專題7.16平行線幾何模型(M模型)

(鞏固培優(yōu)篇)(專項練習(xí))

1.已知直線AB//CD跖是截線，點M在直線A3、CD之間.

(1)如圖1,連接GA/,HM.求證：ZM=ZAGM+ZCHM-,

(2)如圖2,在/GHC的角平分線上取兩點M、Q,使得NAGM=/HGQ.試判斷

與/GQH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

2.閱讀下面內(nèi)容，并解答問題.

已知：如圖1,AB//CD,直線E尸分別交AB,8于點E,F.NBEF的平分線與NDPE

的平分線交于點G.

(1)求證：EG1FG；

(2)填空，并從下列①、②兩題中任選一題說明理由.我選擇—題.

①在圖1的基礎(chǔ)上，分別作乙BEG的平分線與NDPG的平分線交于點得到圖2,

則ZEMF的度數(shù)為.

②如圖3,AB//CD,直線所分別交AB,CD于點、E,尸.點0在直線AB,CD之

間，且在直線E尸右側(cè)，ZBEO的平分線與NDFO的平分線交于點尸，則NEO尸與/EP尸滿

足的數(shù)量關(guān)系為—.

3.已知直線?！?,直線E尸分別與直線a,b相交于點E,F,點A,8分別在直線a,

b上,且在直線EP的左側(cè)，點尸是直線￡尸上一動點(不與點￡,產(chǎn)重合)，設(shè)/陰E=N1,

ZAPB=Z2,ZPBF=Z3.

⑴如圖1,當點P在線段EF上運動時，試說明/1+/3=/2；

(2)當點尸在線段外運動時有兩種情況.

①如圖2寫出Nl,Z2,N3之間的關(guān)系并給出證明；

4.問題情境：如圖①，直線AB〃CD,點E,尸分別在直線A8,CD上.

(1)猜想：若/1=130。，Z2=150°,試猜想/尸=°；

⑵探究：在圖①中探究Nl,N2,-P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若/1+/2=325。，ZEPG=15°,求/PG尸的度數(shù).

5.如圖：

(1)如圖1,AB//CD,/ABE=45。,ZCDE=21°,直接寫出的度數(shù).

(2)如圖2,AB〃CE＞，點E為直線AB,8間的一點，BF平分/ABE,DF平分NCDE,

寫出ABED與NR之間的關(guān)系并說明理由.

(3)如圖3,AB與CD相交于點G,點E為Z5GD內(nèi)一點，BF平分NABE,平分

ZCDE,若NBGD=60°,ZBFD=95°,直接寫出乙BED的度數(shù).

B

圖3

6.(1)已知：如圖(a),直線。石〃AB.求證：ZABC+ZCDE=ZBCD；

(2)如圖(6),如果點C在A8與ED之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果？你

還能就本題作出什么新的猜想？

7.如圖，點E在直線AB,CD內(nèi)部，且AEJ_CE.

(1)如圖1,連接AC,若AE平分NB4C,求證：CE平分NACD；

(2)如圖2,點M在線段AE上，

①若ZMCE=NECD,當直角頂點E移動時，與/MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)

系?并說明理由；

②若(〃為正整數(shù))，當直角頂點E移動時，與/MCD是否存在

n

確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.

BB

8.已知直線。/〃2,A是//上的一點，B是/2上的一點，直線/3和直線//,/2交于C和

D,直線CD上有一點P.

(1)如果尸點在C,。之間運動時，問/B4C,ZAPB,/尸8。有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

請說明理由.

(2)若點尸在C,。兩點的外側(cè)運動時(P點與C,。不重合)，試探索/B4C,ZAPB,

NPBO之間的關(guān)系又是如何？(請直接寫出答案，不需要證明)

9.(1)如圖，AB//CD,CF平分/DCE,若NOC尸=30。，ZE=20°,求NABE的度數(shù);

(2)如圖，AB//CD,ZEBF=2ZABF,CF平分/DCE,若/P的2倍與NE的補角的

和為190。，求/ABE的度數(shù).

E

(3)如圖，尸為(2)中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分NBPG,GN//PQ,

GM平分4DGP,若/2=30。，求NMGN的度數(shù).

10.如圖1,己知AB〃CQ,ZB=30°,ZD=120°；

(1)若NE=60。，則/尸=；

(2)請?zhí)剿鱊E與/尸之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；

(3)如圖2,已知EP平分/BEEFG平分NEFD,反向延長BG交EP于點P,求/尸

的度數(shù).

11.如圖1,AB//CD,E是AB,CD之間的一點.

(1)判定NA4E,NCQE與/AED之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖2,若/BAE,/CDE的角平分線交于點R直接寫出NAED與NAE。之間的

數(shù)量關(guān)系；

(3)將圖2中的射線。C沿。E翻折交AF于點G得圖3,若NAGO的余角等于2/E的

補角，求/BAE的大小.

