高橋中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)期末

2025.6

一、填空題12*3=36

1.已知全集。=｛0,1,2,3,4.5｝,5=｛1,3,5｝,貝I]集合五=

2.經(jīng)過點N(2,百),5(1,0)的直線/的斜率為.

3.函數(shù)/(x)=sinxcosx的最大值是_________.

4.已知常數(shù)。＞0且"XI,如果無論“取何值，函數(shù)y=a、-2的圖像恒過定點尸，則尸的

坐標(biāo)^.

5.若％=(2,-1)萬=(-3,4),則，在不方向上的數(shù)量投影是.

6.學(xué)校從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2人參加志愿者服務(wù)活動，則選出的2人中至

少有1名女同學(xué)概率為.

7.如圖.在正方形N3CD中，NO=4,E為OC上一點，且

赤=3反，^\]AB-AE=.

8已知C：=C：,設(shè)

(3x-4)"=a0+4i(x-l)+a2(x-1)+???+a/i(x-lJ',%+a2-\---Fan=.

9.函數(shù)y=/(x)是定義在(0,+co)上的嚴(yán)格減函數(shù)，對任意x,ye(0,+oo),滿足

/(孫)=/(x)+/(T),且=則不等式/(x)+/(x-l)+2>0的解集為.

10.若數(shù)列｛%+1-%｝是以1為公差，2為首項的等差數(shù)列，數(shù)列｛%｝其前5項分別為

1,3,6,10,15貝IJ數(shù)列｛七｝的通項公式%=.

11.已知在平面內(nèi)，點尸（看,%）到直線NX+旬+。=0（4厚。€/?,42+52片0）的距離

d二如二也凹.此公式可推廣到空間內(nèi)，為求解點到平面

NA2+B2

的距離多添了一種方法.現(xiàn)在空間直角坐標(biāo)中，定義：平面a的

一般方程為Ax+By+Cz+D=O（A,B,C,DeR,

A2+B2+C2^0）,則點尸（與，盟須）到平面a的距離d=普三簽".如圖,底面

邊長與高都為2的正四棱錐P-ABCD中，點C到側(cè)面PAB的距離等于.

（備注：不在同一條直線上的任意三點可以確定一個平面）

12.對于定義域和值域均為［0.1］的函數(shù)/（x）,定義

￡(x)=/(x)/(x)=/(/i(x)),...,/?(x)=/(/?4(x)),"=1,2,3….滿足/；(*)=*的點

0VxV一,

稱為/的〃階周期點.設(shè)/（x）h12,則/的”階周期點的個數(shù)

2-2x,—<x<1.

2

是

二、選擇題4*3=12

13.已知集合"="|門+2)門一3)<0},集合3={x[y=^I},則Nc5=().

A.[1,3)B.(-2,3)C.(-oo,-2)D.[l,+oo)

14.某單位為了了解辦公樓用電量y（度）與氣溫x（C）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了四個工

作日的用電量與當(dāng)天平均氣溫，并制作了對照表：

氣溫/℃181310-1

用電量/度24343864

若經(jīng)驗回歸方程為力=-2x+&,則當(dāng)氣溫為-4。（7時，預(yù)測用電量約為（）.

A.68度B.52度C.12度D.28度

15.三明永安市貢川鎮(zhèn)的會清橋是一座集通行、宗教祭祀等功能為一體的廊橋.該橋始修

于明成化乙巳年（1485年），南北坐向，兩墩三孔，各橋孔呈拋物線型，其中最大一橋孔

（如圖所示），當(dāng)孔頂?shù)剿婢鄿貫?m時，跨度達(dá)到了13m.若水面從圖中示意位置上升

4m,則水面寬變?yōu)椋ǎ?

c.—mu.y/nm

2

16.已知尸為拋物r：/=4x的焦點，給出以下三個條件：①點c均在拋物線r上；

②方+麗+方=6；③45,C中存在橫坐標(biāo)大于2的點.則同時滿足這三個條件的三角

形有（）.

A.0個B.21C.有限個且多于2個D.無限個

三、解答題

17.（8分，4+4分）已知方程2缶+1=0的兩根為〃，與".求下列各式的值：

（1）m2n+mn2

18.(8分，4+4分)如圖，已知一個組合體由一個圓錐P45與一個圓柱構(gòu)成(圓錐

底面與圓柱上底面重合.平面N3CD為圓柱的軸軸面)，已知圓錐高為3,圓柱高為5,底

面直徑為8.

(1)求這個組合體的體積

(2)設(shè)廠為半圓弧CD的中點，求P到面45F的距離.

