第01講數(shù)列的基本知識與概念

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：數(shù)列的概念............................................................4

知識點2：數(shù)列的分類............................................................4

知識點3:數(shù)列的兩種常用的表示方法..............................................5

解題方法總結(jié)...................................................................6

題型一：數(shù)列的周期性...........................................................6

題型二：數(shù)列的單調(diào)性...........................................................8

題型三：數(shù)列的最大（?。╉?...................................................13

題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題......................................................17

題型五：數(shù)列的恒成立問題......................................................20

題型六：遞推數(shù)列問題..........................................................23

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................27

05課本典例?高考素材............................................................35

06易錯分析?答題模板............................................................38

易錯點：對數(shù)列的概念理解不準(zhǔn)..................................................38

答題模板：數(shù)列單調(diào)性的判斷與應(yīng)用..............................................38

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2023年北京卷第10題，4分

(1)數(shù)列的概念高考對數(shù)列概念的考查相對較少，考查內(nèi)

2022年乙卷(理)第4題，5分

(2)數(shù)列的分類容、頻率、題型、難度均變化不大.重點是數(shù)列

2021年北京卷第10題，4分

(3)數(shù)列的性質(zhì)與函數(shù)結(jié)合考查單調(diào)性、周期性、最值性.

2020年浙江卷第11題，4分

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).

(2)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).

//二知識導(dǎo)圖?思維引航\\

數(shù)列的定義：按照一定順序排列的

一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個

數(shù)叫做這個數(shù)列的項.

數(shù)列的概念)

數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成

以正整數(shù)集N?為定義域的函數(shù)%=/(”)當(dāng)自變量

按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值

按照項數(shù)分：有限和無限

增數(shù)列

數(shù)列的基本知識與概念數(shù)列的分類

減數(shù)列

按單調(diào)性來分

常數(shù)列

擺動數(shù)列

數(shù)列的兩種常用的表示方法

考點突破二即理輝笠

f知識固本JJ

知識點1：數(shù)列的概念

（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.

（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,...,?｝

為定義域的函數(shù)4=/（〃）當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值.

（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法.

【診斷自測】下列說法中，正確的是（）

A.數(shù)列2,4,6,8可表示為集合｛2,4,6,8｝

B.數(shù)列1,2,3,4與數(shù)列4,3,2,1是相同的數(shù)列

C.數(shù)列｛〃?+△｝的第％項為公+4

D.數(shù)列0,1,2,3,4,…可記為｛科

【答案】C

【解析】對于A,由數(shù)列的定義易知A錯誤；

對于B,兩個數(shù)列排列次序不同，是不同的數(shù)列，故B錯誤；

對于C,數(shù)列｛/+〃｝的第七項為左2+旌故C正確；

對于D,因為OeN,所以這與數(shù)列的定義不相符，故D錯誤.

故選：C.

知識點2：數(shù)列的分類

（1）按照項數(shù)分：有限和無限

’遞增數(shù)列：an+i>an

遞減數(shù)列：an+l>an

（2）按單調(diào)性來分：<

常數(shù)列：〃用=%=C（常數(shù)）

.擺動數(shù)列

【診斷自測】已知函數(shù)/。)=尤+J,設(shè)為=/(〃)("WN+),則下列說法中浦氓的是()

A.｛%｝是無窮數(shù)列B.｛%｝是遞增數(shù)列

C.｛q｝不是常數(shù)列D.｛?！埃杏凶畲箜?/p>

【答案】D

【解析】對于A,｛%｝顯然是無窮數(shù)列，故A正確；

對于B,因為%+i-%=〃+1+」：一〃—，=1—J〉0,即。〃即｛%｝是遞增數(shù)列，故B正確；

對于C,因為4=2,%=2+：=[,4X的,故｛““｝不是常數(shù)列，故C正確；

對于D,由B知，｛為｝是遞增數(shù)列，當(dāng)〃趨近于無窮大時，氏="+,也趨近于無窮大，所以｛%｝中無最大

項，故D錯誤.

故選:D

知識點3：數(shù)列的兩種常用的表示方法

(1)通項公式：如果數(shù)列｛為｝的第".項與序號”之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫

做這個數(shù)列的通項公式.

(2)遞推公式：如果已知數(shù)列｛0｝的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項與

它的前一項(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.

