楊村一中2024?2025學(xué)年度第二學(xué)期第三次學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測

局一數(shù)學(xué)

第I卷（選擇題共32分）

一、選擇題（本題共8小題，每題4分，共32分）

1.某中學(xué)共有300名教職員工，其中一線教師200人，行政人員60人，后勤人員40人，采取分層隨機(jī)抽

樣，擬抽取一個容量為60的樣本，則行政人員應(yīng)抽?。ǎ?/p>

A.40人B.28人C.12人D.8人

【答案】C

【解析】

【分析】求出行政人員占的比例，從而得到應(yīng)抽取人數(shù).

【詳解】行政人員占的比例為幽=,，故行政人員應(yīng)抽取的人數(shù)為60x』=12.

30055

故選：C.

2.盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個.若從中隨機(jī)取出2個球，則所

取出的2個球顏色不同的概率等于（）

3231

A.—B.-C.-D.-

10552

【答案】C

【解析】

【分析】將5個球進(jìn)行編號，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型

的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】記3個紅色球分別為。、b、c,記2個黃色球分別為A、B,

從這5個球中隨機(jī)抽取2個，所有的基本事件有：ab>ac、aA>aB、be>bA、bB>cA>cB、

AB,共10個，

其中，事件”所取出的2個球顏色不同”包含的基本事件有：aA.aB、bA、bB、cA.cB,共6個，

故所求概率為尸=9=9.

105

故選：C.

3.為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史、育文化”

暨“喜迎黨的二十大”黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖

所示的頻率分布直方圖，則下列說法不正聊的是（）

A.a的值為0.005B.估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75

C.估計成績低于60分的有250人D.估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為85

【答案】D

【解析】

【分析】由頻率分布直方圖面積之和為1可計算。，由眾數(shù)定義可得B,計算低于60分的人數(shù)即可得C,

根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可得D.

【詳解】對于A：由頻率分布直方圖可得10(2a+3a+3a+6a+5a+a)=l,解得a=0.005,故A正

確；

對于B：由圖易得在區(qū)間［70,80)的人最多，故可估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為失辿=75,故B正確；

對于C：10x0.005x(2+3)x1000=250,故成績低于60分的有250人，即C正確；

對于D：由圖中前四組面積之和為：(2+3+3+6)x0.005x10=0.7,

圖中前五組面積之和為：(2+3+3+6+5)x0.005x10=0.95,

故這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)在第五組數(shù)據(jù)中，

設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為加，

則有0.7+5x0.005(m-80)=0.85,解得m=86,

即估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86,故D錯誤.

故選：D.

4.已知a,b,c表示不同的直線，a,￡表示不同的平面，給出下面四個命題：

(1)若all0,aua,則a///?；(2)若ac0=a,bua,cu/3,bile,則山/8；

(3)若a///?,bu(3,則a〃6；(4)a_L，，bu(3,則。_1_5.

上面四個命題正確的有()

A.(1),(3)B.(2),(4)C.(1),(2),(4)D.(1),(3),(4).

【答案】c

【解析】

【分析】利用面面平行的性質(zhì)，線面平行的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)即可判斷各選項.

【詳解】在（1）中，若?！ㄊ琣ua,由面面平行的性質(zhì)可得，alIp,故（1）正確；

在（2）中，由6/c,cu/3,bu0,則切勿，

又因為且（zc/7=a,所以/?〃a,故（2）正確；

在（3）中，若a//，，buP,則a〃b或。,6為異面直線，故（3）錯誤；

在（4）中，a工/3,bu，，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得;），故（4）正確；

故選：C.

5.設(shè)x,yeR,向量a=（x,l）,Z?=（1,j）,c=（2,-4）且“°,bHc,則a+c與b-c夾角的余弦值

為（）

&布R2非-J526

A.----D.-----C.------Un.------

5555

【答案】D

【解析】

【分析】由垂直向量以及平行向量的坐標(biāo)表示，求得參數(shù)，根據(jù)向量線性運算的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量夾角的

坐標(biāo)表示，可得答案.

