第07講確定圓的條件

蚓內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

匕教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

5大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

R-思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測(cè)

穩(wěn)提升〈小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識(shí)

s知識(shí)點(diǎn)1確定圓的條件

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

⑵知識(shí)點(diǎn)2三角形的外接圓與外心

1.三角形的外接圓

經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。

2.三角形的外心

三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它叫做這個(gè)三角形的外心。

8練習(xí)地講典例

教材習(xí)題01

如圖，已知贏.試確定彳百所在圓的圓心.解題方法

圓的性質(zhì)

【答案】

如圖所示:

(1)作線段AB的垂直平分線EF;

(2)在五上任取一點(diǎn)C,作線段BC的垂直平分線

GH,交EF于點(diǎn)。，

點(diǎn)。即為然所在圓的圓心.

教材習(xí)題02

如圖，在四邊形ABCD中，/A=NC=90°.經(jīng)過A、B、。三點(diǎn)

作。O,點(diǎn)。在。O上嗎？試說明理由.

解題方法

判斷點(diǎn)在圓上

【答案】

?「Z.BAD=乙BCD=90°,的中點(diǎn)為O,

OA.OC分別是AQA3。、RtZXCSO的斜邊上

的中線，

OA=OB=OD=^-BD,

12

OC=OB=OD=-BD,

：.OA=OB=OD=OC,

.?.點(diǎn)。在過4、B、。三點(diǎn)的?O上.

練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)/XttAHlr\

考點(diǎn)一判斷確定圓的條件

1.(24-25九年級(jí)上,浙江溫州?階段練習(xí))如圖是一塊被打碎的圓形玻璃，若想要去店里配到一塊與原來(lái)大

小一樣的圓形玻璃，應(yīng)該帶去店里的碎片是()

A.①B.②C.③D.@

【答案】B

【分析】本題考查了確定圓的條件，根據(jù)不在一條直線上三點(diǎn)確定一個(gè)圓即可解得，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握?qǐng)A上任意兩弦的垂直平分線的交點(diǎn)即為該圓的圓心.

【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，只要有一段弧，即可確定圓心和半徑,

...小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是②，

故選：B.

2.(24-25九年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí))已知M(l,2),N(3,-3),P(x,y)三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，則以下P點(diǎn)

坐標(biāo)不滿足要求的是()

A.(3,5)B.(-3,5)C.(-1,7)D.(1,-3)

【答案】C

【分析】考查了確定圓的條件及一次函數(shù)圖象與點(diǎn)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解“不在同一直線上的三點(diǎn)

確定一個(gè)圓”，難度不大.利用待定系數(shù)法求出直線MN的解析式，再把每點(diǎn)代入函數(shù)解析式，根據(jù)不在

同一直線上的三點(diǎn)能確定一個(gè)圓，由于(-1,7)在直線MN上，可知答案.

【詳解】解：設(shè)直線MN的解析式為y=kx+6,

.[k+b=2

'(3/c+b=-3'

5

k=—

解得192,

b=-

k2

5,9

???y=——%+一,

J22

A、當(dāng)久=3,y=-|x3+幸=一3H5,故(3,5)不在直線MN上，根據(jù)不在同一直線三點(diǎn)確定一個(gè)圓得

(3,5)與時(shí)(1,2),N(3,—3)可以確定一個(gè)圓，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、當(dāng)?shù)?—3,y=-|x(―3)+幸=12H5,同理，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、當(dāng)x=-1,y=-|x（-1）+g=7,故（一1,7）在直線MN上，故不能確定一個(gè)圓，故本選項(xiàng)符合題意；

D、x-1,y=-1x1+幸=2大—3,同理，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

3.（24-25九年級(jí)上,江蘇泰州?期中）已知4B=4cm,經(jīng)過A,2兩點(diǎn)作圓，則所作的圓的半徑最小是一

cm.

【答案】2

【分析】本題考查的是確定圓的條件，熟知經(jīng)過線段AB最小的圓即為以為直徑的圓是解答此題的

關(guān)鍵.

經(jīng)過線段AB最小的圓即為以4B為直徑的圓，求出半徑即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：經(jīng)過線段4B最小的圓即為以力B為直徑的圓，則此時(shí)半徑為2cm.

