暑假預(yù)習(xí)專題01集合

預(yù)習(xí)三步曲

第一步：導(dǎo)

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標明確內(nèi)容掌握

第二步：學(xué)

教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

核心考點精準練

第三步：測

a提升小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升

@串知識?訊框架

箜知猊導(dǎo)圖慌理

用學(xué)勾目粽明確

，.了解集合的含義，理解集合中的元素具有確定性、互異性和無序性，并能利用性質(zhì)解決簡單的問題

，重點）

2理解元素的特征以及元素與集合之間的屬于關(guān)系，能用符號表示對象與集合之間的關(guān)系（重點）

.掌握一些常見數(shù)集的符號表示;懂得有限集、無限集、空集的概念，能判斷有限集、無限集和空集.

1重點）

L_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

好析教材學(xué)知識

知熾點1集合與元素的含義（★☆☆）

我們經(jīng)常蟠野鹿一定要求或具有一定特征的對象放在一起或歸為一類，概括地說,把一些確定的對象的

全體溫集合,簡稱集.集合通常用大寫字母/、B、C……表示。集合所含的各個對象叫做該集合的元素.元

素通常用小寫字母a、b、c……表示.

＜特別提醒

元素與集合的區(qū)別

元素與集合是兩個完全不同的概念，元素是集合中的某一對象，而集合是由所有的元素組成的；元素與集合

是相對的，如數(shù)0、1構(gòu)成的一個集合記為A,0是集合A中的一個元素，但集合A也可以作為元素，如集合

B中含有A,此時A表示集合B中的一個元素.

*知識剖析

對集合概念的理解

描述性「‘崇合”是?個原腋的左加堂義的就念,也用半才幾何中的“玄"“窗“才”等樹念…壞,都又是

:描述性的說明.

，對彖:現(xiàn)安生途中我們看到的、叫到的.觸摸到的、想到的凈■與物手，都可H看為"對象"，即集金■的九去.它

國有廣支性,應(yīng)威親去的對象可以是激、玄、圖祐、人、物拿

葭九春縣市共同的特拉或共同的屬性的對象

洛生崇心是?個捶外，唔公“知疝”“全部’“金庫”的小義，因此法對象?2過前1條含.這個親合就是

:這些時義的M■外.

避如學(xué)即練下列各對象可以組成集合的是（）

A.與1非常接近的全體實數(shù)

B.新學(xué)期2025?2026學(xué)年度第一學(xué)期全體高一學(xué)生

C.高一年級視力比較好的同學(xué)

D.中國著名的數(shù)學(xué)家

分析根據(jù)集合的元素必須具有確定性，逐個判斷各個選項即可.

解析對于選項A：其中元素不具有確定性，故選項A錯誤，

對于選項B：對于任何一個學(xué)生可以判斷其是否屬于｛北附廣南實驗學(xué)校2020?2021學(xué)年度笫二學(xué)期全

體高一學(xué)生｝,故選項B正確，

對于選項C：其中元素不具有確定性，故選項C錯誤，

對于選項D：其中元素不具有確定性，故選項D錯誤，

故選：B.

答案B

g方法總結(jié)

判斷指定的一組對象能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個明確的標準.

知熾點2元素與集合的關(guān)系（★☆☆）

關(guān)系含義記法讀法

屬于。是集合Z中的元素aeAa屬于z

不屬于。不是集合Z中的元素aA。不屬于/

特別提醒

符號"e"e"用在元素與集合之間，表示元素與集合之間的從屬關(guān)系，這兩個符號的左邊是元素，右邊是

集合，具有方向性（開口對著集合），左右兩邊不能互換.

知識點3集合中元素的三個特性（★★☆）

性質(zhì)含義示例

集合的元素是確定的.也就是說，給定一個

若用集合A表示"中國的直轄市"，則上

確定性集合,一個對象在不在這個集合中就確定

海eZ,蘇州A

了

一個給定集合中的各個元素是互不相同

若實數(shù)a、b是集合A中的兩個元素，

互異性的，即一個元素在同一個集合中是不能重

則a豐b

復(fù)出現(xiàn)的

由1、0組成的集合和由0、1

無序性組成集合的元素?zé)o先后順序之分

組成的集合是同一個集合

特別提醒

集合中的元素是確定的，任意一個元素要么是一個給定集合的元素，要么不是，兩種關(guān)系有且只有一種成立;

同時，應(yīng)注意檢查集合的元素是否滿足互異性

集合中元素的三個性質(zhì)的主要作用

⑴確定性

判斷指定的一組對象能否組成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個明確的標準，使得對于任何一個對象，都能確

定它是不是給定集合的元素，即組成集合的元素必須是確定的.