【詳解】由ale,則a-c=2x—4=0,解得x=2,即a=（2,l）,

_[1=22

由b//c,則b=Xc，可得｛「，解得y=-2,即b=（l,—2）,

y=-42'/

■/\（a+c）?仿-c）-4-62\[5

由〃+e=（4,一3）,b—c=（—1,2）,則cos（a+c,b—c）=—^------A——^=—==-===一一—.

\|^+c||/?—c|A/16+9xVl+45

故選：D.

6.已知VA5c的內(nèi)角A民C所對的邊分別為若9sin2b=4sin2A,cosC=——,則一二（）

4a

A*BTC.垣D.i

4433

【答案】D

【解析】

【分析】首先利用正弦定理將角的正弦關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再通過余弦定理建立關(guān)于一的等式，從而求

a

解一的值.

a

sin之AQ

【詳解】因為9sin25=4sin2A，所以處J==.

sin2B4

根據(jù)正弦定理可得;=2,所以

b-43

1_2a'-

因為cosC=——,所以根據(jù)余弦定理cosC=巴」心_J,可得：一信X」,

42ab02a4

2ax—

3

化簡可得。2=更必，所以=—.

99

c4

因為。為_ABC的邊，6?>0,c>0,所以一二—.

a3

故選：D.

7.如圖，在平行四邊形A5C。中，CE=DE,項和AC相交于點G：,且E為AG上一點(不包括端

11

點)，若BF=2BE+從BA,則力+］的最小值為()

DEc

AB

A.-B.-+V6C.-+—-D.—FA/6

22222

【答案】B

【解析】

【分析】先確定G位置，接著由=+進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用共線定理得——+〃=1,再利用基本

2

不等式“1”的妙用即可求解.

【詳解】由題意，設(shè)5G=xAE,xe(0,l),

-xx

則BG=x(BC+CE)=xBC+|CD=xBC+^BA,

因為A,G,C三點共線,

X2

所以XH---=1,即X=—,

23

2

所以BG=g3E,

3丸

所以BE=ABE+/JBA=—BG+juBA,

又產(chǎn),AG三點共線，

所以=+〃=1,

2

,11321r532115c〃5萬

所CC以I丁+―=（z虧+〃W）（1+—）=3+才x—+〃X]之彳+2丁X]=彳+J6,

幾〃24〃22〃42V24X2

當(dāng)且僅當(dāng)翌=5,即2=6-2指,〃=、后一2時等號成立，

2〃43

故的最小值為之+

2

故選：B.

8.已知正方體ABC?！?4GA的體積為16后，則四棱錐a—ABC。與四棱錐用—A3CD重疊部分

的體積是（）

A正B.2A/2

「8萬N10A/2

33

【答案】D

【解析】

【分析】易知四棱錐A-A3CD與四棱錐與-ABCD重疊部分為一個三棱柱加上一個四棱錐，作出圖

形，結(jié)合棱柱和棱錐的體積公式計算即可求解.

【詳解】如圖，

四棱錐A-ABCD與四棱錐B「ABCD重疊部分為五面體ABE-DCE、,

又該正方體的體積為16，即AB=16應(yīng)，

解得AB=20，則EE|=；BC=0,

所以==SABE=SCDEi=^AEBE=2,

又該五面體由一個三棱柱和一個四棱錐組成，如圖，

故該五面體ABE-DCE,的體積為

v_lRro1o_9/T+472_10V2

V—ABD+

ABE-CDEl2JABE十3〃4-ABCO^~3~3'

故選：D

第n卷(非選擇題共88分)

二、填空題(本題共6小題，每題5分，共30分)

9.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=7—9i,則2=.

【答案】—1—8i

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算法則即可求解.

7-9i(7-9i)(l-i)7-7i-9i-9

【詳解】由2(l+i)=7—9i,可得z=—=＜八.、〉?、=——4^=—1—8i.

l+i(l+i)(l-i)2

故答案為：—1—8i.

10.若用斜二測畫法畫VA3C的直觀圖,A'B'C'是邊長為2的正三角形，如圖所示，則原VA3C的面積

為.