故答案為：2.

考點(diǎn)二求能確定的圓的個(gè)數(shù)

1.（24-25九年級(jí)上?浙江嘉興?期中）過同一平面內(nèi)A,B,C三個(gè)點(diǎn)作圓，可以作出的個(gè)數(shù)為（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.0個(gè)或1個(gè)

【答案】D

【分析】本題考查確定圓的條件，分三點(diǎn)共線和不共線求解即可.

【詳解】解：若平面內(nèi)A,B,C三個(gè)點(diǎn)共線，則過三點(diǎn)不能作出一個(gè)圓，

若平面內(nèi)A,B,C三個(gè)點(diǎn)不共線，則過這三點(diǎn)能作出1個(gè)圓，

故過同一平面內(nèi)A,B,C三個(gè)點(diǎn)作圓，可以作出的個(gè)數(shù)為。個(gè)或1個(gè).

故選：D.

2.（23-24九年級(jí)上.河北張家口?期末）如圖，點(diǎn)A,B,C均在直線/上，點(diǎn)尸在直線/外，則經(jīng)過其中任

意三個(gè)點(diǎn)，最多可畫出圓的個(gè)數(shù)為（）

P.

ABC

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【分析】本題主要考查了確定圓的條件，根據(jù)不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，

取點(diǎn)P,再取A、B、C中的任意兩點(diǎn)，都可以確定一個(gè)圓，

最多可以確定3個(gè)圓（過尸、A、8三點(diǎn)，過P、A、C三點(diǎn)，過P、B、C三點(diǎn)），

故選B.

考點(diǎn)三確定圓心(尺規(guī)作圖)

1.(2025九年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)48、C,其中，B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,4),

則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為()

A.(2,1)B.(2,2)C.(2,0)D.(2,-1)

【答案】C

【分析】本題考查由弧確定所在圓的圓心，涉及垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，作弦4B和

BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心.熟練掌握通過圓弧，由垂徑定理的推論確定弧所在圓的圓心方法是解

決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，作弦4B和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為

圓心.

???4(0,4)、8(4,4),

A與B關(guān)于直線久=2對(duì)稱，

即久=2垂直平分48：

???C(6,2),

???BC中點(diǎn)坐標(biāo)是(5,3),

則連接(2,0)與(5,3),剛好是正方形的對(duì)角線，

即這條正方形對(duì)角線垂直平分BC；

如圖所示：

則圓心是(2,0),

故選：C.

2.(24-25九年級(jí)上?河北承德?期末)如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格圖中建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，一條

圓弧經(jīng)過格點(diǎn)4(0,2),B(4,2),C(6,0).圓心為。，則。的坐標(biāo)是.

【答案】(2,-2)

【分析】本題主要考查垂徑定理，點(diǎn)的坐標(biāo)，通過作圖，確定圓心的位置是解題的關(guān)鍵.

找到48,BC的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心，再求其坐標(biāo)即可.

【詳解】解：如圖，連接BC,分別作力B,BC的垂直平分線交于點(diǎn)0,

由圖可得。點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2),

故答案為：(2,—2)；

3.(24-25九年級(jí)上?甘肅?階段練習(xí))要將如圖所示的破圓輪殘片復(fù)制完成，請(qǐng)你先幫忙找出這個(gè)圓輪殘片

的圓心.(用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了確定圓的圓心位置，一個(gè)圓的圓心一定在該圓一條弦的垂直平分線上，則在

弧AB上任取一點(diǎn)C,作線段力C,BC的垂直平分線，二者交于點(diǎn)O,則點(diǎn)。即為所求.

【詳解】解：如圖所示，在弧4B上任取一點(diǎn)C,作線段的垂直平分線，二者交于點(diǎn)O,則點(diǎn)。

即為所求.

4.(2025?河北石家莊?一模)某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓

形截面的半徑，如圖，是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

(1)請(qǐng)找出截面的圓心。.(尺規(guī)作圖不寫畫法，保留作圖痕跡.)

(2)若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB=12cm,水面最深的地方為4cm,求這個(gè)圓形截面的半徑.

【答案】(1)見解析；

(2)這個(gè)圓形截面的半徑6.5cm

【分析】此題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理.