12.已知AR/CD

(1)如圖1,E為AB,CD之間一點，連接BE,DE,得到/BED求證：/BED=N

B+ND；

(2)如圖，連接AD,BC,8歹平分/ABC,DF^ZADC,且BE。下所在的直線

交于點F.

①如圖2,當點B在點A的左側(cè)時，若NA8C=50。，ZADC=60°,求/BED的度數(shù).

②如圖3,當點B在點A的右側(cè)時，設(shè)NABC=a,ZAZ)C=p,請你求出/BFD的度數(shù).(用

含有a,0的式子表示)

13.已知，AB//CD.點M在A8上，點N在C。上.

(1)如圖1中，/BME、NE、NEMD的數(shù)量關(guān)系為：；(不需要證明)

如圖2中，NBMF、/尸、NFNZ)的數(shù)量關(guān)系為：；(不需要證明)

(2)如圖3中，NE平分/FND,MB平分/FME,且2NE+180。，求的

度數(shù)；

(3)如圖4中，/BME=60°,EF平分/MEN,NP平分/END,5.EQ//NP,則NPE。

的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出NFE。的度數(shù).

14.如圖1,點A、B分別在直線GH、MNk,/GAC=NNBD,/C=ND.

(1)求證：GH//MN；(提示：可延長AC交MN于點P進行證明)

(2)如圖2,AE平分NG4C,DE平分NBOC,若NAED=/G4C,求/G4c與/ACD

之間的數(shù)量關(guān)系;

(3)在(2)的條件下，如圖3,所平分點K在射線跳"上，ZKAG=^ZGAC,

若/AXB=ZACD,直接寫出/GAC的度數(shù).

15.已知AB〃CD,/ABE的角分線與NCDE的角分線相交于點E

(1)如圖1,若BM、分別是和/C￡)尸的角平分線，且/BEZ)=100。，求/

M的度數(shù)；

(2)如圖2,若ZCDM=^ZCDF,ZBED=a0,求的度數(shù)；

(3)若ZCDM=-ZCDF,請直接寫出與NB匹之間的數(shù)量

nn

關(guān)系.

16.已知直線AM、CN和點8在同一平面內(nèi)，且AM〃CN,ABLBC.

(1)如圖1,求NA和/C之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,若BO_LAM,垂足為D,求證：ZABD=ZC；

(3)如圖3,已知點。、E、尸都在直線AM上，且NA8D=NNC8,BF平分/DBC,

BE^ZABD.若/FC8+/NCF=180。，NBFC=3/DBE,請直接寫出/EBC的度數(shù).

17.如圖1,點A在直線MN上，點8在直線ST上，點。在〃乂，ST之間，且滿足

ZMAC+ZACB+ZSBC=360°.

(1)證明：MN//ST；

(2)如圖2,若/ACB=60。，AD//CB,點E在線段2C上，連接AE,且NZME=2/CBT,

試判斷/C4E與NC4N的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

1QAO

(3)如圖3,若NAC8=*(w為大于等于2的整數(shù))，點E在線段BC上，連接AE,

n

18.如圖1,直線AB〃C。，點P在兩平行線之間，點E在上，點尸在。上，連

接PE,PF.

(1)若NPEB=60°,ZPFD=50°,請求出/EPE(請寫出必要的步驟，并說明理由)

(2)如圖2,若點尸，Q在直線A8與C。之間時，Zl=30°,Z2=40°,Z3=70°,請求

出/4=.(不需說明理由，請直接寫出答案)

(3)如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上，作尸田平分NPE3,PiF平分/PFD,若設(shè)NPEB=x。，

ZPFD=y°,則/P尸(用含x,y的式子表示).若P?E平%/PiEB,P2F

平分/PiFD,可得/尸2；P3E平分NP2EB,PsF平分NP?FD,可得/P3…，依次平分下去，

則NPw=.(用含x,y的式子表示)

19.己知AM〃CN,點B為平面內(nèi)一點，AB/3c于8.

圖2圖3

(1)如圖1,點B在兩條平行線外，則/A與NC之間的數(shù)量關(guān)系為

(2)點3在兩條平行線之間，過點B作于點￡).

①如圖2,說明/4BD=NC成立的理由;

②如圖3,BF平分NDBC交DM于點F,BE平分NABD交DM于點E.若

/FCB+ZNCF=180°,ZBFC=3/DBE,求/EBC的度數(shù).

20.如圖1,MN//PQ,點C、B分別在直線MN、PQ上,點A在直線MN、尸。之間.