【診斷自測】“eN*,數(shù)列1,-3,7,-15,31,…的一個通項公式為()

,!

A.=(2"-l)cosraiB.an=(l-2)sin-^

C.??=2"-lD.??=(-1)"(1-2K)

【答案】D

【解析】對于選項A：因為4=(2-l)cos7t=-lwl,故A錯誤；

對于選項B：因為%=(1-2?卜由兀=0#-3,故B錯誤；

對于選項C：因為%=展-1=37-3,故C錯誤；

對于選項D：檢驗可知對〃=1,2,3,4,5均成立，故D正確；

故選：D.

解題方法總結(jié)

(I)若數(shù)列｛“"｝的前”項和為s“，通項公式為%,則4=|

[Sn-Sn-1n>2,nsN*

注意：根據(jù)S“求a”時，不要忽視對〃=1的驗證.

(2)在數(shù)列｛a/中，若a,,最大，則卜"一―,若4,最小，貝！

[a?>an+i[an<a,

題型一：數(shù)列的周期性

CI

2%,?！?lt;5

什4

【典例1-1]在數(shù)列｛4｝中,4+1，右q=-，則。2020）

1I

2a,T，a“25

I

ABD.-

-?-1-I5

【答案】C

4

【解析】因為4+1I且。I

5

2a〃-l,an>—

433I

以％=2q—I=2x——I=—,%=2%—I=2x——I=—,

C2c4413

a4=2%=—,a5=2a4=—,a6=2a5—1=2x—-1=—,....,

2

所以｛見｝是以4為周期的周期數(shù)列，所以電。2。=&X504+4=“4=不

故選：C

【典例1-2】(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)在數(shù)列｛4｝中，a“>0,4=1,%=，若對

VweN*,a；+d+i+*2=1°，則出024=（）

A.0B.1C.73D.J

【答案】A

【解析】由ati+<2+寸+3=10與d++廉2=10相減得：d+3-a；=0，

即（。"+3一。"）（?！?3+4,）=。，又a“>0,故。"+3=。"，所以％期=的⑼=…=4=0\

故選：A.

【方法技巧】

解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

【變式1-1］（2024?陜西榆林.三模）現(xiàn)有甲乙丙丁戊五位同學(xué)進行循環(huán)報數(shù)游戲，從甲開始依次進行，當(dāng)

甲報出1,乙報出2后，之后每個人報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報數(shù)的乘積的個位數(shù)字，則第2024個被報

出的數(shù)應(yīng)該為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】報出的數(shù)字依次是L2,2,4,8,2,6,2,2,4,8,2,6…，除了首項以外是個周期為6的周期數(shù)列.

去掉首項后的新數(shù)列第一項為2,

因為2023=337x6+1,所以原數(shù)列第2024個被報出的數(shù)應(yīng)該為2.

故選：A.

【變式1-2］（2024?山東濟寧.三模）已知數(shù)列｛4｝中，%=2,%=1，%+1=4-〃eN*）,則

02024=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】由q=2,%=l,q,+i--（"上2,〃eN*）,得

-%=一］，

=2,

二。4-二一］，

=］，

Cl-j=—。5=2,

~1，

則｛%｝是以6為周期的周期數(shù)列，

所以％024=々337x6+2=。2=1?

故選：C

【變式1-3］（2024?遼寧?模擬預(yù)測）數(shù)列｛。"｝中，q=4,%=3,%M=&（〃eN*,〃22）,則％?！恪５闹禐?/p>

an-\

【答案】A

【解析】因為4=4,%=3,a〃+i=—~(nGN,n>2\

an-l

3/a1

令〃=2,可得％=五=“令”=3,可付3=z

%

1,a.4

令幾=4,可得生=g=T；令〃=5,可得〃6=—二可

a33%3

a,4

令〃=6,可得。7=一=；令“=7,可得。8=%=3；

可知數(shù)列｛見｝是以6為周期的周期數(shù)列，

所以4ooo=466x6+4=44=；?

故選：A.

【變式1-4](2024.全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(力=/+2/+3彳，數(shù)列｛g｝的首項為1,且滿足

4+3=%("eN*).若/(%)23)+/(%)24+%)25)=°，則數(shù)列｛4｝的前2023項和為()

A.0B.1C.675D.2023

【答案】B

【解析】因為函數(shù)/(》)=爐+2X3+3X,則/'。)=5/+6/+3>0,

所以函數(shù)/("=爐+2尤3+3尤在R上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù).