(1)任取一條弦力C,分別作AC,4B的垂直平分線交點(diǎn)即為圓心，根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟和方法做出圖

即可；

(2)連接02,?！?148交48于點(diǎn)后，交弧2B于點(diǎn)。，利用垂徑定理求出4E==6cm,設(shè)半徑為

rem,貝!JOE=0D-DE-(jr-4)cm,再根據(jù)勾股定理列方程計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：如圖，點(diǎn)。即為所求，

(2)解：如圖，連接。40E1A8交4B于點(diǎn)E,交弧4B于點(diǎn)

.'.AE=-AB=6cm,

2

由題意得，DE-4cm,

設(shè)半徑為rem,貝(JOE=OD—DE=(r—4)cm,

在RtAOAE中，OA2=OE2+AE2,

：.r2="4)2+62,

解得r=6.5cm,

，這個(gè)圓形截面的半徑6.5cm.

5.(24-25九年級(jí)上?河南許昌?期中)如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦4B的垂直平分線交弧42于點(diǎn)C,交

弦力B于點(diǎn)D.

(1)求作此殘片所在的圓(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)已知：AB=16,CD=4.求(1)中所作圓的半徑.

【答案】(1)見解析

(2)此殘片所在圓的半徑為10.

【分析】本題考查圓的垂徑定理，勾股定理，熟練掌握通過垂徑定理找圓心，通過勾股定理構(gòu)造方程

求邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

(1)由于CD是弦力B的垂直平分線，則圓心在直線CD上，因此連接4C,圓心在4C的垂直平分線上，

故作4C的垂直平分線，交CD于點(diǎn)O,則點(diǎn)。就是所求的圓心；

(2)連接20,設(shè)半徑為x,即40=C0=x,則。。=C。一CD=%-4,根據(jù)CD是4B的垂直平分線，

得到乙4。。=90。，AD=^AB=8,因此在RtAAD。中，根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程，即可求出x的值，

即為此殘片所在圓的半徑.

【詳解】(1)解：如圖，點(diǎn)。為所求的圓心.

(2)解：連接40,

設(shè)半徑為x,即4。=。。=%,

：.D0=CO-CD=x—4,

???CD是43的垂直平分線，

：.^ADO=90°,

I1

AD=-AB=-x16=8,

22

.?.在RtAAD。中，AD2+DO2=AO2,

即82+(x—4)2=/,

解得：x=10,

...此殘片所在圓的半徑為10.

考點(diǎn)四求三角形外心坐標(biāo)

1.(2025九年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4(0,-3),B(2,-1),C(2,3).則A4BC的

外心坐標(biāo)為()

A.(0,0)B.(-1,1)

【答案】D

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，外心的性質(zhì)與定義，兩點(diǎn)距離公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知外

心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn).由BC兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以得到直線BC|]y軸，則直線的垂直平分線為

直線y=l,再由外心的定義可知外心的縱坐標(biāo)為1,設(shè)AABC的外心為P(a,l),利用兩點(diǎn)距離公

式和外心的性質(zhì)求解，即可解題.

【詳解】解：；B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),

二直線BC||y軸，

二直線BC的垂直平分線為直線y=1,

???外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，

.-.△ABC外心的縱坐標(biāo)為1,

設(shè)△A8C的外心為P(a,l),

PA2=a2+(1+3尸=a?+16=PB2=(a-2)2+(1+l)2=a2-4a+8,

a?+16=a?-4a+8,

解得a=-2,

△ABC外心的坐標(biāo)為(-2,1),

故選：D.

2.(24-25九年級(jí)上?全國(guó)?期末)圖中△ABC的外心坐標(biāo)是

【答案】(5,2)

【分析】本題主要考查了三角形外心的定義，根據(jù)三角形外心的定義作三角形兩邊的垂直平分線，根

據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，很容易作出48與BC的垂直平分線，則它們交點(diǎn)的坐標(biāo)為所求.

【詳解】解：作48,BC的垂直平分線交點(diǎn)尸，如圖，

則點(diǎn)尸為A4BC的外心,

P點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2).

故答案為：(5,2).

