問題

一一精剖細解細復習講義

知識點1:小船渡河

（1）模型特點

小船在河流中實際的運動可視為船同時參與了這樣兩個分運動：①船在靜水中的運動,

它的方向與船身的指向相同；②水流的運動（即速度等于水的流速），它的方向與河岸平行。

三種速度：V1（船在靜水中的速度）、v2（水流速度）、v（船的實際速度）.

（2）渡河的三種情景

①渡河時間最短：船頭正對河岸時，渡河時間最短，力短=^（d為河寬）.

分析由于水流速度始終沿河道方向，不能提供指向河對岸的分速度。因此，只要

使船頭垂直于河岸航行即可。由圖可知，t短=3，此時船渡河的位移x=3^,位移方

v船sin0

v.3

向￥兩足tan0="T-o

v小

②渡河位移最短：

情形一：V木＜v晶。最短的位移為河寬d,此時渡河所用時間~-船頭與上

v船sIn0

游河岸夾角9滿足v船cose=v水，如下圖所示。

情形二：V水＞v?!

如下圖所示，以V水矢量的末端為圓心，以V船的大小為半徑作圓，當合速度的方向與圓

相切時，合速度的方向與河岸的夾角最大（設(shè)為a）,此時航程最短。由圖可知sina=當,

U水

最短航程為x=—--do此時船頭指向應與上游河岸成e'角，且cose=邈。

s?nau水v水

L重雁點、精桁!

渡河時間只與船垂直于河岸方向的分速度有關(guān)，與水流速度無關(guān)。

船渡河位移最小值與V船和V水大小關(guān)系有關(guān)，V船＞0水時，河寬即為最小位

移，0船V。水時，應利用圖解法求極值的方法處理。

一、單選題

**

會（.過河時間最短問題

1.摩托艇以恒定的速率垂直河岸橫渡一條百米寬的大河，當河水向下游流動的速度突然減

小時，摩托艇橫渡大河經(jīng)歷的時間將（）

A,變長B.變短C.不變D.無法確定

【答案】C

【詳解】將摩托艇的運動分解為沿河岸方向和垂直于河岸方向，在垂直于河岸方向上速率不

變，渡河時間

d

t=—

v

則渡河時間不變。故C正確，ABD錯誤。

故選C。

2.如圖所示，河寬為d,汽艇在靜水中航行速度大小為匕，水流速度大小為?2，若汽艇始

終向著與河岸垂直的方向航行，則汽艇渡河的時間是（）

二---------1

dddd

A.B.r7----7C.D.—

K+彩VV1+r2匕V2

【答案】c

【詳解】根據(jù)題意可知，汽艇始終向著與河岸垂直的方向航行,此時渡河時間最短，最短時

間為

dd

t=一二一

v船匕

故選Co

靜（.船速大于水速時最短過河位移問題

3.“十月里來秋風涼，中央紅軍遠征忙；星夜渡過于都河，古陂新田打勝仗?！边@是在于都

縣長征第一渡口紀念碑上鐫刻的一首詩，描述的是當年紅軍夜渡于都河開始長征的情景。假

設(shè)于都河寬600m,水流速度大小恒定且處處相等，紅軍渡河時船頭垂直河岸，船在靜水中

的速度為2m/s,于正對岸下游240m處靠岸。則（）

A.紅軍夜渡于都河的時間為120s

B.于都河水流速度大小為0.8m/s

C.若河水流速變快，則過河時間會變短

D.無論如何改變船頭朝向，紅軍都不可能到達正對岸

【答案】B

【詳解】A.紅軍渡河時船頭垂直河岸，紅軍夜渡于都河的時間為最短時間

U=—=300s

v船

A錯誤；

B.于都河水流速度大小為

B正確；

C.若河水流速變快，則垂直于河岸方向的分運動不影響，故過河時間會不變，C錯誤；

D.船速大于水速，當船頭朝向上游一定的角度，使船相對于河岸的速度垂直于河岸，則紅

軍可能到達正對岸，D錯誤。

故選Bo

4.一艘小船在靜水中的速度是5m/s,一條河寬為60m,河水流速是4m/s,下列說法正確的

是（）

A.小船渡過這條河的最短時間是15sB.小船渡過這條河的最短時間是20s

C.小船渡過這條河的最小位移是60mD.小船渡過這條河的最小位移是80m

【答案】C

【詳解】AB.小船船頭垂直河岸過河時間最短，最短時間為

d60.