【答案】2,

【解析】

【分析】先用斜二測畫法的原理還原出原三角形的高和底邊長，再由三角形的面積公式求解即可.

【詳解】如圖，過點C作'軸，且交X,軸于點

過點C‘作C'。'，軸，且交/軸于點DC,

則CD=0，又ZC'M'D'=45°，

所以CM'=n，所以原三角形的高CM=2#，底邊長為2,

所以AS=2,則原VABC的面積為S=L-A8?CM=JX2X2#=2#.

22

7T—

11.在VABC中，若c=3,C=g,其面積為石，則a+/?=.

【答案】V21

【解析】

【分析】先根據(jù)三角形面積公式求出ab的值，再結(jié)合余弦定理求出(。+勿2的值，進(jìn)而求出的值.

【詳解】已知C=工，SABC=6代入面積公式可得：V3=-^sin-

3“023

則可得：ab=4.

22

2

根據(jù)余弦定理為C?=合+廿-2"cosC,可得32=/+/,-2a&cos-

3

2

則9=4+人2一“人.即9=(a+1?)。-lab-ab=(a+Z>)-3ab，

把曲=4代入可得：9=(a+b)2—3x4,即(a+b)?=9+12=21.

由于a,6為邊長，可得。+人=商.

故答案為：0T.

12.已知VA3C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

①若sin2A=sin2B,則7ABe定為等腰三角形

②若力+。2—。2>0,則VA5C一定是銳角三角形

③若點M是邊BC上的點，且AM=2A3+，AC,貝kAMC的面積是VA3C面積的1

333

④若VA3C平面內(nèi)有一點。滿足：OA+OB+OC=Q^且|。41=|。81=|OC|，則VA3C為等邊三角形

(\

⑤。為VA3C平面內(nèi)一點，若動點P滿足。尸=-+2?~,-------------+i~,--------------，

21A聞cos3叫cosC,

2e(0,4w),則動點尸的軌跡一定通過VA3C的外心.其中所有正確結(jié)論的序號.

【答案】④⑤

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式求解判斷①；利用余弦定理推理判斷②；利用向量線性運算判斷③；利用三角形心的

向量表示判斷④；利用向量數(shù)量積判斷⑤即可得解.

【詳解】對于①，在VABC中，由sin2A=sin23,得2A=28或24+28=兀，

7T

即A=5或A+3=—,則VA3C是等腰三角形或直角三角形，故①錯誤；

2

7,22_2

對于②，由片+〃_02>0及余弦定理，得cosC="?——>0,

2ab

又0<。<兀，則C為銳角，而A3是否為銳角不確定，故②錯誤；

對于③，由AMUZAB+’AC,得AM—AB=」AC—^BM=-BC,

33333

2—2

則CA/=—C3,則_4〃。的面積是VA3C面積的一，故③錯誤；

33

對于④，記BC的中點為以，則(W=g(03+0C),

由。4+OB+OC=0，得。4=—2。M，即。在中線AM上，

同理可得點。在其他中線上，故。是VA3C的重心，

由|OA|=|O3|=|OC|,得。是VABC的外心，即VABC的重心、外心重合，

則VA3C為等邊三角形，故④正確；

對于⑤，記3C中點為則0M=0'+℃,

2

「八八OB+OC,?5?AC

由0P=----------+2

2IABICOSBIACICOSC

AUAC

得。尸=OM+4—+一^—，

|AB|COSB|AC|COSC

(\

AHAC

所以MP=X?~?——+—，

1ABicos5|AC|COSC

(\

AJ^Ar

所以MP5C=4-------+|~—BC,

|AB|cosB|AC|COSC

(\

ABBCACBC

所以MP3C=X+=2(-|5C|+|BC|)=0,

網(wǎng)cos3|AC|cosCjv11117

所以MPLBC，所以MP是3C的垂直平分線，又VA3C的外心在3C的垂直平分線上，

所以動點P的軌跡一定通過VA3C的外心，故⑤正確.

故答案為：④⑤.