⑵互異性

提示我們求出結(jié)果后要檢驗，特別是題中含有參數(shù)時，一定要檢驗求出的參數(shù)是否能使集合中的元素滿足

互異性

⑶無序性

方便定義集合相等，當兩個集合相等時，其元素不一定依次對應(yīng)相等，需分情況討論.

摩如學(xué)即練（2023?浦東新區(qū)校級月考）已知集合/={2,4,x2-x},若6日,則尸.

分析根據(jù)6GA,所以6=x2-x,然后根據(jù)集合的性質(zhì)分別進行討論驗證即可.

解析因為6￡A,所以6=x2-x.

解得x=3或-2.符合題意.

故x的值為3或-2.

答案3或-2.

功即學(xué)即練（2024?浦東新區(qū)校級期中）若集合M={0,b,c}中的元素是△NBC的三邊長，則△N8C

一定不是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

分析根據(jù)集合元素的互異性，在集合3{a,b,c}中，必有a、b、c互不相等，則△/!比不會是等腰

三角形.

解析根據(jù)集合元素的互異性，在集合g{a,b,c}中，必有a、b、c互不相等，故△48C一定不是等

腰三角形；

答案〃

目易錯警示

已知a,b,c為集合中的三個元素，它們可構(gòu)成某一個三角形的三邊的長那么此三角形能否為等腰三角形？

提示根據(jù)集合元素的互異性可知,a,b,c三個元素互不相等，若此三個元素構(gòu)成某一三角形的三邊長，則此

三角形一定不是等腰三角形.

知熾點4兩個集合相等(★★☆)

如果兩個集合4與B的組成元素完全相同,就稱這兩個集合相等，記作2=8.

二與九去喉方無頭，即無/性

*知識剖析

(1)兩個集合相等時，這兩個集合的元素個數(shù)相等.

(2)判斷兩個集合是否相等，不能只從集合的形式上看，比如2、3、4組成的集合與方程

(x—2)(x—3)(x—4)=0的解組成的集合相等.

知識點5集合的分類(★☆☆)

元素個數(shù)有限的集合稱為有限集,否則就稱為無限集.

如：一元二次方程X2-1=Q的解組成的集合為有限集；周長為1的三角形組成的集合為無限集.

知識會6常用數(shù)集的符號(★☆☆)

數(shù)學(xué)中，常常需要用到數(shù)的集合，數(shù)的集合簡稱數(shù)集.常用的數(shù)集可以用以下特定的符號來表示

數(shù)集符號

自然數(shù)集N

整數(shù)集Z

有理數(shù)集Q

實數(shù)集R

如識義7空集（★☆☆）

不含有任何元素的集合稱為空集，記作0

特別提醒

實數(shù)0與空集0沒有關(guān)系,0=0,Oe0，都是錯誤的

端練考點?強知訊

題型一、判斷元素能否構(gòu)成集合

例1.（24-25高一上?上海?期中）在"①難解的題目；②方程/+1=0在實數(shù)集內(nèi)的解；③直角坐標平面上

第四象限內(nèi)的所有點；④很多多項式”中，能夠組成集合的是（）

A.②③B.①③C.②④D.①②④

【答案】A

【知識點】判斷元素能否構(gòu)成集合

【分析】根據(jù)集合中元素的確定性可判斷各選項.

【詳解】①難解的題目，不滿足元素的確定性，不能組成集合；

②方程工2+1=0無解，即方程，+1=0在實數(shù)集內(nèi)的解組成的集合為0；

③直角坐標平面上第四象限內(nèi)的所有點組成的集合為>0/<0｝；

④很多多項式，不滿足元素的確定性，不能組成集合；

故選：A.

（y=kx+1

1-1（24-25高一上?上海奉賢?期中）已知關(guān)于X,了的方程組.「對于它的解的說法，錯誤的是（）

A.存在無數(shù)個實數(shù)左，使得方程組的解集是單元素集；

B.有且僅有一個實數(shù)上使得方程組的解集為空集；

C.至少存在一個實數(shù)鼠使得方程組的解集為無限集；

D.如果該方程組的解集是有限集，則解集必定為單元素集

【答案】C

【知識點】判斷元素能否構(gòu)成集合、方程與不等式

【分析】分析左=1和左片1兩種情況解方程組，結(jié)合選項逐項分析判斷即可.

【詳解】由方程組可得：fcc+l=x-3,即（1-4）x=4,

若后=1,貝!|0=-4,不成立，方程組無解；

若發(fā)H1,則X==，可得歹=:丁，即方程組只有一組解.