t=——=——s=l12s

咻5

AB錯誤；

CD.小船速度大于水速，故小船可垂直河岸過河，且過河位移最小等于河寬，C正確，D

錯誤。

故選Co

，-

'&l.船速小于于水速時最短過河位移問題

5.有一條可視為質(zhì)點的渡船勻速橫渡一條河寬為180m的河流，小船在靜水中的速度為

3m/s,水流速度為4m/s,則該小船（）

A.小船渡河最短位移180mB.小船渡河最短位移300m

C.小船渡河的最短時間36sD.小船渡河的最短時間等于60s

【答案】D

【詳解】A.因船在靜水中的速度小于水流的速度，由平行四邊形定則，求得合速度不可能

垂直河岸，小船不可能垂直河岸到達正對岸，故A錯誤；

B.當船頭方向與合速度方向垂直時，船過河的位移最小，最小值為

s=d?&=240m

爆

故B錯誤；

CD.當船在靜水中的速度垂直河岸渡河時時間最短，最短時間為

d180小

。=—=—s=60s

匕3

故D正確C錯誤。

故選D。

6.某船在靜水中劃行的速率為6m/s,河水的流速為10m/s,要渡過60m寬的河，下列說法

正確的是（）

A.該船渡河所用的時間一定大于10s

B.該船渡河所通過的位移大小至少為100m

C.該船用最短時間渡河時所通過的位移大小為80m

D.該船以最短位移渡河時所用的時間為11s

【答案】B

【詳解】A.當船頭垂直于河岸行駛時，船渡河所用時間最短為

d60

U=一=—s=10s

曦6

A錯誤;

B.因為v船＜v水，所以船不能垂直于河岸行駛，如圖所示

當船合速度沿AC方向時，船渡河位移最小，則

d

其中

cos0=—

珠

聯(lián)立解得，該船渡河所通過的位移大小最小為

Xmin=100m

B正確；

C.該船用最短時間渡河時，則沿水流方向位移為

x=v水%=1°x10m=100m

所通過的位移大小為

s==71002+602m=20V34m

C錯誤；

D.該船以最短位移渡河時所用的時間為

ss100仁

t=——=,=■,s=12.5s

y合J喙一嗑?。2-6?

D錯誤。

故選B。

**

'?:.小船過河模型在其它運動中的運用

7.如圖所示，河水由西向東流，河寬為800m,若河中各點的水流速度大小為v水，各點到

較近河岸的距離為X,則V*與尤的關(guān)系為珠=就尤（m/s）（x的單位為m）.讓小船船頭垂直河

岸由南向北渡河，小船劃水速度大小恒為曝=4m/s,則下列說法中正確的是（）

北

A.小船在河水中的最大速度是5m/s

B.小船渡河的軌跡為直線

C.小船渡河的時間是160s

D.小船在距南岸200m處的速度小于在距南岸600m處的速度

【答案】A

【詳解】A.當小船運動到河中間時，東西方向上的分速度最大，為3m/s,此時小船的合速

度最大，最大值

22

vm=74+3m/s=5m/s

A正確；

B.小船在南北方向上為勻速直線運動，在東西方向上先加速，到達河中間后再減速，合速

度方向與合加速度方向不共線，小船的合運動是曲線運動，B錯誤；

C.小船的渡河時間

800…

t=-----s=200s

4

C錯誤；

D.小船在距南岸200m處的水流的速度與在距北岸200m處的水流的速度大小相等，則小

船在距南岸200m處的速度與在距北岸200m處的速度大小相等，D錯誤。

故選Ao

8.跑馬射箭是民族馬術(shù)中的一個比賽項目，如圖甲所示，運動員需騎馬在直線跑道上奔跑,

彎弓射箭，射擊側(cè)方的固定靶標，該過程可簡化為如圖乙（俯視圖）所示的物理模型：假設(shè)