13.已知正方體ABC?！狝瓦￡2的棱長為4,點E是棱。的中點，尸為四邊形CDRG內(nèi)(包括邊界)

的一動點，且滿足4P//平面A4IE，耳尸的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分的外接球的體積為

【答案】8娓兀

【解析】

【分析】作出輔助線，得到平面4BE//平面耳MN,確定當(dāng)P在線段上運動時，滿足用P//平面

BAR用尸的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分為三棱錐￡-四MN,求出外接球半徑，得到外接

球體積.

【詳解】分別取G2,CG的中點",N,連接ME,CD1,

故MNIICD、,

因為A2//5C,TAJDJ=BC,

所以四邊形4。1以平行四邊形，

所以A3//DC，故MN//A3,

因為MNu平面gMN,平面耳MN,

所以45//平面gMN,

又點E是棱。的中點，所以ME=B3i，BB}//ME,

故四邊形片5EM為平行四邊形，

所以BE//B]M,

又用Mu平面用MN,BE.平面耳MN,

所以5E//平面耳MN,

因為45BE=B,AB,BEu平面ABE,

所以平面AtBE//平面B〔MN,

故當(dāng)P在線段肱V上運動時，滿足用P//平面BAE,

其中GM,C[N，GBi兩兩垂直，且CXM=GN=2,Bg=4,

故其外接球半徑為互+2?+42=瓜,

2

故較小部分的外接球的體積為，兀（指了=8府.

故答案為：8A/6TI

14.在梯形ABC。中，AB〃a）,AO=l,AB=3,CD=l,AM=gAB,CM與3D相交于點。.若

13

MP=-MC,則AQ-DP=；若AC?AB=e，N為線段AC延長線上的動點，則NQ-NB的

最小值為?

523

【答案】—

936

【解析】

【分析】易得四邊形AMCD為平行四邊形，設(shè)CQ=/IMC=/IA。，再將A。用A3,AD表示，根據(jù)

民。,。共線，求得2,再將DP用A3,A方表示，根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求出AQ-DP；根據(jù)

AC-A5=]AD+gA5}A5=g求得/癡。=會，以點A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)

2V（X,A/3X）,X>|,再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求出答案.

【詳解】解:因為AB〃C￡）,AD=1,AB=3,CD=LAM=』AB,

3

所以A"=CD,

所以四邊形AMCD為平行四邊形，

所以AD〃MC且AD=MC,

則可設(shè)CQ=2A/C=；LA。，

___________1______.1_.____1_____

故AQ=AM+MQ=3AB+MC-QC=3AB+(l+2)MC=§AB+(l+；l)A￡),

因3,。,。共線,

所以』+1+4=1,解得力=一工，

33

——1?2-

所以AQ=mAB+§AD,

因為”P=』MC,

3

所以￡>P=ZM+AM+MP=—A￡>+!AB+!AD=，AB—2AD,

3333

^^AQDP=\-AB+-AD\\-AB--AD\=-AB2--AD2=-；

U3JU3J999

---..i-

因為AC=A￡>+AM=A￡>+—AB,

3

所以ACA3=[AD+gAB}A3=ADAB+；AB2=3cosZBAD+3=|,

所以cos/BAD=--,

2

27r

又NB4D?0,?),所以NR4D=W，

因為CQ=—；MC,所以「0=今河。，

如圖以點A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，

則中岑m冏3,°),

設(shè)N(尤,

<2JQ)

故NQ=——x,------A/3X,NB=?—x,一6大),

、33J

(2Q\id

則NQ?7VB=--x,———A/3X?^3-X,-A/3X^=4x2-—x+2,

723

當(dāng)兀==時，NQ?MB取得最小值,.

1236

523

故答案為：—；—.

936

三、解答題(本題共5道大題，共58分)

15.在VABC中，角A,B,。所對的邊分別為〃，b,c,且可2+限2=回2—2。。.

(1)求sin5；

(2)若。=y/3，b=2.

①求cos2A—(的值;

②求VA3C的面積.

【答案】(1)必；(2)①無；2^1.