對于A：存在無數(shù)個實數(shù)％（左Hl）,使得方程組的解集是單元素集，故A正確；

對于B：有且僅有一個實數(shù)上=1,使得方程組的解集為空集，故B正確；

對于C：不存在一個實數(shù)左，使得方程組的解集為無限集，故C錯誤；

對于D：如果該方程組的解集是有限集，則解集必定為單元素集，故D正確；

故選：C.

1-2（24-25高一上?上海嘉定?階段練習(xí)）不列各對象的全體不能構(gòu)成集合的有.（填序號）①上大嘉高

高一年級全體學(xué)生；②與1非常接近的全體實數(shù)；③7的正整數(shù)倍的全體；④給定的一條長度為1的線段

上的所有點.

【答案】②

【知識點】判斷元素能否構(gòu)成集合

【分析】根據(jù)集合的概念判斷即可.

【詳解】因為②所表示的研究對象不能確定，所以不能構(gòu)成集合，而①③④研究對象確定符合集合的概

念.

故答案為：②

1-3請將下列各組對象能組成集合的序號填在后面的橫線上_________.

①上海市2022年入學(xué)的全體高一年級新生；

②在平面直角坐標系中，到定點（0，。）的距離等于1的所有點；

③影響力比較大的中國數(shù)學(xué)家；

④不等式3x-10<0的所有正整數(shù)解.

【答案】①②④

【知識點】判斷元素能否構(gòu)成集合

【分析】根據(jù)集合的概念即可判斷.

【詳解】解：對于①，"上海市2022年入學(xué)的全體高一年級新生"，研究對象是明確的，符合集合的定義,

能構(gòu)成集合；

對于②，"在平面直角坐標系中，到定點(0,0)的距離等于1的所有點"，研究對象是明確的，符合集合的定

義，能構(gòu)成集合；

對于③，"影響力比較大的中國數(shù)學(xué)家"，其中影響力比較大的沒有明確的定義，故不能構(gòu)成集合；

對于④，"不等式3x70<0的所有正整數(shù)解"，研究對象是明確的，符合集合的定義，能構(gòu)成集合.

故答案為：①②④.

題型二、判斷是否為同一集合

例2設(shè)Q是有理數(shù)，集合X={x|x=。+氏匯,eQ,XH0},在下列集合中；

Y1

(1){y\y=2x,x&X}-(2){y\y=-j=,x&X}.(3){y\y=-,x&X}；(4){y\y=x2,xeX}；與X相同的

集合有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【知識點】判斷是否為同一集合

【解析】將x=a+6夜分別代入(1)、(2)、(3)中，化簡并判斷與是否^一一對應(yīng)，再舉反例判斷

(4).

【詳解】對于(1),由2(°+6收)=0+4也，得p=2a,q=2b,一一對應(yīng)，貝I]{y|y=2x,xeX}=X

對于(2),由a+片=b+：-6=p+q垃,得p=d,q=B，一一對應(yīng)，則{川V=云,xeX}=X

1aa—h

對于(3),由-9---7+得°=口記國二口廬’一一對應(yīng)’則

a+by[2a2-2b2

也=%…X

對于(4),-1-血eX，但方程-1-后=工2無解，貝lj{y=%2,xwX}與X不相同

故選：B

2-1下列命題中正確的有()

①很小的實數(shù)可以構(gòu)成集合；②集合卜?=/-1}與集合心))卜=X?-1}是同一個集合；③集合

{(x,y)\xy<0,x,yeR}是指第二和第四象限內(nèi)的點集.

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】A

【知識點】判斷元素能否構(gòu)成集合、判斷是否為同一集合、判斷元素與集合的關(guān)系

【分析】根據(jù)集合的概念即可判斷.

【詳解】對于①，集合具有確定性，故①錯；

對于②，集合相等必須元素的類型相同，而前者為數(shù)，后者為點的集合，故②錯；

對于③，坐標軸上的點不屬于任何一個象限，故③錯；

故選A

【點睛】本題主要考查集合的概念，屬于基礎(chǔ)題.

2-2下列命題中正確的()

A.。與｛0｝表示同一個集合；

B.方程卜|(X-2)2(X-3)=0)的所有解的集合可表示為｛2,2,3｝；

C.由3,4,5組成的集合可表示為｛3,4,5｝或｛4,5,3｝；

D.很小的實數(shù)可以構(gòu)成集合.

【答案】C

【知識點】判斷元素能否構(gòu)成集合、判斷是否為同一集合、集合元素互異性的應(yīng)用

【分析】利用集合的概念和集合的表示法判斷即可.