3.(24-25九年級(jí)上?河北承德?期末)如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格圖中建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，一條

圓弧經(jīng)過格點(diǎn)4(0,2),B(4,2),C(6,0).圓心為。，則。的坐標(biāo)是.

【答案】(2,-2)

【分析】本題主要考查垂徑定理，點(diǎn)的坐標(biāo)，通過作圖，確定圓心的位置是解題的關(guān)鍵.

找到48,BC的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心，再求其坐標(biāo)即可.

【詳解】解：如圖，連接BC,分別作力B,BC的垂直平分線交于點(diǎn)0,

考點(diǎn)五求特殊三角形外接圓的半徑

1.(24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期中)如圖，在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖中，2C經(jīng)過格點(diǎn)4B、C,

則該弧所在圓的半徑是.

【答案】V5

【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，確定圓心，作的垂直平分線交于點(diǎn)。，連接2。，勾

股定理，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，作的垂直平分線交于點(diǎn)0,連接40,

：.A0="2+22=V5,

故答案為：V5.

2.(24-25九年級(jí)上?江蘇連云港?期中)如圖所示，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為2(0,5),B(-2,1),C(4,l),

則4ABC外接圓半徑的長(zhǎng)為.

【答案】V10

【分析】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，能夠根據(jù)三角形外心

的性質(zhì)來(lái)判斷出△4BC外心的位置是解答此題的關(guān)鍵.

三角形的外心是三邊中垂線的交點(diǎn)，由8、C的坐標(biāo)知：圓心M(設(shè)AABC的外心為M)必在直線x=1

上，由圖知：4C的垂直平分線正好經(jīng)過(1,2),由此可得到M(l,2),連接MB,過M作作MD1BC于點(diǎn)D,

由勾股定理即可求得M的半徑長(zhǎng).

【詳解】解：設(shè)A/IBC的外心為M,

--15(-2,1),C(4,l),

二M在直線x=1上，

：4(0,5),C(4,l),

AEA=EC=4,

...△E4C為等腰直角三角形，

/.由圖可知4C的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)(1,2),

過點(diǎn)用作MD1BC于點(diǎn)、D,連接MB,

:在RtZkMBD中，MD=1,BD=3,

...由勾股定理得：MB=7MD2+BD2=VIU,

...△ABC外接圓半徑的長(zhǎng)為VTU,

故答案為：Vio.

3.（23-24九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期中）在RtAABC中4c=90。,AC=3,BC=4,則它的外接圓的半徑為.

【答案】|

【分析】本題考查了三角形外接圓，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，勾股定理；由勾股定理求得斜邊，

由斜邊上中線性質(zhì)得三角形外接圓半徑.

【詳解】解:由勾股定理得：BC=7AC2+BC2=5,

由于直角三角形外接圓圓心在斜邊的中點(diǎn)，半徑為斜邊的一半，

所以Rt△ABC外接圓的半徑為|,

故答案為：|.

4.（2025?江蘇南京?一模）已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為6cm,則它的外接圓半徑長(zhǎng)為—cm.

【答案】2V3

【分析】本題考查了等邊三角形外接圓半徑的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用等邊三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)

關(guān)系求解.

如圖，連接OB、OC,過點(diǎn)。作。HLBC于H,利用等邊三角形的性質(zhì)乙4=60。，由圓周角定理得，得

乙BOC=2乙4=120°,再借助。B=OC,OH1BC和三角函數(shù)求出外接圓半徑.

【詳解】如圖，連接08、OC,過點(diǎn)。作。H1BC于H,

???△ABC為等邊三角形，

???乙4=60°,

由圓周角定理得：

(BOC=2/-A=120°,

???OB=OC,OH1BC,

：.ABOH=60°,BH=HC=-BC=3cm,

2

.?.OB=———=4=2V3(cm),

sin4BOHV3k7

2

故答案為：2色.

8串知識(shí)識(shí)框架

知識(shí)導(dǎo)圖記憶

《工，知識(shí)目標(biāo)復(fù)核

i.確定圓的條件

2.確定圓心

3.求三角形外心坐標(biāo)

4.求特殊三角形外接圓的半徑

過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升

一、單選題

1.(24-25九年級(jí)下?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí))下列命題中，其中正確的是()

A.經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓B.三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

C.度數(shù)相等的弧是等弧D.相等的圓周角所對(duì)的弧相等

【答案】B

【分析】本題考查了命題，根據(jù)圓的基本知識(shí)點(diǎn)，三角形外心的性質(zhì)，逐一判斷即可.