(1)求證：ZCAB=ZMCA+ZPBA；

(2)如圖2,CD//AB,點E在PQ上，ZECN=ZCAB,求證：ZMCA=ZDCE；

(3)如圖3,B尸平分NABP,CG平分/ACN,AF//CG.若NCAB=60。，求NAF8

的度數(shù).

圖1圖2圖3

21.如圖，MNUGH,點A、B分別在直線MN、GH上,點。在直線MN、G8之間，

ZNAO=116°,ZOBH=144°.

(1)NAOB=°；

(2)如圖2,點C、D是ZNAO、NGBO角平分線上的兩點，且NCD?=35。，求/ACD

的度數(shù)；

(3)如圖3,點尸是平面上的一點，連結(jié)陰、FB,E是射線以上的一點，若=

nZOAE,ZHBF=nZOBF,且NAFB=60。，求”的值.

22.如圖1,AB//CD,點E、F分別在AB、CD上，點。在直線A3、CD之間，且

ZEOF=100°.

(1)求NBEO+NOED的值；

(2)如圖2,直線MN分別交/3E0、NOFC的角平分線于點Af、N,直接寫出

N￡W-/FW的值；

(3)如圖3,EG在NAEO內(nèi)，ZAEG=mZOEG；FH在/DR?內(nèi)，ZDFH=mZOFH,

直線MN分別交EG、F”分別于點Af、N,且NFMN-ZENM=50。，直接寫出優(yōu)的值.

23.已知AB〃CD,定點E,尸分別在直線AB,8上，在平行線A5,CO之間有一

動點P.

CFD

備用圖1

IEB

EB

CFD

CFD

備用圖3

備用圖2

(1)如圖1所示時，試問NAEP,NEPF,/尸產(chǎn)C滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.

(2)除了(1)的結(jié)論外，試問N4EP,NEPF,/尸汽還可能滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?

請畫圖并證明

(3)當NEP9滿足0。＜4??＜180。，且。E,。/分別平分/PEB和NPFD,

①若ZEPF=60°,則NEQF=°.

②猜想/EPF與NEQ尸的數(shù)量關(guān)系.(直接寫出結(jié)論)

24.如圖1,由線段AB,AM,CA/,C￡＞組成的圖形像英文字母M,稱為形區(qū)4MCD”.

B

(1)如圖1,M形S4MCD中，若AB〃CO,/A+/C=50。，貝i]ZM=

(2)如圖2,連接“形BAMCD中反。兩點，若NB+NO=150°,ZAMC=?,試探求一A

與—c的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，且&C的延長線與8。的延長線有交點，當點加在線

段的延長線上從左向右移動的過程中，直接寫出/人與-C所有可能的數(shù)量關(guān)系.

參考答案

1.(1)證明見詳解(2)NGQH=180。-NM；理由見詳解

【分析】(1)過點/作肱V〃AB,由AB〃CD,可知肱V〃/1B〃CO.由此可知：

ZAGM=Z.GMN,ZCHM^ZHMN,故ZAGM+NCHM=ZGMN+NHMN=ZM；

(2)由(1)可知ZAGM+NCHM=NM.再由ZAGM=ZHGQ,

可知：ZM=ZHGQ+ZGHM,利用三角形內(nèi)角和是180。，可得NGQ"=180。-/知.

(1)

解：如圖：過點M作

：.MN//AB//CD,

：.ZAGM=ZGMN,NCHM=NHMN,

'：ZM=ZGMN+ZHMN,

：.ZM=ZAGM+ZCHM.

⑵解：NGQ”=180。-NM,理由如下:

如圖：過點/作肱V〃AB,

由⑴ZM=ZAGM+ZCHM,

；HM平分NGHC,

：.ZCHM=Z.GHM,

"：ZAGM=ZHGQ,

：.ZM=ZHGQ+ZGHM,

?/ZHGQ+ZGHM+ZGQH=180°,

ZGQH=1SQ0-ZM.

【點撥】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，正確的作出輔助線是解決

本題的關(guān)鍵，同時這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應(yīng)用.

2.⑴見分析（2）①45°；②結(jié)論：ZEOF=2ZEPF

【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)解決問題即可；

（2）①利用基本結(jié)論=求解即可；②利用基本結(jié)論

ZEOF=ZBEO+ZDFO,/F,PF=ZBEP+ZDFP,求解即可.

解:(1)證明：如圖，過G作

?.'AB||CD,

:.AB\\GH\\CD,

：./BEG=/EGH,NDFG=NFGH,

NBEF+ZDFE=180°,

,;EG平分ZBEF,FG平分4DFE,

NGEB=-ZBEF,ZGFD=-ZDFE,

22

NGEB+ZGFD=1NBEF+1ZDFE=1(NBEF+NDFE)=90°,

在AEFG中，ZGEF+ZGFE+ZG=180°,

:"EGF=NGEB+NGFD=90°,

:.EGLFG；

(2)解：①如圖2中，由題意，ZBEG+ZDFG=90°,

?;EM平分NBEG,MF平分NDFG,

ZBEM+ZMFD=g(ZBEG+ZDFG)=45°,

ZEMF=ZBEM+ZMFD=45°,

故答案為：45°；

②結(jié)論：NEOF=2NEPF.

