第10講探索直線平行的條件

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*思維導(dǎo)圖

同位角：在被截兩直線的同一方向，截線的同側(cè)的一對角.

內(nèi)錯角：在被截兩直線的內(nèi)側(cè)，截線的兩側(cè)的一對角.

€同旁內(nèi)角：在被截兩直線之間，截線的同側(cè)的一對角.

定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.

探索直線平行的條件平行線的定義、公理及推論平行公理：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.

推論：平行于同一條直線的兩條直線平行.

同位角相等，兩直線平行.

平行線的判定方法內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

A核心考點聚焦

1.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的辨別

2.同位角相等，兩直線平行

3.平行線的定義及平行公理

4.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

5.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

6.添加一條件使兩條直線平行

一、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念

E

填空：⑴如圖，/I和N5,分別在直線AB,CD的上方（同一方）,在直線EE的右側(cè)（同側(cè)）.具有

這種位置關(guān)系的一對角是同位角.

（2）如圖，N3和N5,在直線AB,C￡＞之間,在直線石尸的畫虬具有這種位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯角.

(3)如圖，/3和N6,在直線AB,C￡>Zf§],在直線EF的圓側(cè).具有這種位置關(guān)系的一對角叫做同旁內(nèi)

角.

【總結(jié)】(1)同位角：在被截兩直線的同一方向，截線的同側(cè)的一對角.

(2)內(nèi)錯角：在被截兩直線的內(nèi)側(cè),截線的兩側(cè)的一對角.

(3)同旁內(nèi)角：在被截兩直線的內(nèi)側(cè),截線的同側(cè)的一對角.

二、三線八角

(1)定義：兩條直線被第三條直線所截，構(gòu)成的八個角.

(2)三線八角中的各種關(guān)系角的對數(shù)：

兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的八個角中，共有生對同位角，復(fù)對內(nèi)錯角，1對同旁內(nèi)角.

【注意】識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的方法

(1)準確識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是分清哪兩條直線被哪條直線所截，往往是兩個角的兩

邊被公共邊所截.

(2)在截線的同旁找同位角和同旁內(nèi)角，在截線的兩旁找內(nèi)錯角.

(3)形象記憶：同位角的邊構(gòu)成“尸'形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z'形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“。'形，如下：

兩角具有“FF的，即夕型，此時兩角是同位角，

具有“2》的，即“Z，型，此時兩角是內(nèi)錯角，

具有“LJkV八”的，即“右型，此時兩角是同旁內(nèi)角.

三、平行線的定義及表示：

(1)定義：在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線.

(2)表示：平行用“2”符號表示，讀作“平行于”.

1.同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：⑴平行;⑵相交.

2.利用直尺和三角尺畫平行線：一“落”、二“靠”、三“移”、四“畫”.

【注意】平行線的畫法四字訣

1“落”：三角板的一邊落在已知直線上；

2.“靠”：用直尺緊靠三角板的另一邊；

3.“移”：沿直尺移動三角板，直至落在已知直線上的三角板的一邊經(jīng)過已知點；

4.“畫”：沿三角板過已知點的邊畫直線.

四、平行公理及推論：

(1)平行公理：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.

(2)推論：平行于同一條直線的兩條直線平行.即如果c//a,那么

【注意】⑴平行公理中“有且只有”強調(diào)直線的存在性和唯一性.

(2)前提條件“過直線外一點”，若點在直線上，不可能有平行線.

五、平行線的判定方法

平行線的判定方法1:

(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相笠，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角

相等,兩直線平行.

(2)幾何語言；

A-

F

因為/1=/5(或者/2=N6,Z4=Z8,Z3=Z7),

所以AB2CD

平行線的判定方法2：

(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相笠，那么這兩條直線平行.簡單說成：內(nèi)錯角

相等,兩直線平行.

(2)幾何語言：

因為/2=/8(或者/3=/5),

所以

平行線的判定方法3：

(1)文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角亙處，那么這兩條直線平行.簡單說成：同旁

內(nèi)角互補，兩直線平行.

(2)幾何語言：

因為/2+N5=180°(或者/3+Z8=180°),

所以

六、平行線的其他判定方法：

(1)在同一平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線平行.

(2)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線壬紅.

【總結(jié)】判定兩直線平行的方法

方法一：平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線就是平行線.

方法二：平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

方法三：同位角相等，兩直線平行.

方法四：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

方法五：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

方法六：同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.

回

1.對三線八角的辨別.

2.六種方法證明兩直線平行.