運動員騎馬以大小為匕的速度沿直線跑道勻速奔馳，其軌跡所在直線與靶心的水平距離為

小運動員應在合適的位置將箭水平射出，若運動員靜止時射出的弓箭速度大小為打（大于

匕），不計空氣阻力。下列說法正確的是（）

固定哪

-A

d

V1w

^……直通際

A.運動員應瞄準靶心放箭

d

B.為保證箭能命中靶心且在空中運動的時間最短，箭射中靶心的最短時間為一

匕

d

C.為保證箭能命中靶心且在空中運動的時間最短，箭射中靶心的最短時間為一

d

D.為保證箭能命中靶心且在空中運動的距離最短，箭射中靶心的時間為

匕+匕

【答案】B

【詳解】A.當箭射出的同時，箭也要參與沿跑道方向的勻速運動，若運動員瞄準靶心放箭,

則箭的合速度方向不會指向靶心，不會擊中靶，選項A錯誤；

BC.為保證箭能命中靶心且在空中運動的時間最短，則需箭射出時速度方向與直線跑道垂

直，此時箭射中靶心的最短時間為

d

fmin=—

%

選項B正確，C錯誤；

D.為保證箭能命中靶心且在空中運動的距離最短，則箭的合速度方向垂直直線跑道，此時

箭射中靶心的時間為

_d

選項D錯誤。

故選B。

二、多選題

**

"圖:.過河時間最短問題

9.如圖所示，小船（視為質(zhì)點）從岸邊A點開始渡河，河兩岸平行，河的寬度為150m,

水流速度大小為3m/s,船在靜水中的速度大小為4m/s,則（）

B

A.船不可能到達正對岸8點

B.船的最短過河時間為37.5s

C.船要以最短路程過河，船頭必須指向正對岸

D.船以最短路程過河時的速率為⑺'m/s

【答案】BD

【詳解】ACD.由于船在靜水中的速度大于水流的速度，當速度滿足如圖所示關(guān)系時，船

垂直河岸過河，此時為最短路程過河，船頭方向與稀對方向相同，過河時的速率為

v=J一對-喙=幣m/s

故AC錯誤，D正確;

B.船頭垂直河岸過河時，時間最短，則有

小="-=37.5s

"相對

故B正確。

故選BD。

**

‘圖:.船速大于水速時最短過河位移問題

10.關(guān)于兩個運動的合成，下列說法正確的是（）

A.兩個直線運動的合運動一定也是直線運動

B.不共線的兩個勻速直線運動的合運動一定是勻速直線運動

C.小船渡河的運動中，小船的對岸速度可以小于水流速度

D.小船渡河的運動中，小船渡河所需的最短時間與水流速度大小無關(guān)

【答案】BCD

【詳解】A.兩個分運動是直線運動，其合運動可能是曲線運動，比如平拋運動，故A錯誤;

B.不共線兩個勻速直線運動，沒有加速度，則合運動也一定是勻速直線運動，故B正確；

C.合運動的速度可能比分速度大，可能比分速度小，可能與分速度相等，故C正確；

D.小船渡河運動中，當船頭垂直于河岸渡河時，小船渡河所需的最短時間，則有

_d_

'min-

可知小船渡河所需的最短時間與水流速度大小無關(guān)，故D正確。

故選BCD?