理由：如圖3中，由題意，ZEOF=ZBEO+ZDFO,ZEPF=ZBEP+ZDFP,

?;PE平分/BEO,PF平分NDFO,

ZBEO=2ZBEP,ZDFO=2ZDFP,

:.ZEOF=2ZEPF,

故答案為：ZEOF=2ZEPF.

【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握相關(guān)的性質(zhì).

3.⑴證明見詳解⑵①？3?1?2;證明見詳解；②4=/2+/3；證明見詳解

【分析】(1)如圖4過點P作PC〃a,禾傭平行線的傳遞性可知PC〃a〃b,根據(jù)平

行線的性質(zhì)可知N1=/4PC,N3=NBPC,根據(jù)等量代換就可以得出/2=/1+/3；

(2)①如圖5過點尸作PC〃a,利用平行線的傳遞性可知PC〃口〃6,根據(jù)平行線的

性質(zhì)可知/3=/3PC,Z1=ZAPC,根據(jù)等量代換就可以得出？3?1?2；

②如圖6過點P作PC〃a,利用平行線的傳遞性可知尸C〃a〃6,根據(jù)平行線的性質(zhì)

可知4=NAPC,Z3=ZBPC,根據(jù)等量代換就可以得出/I=N2+N3.

(1)解：如圖4所示：過點P作尸C〃a,

a//b

：.PC//a//b

：.Zl=ZAPCfN3=NBPC,

,:Z2=AAPC+/BPC,

???N2=Zl+/3；

圖4

(2)解：①如圖5過點尸作尸C〃。，

a//b

：.PC//a//b

：.Z3=ZBPC,Zl=ZAPC,

???/BPC=/2+ZAPC,

A?3?1?2；

圖5

②如圖6過點尸作PC〃a,

a//b

：.PC//a//b

：.Z1=ZAPC,N3=4尸C,

ZAPC=Z2+/BPC,

【點撥】本題利用“豬蹄模型”及其變式考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，

準確的作出輔助線和找到對應(yīng)的內(nèi)錯角是解決本題的關(guān)鍵.

4.(1)80°(2)ZP=36O°-Z1-Z2；證明見詳解(3)140。

【分析】(1)過點尸作MV〃M，利用平行的性質(zhì)就可以求角度，解決此問；

(2)利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系，就可以解決此問；

(3)分別過點尸、點G作〃鉆、KR//AB,然后利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)

量關(guān)系即可.

■:AB//CD,

：.AB//MN//CD.

???Nl+NEPN=180。，

Z2+ZFRV=180°.

VZl=130°,Z2=150°,

???Z1+N2+NEPN+ZFPN=360°

???ZEPN+FPN=360°-130°-150°=80°.

?；/P=/EPN+/FPN,

：.ZP=80°.

故答案為：80°；

(2)解：ZP=360°-Zl-Z2,理由如下:

如圖過點?作肱V〃M,

???AB//CD,

：.AB//MN//CD.

：.N1+/EPN=18O0,

N2+NFPN=180°.

???Z1+Z2+AEPN+AFPN=360°

???/EPN+/FPN=/P,

ZP=36O°-Z1-Z2.

(3)如圖分別過點尸、點G作肱V〃鈕、KR//AB

?：AB//CD,

：.AB//MN//KR//CD.

：?Z1+/EPN=180。,

ZNPG+/PGA=180。，

Z7?GF+Z2=180°.

.??Z1+/EPN+ZNPG+/PGR+RGF+/2=540。

■:ZEPG=ZEPN+ANPG=75°,

/PGR+/RGF=ZPGF,

Zl+Z2=325°,

???ZPGF+Z1+Z2+ZEPG=540°

???ZPGF=540°-325°-75°=140°

故答案為：140°.

【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)定理，準確的作出輔助線和正確的計算是解決本題的

關(guān)鍵.

5.(1)ZBED=66°；(2)NBED=2NF,見分析；(3)N8ED的度數(shù)為130。.

【分析】(1)首先作正〃A3,根據(jù)直線A8〃CD,可得EF〃CD,所以NA3E=N1=45。，

ZCDE=N2=21°,據(jù)此推得ZBED=Zl+Z2=66°；

(2)首先作EG〃42,延長DE交BF于點、H,利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的

定義即可得到N2E￡)=2/尸；

(3)延長。尸交于點延長GE到/,利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定

義即可得到/BEQ的度數(shù)為130°.