?考點剖析

考點一、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的辨別

例題1：如圖，下列結(jié)論正確的是（）

C.N2與/3是同旁內(nèi)角D.N1與/2是同旁內(nèi)角

【答案】D

【解析】4/5與N2+N3是對頂角，故本選項錯誤，不符合題意；

B、N1與N3+/4是同位角，故本選項錯誤，不符合題意；

C、N2與23沒有處在兩條被截線之間，故本選項錯誤，不符合題意；

D、N1與N2是同旁內(nèi)角，故本選項正確，符合題意；

故選D.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，a,6,c三條直線兩兩相交，下列說法錯誤的是（）

A.N1與/2是同位角B./2與N4是內(nèi)錯角

C./3與/4是對頂角D.N1與23是同旁內(nèi)角

2.下列判斷錯誤的是（）

A./2與N4是同旁內(nèi)角B./3與N4是內(nèi)錯角

C.N5與/6是同旁內(nèi)角D.N1與N5是同位角

考點二、同位角相等，兩直線平行

例題2：根據(jù)要求完成下面的填空：

如圖，直線AB,CD被班1所截，若已知/1=/2.

N2=N3（）,

又*Z1=Z2（已知），

N______=N______,

所以//（）.

【解析】.Z2=Z3（對頂角相等），

又?Z1=Z2（已知），:.Z\=Z3,

:.AB//CD（同位角相等，兩直線平行），

故答案為：對頂角相等；1;3；AB-.CD；同位角相等，兩直線平行.

【變式訓(xùn)練】

1.請完成下面的推理過程并在括號里填寫推理依據(jù)：

如圖，AB±BC,Z1+Z2=90°,Z2=Z3,破與OF平行嗎？為什么？

BE//DF.理由如下：

因為（己知），所以/ABC='

即N3+N4=°（）.

又因為4+N2=90。（）,

且N2=/3（已知），

所以/1=/4（）,

所以3E〃DF().

2.如圖，已知AC_LAE,BD1.BF,Z1=35°,Z2=35°.AC與8。平行嗎？AE與3尸平行嗎？閱讀下

面的解答過程，并填空或填寫理由.

AC與8。平行；AE與M平行，理由如下：

.Nl=35。，Z2=35°,

Nl=/2,

()//()()；

又「ACVAE,

■■ZEAC=9Q°,

..ZEAB=ZEAC+Zi=()°,

同理可得/FBG=/FBD+N2=()°,

所以()//()().

考點三、平行線的定義及平行公理

例題3：如圖，已知直線a,b,c被d所截，且a〃6,/1=N2.試說明：b//c.

因為N1=N2(已知)，

Z1=Z3(),

所以N=N(等量代換),

所以//(),

又因為?！?(己知)，

所以//(),

【解析】因為/1=/2(已知),

Z1=Z3(對頂角相等),

所以N2=43(等量代換)，

所以g〃c(同位角相等，兩直線平行).

又因為?！?(己知),

所以2〃c（平行于同一條直線的兩條直線平行）.

【變式訓(xùn)練】

1.將一張長方形的硬紙片ABC。對折后打開，折痕為EF,把長方形ABEF平攤在桌面上，另一面。FE

無論怎么改變位置，總有8〃存在，為什么？

考點四、內(nèi)錯角相等，兩直線平行

例題4：推理填空：

已知，如圖于B,CD_LBC于C,Zl=Z2,求證：BE//CF.

證明：因為于2,CD,5c于C（已知），

所以/1+/3=90。，Z2+Z4=90°.

又因為N1=N2（）,

所以=（）,

所以（）.

【解析】因為于B,CO，JBC于C（已知），

所以4+N3=90。，Z2+Z4=90°.

又因為4=N2（已知）,

所以/3=/4（等角的余角相等）,

所以血〃CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，E尸交AD于0,A3交于A,CD交AD于D,Z1=Z2,/3=/4,試判斷48和CO的位

置關(guān)系，并說明為什么.

D

2.如圖，直線CD,石廠交于點O,OA,QB分別平分/COE和ZDOE,已知Nl+N2=90。，且N2：N3=2：5.

⑴求40尸的度數(shù)；

(2)試說明AB〃CD的理由.

考點五、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

例題5：如圖，已知直線AB,CD被直線E尸所截，EG平分NAEF,FG平分/EFC,Zl+Z2=90°,AB//CD

嗎？為什么？

因為EG平分/但FG平分NEFC（已知），

所以ZAEF=2N，NEFC=2N

所以，AEb+/EFC=（）,

因為4+N2=90。（）,

所以ZAEF+NEFC=°,

所以AB〃CD（）.