【詳解】對于A,｛0｝中有一個元素0,。中無任何元素，故。與｛0｝不是同一個集合，故A錯誤;

對于B,卜|(X-2)2(X-3)=0｝=｛2,3｝,故B錯誤；

對于C,根據(jù)集合的無序性，可得由3,4,5組成的集合可表示為｛3,4,5｝或｛4,5,3｝,故C正確；

對于D,由集合的確定性，很小的實數(shù)不能構(gòu)成集合，故D錯誤.

故選：C.

2-3下列四組中表示同一集合的為()

A.M=｛(-1,3)｝,N=｛(3,-1)｝B.M=N=｛3,-1｝

C.M=\y=x2+3xj,N=\x\y=x1+3xjD.Af=｛。｝,N=0

【答案】B

【知識點】判斷是否為同一集合

【分析】根據(jù)集合元素的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】選項A：兩個集合中元素對應(yīng)的坐標不同，A錯誤；

選項B：集合中的元素具有無序性，兩個集合是同一集合，B正確；

選項C：兩個集合研究的對象不同，一個是點集，一個是數(shù)集，C錯誤;

選項D：M是以。為元素的集合，N是數(shù)字0,D錯誤.

故選：B

題型三'利用集合元素的互異性求參數(shù)

例3集合A中的元素為。、b,集合8中的元素為0、a2,且集合/=求a+b的值.

【答案】a+b=\

【知識點】集合元素互異性的應(yīng)用、根據(jù)集合相等關(guān)系進行計算、利用集合元素的互異性求參數(shù)

【分析】由集合相等，得到方程，求出相應(yīng)的。檢驗后得到答案.

【詳解】由集合相等的定義得

[a=0

當』2時，此時與元素的互異性矛盾，舍去;

Cl=Cla=1=0

當時,6=0或他。（舍去）,

b=0

當〃6=0時，滿足元素的互異性，

綜上所述，Q+6=1.

3-1含有三個實數(shù)的集合可表示為“,也可以示為{/,0+6,0},則/。23+〃期的值為

【答案】-1

【知識點】利用集合元素的互異性求參數(shù)、根據(jù)集合相等關(guān)系進行計算

【分析】根據(jù)集合相等的定義及集合中元素的互異性即可求解.

【詳解】解：由題意，若…2,則。=0或1,

檢驗可知不滿足集合中元素的互異性，

所以Q=Q+6,貝！）6=0,

所以/=1,貝ij。=—1,

故清23+產(chǎn)4=_i.

故答案為：T.

3-2已知集合/={1,3-2a},集合8={1,1},且/=臺，則實數(shù)。=.

【答案】-3

【知識點】根據(jù)集合相等關(guān)系進行計算、利用集合元素的互異性求參數(shù)

【分析】由集合相等可構(gòu)造方程求得。的可能的取值，代回集合驗證可得結(jié)果.

【詳解】-：A=B,.-.a2=3-2a,解得：。=1或。=-3；

當a=l時，3-2a=a2=\,不滿足集合中元素的互異性，舍去；

當a=-3時，/=8={1,9},滿足題意；

綜上所述：a=-3.

故答案為：-3.

題型四、根據(jù)集合相等關(guān)系進行計算

例4已知集合/={1,私〃},B=\nr,m,mn\.若/=則/期./（^=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【知識點】根據(jù)集合相等關(guān)系進行計算

【分析】根據(jù)集合的互異性求出加和"即可.

ZZZ2,—■]I//2?〃

一或I

{mn=n[mn=1

m2=n，、

解得加=〃=1,此時/=8={1,L1},不滿足集合的互異性；

）mn=1

\m2=1fm=-1

若《，解得加=〃=1（舍）或（,

[mn=n=U

[m=-1（、--1

當八時，N=8=1,-1,0,符合題意，所以八,

所以加2024.*5=0.

故選：B

4-1若集合/={6,-2},8={用一加廠2},且/=3,則實數(shù)%的值為（）.

A.2或-3B.2C.3D.-2或3

【答案】D

【知識點】根據(jù)集合相等關(guān)系進行計算

【分析】根據(jù)集合相等可得蘇=6,運算求解即可.

【詳解】因為/={6,-2},2={/一取一2},且4=3,

則-機=6,解得加=3或7〃=一2.

故選：D.

題型五、常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用

例5（23-24高一上?上海嘉定?階段練習(xí)）下列字母表示"自然數(shù)集""整數(shù)集""有理數(shù)集""實數(shù)集"，其排列順

序正確的是（）

A.Z,N,Q,RB.R,Q,Z,N

C.Q,R,Z,ND.N,Z,Q,R

【答案】D

【知識點】常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用

【分析】根據(jù)常用數(shù)集的記法做題即可.

