第18講統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)題型匯總

【必備知識(shí)】

一、隨機(jī)抽樣

1.統(tǒng)計(jì)中的術(shù)語：總體、個(gè)體、樣本、樣本個(gè)體、樣本容量、方便樣本（即樣本沒有代表性）.

2.抽樣方法：①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法）；②分層抽樣（每層等比例抽?。?

抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣分層抽樣

方法

抽簽法隨機(jī)數(shù)表法1.分層:根據(jù)已掌握的信息,將總體分成互

1.編號(hào)制簽1.編號(hào)補(bǔ)重疊的層.

2.攪拌均勻2.確定起始數(shù)2.求比:根據(jù)總體中的個(gè)數(shù)N和樣本量n計(jì)

步3.抽簽取樣3.讀數(shù)取樣算抽樣比.

驟注意:從選定的數(shù)開始按照一定的方3.定數(shù):確定第，層應(yīng)該抽取的個(gè)體數(shù)為

向讀下去，若得到的號(hào)碼在編號(hào)中，則

%=N/k（為總體中第i層的個(gè)體數(shù)），使

取出;若得到的號(hào)碼不在編號(hào)中或前

面的已經(jīng)取出，則跳過.如此繼續(xù)下去，

得各Q之和為n.

直到取滿為止.

4.再每一層進(jìn)行抽樣（可用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）

3.特征與聯(lián)系

方法類別共同點(diǎn)抽樣特征相互聯(lián)系適用范圍

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過程中從總體中逐個(gè)不放回抽取最基本的抽樣方法總體的個(gè)體數(shù)較少

每個(gè)個(gè)體被將總體分成幾層，各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)總體由差異明顯的

分層抽樣抽取的概率分層進(jìn)行抽取單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)幾部分組成

相等抽樣

二、統(tǒng)計(jì)數(shù)表

1.數(shù)表類型:扇形統(tǒng)計(jì)圖,折線統(tǒng)計(jì)圖,頻數(shù)直方圖

2.制作頻率分布表、頻率分布直方圖的步驟：

①求極差（即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差）；

極差極差

②決定組距和組數(shù)：組數(shù)=或

組距Hi1

③將數(shù)據(jù)分組；

④列頻率分布表（分組、頻數(shù)累計(jì)、頻數(shù)、頻率，合計(jì)）；

⑤畫頻率分布直方圖（縱軸表示頻率/組距）.

3.頻率分布直方圖特征

頻數(shù)

①頻率=樣本容量；

②小長(zhǎng)方形的面積=關(guān)會(huì)X組距=頻率；

組距

③各矩形的面積和為1;

④各矩形的：高之比=面積比=頻率比=頻數(shù)比.

三、用樣本估計(jì)總體

L樣本的特征數(shù)

眾數(shù)樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)。

中位數(shù)從小到大排序后，中間的數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)）或者中間兩數(shù)的平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)

是偶數(shù)時(shí)）

平均數(shù)

國(guó)，工2,…，%的平均數(shù)是％=［（玉+X2-\--卜X"）°

n

方差）2

xl,x2,---,xn的平均數(shù)為x,52=ly（A._-=

標(biāo)準(zhǔn)差

S='-

V

2.百分位數(shù)

（1）把〃個(gè)樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得到第2個(gè)和第（p+1）個(gè)數(shù)據(jù)分別為a,b,區(qū)間（a,。）內(nèi)的任意一個(gè)數(shù),

都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分.一般地，取這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)"2=c，并稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第

2

p百分位數(shù)或p%分位數(shù).

（2）一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)娓中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)

值，且至少有（100-p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.

3.求百分位的步驟

計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的p%分位數(shù)的步驟

第一步:按從小到大的順序排列原始數(shù)據(jù)

第二步:計(jì)算i=nxp0/o

第三步:若i不是整數(shù),而大于i的最小整數(shù)為i0,則p%分位數(shù)為第i0項(xiàng)數(shù)據(jù)

若i是整數(shù)，則p°/0分位數(shù)為第i個(gè)與第（/+1）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

4.利用頻率分布直方圖，求指定區(qū)間上的頻率、估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差.

（1）求出任意指定區(qū)間上的頻率（=其面積），就可以用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布.