【解析】因為GE平分/4EF,GF平分NEFC（已知），

所以N4￡F=2N1,NEFC=2N2,

所以/AE產(chǎn)+/EfC=2（/l+/2）（等量代換）

因為Nl+N2=90°（已知），

所以NAEF+NEFC=180°,

所以A5〃CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，Zl=60o,Z2=60°,Z3=120°.

試說明小〃BC,O尸〃A5,根據(jù)圖形，完成下列推理:

因為4=60。,/2=60。（已知），

所以N1=N2（等量代換），

所以〃_________（）,

因為A3,DE相交，

所以/4=/1=60°().

因為/3=120。，

所以N3+N4=180。,

所以(),

2.完成下面的證明.

如圖，已知直線a,b,c被直線/所截，Zl+Z2=180°,Z1=Z3.求證：b//c.

證明：因為/1+/2=180。,

所以?！ǎǎ?

因為/1=/3,

所以?！ǎǎ?

所以6〃c（）.

考點六、添加一個條件使兩條直線平行

例題6：如圖，點E在AC的延長線上，請?zhí)砑右粋€恰當?shù)臈l件,使A3〃CD.

【答案】/1=/2（答案不唯一）

【解析】當4>CE=NA時，AB//CD-,當N1=N2時，AB//CD當NA+NACO=180。時，AB//CD.

故答案為：/1=/2或"（為=/4或/4+//18=180。（答案不唯一，任填一個即可）.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在下列四組條件中：@Z1=Z2,②N3=N4,?ZBAC=ZACD,④/BAD+/ABC=180。，能

判定AD〃8c的是____.（填序號）

2.如圖，對于下列給出的四個條件：①N1=N3；②N2=/3；@Z4=Z5；④N2+N4=18。。中，能判定

4〃4的有________.（填寫正確條件的序號）

一

12

A過關(guān)檢測

一、選擇題

1.下列圖中，N1和/2不是同位角的是（）

A.B.\~C.

M心2y_/

2.如圖，直線34被/所截，下列說法正確的是()

1

4

R--------A

A.因為Nl+N2=180。，所以4〃，2B.因為N1=N3,所以4〃[

C.因為N2=N1,所以4〃4D.因為/2=/3,所以4〃，2

3.如圖，點。，E分別為ABC邊BC,AC上一點，作射線OE,則下列說法正確的是（）

A.N1與NA是內(nèi)錯角B.N2與23是對頂角

C.N2與NC是同旁內(nèi)角D.N1與N4是同位角

4.如圖，點E在48的延長線上，下列條件中不能判定AB〃CE）的是（)

D_________,c

/V

ABE

A.Z1=Z3B.N2=N4C.ZC=ZCBED.ZA+ZADC=180°

5.一學(xué)員練習(xí)駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同,則這兩次拐彎的角度可能是（）

A.第一次向左拐50。，第二次向右拐50°

B.第一次向右拐50。，第二次向左拐130。

C.第一次向右拐50。，第二次向右拐130。

D.第一次向左拐50。，第二次向左拐130。

二、填空題

6.如圖，要使?！ㄈ诵杼砑拥囊粋€條件是______（寫出一個即可）.

7.如圖，將兩個完全相同的三角尺的斜邊重合放在同一平面內(nèi),可以畫出兩條互相平行的直線.這樣畫的

依據(jù)是_________.

-亨廠

8.如圖，將木條a,b與c釘在一起，4=85。，/2=50°,要使木條a與6平行，木條。旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少

是__________.

三V

9.如圖所示,一個彎形管道A3CD的拐角ZABC=110°,ZBCD=70°,管道AB,CD的位置關(guān)系是________

依據(jù)是

10.如圖所示，直線A8與2c被直線A。所截得的內(nèi)錯角是；直線DE與AC被直線AO所截

得的內(nèi)錯角是;N4的內(nèi)錯角是.

三、解答題

11.如圖，直線AB,。被E尸所截，GH，AB于H,Nl=25,N2=65,求證：AB//CD.

12.如圖，點A在射線DE上，點C在射線如上，ZB+ZBAD=180°,Z1=Z2.

求證：ABCD.

請將下面的證明過程補充完整.

證明：因為/B+/BAD=180°(已知)，Z1+ZBAD=180°,

所以4=,

因為/1=/2(已知)，

所以/2=(),

所以ABCD().

13.完成下面的證明.

如圖，ABLBC,DC±BC,BE,CF分別平分/ABC和/BCD.求證鹿〃CF.

AB

F

CD

證明：ABLBC,DCVBC,

:.ZABC=ZBCD=90°().

BE,CF分別平分/ABC和/BCD,

所以NEBC」/ABC,ZBCF=______(_____________________).

2一一一一

又ZABC=ZBCD,

ZEBC=ZBCF().

所以BE〃CF().