19.(12分，4+4+4分)為了研究高三學(xué)生每天整理數(shù)學(xué)錯題的情況，某校數(shù)學(xué)建模興

趣小組的同學(xué)在本校高三年級學(xué)生中采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了40名學(xué)生，調(diào)查他們平時

的數(shù)學(xué)成績和整理數(shù)學(xué)錯題的情況，現(xiàn)統(tǒng)計得部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：

數(shù)學(xué)成績總評優(yōu)秀人數(shù)數(shù)學(xué)成績總評非優(yōu)秀人數(shù)合計

每天都整理數(shù)學(xué)錯題人數(shù)14

不是每天都整理數(shù)學(xué)錯題人數(shù)1520

合計40

(1)完成上述樣本數(shù)據(jù)的2x2列聯(lián)表，并計算：每天都整理數(shù)學(xué)錯題且數(shù)學(xué)成績總評優(yōu)秀

的經(jīng)驗概率；

(2)是否有99%的把握認(rèn)為"數(shù)學(xué)成績總評優(yōu)秀與每天都整理數(shù)學(xué)錯題有關(guān)"？

附：/=_______"(4一反)2_______:

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.010.001

2

P^xNa)2.7066.63510.828

(3)從不是每天都整理數(shù)學(xué)錯題的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生做進(jìn)一步訪談，設(shè)恰好抽取到

數(shù)學(xué)成績總評的人數(shù)為X,求豕的分布列和期望.

20.(12分，4+4+4分)已知p是橢圓。：與+與=1僅>6>0)上一個動點，尸是橢圓

ab

的左焦點，若仍尸|的最大值和最小值分別為3+2后和3-2行.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)2(0,。是y軸正半軸上的一點，求|PQ|的最大值.

(3)若動直線乂=叫+1與C交于點點E是x軸正半軸上異于點(1,0)的一定點，

若直線EM,EN的傾斜角分別為a,p(a+B?兀)，且存在實數(shù)"使得

勿〃(a+°)-左(山〃a+山川3)=0恒成立，求點E的坐標(biāo)及左的值.

21.(12分6+6分)已知函數(shù)/(x)=e*-?x.

(1)若?=1,求函數(shù)/(*)的單調(diào)區(qū)間及/(X)在尤=1處的切線方程；

(2)設(shè)函數(shù)8(X)=2/(*)_/-/,若xNO時,g(x)ZO恒成立，求實數(shù)“的取值范圍.

參考答案

一、填空題

1.{0,2,4};2.百；3.-;4.(0,-1);5.-2;6.—;7.12;

/xn(n+1)4行

v7

8.1023;9.(1,2);10.2;11.^-12.2"

11.已知在平面內(nèi)，點2(々，乂,)到直線Nx+到+C=0(45,CeA,N2+52*0)的距離

djAxa+By1+C\此公式可推廣到空間內(nèi)，為求解點到平面的距離多添了一種方法.現(xiàn)

^A2+B2

在空間直角坐標(biāo)中，定義：平面&的一般方程為4%+為+3+。=0(4星(7,。€/?,

A2+B2+C2^Q),則點尸(/MA,)到平面a的距離d="”^叱三集".如圖,底面

邊長與高都為2的正四棱錐P-ABCD中，點C到側(cè)面PAB的距離等于.

【解析】如圖，以底面45。的中心。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系。孫w,

貝I」0（0,0,0）,4（1,1,0）,5（fl,O）,P（0,0,2）,C（-1,-1,O）,

設(shè)平面P48的一般方程為4r+旬+Cz+0=O（A,B,C,DER,A2+B2+C20）

因為不在同一條直線上的任意三點可以確定一個平面,

/+5+O=0,

所以角A,B,P坐標(biāo)代入，得■-N+3+。=0,解得N=0,3=-O,C=-1。，

2C+Z)=0,一

由題知4MC不全為。，所以。*0,所以-Dy-goz+O=0,BP2y+Z-2=0,

|2x(-l)+0-2|4J54J5

所以點C點側(cè)面PAB的距離d=?.故答案為：亭.

V4+155

12.對于定義域和值域均為［0.1］的函數(shù)/(x),定義

K(*)=/(X)/(X)=/Q(X"=1,2,3….滿足A(x)=x的點

2x,0<x<-,

2

稱為/的〃階周期點.設(shè)/(*)=,則/的〃階周期點的個數(shù)

2-2x,—<x<1.

2

M1

【答案】2-

【解析】當(dāng)xe0,；時，/；(x)=2x=x,解得x=0

當(dāng)xe(g,l時，￡(x)=2-2x=x，解得x=/'的1階周期點的個數(shù)是2

當(dāng)xe0,：時，/；(x)=2x,f2(x)=4x=x,解得無=0

當(dāng)時，/j(x)=2x,

r[312

當(dāng)xe[不，7時，/；(x)=2-2x,<(x)=-2+4x=x解得x=可

124」3

當(dāng)時，/；(x)=2-2x,K(x)=4-4x=x解得x=:

??./的2階周期點的個數(shù)是2?依此類推，?的”階周期點的個數(shù)是2",故答案為：2"

二、選擇題

13.A14.A15.B16.A

15.三明永安市貢川鎮(zhèn)的會清橋是一座集通行、宗教祭祀等功能為一體的廊橋.該橋始修

于明成化乙巳年（1485年），南北坐向，兩墩三孔，各橋孔呈拋物線型，其中最大一橋孔

（如圖所示），當(dāng)孔頂?shù)剿婢鄿貫?m時，跨度達(dá)到了13m.若水面從圖中示意位置上升

4m,則水面寬變?yōu)椋ǎ?