---a?+3=%(”eN*),ax=a2023=1,a2=a2024,a3=a2025,

.?/(4)+/(%+/)=?/(&O23)+/(%024+%025)=。,

“2=—/(%+%)=/(-4-%)，-即。|+%+%=0,

，數(shù)列｛4｝的前2023項和為674x(〃]+%+/)+%023=o+q=1.

故選:B.

題型二：數(shù)列的單調(diào)性

【典例2-1】（2024?北京西城?三模）對于無窮數(shù)列｛%｝,定義d“=%-%（〃=1,2,3,…），則“&｝為遞增

數(shù)歹！J”是“｛4｝為遞增數(shù)歹『’的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

【答案】D

【解析】｛%｝為遞增數(shù)列時，有m-%>0,不能得到W"為遞增數(shù)列，充分性不成立；

｛4｝為遞增數(shù)列時，不一定有力>0,即不能得到｛%｝為遞增數(shù)列，必要性不成立.

所以“｛%｝為遞增數(shù)列”是“｝為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【典例2-2】(2024?江西?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛%｝滿足4="-a(aeR),貝是｛同｝是遞增數(shù)列的

()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】當(dāng)"VI時氏=九-。20,則同=|〃-4=”-4,

所以同+卜同=〃+1-4)=1>。，即|%|>同，所以｛同｝是遞增數(shù)列,故充分性成立;

1,

—=1

當(dāng)4=[時㈤="-[=<4,則同〈同〈同<…，所以｛同｝是遞增數(shù)列，

44?>

142

所以當(dāng)數(shù)列｛|“」｝是遞增數(shù)列，?？梢源笥?,所以必要性不成立，

所以“a<1”是｛寓|｝是遞增數(shù)列的充分不必要條件.

故選：B

【方法技巧】

解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法

作差比較法根據(jù)a”的符號判斷數(shù)列｛〃“｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列

根據(jù)包&>或與的大小關(guān)系進行判斷

作商比較法40qV0)1

冊

數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷

【變式2-1](2024.天津南開.二模)設(shè)數(shù)列｛”“｝的通項公式為%=/+而，若數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列,

則實數(shù)6的取值范圍為().

A.(-3,-Foo)B.(-2,+co)C.[-2,+oo)D.[-3,+e)

【答案】A

【解析】由題意可得a.+i>。恒成立，即（〃+1）一+6（"+1）-，72-b〃=2〃+1+6>0,

即6>-2〃-1,又"Nl,-2n-\<-3,故6e（-3,+oo）.

故選：A.

【變式2-2]（2024?江蘇泰州.模擬預(yù)測）等差數(shù)列｛"“｝中，其前"項和為S"，貝廣工+53<2邑”是“｛凡｝為遞

減數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

【答案】C

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

由S]+S3<2s2,可得%+%+4+%<2（%+%）,

所以%-。2<。，即d<0,

所以｛%｝為遞減數(shù)列，

所以“5+53<2$2”是“｛七｝為遞減數(shù)列”的充分條件，

若｛%｝為遞減數(shù)列,則4>出>%，

所以S]+S3—2s之=q+q+%+43—2（q+%）=%—%<0,

所以&+品<2邑,

所以+S<2邑”是“｛凡｝為遞減數(shù)歹！J”的必要條件，

所以“1+S3<2邑，，是“以｝為遞減數(shù)列”的充分必要條件，

故選：C.

【變式2-3]數(shù)列｛4｝中前”項和S"滿足S"=如z+z,z+lUeR）,若｛%｝是遞增數(shù)列，則2的取值范圍為

（）

A.（0,+oo）B.C.D.（-1,+co）

【答案】B

【解析】因為

則S“+]=2（〃+l）2+2（〃+l）+l（2eR）,

兩式相減得%：=S用-S*=A（2n+1）+2,

因為數(shù)列僅“｝是遞增數(shù)列，

所以當(dāng)2時，?！?1=[42〃+1）+2]-[22（九一1）+丸+2]=22>0,解得幾〉。.

當(dāng)M=1時，q=號=X+3,%=3%+2,

所以的_q=(32+2)_(2+3)=2幾_1>0,解得力>；.