【詳解】"自然數(shù)集"記作N,"整數(shù)集"記作Z,"有理數(shù)集"記作Q,"實數(shù)集"記作R.

故選：D

5—1/---eN*,xez1,貝!J/=.

【答案】{-1,2,3,4}

【知識點】常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用

【分析】由題意可知5-X為6的正約數(shù)，根據(jù)xeZ即可求解.

【詳解】4=1x|三eN*,xeZ1,可知5-x為6的正約數(shù)，

又xeZ,可得x=-1,2,3,4,

所以4={-1,2,3,4}.

故答案為：{-1,2,3,4}

5-2下列關(guān)系中正確的個數(shù)是（）

①卜Q,②百任R,③0$N*,@7ieZ

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【知識點】常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用

【分析】利用常用數(shù)集的定義逐一判斷即可得解.

【詳解】對于①：g為有理數(shù)，則;eQ成立，①正確；

對于②：g為實數(shù)，則行g(shù)R不成立，②錯誤；

對于③：0不是正自然數(shù)，則OeN*不成立，③錯誤；

對于④：兀是無理數(shù)，不是整數(shù)，則兀eZ不成立，④錯誤；

故正確的有1個.

故選：A.

5-3下列關(guān)系中正確的是（）

A.TCERB.-V3eQC.-3eZD.OgN

【答案】C

【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用

【分析】根據(jù)符號所代表的集合和集合與元素的關(guān)系逐項判斷即可.

【詳解】選項A：R表示實數(shù)集，所以兀eR,說法錯誤；

選項B：Q表示有理數(shù)集，所以-百史Q,說法錯誤；

選項C：Z表示整數(shù)集，所以-3eZ,說法正確；

選項D：N表示自然數(shù)集，所以O(shè)eN,說法錯誤；

故選：C

題型六、集合的分類

例6集合的分類

含有有限個元素的集合叫作，含有無限個元素的集合叫作，不含任何元素的集合叫

作，記作.

【答案】有限集無限集空集0

【知識點】集合的分類

【分析】略

【詳解】略

6-1集合的簡單分類

（1）有限集：元素個數(shù)的集合稱為有限集.

（2）無限集：元素個數(shù)的集合稱為無限集.

（3）元素的集合稱為空集，記作0.

【答案】有限無限不含有任何

【知識點】集合的分類

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合集合元素的個數(shù)，進行分類，即可求解.

【詳解】根據(jù)集合的元素個數(shù)的多少，可分為有限集、無限集和空集.

6-2給出四個結(jié)論：

①｛1,2,3」｝是由4個元素組成的集合；

②集合｛1｝表示僅由一個"1”組成的集合；

③｛2,4,6｝與｛6,4,2｝是兩個不同的集合；

④集合｛大于3的無理數(shù)｝是一個有限集.

其中正確的是（）

A.①④B.②④C.②③D.②

【答案】D

【知識點】集合的分類、常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用、判斷是否為同一集合、判斷元素能否構(gòu)成集合

【分析】根據(jù)集合元素的特征逐一判斷各選項.

【詳解】對于①，集合｛1,2,3,1｝不滿足集合元素的互異性，故①錯誤；

對于②，集合｛1｝僅有1個元素，故②正確；

對于③，集合｛2,4,6｝與｛6,4,2｝元素相同，是兩個相同的集合，故③錯誤；

對于④，集合｛大于3的無理數(shù)｝是無限集，故④錯誤.

故選：D.

題型七、判斷元素與集合的關(guān)系

例7（24-25高一上?上海浦東新?期中）已知集合尸=｛1,2｝,0=｛2,3｝,若“=｛x|xeP且xe。｝,則M

【答案】｛1｝

【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系

【分析】根據(jù)集合的描述確定滿足其性質(zhì)的元素，即可得集合.

【詳解】由尸={1,2},。={2,3},若xe尸且xe。，貝鼠=1,所以M={1}.

故答案為：{1}

7-1(24-25高一上?上海,期中)已知為非零實數(shù)，代數(shù)式啟+義+叵”的值所組成的集合是則下

\y\xy

列判斷正確的是()

A.QeMB.-leMC.2cMD.leM

【答案】B

【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系

【分析】討論X/的正負數(shù)分布情況判斷對應(yīng)代數(shù)式的值，即可確定集合進而確定正確的選項.

【詳解】當xj均為負數(shù)時，代數(shù)式三+R+回的值為-1；

Ix|xy

當一負一正時，代數(shù)式”+音+乜時■的值為-1;

當x,y均為正數(shù)時，代數(shù)式三+三+乜出的值為3；

.?.”={-1,3},故只有B正確.