【詳解】解：A、同一平面內(nèi)，不共線的三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓，故原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故原說法正確，符合題意；

C、同圓或等圓中，度數(shù)相等的弧是等弧，故原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，故原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B.

2.(2025?安徽合肥?一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)4(0,4),B(-4,4),C(-6,2)都在0M上,

則OM的半徑為()

A.2V5-2B.2C.2V5D.2遮+2

【答案】C

【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，確定圓心，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系；分別作2B、BC的垂直平分線,

其交點(diǎn)即為點(diǎn)M,進(jìn)而求得圓的半徑.

【詳解】解：如圖所示，分別作AC、BC的垂直平分線，其交點(diǎn)即為點(diǎn)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0),

,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),

二?！钡陌霃綖椋?2+42=2V5,

故選：C.

x

3.（24-25九年級(jí)上?陜西延安?期末）三角形的外心是（）

A.三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)B.三角形三條角平分線的交點(diǎn)

C.三角形三邊高線的交點(diǎn)D.三角形三條中線的交點(diǎn)

【答案】A

【分析】本題考查的是三角形的外接圓與外心，熟知三角形外心的定義是解答此題的關(guān)鍵.直接根據(jù)外

心的定義進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)叫三角形的外心，

.?.三角形的外心是三角形的三邊垂直平分線的交點(diǎn).

故選：A.

4.（24-25九年級(jí)上?江西宜春?階段練習(xí)）在RtATIBC中，ZC=90°,N4=60。，BC=4,則這個(gè)三角形的

外接圓的直徑是（）

A.8B.—C.—D.4

33

【答案】c

【分析】本題考查了三角形的外接圓的性質(zhì)，直角三角形30。角的性質(zhì)以及勾股定理.根據(jù)30。所對(duì)的

直角邊等于斜邊的一半，然后根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：：在Rt△力BC中，NC=90。，/.A=60°,

."B=30°,

：.AC=-AB,

2

根據(jù)勾股定理得：BC2+AC2=AB2,

即42+64B）^AB2,

解得：48=第，

這個(gè)三角形的外接圓的直徑是喀，

故選：c.

5.(24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4(0,—2),B(2,0),C(2,2).貝的

外心坐標(biāo)為()

A.(0,0)B.(-1,0)

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的外心，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的外心的定義.根據(jù)三角心的外心是三

角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，分別作BC、4B的垂直平分線交于點(diǎn)P,即可求解.

【詳解】解：如圖，分別作BC、4B的垂直平分線交于點(diǎn)P,點(diǎn)P(-1,1)即為所求,

故選：C.

6.(2023九年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí))如圖的方格紙中，每個(gè)方格的邊長(zhǎng)為1,4、。兩點(diǎn)皆在格線的交點(diǎn)上,

今在此方格紙格線的交點(diǎn)上另外找兩點(diǎn)8、C,使得A/IBC的外心為。，求BC的長(zhǎng)度為()

A.4B.5C.V10D.V20

【答案】D

【分析】本題考查三角形的外接圓與外心，勾股定理，關(guān)鍵是掌握三角形的外心的性質(zhì).三角形外心

的性質(zhì)：三角形的外心到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，由此得到08=。。=。4從而確定8、C的位置.

【詳解】解：ABC的外心為O,

：.0B=0C=0A,

'：0A=Vl2+32=V10,

OB=0C=V10,

；B、C是方格紙格線的交點(diǎn)，

.'.B,C的位置如圖所示，

：.BC=V22+42=V20.

故選：D.

二、填空題

7.（23-24九年級(jí)上?湖北武漢.階段練習(xí)）在△ABC中，AB=AC5,BC=6,則它的外心到頂點(diǎn)A的距

離為.

【答案】.