（2）最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為眾數(shù)；

（3）累積頻率為0.5（即面積=0.5）時(shí)的橫坐標(biāo)即為中位數(shù)；【常需設(shè)末知數(shù)，利用面積=0.5建立方程求解.】

（4）各矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)區(qū)間的頻率（即矩形的面積）的積之和即為平均數(shù)；

（5）利用平均數(shù)、各矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)、對(duì)應(yīng)區(qū)間的頻率及方差公式求方差.

【能力拓展】

1.分層抽樣中有關(guān)抽樣比的計(jì)算

【典例1】

在某中學(xué)高一年級(jí)的480名學(xué)生中，男生有200名，女生有280名.學(xué)校想了解學(xué)生對(duì)選修課程的看法，以便

開設(shè)有關(guān)課程，現(xiàn)準(zhǔn)備從高一學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取60人，那么應(yīng)選取的女生人數(shù)為（）

A.25B.35C.40D.45

【典例2】

一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，女運(yùn)動(dòng)員36人，用分層抽樣從全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為21的樣本，抽

出的男運(yùn)動(dòng)員平均身高177.5cm,抽出的女運(yùn)動(dòng)員平均身高為168.4cm,則估計(jì)該田徑隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的平均身

高是（）

A.173.6cmB.172.95cmC.172.3cmD.176cm

【典例3】

某學(xué)校在校學(xué)生有2000人，為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，學(xué)校舉行了跑步和登山比賽，每人都參加且只參加其中

一項(xiàng)比賽，高一、高二、高三年級(jí)參加跑步的人數(shù)分別為。，b,c,且a:A:c=2:5:3,全校參加登山的人

數(shù)占總?cè)藬?shù)的:.為了了解學(xué)生對(duì)本次比賽的滿意程度，按分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為200的樣

本進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)從高三年級(jí)參加跑步的學(xué)生中抽?。ǎ?/p>

A.15人B.30人C.40人D.45人

2.分層抽樣的方案設(shè)計(jì)

【典例4】

A中學(xué)高一年級(jí)的500名同學(xué)中有218名女生，在調(diào)查全年級(jí)同學(xué)的平均身高時(shí)，預(yù)備抽樣調(diào)查50名同學(xué).

(1)設(shè)計(jì)一個(gè)合理的分層抽樣方案.

(2)你的設(shè)計(jì)中，第一層和第二層分別是什么？

(3)分層抽樣是否在得到全年級(jí)同學(xué)平均身高的估計(jì)時(shí)，還分別得到了男生和女生的平均身高的估計(jì)？

【典例5】

某單位有職工400人，其中不到37歲的有128人，37歲至49歲的有184人，50歲及以上的有88人.為

了了解這個(gè)單位職工血脂高低情況(血脂高低與年齡有關(guān))，從中抽取50名職工進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)該怎樣抽取?

請(qǐng)寫出具體的抽樣步驟.

3.由頻率分布直方圖計(jì)算眾數(shù)，中位數(shù),平均數(shù)

【典例6】

(多選題)小李上班可以選擇公交車、自行車兩種交通工具，他分別記錄了100次坐公交車和騎車所用時(shí)間(單

A.騎車時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值是22分鐘

B.騎車時(shí)間的眾數(shù)的估計(jì)值是21分鐘

C.坐公交車時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值是20分鐘

D.坐公交車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值小于騎車時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值

【典例7】

某中學(xué)高三年級(jí)有1000名學(xué)生參加學(xué)情調(diào)研測(cè)試，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取了一個(gè)容量為50的樣本,

得到數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示：

⑴求第四個(gè)小矩形的高.

(2)求這1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)、平均分、中位數(shù).

【典例8】

某高校從大三學(xué)生中隨機(jī)抽取100名小語種學(xué)生，將其參加考試的小語種成績(jī)(均為整數(shù))分成六組

[40,50),[50,60),…,[90,100]后，得到如圖頻率分布直方圖，已知”=勸.

(1)求6的值；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本中100名大三小語種學(xué)生的小語種成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)(結(jié)果保留到0.1).