故選：B.

7-2(24-25高一上?上海浦東新?階段練習(xí)汨知M是滿足下列條件的集合:①0wM,1eM；②若x,yeM,

貝③若xeM且XWO,則則下列說法正確的個數(shù)為()

X

(1)-&M,(2)x+y^M,(3)2eM

2x

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、集合新定義

【分析】(1)根據(jù)題目條件得到TeM,2&M,故;eM；(2)-y&M,故x-(-y)=x+ye/；(3)分

11-1

x=0,X=1和xwO且xwl三種情況進行求解，當工。0且XW1時，得至IJ-------=—j---,進而

xx-1

x-x2eM,得到—G".

【詳解】因為OEM,leM,由②得0—EP-leM,

故即2wM,由③得;e”,(工)正確；

OeM,y&M,由②得-yeAf,故x-(-y)=x+yeM,(2)正確；

若X=0,則=0￡〃，若X=1,則/=1￡〃，

若xwO且xwl,因為16Af,xeM,由②得％—lcM,

由③得,,又一eM,

1x

11-1

由②得；-二7=（廣為,由③得x-八，，

JLJL1人■141I

由②得x-（x-x2）=/eM,（3）正確.

故選：D

7-3（24-25高一上?上海嘉定?階段練習(xí)）集合5=k,=機收+〃6,加e2,"€2},貝1]_6S.（用"e"或

"任"連接）

【答案】e

【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，若-/eS,求出加、"的值，驗證是否符合條件即可.

【詳解】當m垃+n#）=-也附,有”?=0,〃=T,滿足aeZ,〃eZ.

所以一GeS.

故答案為：￡

X

7-4（24-25高一上?上海徐匯?開學(xué)考試）非空集合/具有如下性質(zhì)：①若貝葉“；②若

x,y^A,則x+yeN下列判斷中，錯誤的是（）

C.若x,ye/,則盯eND.若x,yeN,則x-ye/

【答案】D

【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合元素與集合的關(guān)系，逐項判斷即得.

【詳解】對于A,由①知，0代/,由②知，x+y^O,即；W-1,因此-1^4,A正確；

對于B,由①知，y=x^O,lEA,由②知，2=l+le/,3=l+2e/,依此類推得正整數(shù)

2022

因此2022E42023E/,則^B正確；

2023

]—_wA

對于C,由選項B知，leA,yeAf由①知，一￡/,則當XEZ時，一I,C正確；

y~

y

對于D,若x=l,y=2,則x『_W,D錯誤.

故選：D

題型八、根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

例8(24-25高一上?上海浦東新?期末)已知集合/=°,f+l]U[f+3,f+6],其中/>0.若存在正數(shù)4,使得

2

對任意ae/,都有一e/,貝心的值是

a

【答案】|3

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

ill11夕2

【分析】由，>。可得出片—,進而可先的取值范圍，根據(jù)片人可得出關(guān)于，的

不等式，進一步可得出關(guān)于r的方程，解之即可.

【詳解】因為則只需考慮下列三種情況:

因為，〉0,a￡[才/+1]3/+3/+6],貝|一￡——u—?，一

aJ+6/+3_J+1t

—/IAXAA

又因為人0,則丁—.

[2Ac

夕----->t——>1+3

t+6t+\

因為一e4,貝卜,且<

a/L.

-----<t+l—<t+6

1+3[t

/(/+6)V4V/(Z'+6)

可得

(r+l)(^+3)<2<(^+l)(r+3)

所以，X=f(r+6)=?+l)(/+3),解得y

3

故答案為：—.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用集合與元素的關(guān)系求解參數(shù)的取值問題，關(guān)鍵在于能夠通過，的取值范

圍，得到。與2所處的范圍，從而能夠利用集合的上下限得到關(guān)于X的等量關(guān)系，從而構(gòu)造出關(guān)于看的方程

a

求解.

8-1(24-25高一上?上海?階段練習(xí))若2e{2a,/+a),則實數(shù)a=.

【答案】-2

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系列方程，結(jié)合集合元素的互異性來求得正確答案.

【詳解】依題意，2<2°,/+4，

當2。=2,〃=1時，4+4=2,不符合.

當/+。=2時，解得。=一2或。=1（舍去），

當〃=-2時，集合為{—4,2},符合題意.

所以a=—2.

故答案為：-2

—

82（24-25高一^上,上海,階段練習(xí)）已知x￡R,若1E{X,%2},則x=.

【答案】-1

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

【分析】根據(jù)集合元素互異性可求解.