““

.蜀飛.船速小于于水速時最短過河位移問題

11.一船在靜水中的速度為3m/s,它在一條河寬150m,水流速度為4m/s的河流中渡河，

則該小船（）

A.不能垂直到達正對岸

B.渡河的時間可能少于50s

C.以最短位移渡河時，位移大小為150m

D.以最短時間渡河時，它沿水流方向的位移大小為200m

【答案】AD

【詳解】A.因為小船在靜水中的速度小于河水的流速，由平行四邊形法則求合速度不可能

垂直河岸，所以小船不可能垂直河岸正達對岸，故A正確；

B.當小船船頭垂直于河岸時，渡河時間最短，由運動學公式，可得小船最短渡河時間為

d150“

U=一=—s=50s

咻3

故B錯誤；

C.因為船在靜水中的速度小于河水的流速，由平行四邊形法則求合速度不可能垂直河岸，

小船不可能垂直河岸正達對岸，如圖所示

%

根據(jù)三角形相似可知，最短位移

s=$150=豈150m=200m

咻3

故C錯誤；

D.船以最短時間50s渡河時，沿水流方向的位移大小

x=v水功比=4x50m=200m

故D正確。

故選ADo

，*

會2.小船過河模型在其它運動中的運用

12.經(jīng)過治理的護城河成為城市的一大景觀，河水看似清淺，實則較深。某次落水救人的事

件可簡化如圖，落水孩童抓住繩索停在A處，對面河岸上的小伙子從3處直線游過去，成

功把人救起。河寬和間距如圖中標注，假定河水在各處的流速均為lm/s,則（）

A

——

12m

B16m

樓房

A.游泳時小伙子面對的方向是合運動的方向

B.小伙子在靜水中游泳的速度至少應為0.6m/s

C.小伙子渡河的時間一定少于16s

D.若總面對著A處游，軌跡將為一條曲線且到達不了A處

【答案】BD

【詳解】AB.由題可知，設(shè)小伙子在靜水中的游泳的速度為巧，小伙子的合運動方向是從

8到A,作出小伙子游泳時合速度與兩個分速度的關(guān)系，如圖所示

當匕與合速度垂直時匕有最小值，設(shè)AB與河岸的夾角為凡根據(jù)幾何關(guān)系有

12

sin0='/==0.6

V122+162

解得

0=37

即游泳時小伙子面對的方向是與合速度方向垂直，此時最小的速度為

匕=v水sin0=0.6m/s

故A錯誤，B正確；

C.由AB分析可知，小伙子相對水的速度存在不確定性，其沿流水方向和垂直河岸方向的

速度大小及合速度大小都不能確定，則渡河的時間不確定，故C錯誤；

D.若總面對著A處游，如圖所示

由圖可知匕的方向會不斷變化，則有加速度產(chǎn)生，而為的方向大小不變，根據(jù)運動的合成

與分解，可知它們的合運動是變速曲線運動，位移變大，故達不了A處，故D正確。

故選BD?

三、解答題

13.汽艇在靜水中的速度為匕=5m/s,要渡過寬為d=200m的河，已知河水勻速流動，速

度大小為h=3m/s。(sin37°=0.6,cos37°=0.8)

(1)汽艇渡過此河的最短時間。是多少？登陸的地點離正對岸的距離x是多少？

(2)若汽艇要在正對岸登陸，船頭指向與河岸上游的夾角是多大？渡河時間々是多少？

【答案】(1)40s,120m；(2)53°,50s

【詳解】(1)船頭指向與河岸垂直時渡河時間最短，此時有：

?!=—=40s

匕

登陸的地點離正對岸的距離是

x=v2ti=120m

(2)在正對岸登陸，速度矢量圖如圖所示

由幾何知識可知，

cos61=—=—

“5

解得

夕=53°

渡河時間是

14.每年4月初，隨著副熱帶高壓北進，夏季風給華南地區(qū)帶來一場又一場降雨，進入前汛

期。如圖所示，某地防汛演練中，戰(zhàn)士駕駛小船救人，河岸是平直的，河的寬度d=800m,

小船在靜水中的速度大小匕=8m/s,河水的流速大小”=5m/s。小船從A點出發(fā)，到上游

河對岸的8點救人，A、B連線與河岸的夾角為53,取sin53=0.8,cos53=0.6。若小船

船頭先垂直河岸渡河，從A點運動到另一河岸的C點后，立即使船頭指向上游沿河岸運動

到B點，求該過程小船運動的時間t.

B

d=800m\

X\

”53叭.

A

【答案】467s

【詳解】由幾何關(guān)系可知，A、2兩點間沿水流方向的距離

3」T=600m

設(shè)小船從A點運動到另一河岸的C點所用的時間為:,有

d=vltl

XAC=V^

尤.+XAC=（、-%）t]

/=%+，2

解得

一、單選題

1.一條河寬120m船在靜水中的速度為3m/s,水流速度是6m/s,則（）

A.該船過河最短時間為20s

B.該船過河最短距離為120m

C.當船頭與岸所成夾角為60。時，船過河的位移最短

D.當該船以最短時間過河時，該船的運動方向與垂直岸方向的夾角為60°

【答案】C

【詳解】AD.當船在靜水中的速度與河岸垂直時，渡河時間最短，最短時間

d120，八

t=—=--s=40s

W3

此時船的運動方向與垂直岸方向的夾角

tan?=-=2

匕

所以

ay：60°

選項AD錯誤；

B.船在靜水中的速度為3m/s,小于水流速度6m/s,根據(jù)平行四邊形定則，合速度不可能

垂直于河岸，所以船不可能垂直到達對岸，即該船過河最短距離不可能為120m,選項B錯

誤;