4.極差，方差，標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算

【典例9】

有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶7次，每次命中的環(huán)數(shù)如下:

甲78109886

乙91078778

則下列判斷正確的是

A.甲射擊的平均成績(jī)比乙好

B.乙射擊的平均成績(jī)比甲好

C.甲射擊的成績(jī)的眾數(shù)小于乙射擊的成績(jī)的眾數(shù)

D.甲射擊的成績(jī)的極差大于乙射擊的成績(jī)的極差

【典例10]

已知一個(gè)樣本容量為7的樣本的平均數(shù)為5,方差為2,現(xiàn)樣本加入新數(shù)據(jù)4,5,6,此時(shí)樣本容量為10,

若此時(shí)平均數(shù)為，方差為S2,則（）

A.x=5，s2=2B.x=5，s2=1.6

C.x=4.9>s2=1.6D.x=5.1，s2=2

5.百分位數(shù)的計(jì)算

【典例111

已知一組數(shù)據(jù)：125,121,123,125,127,129,125,128,130,129,126,124,125,127,126.則這組

數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)和第80百分位數(shù)分別是（）

A.125128B.124128C.125129D.125128.5

【典例12]

某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長(zhǎng)度（棉花纖維的長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量

的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示.估計(jì)棉花纖維的長(zhǎng)度的樣本數(shù)據(jù)的

80%分位數(shù)是（）

A.28mmB.28.5mm

C.29mmD.29.5mm

【過關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.已知下列抽取樣本的方式：

①?gòu)臒o限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本；

②盒子里共有80個(gè)零件，從中選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，在抽樣操作時(shí)，從中任意拿出1個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)

量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里；

③從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)；

④某班有56名同學(xué)，指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽.

其中，不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的個(gè)數(shù)是

A.1B.2C.3D.4

2.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題:“今有北鄉(xiāng)8758人，西鄉(xiāng)有7236人，南鄉(xiāng)有8356人，現(xiàn)

要按人數(shù)多少?gòu)娜齻€(gè)鄉(xiāng)共征集487人，問從各鄉(xiāng)征集多少人”.在上述問題中，需從南鄉(xiāng)征集的人數(shù)大約是

A.112B.128C.145D.167

3.下表記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值

也相等，則尤和y的值分別為（）

甲組56656574X

乙組596167y78

A.70,65B.75,65C.73,67D.75,67

4.如圖，是根據(jù)某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績(jī)畫出的頻率分布直方圖，若由直方圖得到的眾數(shù)，中位

數(shù)和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）分別為a,）,c,則（

,-a+c,b+c

A.b>a>cB.a>b>cC.------>bD.------>a

22

5.下列命題是真命題的是()

A.有甲、乙、丙三種個(gè)體按3:1:2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9,則樣本容量為30

B.若甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)為5,6,9,10,5,則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲

C.數(shù)據(jù)1,2,3,4,4,5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同

D.某單位A、3、C三個(gè)部門平均年齡為38歲、24歲和42歲，又A,B兩部門人員平均年齡為30歲，B、C

兩部門人員平均年齡為34歲，則該單位全體人員的平均年齡為35歲

二、多選題

6.某工廠生產(chǎn)A、2、C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，其相應(yīng)產(chǎn)品數(shù)量之比為2：5：3,現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)

容量為”的樣本，樣本中A型號(hào)產(chǎn)品有16件，則()

A.此樣本的容量w為20B.此樣本的容量〃為80

C.樣本中8型號(hào)產(chǎn)品有40件D.樣本中8型號(hào)產(chǎn)品有24件

7.有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲：1、2、。、b.10,乙：1、2、5、6、11,其中a,beN*,若甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

等于乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，要使甲組數(shù)據(jù)的方差小于乙組數(shù)據(jù)的方差，貝1](。力)可以為()

A.(5,6)B.(7,5)C.(6,6)D.(8,4)

三、填空題

8.圖為某校100名學(xué)生期中考試語文成績(jī)的頻率分布直方圖，其中成績(jī)分組區(qū)間是：[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100].則分?jǐn)?shù)在[60,80)的學(xué)生數(shù)為.

頻率

5060708090100成績(jī)

9.如圖所示是一個(gè)樣本容量為100的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可知其25%分位數(shù)為

頻率

組距

5101520數(shù)據(jù)

四、解答題

10.有一個(gè)容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[12.5,15.5),6；[15.5,18.5),16；[18.5,21.5),

18；[21.5,24.5),22；[24.5,27.5),20；[27.5,30.5),10；[30.5,33.5],8.

(1)列出樣本的頻率分布表；

(2)繪制頻率分布直方圖和頻率折線圖.

11.某?，F(xiàn)有學(xué)生1500人，為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)測(cè)試，得分在[50,100]之間，按