解：(1)如圖，作跖〃48,

?.?直線AB//CD,

J.EF//CD,

：.ZABE=Z1=45°,ZCD￡=Z2=21°,

：.ZBED=Z1+Z2=66°；

(2)解：ZBED=2ZF,

理由是：過點E作EG〃AB,延長DE交BF于點H,

\'AB//CD,C.AB//CD//EG,

.\Z5=Z1+Z2,Z6=Z3+Z4,

又：8尸平分/ABE,DF平分NCDE,

.".Z2=Z1,Z3=Z4,則/5=2/2,Z6=2Z3,

AZB￡￡)=2(Z2+Z3),

又NF+N3=/BHD,NBHD+—BED,

：.Z3+Z2+ZF=ZB￡D,

綜上NBED=NF+12NBED,即NBE￡)=2/尸；

(3)解：延長。尸交AB于點H,延長GE到/,

B

D

?/NBGD=60。,

：.Z3=Z1+ZBGD=Z1+6O°,NBFD=N2+N3=N2+Nl+60°=95°,

；./2+/l=35°,即2(/2+/l)=70°,

：8/平分/ABE,DF平分NCDE,

；./ABE=2N2,ZCDE=2Z1,

：.ZBEI^ZABE+ZBGE=2Z2+ZBGE,/DEI=NCDE+NDGE=2N1+NDGE,

：.ZBED=ZBEI+ZDEI=2(Z2+Z1)+(ZBGE+ZDGE)=10°+60°=130°,

/BED的度數(shù)為130°.

【點撥】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識，掌握平行線的判

定和性質(zhì)，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵.

6.(1)見分析；(2)當點C在A2與即之外時，ZABC—NCDE=NBCD,見分析

【分析】(1)由題意首先過點C作C/〃由直線48〃即，可得AB〃CF〃DE,然

后由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可證得NABC+/CDE=NBCD；

(2)根據(jù)題意首先由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得NABC=/BFD,然后根據(jù)三角形

外角的性質(zhì)即可證得/ABC-ZCDE=ZBCD.

解：(1)證明：過點C作C/〃

'JAB//ED,

J.AB//ED//CF,

：.ZBCF=ZABC,ZDCF=ZEDC,

：.ZABC+ZCDE=ABCD-,

(2)結(jié)論：ZABC-ZCDE=ZBCD,

證明：如圖：

AB

'：AB//ED,

：.NABC=/BFD,

在△。尸。中，/BFD=NBCD+/CDE,

：.ZABC=ZBCD+ZCDE,

：.AABC-ZCDE=ZBCD.

若點C在直線A3與OE之間，ZABC+ZBCD+ZCDE=360°,

9：AB//ED//CF,

：.ZABC+ZBCF=180°,ZCDE+ZDCF=180°,

JZABC+/BCD+ZCDE=ZABC+ZBCF+ZDCF+ZCDE=360°.

【點撥】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解

答本題的關(guān)鍵，注意掌握輔助線的作法.

1VI

7.(1)見分析；(2)①NBAE+7T/MCD=90°,理由見分析；?ZBAE+——NMCO=90°,

2n+1

理由見分析.

【分析】(1)根據(jù)平行的性質(zhì)可得NA4C+NDC4=180。，再根據(jù)AELCE可得/比1C+

ZECA=90°,根據(jù)AE平分/BAC可得/54E=/EAC,等量代換可得/ECD+N￡AC=90。，繼

而求得NDCE=NECA；

(2)①過E作E/〃AB,先利用平行線的傳遞性得出E歹〃AB〃CQ,再利用平行線的

性質(zhì)及已知條件可推得答案；

②過E作跖〃AB,先利用平行線的傳遞性得出E尸〃AB〃CD,再利用平行線的性質(zhì)及

已知條件可推得答案.

(1)解：因為A3〃CD,

所以N2AC+NOCA=180°,

因為

所以ZEAC+ZECA=90°,

因為AE平分NR4C,

所以/BAE=NEAC,

所以/BAE+/DCE=90°,

所以NEAC+/QCE=90°,

所以/OCE=/ECA,

所以CE平分NACD；

(2)①/BAE與/MC￡)存在確定的數(shù)量關(guān)系：ZBA￡+|ZMCD=90°,

理由如下：過E作￡F〃A2,

'：AB//CD,

J.EF//AB//CD,

：.ZBAE=ZAEF,ZFEC=ZDCE,

ZE=90°,

ZBAE+ZECD=90°,

ZMCE=ZECD,

：.ZBAE+^ZMCD=90°；

Yl

②NA4E與NMC0存在確定的數(shù)量關(guān)系：ZBAE+——ZMC￡>=90°,

n+1

理由如下：過E作EF//AB,

U：AB//CD,

C.EF//AB//CD.