綜上2>—.

2

故選：B.

【變式2-4］（2024.陜西安康?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛0｝的通項公式為%=e"2+"",則"〃2-21”是

“VweN*,a“的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】二次函數(shù)y=x2+〃x圖象的開口向上，對稱軸是直線》=-卷，

且y=e、在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，

當(dāng)/時，>單調(diào)遞減，y=e'+〃*單調(diào)遞減;

當(dāng)x>-當(dāng)時，y=/+單調(diào)遞增，y=e/+"單調(diào)遞增；

因為a”=一+m中的自變量〃為正整數(shù)，且V/eN*必Nal0,

則詈一當(dāng)只，解得一21W〃W-19,

顯然［-21,-19］是［-21,心）的真子集，

所以“〃2-21”是“V〃eN*,??>生?！钡谋匾怀浞謼l件.

故選：B.

【變式2-5］已知數(shù)列｛%｝滿足：%=［（：［"）"二'"7,（"eN*,a>0）,數(shù)列｛風(fēng)｝是遞增數(shù)列，則實

\a,n>7

數(shù)。的可能取值為（）

A.2B.—C.—D.4

77

【答案】C

/、（（3—〃）〃一3.〃<7,、

【解析】因為%=〃"）=<匚6，neN,,且｛%｝為遞增數(shù)列，

CL，九27

3—〃>03—6/>0

所以"1,即《a>1,解得~。<3,

?7>/6(3-〃)一3<〃

結(jié)合選項可知了符合題意,

故選：c.

【變式2-6］（2024?浙江寧波.二模）已知數(shù)歹!）｛4｝滿足（=加2一”，對任意”｛1,2,3｝都有見>％,且對

任意〃e｛H"N7,〃eN｝都有凡<%,則實數(shù)2的取值范圍是（）

A-［iZ'i］B-&3C口.］晨

【答案】C

【解析】因為對任意〃e｛1，2,3｝都有an>an+l,

所以數(shù)列｛%｝在［1,3］上是遞減數(shù)列，

因為對任意7ie｛n|n>7,MeN）都有an<an+l,

所以數(shù)列｛%｝在［7,+s）上是遞增數(shù)列，

2

10

所

以-711

^>-,解得上<丸<七,

12157

-15

^<一

2

所以實數(shù)力的取值范圍是

故選：C.

II

【變式2-7］（2024?江西?二模）已知數(shù)列｛%｝的首項％為常數(shù)且火力|,??+1+2??=4（/IGN*）,若數(shù)列

｛4｝是遞增數(shù)列，則4的取值范圍為（）

【答案】B

【解析】因為?！?1+2%=4",

所以--表4'm=一21""-1邛j,

22

由于4W1，即4一1W0,

可得數(shù)列卜-是首項為?,-1,公比為-2的等比數(shù)列，

則4=：x4'+，「3x（-2廣，因為數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，可得

即1X4"+1+（^-1）-（-2）">1X4"+（^-1）.（-2）--1對任意的正整數(shù)〃都成立.

o363

當(dāng)〃為偶數(shù)時，q>g-gx2"恒成立，由于數(shù)列單調(diào)遞減，

212422

p]*^±-Ax2n則生>,；

33333,3

當(dāng)〃為奇數(shù)時，q<g+gx2”恒成立，由于數(shù)列｛尹;x2"｝單調(diào)遞增，

?1?244

可得±+±x2〃之女+女=?,貝!]%<?；

33333”3

綜上可得%的取值范圍是

故選：B.

題型三：數(shù)列的最大（?。╉?/p>

【典例3-1】已知凡=小《）"+2,則數(shù)列｛4｝的偶數(shù)項中最大項為（）

A.即）B.。8C.6D.。4

【答案】D

43

405+1）/嚴(yán)

n+2

【解析】數(shù)列｛q｝中，an=n-A,則」包=————=-x——,

5an〃.（3）"+25n

4〃+]

令一X---->1,解得〃<4,則當(dāng)〃<4時，fl?+1>an,即%>%>兄>4，

5n

同理當(dāng)〃>4時，an+i<an,即%>/>%>4>…，而當(dāng)〃=4時，％=〃4，

所以數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項中最大項為％.

故選：D

【典例3-2】（2024?上海?模擬預(yù)測）數(shù)列為=/萬（〃€曠）的最小項的值為.