【詳解】若le{x,f},若x=l,則/=1,故不滿足集合元素互異性，

所以/=1,解之可得x=-l或x=l（舍），-1適合題意，

故答案為：-1

8-3（24-25高一上?上海,期中）設(shè)集合力={1，a2},若2日，貝!J。=.

【答案】土也

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

【分析】根據(jù)2CN,由/=2求解.

【詳解】解：因為集合/={1，出}，且2日，

所以/=2,解得a=±也，

故答案為：土收

8-4（24-25高一上?上海?期中）己知9e{0,3a,/},則實數(shù)。=.

【答案】-3

【知識點】利用集合元素的互異性求參數(shù)、根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，9必定是集合中的某一個元素，再分別討論當3a=9和/=9兩種情況,

結(jié)合元素的互異性得出正確答案即可.

【詳解】由題意得，9e{0,3a,叫，

若3a=9,貝!|。=3,止匕時.2=9=3°,

不滿足集合元素的互異性，

若/=9,貝!]。=3（舍去）或a=-3,

此時3a=-9,滿足題意.

故答案為：-3.

題型九、根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)

例9（24-25高一上?上海寶山?階段練習(xí)）若集合/=H辦2-3x+2=0}的子集只有兩個，則實數(shù)。=.

【答案】0或J9

O

【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)

【分析】由題意知A中只含有一個元素，分a=0和aw0兩種情況討論即可；

【詳解】因為集合/={2。/-3》+2=0}的子集只有兩個，所以A中只含有一個元素.

當。=0時，^={-|}；

9

當awo時，若集合A只有一個元素，由一元二次方程判別式A=9-8〃=0得。=三.

O

9

綜上，當。=0或。=三時，集合A只有一個元素.

o

9

故答案為：0或三.

O

9-1（24-25高一上?上海徐匯?開學(xué)考試）若集合4={x|l-+中至少有2個整數(shù)元素，則實

數(shù)。的取值范圍為

【答案】a>l

【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)

【分析】由集合A的元素特征可得再由A至少有2個整數(shù)元素可得0,2E4,列出不等式求解即得.

【詳解】依題意，解得又1-+"=1,即集合A的兩個端點值關(guān)于1對稱，

fl-a<0

則le/,而集合A中至少有2個整數(shù)元素，于是0,2eN,因此解得，

[1+a>2

所以實數(shù)a的取值范圍為

故答案為：a>l

9-2（23-24高一上?上海,期中）若非空集合M={x|/-2x+加=0,xeR}不是單元素集，則其中所有元素之

和S=.

【答案】2

【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)

【分析】由題意可知：集合M有兩個元素，即方程/一2》+加=0有兩個不相等的實數(shù)根，利用韋達定理運

算求解.

【詳解】由題意可知：集合“有兩個元素，設(shè)為匹,尤2，即屈=｛無]'｝,

則方程尤2-2x+機=0有兩個不相等的實數(shù)根播了2，則X]+々=2,

所以S=X]+X2=2.

故答案為：2.

9-3已知集合/=｛尤|(。-1)/+3尤-2=0｝是單元素集，則實數(shù)。的取值集合為,

【答案斗"

【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合(a-1)x2+3x-2=0只有一個解，分類討論，即可求解.

【詳解】由集合4="|(a-1)/+3x-2=0｝是單元素集，

可得方程(。-1)/+3x-2=0只有一個解,

當"1=0,即a=l時，方程為3工-2=0,解得x=此時4=｛1｝,符合題意;

解得。=-：,

當Q—lwO,即awl時，則滿足△二9一4(〃-1)*(-2)=0

O

綜上可得，實數(shù)a的取值集合為

故答案為：

9-4集合/=N(xf-4x+a)=0,aeR｝中恰好有兩個元素，則實數(shù)a滿足的條件是.

【答案】。=3或4

【知識點】利用集合元素的互異性求參數(shù)、根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)

【分析】根據(jù)一元二次方程求解，結(jié)合集合元素的特征，可得答案.

【詳解】由方程(x-l乂/-4x+a)=0,貝廉=1或x2_4x+a=0,

當/-4x+a=0存在兩個相等的實數(shù)根時，△=(-4)2-4xlxa=0,解得。=4,

止匕時方程Y-4x+4=0的解為x=2wl,符合題意;

當/-4》+0=0存在兩個不相等的實數(shù)根且其中一個根為1時，12-4xl+a=0,解得。=3,

此時A=（-盯-4xlx3=4>0,則方程另一個解為3,符合題意.

綜上所述，當a=4或3時，集合A中恰有兩個元素.