C.當合速度的方向與船在靜水中速度的方向垂直，渡河位移最短，如圖所示

可知船頭與岸所成夾角

cos=—

v22

所以

d=60°

選項C正確。

故選c。

2.一船在靜水中的速度大小恒定為以，水流速度的方向沿著河岸向右且大小恒定為V2,且

V1>V2,河岸寬度恒定為小小船從O點開始渡河，圖中垂直于河岸，AB=BC=L。已知當

小船劃行方向垂直于河岸時，小船正好航行到C點。下列說法中正確的是（）

/5

,

t

T丁

-

J-2

I-

V▲。

/L

A.—=-

v2a

B.若小船改變劃行方向，最終到達對岸A點，則從。點到A點所用時間等于小船航行到C

點所用時間

C.若小船的劃行方向沿。4方向，則小船最終會航行到之間的某一點

d

D.若小船改變劃行方向，最終到達對岸3點，則從。點到3點所用時間為I?2

【答案】C

【詳解】A.小船的實際運動軌跡為0C,即速度方向沿。。方向，所以根據(jù)幾何知識可得

匕_d

v2L

選項A正確；

B.如圖小船航行到A點的合速度和小船航行到C點的合速度不同，但是位移相同，所以時

間不同，選項B錯誤；

ABC

C.要小船沿OA方向劃船，設(shè)垂直到達河岸方向的夾角為。，則

7^*

說明當垂直對岸到達B點時船頭和OB之間的夾角大于/AOB,因此沿OA方向劃船不會

垂直到達2點，會航行到2C之間的某一點，選項C正確；

D.若小船改變劃行方向，最終到達對岸8點，則合速度指向8,如圖

ABC

—T-,：—r-------------

從。點到8點所用時間為

y!Vl~V2

選項D錯誤。

故選C。

3.一條河寬100m,船在靜水中的速度為4m/s,水流速度是5m/s,則（）

A.該船能垂直河岸橫渡到對岸

B.當船頭垂直河岸橫渡時，過河所用的時間最短

C.當船頭垂直河岸橫渡時，船的位移最小，是100m

D.當船頭垂直河岸橫渡時，船沿岸方向的位移可能小于100m

【答案】B

【詳解】A.設(shè)船在靜水中的航速為叼，水流的速度V2；由題，船在靜水中的航速小于水流

的速度，根據(jù)平行四邊形定則可知，船的合速度方向不可能垂直于河岸，則船不能垂直到達

正對岸，故A錯誤；

B.將小船的速度分解為垂直河岸和沿河岸方向，在垂直于河岸的方向上，河寬一定，當在

該方向上的速度最大時，渡河時間最短，所以當船頭方向垂直河岸，在該方向上的速度等于

靜水航速，時間最短，為

d_100m

故B正確；

C.船實際是按合速度方向運動，由于叼、V2的大小一定，根據(jù)作圖法，由三角形定則分析

可知，當船相對于水的速度叼與合速度垂直時，合速度與河岸的夾角最大，船登陸的地點

離船出發(fā)點的最小距離；設(shè)船登陸的地點離船出發(fā)點的最小距離為S,根據(jù)幾何知識得

d_vx

Sv2

代入解得

S=125m

故船的位移最小，是125m,故C錯誤；

D.當船頭垂直河岸橫渡時，由B選項知渡河時間為25s,則船沿岸方向的位移為

x=v2t=5x25m=125m

故D錯誤。

故選Bo

4.如圖所示，甲、乙兩同學從河中。點出發(fā)，分別沿直線游到A點和5點后，立即沿原路

線返回到。點，。4、08分別與水流方向平行和垂直，且0A=0B=12m,若水流速度為2.0m/s

不變，兩人在靜水中游速相等均為2.5m/s,他們所用時間分別用/甲、，乙表示，則（）

〃〃〃//〃/〃/〃///////〃//

水流方向?A

?B

777777777777777777777777777

A./甲=9.6s

B.，甲=15s

C.1乙=12s

D.￡乙二16s

【答案】D

【詳解】設(shè)游速為"，水速為%,OA=OB=L9則甲整個過程所用時間

LL12m12m_,.,