【答案】-6

【解析】令%=」0<°，得"<一，

4H—294

6八/曰29

>0,得〃〉——,

4〃一294

所以當(dāng)時，%<。，當(dāng)〃28時，%>。,

而函數(shù)>g在[L刀上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)〃=7時，取得最小值-6,

即數(shù)列a，=%&("eN*)的最小項的值為-6.

故答案為：-6.

【方法技巧】

求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法

(1)將數(shù)列視為函數(shù)當(dāng)在”時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)/(無)的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，

或利用求函數(shù)最值的方法，求出了(尤)的最值，進而求出數(shù)列的最大(小)項.

(2)通過通項公式a“研究數(shù)列的單調(diào)性，利用1%""I,。此2)確定最大項，利用

[%?%

一"1,(n>2)確定最小項.

UM%

(3)比較法：若有見=/(〃+1)-/(〃)>0或%>0時3>1,則為+]>為,則數(shù)列是遞增

%

數(shù)列，所以數(shù)列MJ的最小項為%=/(1)；若有4+i-%=/(“+i)-/(")<0或%>o時4&<1,則

冊

an+1<a”,則數(shù)列｛aJ是遞減數(shù)列，所以數(shù)列M的最大項為q=/(I).

【變式3-1](2024?北京西城?一模)在數(shù)列｛%｝中，芻=2,4=-3.數(shù)列出｝滿足，=%+「4(〃eN)若

也｝是公差為1的等差數(shù)列，則也｝的通項公式為a=_,。"的最小值為

【答案】?-6-13

【解析】由題意4=%-弓=-5,又等差數(shù)列也｝的公差為1,所以d=一5+5-1”=〃-6；

故%+i一?！?”6,所以當(dāng)“V6時，an+l-an<0,當(dāng)〃>6時，an+l-an>0,

所以%>小>。3>4>。5>。6=%<。8<。9<…，顯然巴的最小值是。6.

又。用一°“="-6,所以4=ai+(?2_q)+(a3_%)+(a4_a3)+(a5_q4)+(a6-a5)

=2+(-5)+(T)+(-3)+(-2)+(-1)=T3,即%的最小值是一13.

故答案為：〃-6,-13

【變式3-2](2024?廣東梅州?二模)已知數(shù)列｛%｝的通項公式%=(-以亨(〃eN*),貝I

n

口9=%。2…%的最小值為.

7

【答案】--/-3.5

3n+l3n+l

【解析】由于當(dāng)〃為奇數(shù)時，冊=—，當(dāng)〃為偶數(shù)時，4=

2〃T

要求fl以=%?%???凡的最小值，只需要考慮出現(xiàn)奇數(shù)個奇數(shù)項時即可,

左=i

3(n+l)+l

anl+|3〃+4

又+2"<1=>|a,|<\a\'

3鹿+12(3〃+1)i+1n

T

3x4+1

且當(dāng)〃=4時，。4<1,因此“24時，|o?|<a<1,

244

〃77

_

當(dāng)n=2,IIQ左=%。2=2x—一,

k=i42

?7513受二

當(dāng)孔=5,1［以=a{a2a3a4a5=-2x—xx——x

k=l4162562

7

綜上,最小值為一萬.

7

故答案為:

2

n

【變式3-3］數(shù)列｛4｝的通項則數(shù)列｛4｝中的最大項的值為

~~^59

【答案】I

nn+1n+1

【解析】因為%=則%

(“+l)~+5n~+2n+6'

n+1

仇+1).("+5)_〃3

則也=+2〃+6++5〃+5

32

annM/+2〃+6)n+2n+6n'

*+5

令—>1,即〃3+川+5〃+5>/+2/+6〃，因為〃￡N*,

%

解得〃=1,所以%>q,

令

4<1,解得〃之2,〃sN*,

an

所以%<%,%>％>〃4〉%>…，

22

故數(shù)列｛4｝中的最大項為電，其值為“2=

22+5-9,

故答案為：

【變式3-4】設(shè)%是的展開式中x項的系數(shù)(“=2,3,4,…)，若或=3者二，則口的最大值

是一

【答案】噎2

a=C2'b-""+i-Q+i_"_1

【解析】""(〃+7)*(?+7)C,t2("+7)(〃+2)“+W+9，

因為y=〃+上在僅,是減函數(shù)，在(、/瓦,+(?)是增函數(shù)，且"=2,3,4,…，

…01423CCH,…”14152315

72=3時，y=3+y=y,所以"=4時>1nhi=4+1=彳，至>萬，

15。1一2

所以%>.=，，所以、=.+方12的最小值是"+9-33.