A.13屬B.電2」

2

13__

C.一mD.V13/W

2

【答案】B

【解析】設(shè)拋物線方程為/=-2力，其中p>0,

葭,-8）在拋物線上,

由題意可得：點

則尸=詈,即”169

=-------y,

32

169.169

當(dāng)>=一4時，x--------x(z-4)=------

32v78

即…苧，則水面寬變?yōu)?x13G1372

-------=--------m

42

16.已知萬為拋物r：/=4x的焦點，給出以下三個條件：①點45,C均在拋物線T上;

②成+麗+方=6；③43,C中存在橫坐標(biāo)大于2的點.則同時滿足這三個條件的三角

形有（）.

A.0個B.21C.有限個且多于2個D.無限個

【答案】A

【解析】假設(shè)有這樣的三角形存在，因為4SC在拋物線「：/=4尤上，焦點廠（1,0）,

里-1+^--1+^--1=0

因為初+麗+定=0,所以?444

Ji+%+%=°

必2+J2+J2=12

整理可得<23

乂+必+%=°

設(shè)第一象限的點的橫坐標(biāo)大于2,假設(shè)q>2,則8>2四,

方+才<4=Jl2+J22<4

則=8<方+%2+2必M<2（才+<8

Ji+y2<-2V2（必+%）2>8

顯然不成立，所以不存在這樣的三角形滿足這3個條件，故選：A.

三.解答題

17.(1)2VI(2)2G

12、/57

18.(1)P=96冗(2)——

41

19.(1)列聯(lián)表如下，概率為0.35(2)有關(guān)(3)分布列如下，￡(X)=-

A

數(shù)學(xué)成績總評數(shù)學(xué)成績總評非1=3

優(yōu)秀人數(shù)優(yōu)秀人數(shù)計

每天都整理數(shù)學(xué)錯

14620

題人數(shù)

不是每天都整理數(shù)

51520

學(xué)錯題人數(shù)

合計192140

X0123

P913551

2287638114

20.(12分，4+4+4分)已知p是橢圓C:0+A=l(“>b>O)上一個動點，下是橢圓

ab

的左焦點，若|PF|的最大值和最小值分別為3+2后和3-2行.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)2(0,。是V軸正半軸上的一點，求忸。|的最大值.

(3)若動直線》=叫+1與C交于點點E是X軸正半軸上異于點(1,0)的一定點,

若直線EM,EN的傾斜角分別為a,0(a+Bw兀)，且存在實數(shù)力使得

Z??(a+P)-A(Zona+Zo?p)=0恒成立，求點E的坐標(biāo)及k的值.

【答案】⑴W+/=l(2)羋〃O)鳳3,0),小三.

9411

【解析】⑴若|尸引的最大值和最小值分別為3+2行和3-2行，

此時a+c=3+—c=3-2A/^,解得〃=3,。=2^/^,

2

貝1」后=/一。2=1,故橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為v,+/=1；

(2)設(shè)尸(XM，2(O0,此時忸2|=JX2+(y—)2=J9—9y2+(y—)2

=J-8y2―2卬+J+9-8V+ij+*+9">0,y￡卜1,1]

當(dāng)-黃-1,即，曲,|尸。在區(qū)間［-M］單調(diào)遞減，

O

當(dāng)j=-l時，|P0取得最大值，最大值為/+1,

當(dāng)即0</<8,此時|P0在區(qū)間［-1,1］的最大值為乎爐時,

綜上所述，當(dāng)例時，|尸0的最大值為/+1;當(dāng)0<f<8時，忸0的最大值為孚7F有；

(3)設(shè)E(Xo,O)(Xo>0且/,A^(X2,J2),

x=my+1

聯(lián)立《直2_,消去X并整理得"+9)/+2叼-8=0,

丁)=

2m8

由韋達(dá)定理得M+%%=一

m2+9

因為伍〃+=,0.+0工兀,

1-tanatan^

所以加"a+fa”PxO,所以《=--------^為定值，因為

1—tanatanp

tanatan^=——-----———=--------------------

x1-x0x2-x0myr+\-x0my2+l-x0

必必8

2

/必，2+(1-x°)M(必+必)+(1一/y(9-x^m-9(l-x0)

Q2119

當(dāng)*=3時，-用-最伍可=-§為定值，邛

11

9

則E(3,0)/=7r.

21.(12分6+6分)已知函數(shù)/(x)=e'-?x.

(1)若〃=1,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間及/(x)在x=l處的切線方程;

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=2/(x)7J/,若xNO時，g(x”0恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.