322

【解析】

【分析】(1)由余弦定理求得cosB,再求得sinB；

(2)①由正弦定理求得sinA,由a<Z?得A為銳角，從而求得A角，然后計算函數(shù)值;

②由余弦定理求得c后可得三角形面積.

【詳解】屈2+6c2—2ac得a?+c?—b?=—33ac，

3

2月

由余弦定理知，_a1+C1-b2-----------CIC_A/3.

cosB=----------3=

lac2ac一3"

又6￡(0,?)，所以sin3=A/1-COS2B-76

V

RV6

ab

(2)(i)由正弦定理知,asinB"3y[2

sinA=

sinAsinBb2-V

又所以Ae0,引，所以A，71

4

7C7171

cosI2A—-\=cosI2x--=cos——=

346

(ii)由Z/=4+/—2accosiS，即。2+2。=1，解得。=行一1(舍去負(fù)根),

所以VABC的面積S=Lacsin3=Lx6x(0—l)x1=2^g.

2232

【點睛】易錯點睛：本題考查余弦定理、正弦定理、三角形面積公式，在解三角形中由正弦求余弦值時,

需要確定角的范圍，余弦值是正還是負(fù)，否則易出現(xiàn)錯誤.判斷方法如大邊對大角，或者三角函數(shù)的性

質(zhì).

16.如圖，在直三棱柱ABC—451cl中，側(cè)面5。。1用，AB與A均為正方形，AB^BC=1,

NA6C=90。，點。是棱AC中點?

(1)求證：平面Ago,平面ACGA；

(2)求證：36//平面4片。；

(3)求點4到平面A耳。的距離.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析(3)B

3

【解析】

【分析】(1)先證明線面垂直即耳。垂直于平面ACG4內(nèi)的兩條相交直線，再證根據(jù)面面垂直的判定證

明即可.

(2)找△AB1。的中位線即證明OD/ABC],再根據(jù)線面平行的判定證明即可.

(3)利用等體積求解即可.

【小問1詳解】

由題意

...VA5C為等腰直角三角形，

在三棱柱A3C—4與G中，側(cè)面BCG與，A551A均為正方形，

易知：△4301為等腰直角三角形，

又。是棱的AC中點，則4DAAG-

由A&JL平面AgG，4Du平面AgG，則44]，笈。，而A41cAe1=A，且A/、AGu平面

ACGa，

3QJ_平面ACGA，又5]Du平面AB]￡),

/.平面ABXD1平面ACQA；

【小問2詳解】

設(shè)。是AB-BA1的交點，又為正方形，則。為84的中點,

.?.在△BAG中，OD//BC,,

又OQu平面Ago,3。1<2平面4片。，，3。1//平面44。；

【小問3詳解】

由(1)知:

AD=-AC,=—，而懼=1,則AO=逅，又B、D=叵,

'2-2212

BDAD

"SADB}=^l-=^-^

由SQB,則匕一&必=；用心4期=^，

又^A-A[DBl=VVA期，若A到平面AB.D的距離為d,

???，也.以=J，可得d=43.

3-123

17.2024年奧運會在巴黎舉行，中國代表團(tuán)獲得了40枚金牌，27枚銀牌，24枚銅牌，共91枚獎牌，取得

了境外舉辦奧運會的最好成績，運動員的拼搏精神給人們留下了深刻印象.為了增加學(xué)生對奧運知識的了

解，弘揚奧運精神，某校組織高二年級學(xué)生進(jìn)行了奧運知識能力測試.根據(jù)測試成績，將所得數(shù)據(jù)按照

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示.

頻率

(2)試估計本次奧運知識能力測試成績的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表)；

(3)該校準(zhǔn)備對本次奧運知識能力測試成績不及格(60分以下)的學(xué)生，采用按比例分配的分層隨機(jī)抽

樣方法抽出5名同學(xué)，再從抽取的這5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)進(jìn)行情況了解，求這2名同學(xué)分?jǐn)?shù)在

[40,50),[50,60)各一人的概率.