故答案為：—

【變式3-5】已知"”‘in不+人則數(shù)列也｝的最小值為______.

sin$

19

【答案】y

c?〃兀16.

?萬萬上廠.?/=2+sin----1-----------------2

【解析】〃6r.〃兀，

2+sm——

6

人C?九兀c16c

々『=2+sin—>0,/.ci=t------2,

6t

由對勾函數(shù)的性質(zhì)得：

當(dāng)te(O,4］時遞減，止他包)時遞增，

當(dāng)f=3,〃=12%+3(左eN)時，?！坝凶钚≈担?/p>

最小值為3+g-2=g.

故答案為：—

【變式3-6］在數(shù)列｛q｝中，q=4,a?=7??-i+2(2<?<100),則數(shù)列｛4｝的最大項的值是

【答案】4

【解析】根據(jù)q=4以及4=+2(2W〃W100),可知。“>。，

所以。：=%一1+2①，貝=%+2②，

由②一①得a,2-療=冊一%,即(4+1+4)&+1-%)=4,-%(2<?<100),

因為。">0,所以“與同號，

又因為%=Jq+2=R,MO2-O1=A/6-4<0,

所以4-4―<0,所以數(shù)列｛%｝為單調(diào)遞減數(shù)列,

所以因此數(shù)列｛%｝的最大項是的,其值是4.

故答案為：4.

題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題

【典例4-1】(2024?浙江紹興.二模)漢諾塔(TowerofHanoi),是一個源于印度古老傳說的益智玩具.如圖

所示，有三根相鄰的標(biāo)號分別為A、B、C的柱子，A柱子從下到上按金字塔狀疊放著〃個不同大小的圓

盤，要把所有盤子一個一個移動到柱子B上，并且每次移動時，同一根柱子上都不能出現(xiàn)大盤子在小盤子

的上方，請問至少需要移動多少次？記至少移動次數(shù)為”(〃)，例如：H(l)=l,"(2)=3,則下列說法正

確的是()

A,印3)=5B.｛"(")｝為等差數(shù)列

C.｛"5)+1｝為等比數(shù)列D.H(7)<100

【答案】C

【解析】由題意知若有1個圓盤，則需移動一次：

若有2個圓盤，則移動情況為：A—>C,A—>3,C—>3,需移動3次；

若有3個圓盤，則移動情況如下：

A―民A—>C,B—>C,A—>B,CA,CB,A—>B,共7次，故"⑶=7,A錯誤；

由此可知若有〃個圓盤，設(shè)至少移動%次,則4=2%T+1,

所以%+l=2(a,i+l),而4+1=1+1=2H0,故｛%+1｝為等比數(shù)列，

故4=2"-1即”(")=2"-1,該式不是n的一次函數(shù)，

貝"｛"(")｝不為等差數(shù)列，B錯誤；

又H(n)=2"-1,則”(〃)+1=2",嬴=2,貝IJ｛”⑺+1｝為等比數(shù)列，C正確,

H(7)=27-1=127>100,D錯誤,

故選：C

【典例4-2】(2024?遼寧?二模)大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于

解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量

總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項依次是0,2,4,8,12,

18,24,32,40,50,則此數(shù)列的第30項為()

A.366B.422C.450D.600

【答案】C

【解析】由題意，大衍數(shù)列的偶數(shù)項為2,8,18,32,50,…，

可得該數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項的通項公式為出“=2/,

所以此數(shù)列｛??｝的第30項為,=2x15?=450.

故選：C.

【方法技巧】

特殊值法、列舉法找規(guī)律

【變式4-1](2024?陜西西安?三模)定義％=(1,1),生=(1,2),生=(2,1),g=(1，3),a5=(2,2),

%=(3』)，…則%oi7=()

A.(1,63)B.(63,1)C.(64,1)D.(1,64)

【答案】D

【解析】依題意，把4，“2，4，4，%，％，…排列成如下數(shù)陣:

(1,1)

(L2),(2,1)

(1,3),(2,2),(3,1)

(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)

.......9........，.......，........，.......