：?/BAE=NAEF,/FEC=/DCE,

?/ZE=90°,

???NBAE+NECD=9U。,

'：ZMCE=-ZECD,

n

n

：.NBAE+——ZMCD=90°.

n+1

【點撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是要添加輔助

線利用平行性質(zhì).

8.(1)NPAC+NPBD=ZAPB；(2)當點P在直線4上方時，ZPBD-ZPAC=ZAPB；

當點P在直線6下方時，NPAC—NPBD=ZAPB.

【分析】(1)過點P作PE//1,,由“平行于同一條直線的兩直線平行”可得出PE//lt//l2,

再由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得出NR4c=NAPE、ZPBD=ZBPE,再根據(jù)角與角的關(guān)系

即可得出結(jié)論；

(2)按點尸的兩種情況分類討論:①當點尸在直線4上方時;②當點P在直線6下方時，

同理(1)可得NPAC=NAPE、ZPBD=ZBPE,再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論.

解：(1)NPAC+NPBD=ZAPB.

過點尸作尸E/4,如圖1所示.

PEI,IJH,,

PE//IJ/12,

:.ZPAC=ZAPE,ZPBD=ZBPE,

ZAPB=ZAPE+ZBPE,

ZPAC+NPBD=ZAPB.

(2)結(jié)論：當點尸在直線4上方時，NPBD-/PAC=ZAPB；當點尸在直線6下方時,

ZPAC-/PBD=ZAPB.

①當點尸在直線4上方時，如圖2所示.過點尸作PE/4.

?：PEI幾1，“〃2，

:.PEIll\l幾2,

:.ZPAC=ZAPE9ZPBD=ZBPE,

ZAPB=ZBPE-ZAPE,

...ZPBD-ZPAC=ZAPB.

②當點P在直線4下方時，如圖3所示.過點P作PE/4.

圖3

?.?PE//Z1,“〃2，

PE//IJ/12,

:.ZPAC=ZAPE,ZPBD=ZBPE,

ZAPB=ZAPE-ZBPE,

ZPAC-NPBD=ZAPB.

【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)

錯角相等”找到相等的角.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)平行線的

性質(zhì)得出相等(或互補)的角是關(guān)鍵.

9.(1)ZABE=40°；(2)ZAB￡=30°；(3)ZMGN=15°.

【分析】(1)過E作根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)和角平分線的定義解答即可;

(2)過E作過產(chǎn)作AB,根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義

以及解一元一次方程解答即可；

(3)過尸作P乙〃根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一

個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義解答即可.

解：(1)過E作EM//AB,

DC

'：AB//CDf

：.CD//EM//AB,

：.ZABE=ZBEM,ZDCE=ZCEM,

:C尸平分NDCE,

：.ZDCE=2ZDCF,

VZDCF=30°,

：.ZDCE=60°,

：.ZCEM=60°,

又〈/CEB=20。,

：.ZBEM=ZCEM-/CEB=40。,

?,.ZABE=40°；

(2)過后作過尸作尸N〃A3,

圖2

*.?/EBF=2/ABF,

???設(shè)NAB尸=x,ZEBF=2x,貝!jNA8E=3x,

?：CF平分/DCE,

???設(shè)N0CT=NECT=y,則NDCE=2y,

9

：AB//CDf

：.EM//AB//CDf

：.ZDCE=ZCEM=2y,NBEM=/ABE=3x,

：.ZCEB=ZCEM-ZBEM=2y-3x,

同理NCbB=y-x,

V2ZCFB+(180°-ZCEB)=190。，

A2(y-x)+180°-(2y-3x)=190。,

.*.x=10°,

???ZABE=3x=30°；

(3)過尸作P￡〃AH

圖3

〈GM平分NOGP,

???設(shè)NDGM=NPGM=y,則NOGP=2y,

,:PQ平分/BPG,

:?設(shè)/BPQ=/GPQ=x,則N5PG=2x,

,:PQ〃GN,

：.ZPGN=ZGPQ=x,

9

：AB//CDf

：.PL//AB//CD,

：.ZGPL=ZDGP=2y9

NBPL=NABP=3。。,

9：ZBPL=ZGPL-NBPG,

：.30°=2y-2xf

：.y-x=15°,

丁/MGN=/PGM-/PGN=y-x,

：.ZMGN=15°.

【點撥】此題考查平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，解題

關(guān)鍵在于作輔助線和掌握判定定理.