【分析】本題考查三角形外心，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理.根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)A/BC的外心為

0,連接。B,2。，并延長(zhǎng)2。交BC于H,由等腰三角形的性質(zhì)得到=|X6=3,71H1BC,

由勾股定理求出AH=7AB2—BH2=4,由外心性質(zhì)得。4=0B,再設(shè)。4=OB=X,貝!|0H=AH-

0A=4-x,由勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，設(shè)△力8C的外心為0,連接OB,A0,并延長(zhǎng)4。交BC于X,

■：AB=AC,。是△4BC的外心，

AOA=OB,AH1BC,

：.BH=-BC=-%6=3,

22

在中，由勾股定理，得

AH=7AB2-BH2="52-32=4,

設(shè)。A=0B=x,貝！J。"=AH-0A=4-x,

在RtAAHB中，由勾股定理，得

/=32+(4-x)2,

解得：%=?，

O

0A=—,

8

故答案為：

O

8.(22-23九年級(jí)上?陜西渭南?階段練習(xí))如圖，點(diǎn)。是A/IBC的外心，連接。4、0B,若N0B4=20°,則〃OB

的度數(shù)為.

【答案】1407140

【分析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

【詳解】?.?點(diǎn)。是△ABC的夕卜心

OA=OB

???△40B是等腰三角形

???^OBA=20°

???立力。B=180°-20°x2=140°

故答案為：140°

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外接圓與外心，三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角

形外心的性質(zhì)解題的關(guān)鍵.

三、解答題

9.（2024九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在四邊形4BCD中，乙4=90°,AB=5陋,BC=8,CD=6,AD=5.求

證：4B,C,D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

【答案】見解析

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性質(zhì)，圓的確定，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的

關(guān)鍵.連接BD,先由勾股定理得出BD的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理逆定理得出乙BCD=90。，取BD的中點(diǎn)

O,連接。&。4,根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可證明.

【詳解】證明：連接BD,

,.VX=90°,AB=5V3MD=5,

：.BD=yjAD2+AB2=10,

又BC=8,CD=6,62+82=102,

???CD2+BC2=BD2,

???4BCD=90°,

取BD的中點(diǎn)。，連接oc,oa,

1_

??OA=OB=OC=OD=-BD,

2

.?.點(diǎn)4B,C,D在同一個(gè)圓上.

10.(24-25九年級(jí)上?江蘇泰州?期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中的網(wǎng)格中，有一個(gè)格點(diǎn)△力BC(即三

角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上)，其中點(diǎn)4(2,5),點(diǎn)3(5,4),點(diǎn)。(5,2).

⑴填空：△ABC的外心M的坐標(biāo)為；△&8C的外接圓半徑長(zhǎng)為；

(2)僅用無(wú)刻度的直尺，作出48的中點(diǎn)0.(不寫作法，保留作圖痕跡)

【答案】⑴(3,3)；V5

(2)見詳解

【分析】本題考查的是畫三角形的外接圓的圓心，垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用；

(1)根據(jù)外心是三角形的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，以及運(yùn)用網(wǎng)格特征作圖，再結(jié)合勾股定理列式計(jì)

算，即可作答.

(2)結(jié)合網(wǎng)格特征，取格點(diǎn)記為T,連接MT,與弧4B的交點(diǎn)為D,即可作答.

【詳解】(1)解：依題意，外心的定義：三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，

故4A8C的外心M在4c和BC的垂直平分線的交點(diǎn)上，

如圖所示：

...△ABC的外心M的坐標(biāo)為(3,3),

則AABC的外接圓半徑長(zhǎng)為M22+12=V5；

故答案為:(3,3),V5

(2)解：依題意，48的中點(diǎn)。如圖所示.

11.(24-25九年級(jí)下?河南新鄉(xiāng)?開學(xué)考試)如圖，在△ABC中，AB=AC.

⑴請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作出△ABC的外接圓。(保留作圖痕跡，不寫作法);

(2)若8c=8,NC=30。，求此外接圓的半徑.

【答案】（1）見解析

⑵竽

【分析】

本題考查作圖一復(fù)雜作圖，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外接圓與外心等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握基本知識(shí).

（1）作線段A8,AC的垂直平分線交于點(diǎn)。，以。為圓心，0B為半徑作。。即可;

（2）證明AZOB是等邊三角形，求出2E,即可解決問題.

【詳解】（1）解：如圖，。。即為所求作.

（2）解：連接2。，交B