第"行有”個數(shù)對，各個數(shù)對的兩數(shù)和為"+1,每個數(shù)對的第一個數(shù)從左起依次為1,2,3,n,

則前”行共有心羅個數(shù)對，顯然數(shù)列｛誓單調(diào)遞增，而63(^+1)=2016,

所以四是第64行第一個數(shù)對，即(L64).

故選：D

【變式4-2](2024.全國?模擬預(yù)測)據(jù)中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之

(得弦).”意即“勾”。、“股*與“弦”c之間的關(guān)系為4+62=02(其中?？?.當(dāng)a,6,cwN*時，有如下勾

股弦數(shù)組序列：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),-.,則在這個序列中，第10個勾股弦數(shù)組中的“弦”

等于()

A.145B.181C.221D.265

【答案】C

【解析】因為片+加=°2,所以/=c2—>2=(c+b)(c—b).

在給定的勾股弦數(shù)組序列中，c-b=l,所以"=c+6.

易得勾股弦數(shù)組序列中“勾”的通項公式為4=2〃+1("eN*),

2

所以4=(2〃+1)=4/+4”+1=(2/+2”)+(2/+2〃+1),〃eN*,

故“弦”的通項公式為c,=2n2+2〃+1(〃eN*).

所以第10個勾股弦數(shù)組中的“弦”等于2x102+2x10+1=221.

故選：C.

【變式4-3](2024?四川?模擬預(yù)測)分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年

代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路.下圖展示了如何按照

圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數(shù)是()

--------第1行

--------第2行

?-----第3行

圖②

B.13C.40D.121

【解析】設(shè)題圖②中第〃行白心圈的個數(shù)為凡，黑心圈的個數(shù)為2，

依題意可得??+bn=3”一,且有%=1也=0,

所以｛%,+2｝是以4+4=1為首項，3為公比的等比數(shù)列，

T①；

又限=2%+bn,%]=2bn+an,

故有?！?1-%+1=4一，，

???｛。“-2｝為常數(shù)數(shù)列，且％-4=1,所以｛。"-2｝是以4-4=1為首項，1為公比的等比數(shù)列,

■■an-bn=1@；

由①②相加減得：

3"-1+1,3"--1

.?a—-9—；

22

...34-1

所以&=——=40.

故選：C.

【變式4-4］(2024.云南保山.二模)我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如

圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數(shù)在三角形中的

一種幾何排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…，則

此數(shù)列的第56項為()

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【解析】由題意可知：若去除所有的為1的項，則剩下的每一行的個數(shù)為1,2,3,4,

可以看成構(gòu)成一個首項為1,公差為1的等差數(shù)列，則(=當(dāng)W,

可得當(dāng)〃=10,所有項的個數(shù)和為55,第56項為12,

故選：B.

題型五：數(shù)列的恒成立問題

［典例］已知數(shù)列｛%｝的前〃項和〃且％=111Z*

5-1S“=(〃+：”"(eN*)1,若—I---1---1--<m(m,nGN

qa2an'

恒成立，則加的最小值為.

【答案】2

［解析］由(〃eN*),4=1,

則當(dāng)小時，*ST.「-今工

a〃+1

整理得(〃T)a“=(〃+l)q即二n=百

一八%X%*乂4134nn+ln(n+\\

-diX---zx----,------zx-----=]X-X—X,??X----------X-----------=------------------

aia2an-2an-\I2n-2n-l2

顯然對于〃=1也成立,

.??｛%｝的通項公式。“=也言

=2

111

又因為—?---1-------1-----<m?,〃eN*)恒成立,

所以〃z?2,

所以"?的最小值為2.

故答案為：2.

【典例5-2】記S",。分別為數(shù)列｛%｝,］：,前w項和，已知q是公差為:的等差數(shù)列.若T.vm

恒成立，則加的最小值為一.

【答案】3

【解析】?5=3,.3,=1,.?.*=：!,又「是公差為《的等差數(shù)列，

3?i［a?\3

Sn.1/n〃+2〃+2

1.^=1+所以5“=彳見，

UnJJ3

n+1

即當(dāng)時，S“T=等?一,

二("+2”，+

an=Sn-Sn-l

33

ann+1

整理得：(〃-1)%=("+1)%，即二r