10.(1)90°(2)ZF=ZE+30°,理由見分析(3)15°

【分析】(1)如圖1,分別過點E,F悍EMIIAB,FN//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得

到NB=NB￡M=30。，ZMEF=/EFN,4>+NO/W=180。，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；

(2)如圖1,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N5=NBEM=30。，ZMEF=/EFN,由AB//CD,

AB//FN,得到CD//RV,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NO+NZ?W=180。，于是得到結(jié)論；

(3)如圖2,過點尸作切//石P,設(shè)/BEF=2x。,則/EF0=(2x+3O)。，根據(jù)角平分線

的定義得到N尸=砂=x。，NEFG=g/EFD=(x+15)。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

ZPEF=ZEFH=x°,NP=NHFG,于是得到結(jié)論.

⑴解：如圖1,分別過點MF悍EMIIAB,FN//AB,

:.EM//AB//FNf

.\ZB=ZBEM=30°fZMEF=ZEFN,

又?.?AB//CD,AB//FN,

:.CD/IFN,

ZD+ZDFN=180°,

XvZD=120°,

:.ZDFN=60°f

.?.NBEF=ZMEF+30。,/EFD=/EFN+“。,

.?.ZEFD=ZMEF+60。

ZEFD=ZBEF+30°=90°；

故答案為：90°；

(2)解：如圖1,分別過點石，F(xiàn)忤EMIIAB,FN//AB,

:.EM11AB/IFN,

:.ZB=ZBEM=30。,ZMEF=ZEFN,

X\AB//CD,AB//FN,

:.CD//FN,

.?.ZD+ZD網(wǎng)=180。，

又?.?N0=12O。，

/.ZD/W=60°,

:.ZBEF=ZMEF^30°,/EFD=/EFN+60°,

.?.ZEFD=ZMEF+60。,

:.ZEFD=ZBEF+30。；

(3)解：如圖2,過點尸作FH//EP,

由(2)知，NEFD=/BEF+30°,

設(shè)/BEF=2x。,則N由=(2x+30)。，

?;EP平分ZBEF,GF平分NEFD,

ZPEF=^ZBEF=x°,ZEFG=|ZEFD=(x+15)0,

\FH//EP,

.\ZPEF=ZEFH=x°,/P=/HFG,

?「ZHFG=ZEFG-ZEFH=15°,

.\ZP=15°.

【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解

題的關(guān)鍵.

11.(1)ZBAE+ZCDE=ZAED■,(2)ZAFD=^ZAED；(3)Za4E=60°

【分析】(1)作E尸〃A8,如圖1,則E/〃C。，利用平行線的性質(zhì)得/1=NEAE,Z

2=ZCDE,從而得至

(2)如圖2,由(1)的結(jié)論得NCDF=^/CDE,則(Z

BAE+/CDE),加上(1)的結(jié)論得到

(3)由(1)的結(jié)論得/AGD=/BAF+/C￡)G,利用折疊性質(zhì)得NCOG=4/CD尸，再

3

利用等量代換得到乙4GD=2/AEr>-j/BAE,加上90。-/46。=180。-2/4皮>,從而計算出

N3AE的度數(shù).

解：(1)ZBAE+ZCDE=ZAED

理由如下：

作所〃AB,如圖1

".'AB//CD

J.EF//CD

：.Z1=ZBAE,Z2=ZCDE

：.ZBAE+ZCDE=ZAED

(2)如圖2,由(1)的結(jié)論得

ZAFD=Z.BAF+ZCDF

'：NBAE、ZCDE的兩條平分線交于點F

ZBAF=；/BAE,ZCDF=ZCDE

：.ZAFE=^(NBAE+/CDE)

ZBAE+ZCDE=ZAED

：.ZAFD=^-ZAED

(3)由(1)的結(jié)論得NAGO=/BAF+/CZ)G

而射線DC沿OE翻折交AF于點G

???ZCDG=4ZCDF

：.ZAGD=ZBAF+4ZCDF=1/BAE+2NCDE=gNBAE+2(ZAED-ZBAE)=2ZAED-

3

-ZBAE

2

90°-ZAGD=180°-2ZAED

3

：.90°-2ZAED+-ZBAE=180°-2ZAE￡)

2

???ZBAE=60°

【點撥】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互

補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

12.(1)見分析；(2)55°；(3)180?！?；。+；夕

【分析】(1)根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；

(2)①如圖2,過點尸作FE//AB,當點5在點A的左側(cè)時，根據(jù)NABC=50。，

ZADC=60°,根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求NEED的度數(shù)；

②如圖3,過點尸作砂//Afi,當點5在點A的右側(cè)時，ZABC=a,AADC=/3,根

據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求出N甌的度數(shù).

解：(1)如圖1,過點E作砂//AB,

A_______________B

飛7飛

C---------------------、D

圖1

則有=

-.-AB//CD,

:.EFHCD,

:.ZFED=ZD,

:.ZBED=ZBEF+ZFED=ZB+ZD；

(2)①如圖2,過點尸作EE//AB,

有ZBFE=NFBA.