f甲=-------H---------=----------+----------?26.67s

v+v0v-v（）4.5m/S0.5m/s

乙為了沿。B運動，速度合成如圖

則乙整個過程所用時間

t7=,OB=x2=16s

故選D。

二、多選題

5.小船過河，河寬300m,水流速度為5m/s,船在靜水中的速度為4m/s,以下結(jié)論正確的

是（）

A.船要以最短路程過河，船頭必須指向正對岸

B.船不可能到達正對岸

C.船以最短路程過河所需時間為75s

D.船渡過河的最短時間為75s

【答案】BD

【詳解】B.船在靜水中的速度為4m/s,小于水流速度5m/s,根據(jù)平行四邊形定則，合速

度不可能垂直于河岸，所以船不可能到達正對岸，選項B正確；

D.當船在靜水中的速度與河岸垂直時，渡河時間最短，最短時間

d300ru

t=——=-----s=75s

匕4

選項D正確；

AC.當合速度的方向與船在靜水中速度的方向垂直，渡河路程最短，如圖所示

此時有

cos”J

v25

則船以最短路程過河所需時間

d300

s=125s

匕。

sin4X3

5

選項AC錯誤。

故選BD?

6.一小船過河的運動軌跡如圖所示。河中各處水流速度大小相同且恒定不變，方向平行于

岸邊。若小船相對于靜水分別做勻加速、勻減速、勻速直線運動，船相對于靜水的初速度均

相同（且均垂直于岸邊）。由此可以確定（）

CBD

///

VoA、云＞一＞

,，///'水i流萬向

X--------＞

A

A.船沿AC軌跡運動時，船相對于靜水做勻加速直線運動

B.船沿AC軌跡渡河所用的時間最短

C.船沿軌跡到達對岸前瞬間的速度最小

D.船沿三條不同軌跡渡河所用的時間相同

【答案】ABC

【詳解】ABD.加速度的方向指向軌跡的凹側(cè)，依題意可知，AC軌跡是勻加速運動，AB

軌跡是勻速運動，AO軌跡是勻減速運動，故船沿AC軌跡過河所用的時間最短，選項D錯

誤，AB正確；

C.船沿AD軌跡在垂直河岸方向的運動是減速運動，故船到達對岸的速度最小，選項C正

確。

故選ABCo

7.一條河寬400m,船在靜水中的速度是4m/s,水流速度為5m/s,則（）

A.該船一定不能垂直河岸到達對岸

B.當船頭垂直河岸渡河時，渡河時間最短

C.當船頭垂直河岸渡河時，船對水的位移最短

D.該船渡河過程中，船對岸的最小位移為400m

【答案】ABC

【詳解】A.因為船速小于水速，小船不能垂直過岸，選項A正確；

B.無論什么時候只要船頭垂直河岸渡河時，過河的時間是最短的，選項B正確;

C.當船頭垂直河岸橫渡時，沿河水方向，船的位移和水的位移相等，船和水的相對位移為

0,選項C正確；

D.以水速的矢量末端為圓心，以船速矢量大小為半徑做圓，從速度矢量始端做圓的切線，

設(shè)此切線與水平方向夾角為則小船沿此方向位移最小。如圖：

即當船速與合速度垂直時，渡河的位移最小，最小位移為

s=—J=—x400m=500m

mniunnA

咻4

選項D錯誤。

故選ABCo

8.如圖所示，小船從河岸的。點沿虛線勻速運動到河對岸的P點，河水的流速"水、船在

靜水中的速度場與虛線的夾角分別為a、0,河寬為L且唏、v水的大小不變，渡河的時

間為3河水的流動方向與河岸平行，則下列說法正確的是（)

A.當夕+。=90。時，渡河的時間最短

L

B.渡河時間仁-----

v靜cos（e+。）

OP

C.渡河時間:-----7-------------

u靜cos°+u水cosa

【答案】AC

【詳解】A.當c+6=90°,渡河時間最短

LL

min-％sin90°F

A正確；

B.垂直于河岸方向上渡河的速度為嗝sin（6+c）,故渡河的時間

u靜sin（a+6）

B錯誤；

C.合速度大小為v