故答案為：。=3或4.

9-5若集合/=左+2卜+3=0}有且只有一個元素，則實數(shù)人的值可以為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】AD

【知識點】根據(jù)集合中元素的個數(shù)求參數(shù)

【分析】根據(jù)題意可知，方程左+2）x+3=O的根只有一個，分當后-1=0和當"1*0時，直接根

據(jù)方程只有一個根求解即可.

【詳解】當左-1=0,即左=1時，/={T},符合題意；

當左-1*0,即發(fā)二1時，若集合A只有一個元素，

由一元二次方程根的判別式△=（左+2）~-4x（"l）x3=0,解得左=4.

綜上實數(shù)后的值可以為1,4.

故選：AD

題型十、利用集合元素的互異性求參數(shù)

例10已知集合”={。,4,/},3={0,4,3a-2},若/=則a的值是（）

A.1或2B.一1或0C.1D.-1

【答案】C

【知識點】利用集合元素的互異性求參數(shù)、根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)

【分析】根據(jù)集合相等有/=3a-2求參數(shù)，結(jié)合集合元素的互異性確定參數(shù)值.

【詳解】由題設(shè)/=3a-2n（a-1）（。-2）=0,可得。=1或a=2,

當（7=1時，/=3a—2=1,滿足題設(shè)；

2

當a=2時，?=30-2=4,不符合集合元素的互異性；

所以4=1.

故選：C

10-1若a+2e{1,3,*,a的值為.

【答案】2

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系得出方程求解，結(jié)合集合中元素的互異性檢驗即可.

【詳解】因為。+2e{l,3,叫，

所以。+2=1或3或。2,

當。+2=1時，a=-l,此時集合中元素有1,3,1,不滿足集合中元素的互異性，舍去；

當a+2=3時，a=l,此時集合中元素為1,3,1,不滿足集合中元素的互異性，舍去；

當a+2=/時，解得。=2或。=-1（舍去），此時集合中元素為1,3,4,符合題意.

故答案為：2

10-2已知集合/={加+2,2加？+〃“，若3e/,則加的值為（）

333

A.1B.--C.1或--D.-1或-

222

【答案】B

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)

【分析】根據(jù)加+2=3或2蘇+優(yōu)=3,結(jié)合集合中元素滿足互異性即可求解.

【詳解】因為/={〃?+2,2%加},3e4

所以冽+2=3或2m2+加=3,

當加+2=3時，m=\,此時，m+2=2m2+m=3?故舍去：

3

當2次之+加=3時，解得加=一^或加=1（舍去），

3

綜上加=一,.

故選：B

10-3（24-25高一上?上海浦東新?期中）已知集合/={2,0,Y},8={2,0,a},且/=貝lja=.

【答案】1

【知識點】利用集合元素的互異性求參數(shù)、根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)

【分析】根據(jù)集合相等的條件，由元素的相等列方程求解并檢驗集合中元素的互異性.

【詳解】集合/={2旦*，B={2,0,a},且/=貝第/=解得咤?；?。與，

當。=0,與集合中元素的互異性矛盾，舍去；

。=1符合題意.

故答案為：1

10-4（24-25高一上?上海虹口?階段練習(xí)）若4e{-l,凡/一2a-4},則實數(shù)。=.

【答案】-2

【知識點】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)、利用集合元素的互異性求參數(shù)

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求解，利用集合中元素的互異性驗證.

【詳解】當“=4時，2a_4=4,不滿足元素的互異性，舍去.

當。2一2。一4=4時，解得〃=-2或4,

當。=4時，不符合題意，

當。=-2時，集合為{-1,-2,4},符合題意，

所以a=-2.

故答案為：-2.

題型十一、利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個數(shù)

例11（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）已知集合工的元素為實數(shù)，滿足①且。二1；②若ae/,則

1+6Z.

---

1-Q

⑴若Q=2,求4；

⑵集合/有沒有可能是單元素集？

Z7—1

（3）若aeN,證明：----&A.

a+1

【答案】（l）{-3,-g,；,2}；

⑵沒有可能；

⑶證明見解析.

【知識點】利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個數(shù)

【分析】（1）利用定義依次計算即得.

（2）假定是，結(jié)合定義計算導(dǎo)出矛盾即可.

（3）利用給定的定義計算推理即得.

【詳解】（1）當a=2時，即2一，則手=巖=一3€/,當?shù)?-；”，

1-a1-22

1+（—）]IT—II

-----^-=工￡4，=所以4={-3,一彳,1,2}.

1-（--）31--23

23

(2)假設(shè)集合A是單元素集,

由ae/,則"eN,得。=手，整理得力=