-.-AB//CD,

:.EF//CD.

:./EFD=/FDC.

ZBFE+ZEFD=NFBA+Z.FDC.

即ZBFD=ZFBA+ZFDC,

?.?3?平分/A3C,平分2ADC,

ZFBA=-ZABC=25°,ZFDC=-ZADC=30°,

22

ZBFD=ZFBA+ZFDC=55°.

答：/麗的度數(shù)為55。；

②如圖3,過點尸作尸E//AB,

:.ZBFE=180。-NFBA,

?：AB//CD,

:.EF//CD.

：.ZEFD=ZFDC.

ZBFE+ZEFD=180°-ZFBA+ZFDC.

即ZBFD=180°-ZFBA+ZFDC,

???BF平分/ABC,DP平分NADC,

:.ZFBA=-ZABC=-a,ZFDC=-ZADC=-/3,

2222

ZBFD=180°-NFBA+ZFDC=180。-弓“+.

答：/瓦力的度數(shù)為180。-*+：/.

【點撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與

性質(zhì).

13.(1)ZBME=ZMEN-/END；ZBMF=ZMFN+ZFND；(2)120°；(3)不變，

30°

【分析】(1)過E作￡W〃AB,易得￡W〃AB〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；過尸

作切〃A3,易得小〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及角平分線的定義可得2（NBME+NENZ））+NBM?N—W=180。,

可求解/2加歹=60。，進而可求解；

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知/在。二g進而可求解.

解：（1）過E作EH〃A3,如圖1,

JNBME=/MEH,

9

：AB//CDf

C.HE//CD,

NEND=ZHEN,

：.ZMEN=ZMEH+ZHEN=ZBME+ZEND,

即/BME=ZMEN-/END.

如圖2,過廠作切〃42,

/BMF=ZMFK,

'：AB//CD,

：.FH//CD,

：.NFND=ZKFN,

：.ZMFN=ZMFK-ZKFN=ZBMF-ZFND,

即：/BMF=NMFN+NFND.

圖2

故答案為/BME=/MEN-ZEND；ZBMF=ZMFN+ZFND.

(2)由(1)得/BME=/MEN-/END；ZBMF=ZMFN+ZFND.

,:NE平濟NFND,MB平分/FME,

ZFME=ZBME+ZBMF,ZFND=ZFNE+ZEND,

'：2ZMEN+/MFN=180°,

：.2(/BME+NEND)+ZBMF-ZFND=1SQ°,

：.2ZBME+2ZEND+ZBMF-NFND=180°,

即2/BMF+NFND+/BMF-ZFND=180°,

解得NBMF=60。，

ZFME=2ZBMF=120°；

(3)NFE。的大小沒發(fā)生變化，ZFEQ=3Q°.

由(1)知：ZMEN=ZBME+ZEND,

■:EF平■分/MEN,NP平分/END,

：.ZFEN=|ZMEN=(NBME+/END),NENP=g/END,

,JEQ//NP,

：.ZNEQ=ZENP,

：.ZFEQ=AFEN-ZNEQ=1(ZBME+NEND)-|ZEND=|NBME,

'：ZBME=60°,

.?.ZFEe=1x60°=30°.

【點撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關(guān)

鍵.

14.(1)見分析；(2)ZACD=3ZGAC,見分析；(3)(7)或［署)?

【分析】(1)根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求證即可；

(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180。和平角定義得到NAa>=NE+N￡AQ,結(jié)合平行線的

性質(zhì)得到4BOQ=/E+N￡AQ,再根據(jù)角平分線的定義證得/CDB=2NE+/G1C,結(jié)合已

知即可得出結(jié)論；

(3)分當K在直線GH下方和當K在直線GH上方兩種情況，根據(jù)平行線性質(zhì)、三角

形外角性質(zhì)、角平分線定義求解即可.

圖1

,/ZACD^ZC,

：.AP//BD,

：.ZNBD^ZNPA,

■:ZGAC=/NBD,

：./GAC=/NPA,

：.GH//MN；

圖2

VZE+ZEAQ+ZAQE=1SO°,ZAQ石+NAQD=180。，

ZAQD=ZE+ZEAQ,

?:AP//BD,

.??ZAQD=ZBDQ,

：.ZBDQ=/E+NEAQ,

TAE平分NGAC,DE平分/BDC,

/.ZGAC=2ZEAQ,ZCDB=2ZBDQ,

???ZCDB=2ZE+ZGAC,

9：ZAED=ZGAC,ZACD=/CDB,

：.ZACD=2ZGAC+ZGAC=3ZGAC；

(3)當K在直線GH下方時，如圖，設(shè)射線質(zhì)交GH于/,

圖3

?：GH//MN,

：.ZAIB=ZFBM,

BF平分ZMBD,

：./