【答案】⑴82分;

(2)71分；

(3)

5

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率和為1求得。=0.03,再由百分位數(shù)的定義求第75百分位數(shù)；

(2)由頻率直方圖的平均數(shù)求法求平均分；

(3)根據(jù)分層抽樣確定5人中[40,50),[50,60)的人數(shù)分布，再應(yīng)用列舉法求古典概型的概率.

【小問1詳解】

由題設(shè)(0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005)x10=1,可得Q=0.03，

由(0.01+0.015+0.015+0.03)x10=0.7<0.75,(0.07+0.025)x10=0.95>0.75,

所以樣本的第75百分位數(shù)位于區(qū)間［80,90),設(shè)為無，則Q7+(x—80)x0.025=0.75,

所以x=82分.

則其第75百分位數(shù)為82分.

【小問2詳解】

由題設(shè)0.1x45+0.15x55+0.15x65+0.3x75+0.25x85+0.05x95=71分；

則平均分為71分.

【小問3詳解】

由題設(shè)，［40,50）,［50,60）的頻率比為2：3,

故抽取的5人中［40,50）有2人為、［50,60）有3人為A,&C,

任抽2人有ab,aA,aB,aC,bA,bB.bC.AB,AC,BC,共10種情況,

其中分?jǐn)?shù)在［40,50）,［50,60）各一人有aA,aB,aC,bA,bB,人C,共6種情況，

所以這2名同學(xué)分?jǐn)?shù)在［40,50）,［50,60）各一人的概率磊=|.

18.在銳角三角形ABC中，瓦c分別為角A&C所對的邊，a=c-2acosB.

（1）證明：B=2A.

2

（2）求ulOs^iinnA的范圍.

4sinA-sinC

【答案】（1）證明見解析

（2）（203）

【解析】

【分析】（1）因為a=c—2acosB,由正弦定理得sinA=sinC—2sinAcos5,化簡得

sinA=sin（B-A）,則可得B=2A；

（2）在銳角三角形ABC中，由B=2A,可得A的范圍為（E，1），則sinAe］g,孝j將

.212

12snrA化簡得――,設(shè)y=4sinA+,，利用換元法令=4/+工，利用導(dǎo)數(shù)可

4sinA-sinC4sinA+^—sinA*v7t

sinA

得函數(shù)/（/）在］:，坐］上單調(diào)遞增，即可得到、.」j—（272,3）；即為⑵江”的范圍

（22）4sinA+—~~-4sinA-sinC

v7sinA

【小問1詳解】

因在銳角VABC中，a=c-2acosBf

由正弦定理得sinA=sinC-2sinAcosB，

則sinA=sin（A+-2sinAcosB,

所以sinA=sinAcosB+sinBcosA-2sinAcosB,

則sinA=sin（8—A）,所以6—A=A或5（舍去），

所以5=2A.

【小問2詳解】

?.兀

0<A<—

2

因為VA3C是銳角三角形，又5=2A,所以°<2A<I

7T

0<TI-3A<-

2

7TTT

所以A的范圍為（一,一），則sinAw

64

又5畝（7=51口（＞1+5）=5111（74+274）

=sinAcos2A+cosAsin2A

=sinA[（1-2sin?A）+2（1-sin?A）]

=sinA（^3-4sin2Aj=3sinA-4sin3A

222

n.12sinA12sinA12sinA

則------------=--------------=-----T------------------------

4sinA-sinC4sinA-sin3A4sinA+sinA

12

4sinA+—'―'

sinA

設(shè)y=4sinAd——--,

sinA

令/=sinA,te,

則/（。=射+；,f\t）=4-j>0,

所以/（。二射+工，在，子上單調(diào)遞增，

tI22J

所以/（。€卜,30）,即ye（4,3后），

貝i]Ue（2后,3）,即：]e",3）,

y\）4sinA+------

sinA

所以12sin2”的取值范圍是&0,3）.

4sinA-sinC

19.如圖，在菱形ABC。中，A3=3,NA3C的余弦值為:，河為3c靠近8的三等分點，將一沿