第20講雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

T模塊導(dǎo)航—素養(yǎng)目標(biāo)?

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.依據(jù)雙曲線的方程、圖形研究雙曲線的幾何性質(zhì);

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）2.據(jù)幾何條件求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并利用雙曲

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決相關(guān)的問題；

模塊四小試牛刀過關(guān)測(cè)3.能綜合利用雙曲線的幾何性質(zhì)解決相關(guān)的問題.

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

中點(diǎn)弦問題

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理

知識(shí)點(diǎn)1雙曲線的幾何性質(zhì)

1、幾何性質(zhì)

q―6>0)^-f5=l(?>0-6>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程

y■

性質(zhì)圖形2彳

范圍Q或x>a,y￡Ry<—a或y>a,X￡R

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)

性質(zhì)頂點(diǎn)4(—a,0),也①，0)41(0,la)f，2(0,

實(shí)軸：線段小也，長(zhǎng)：2a；虛軸:線段8由2,長(zhǎng):2b；

軸

半實(shí)軸長(zhǎng)：a,半虛軸長(zhǎng)：b

C

離心率

e=tzE(l,+GO)

y=A,a

漸近線尸土丁

a

2、雙曲線漸近線求法

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的漸近線的方法中，最簡(jiǎn)單實(shí)用的就是把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中等號(hào)右邊的“1”

改成“0”，就得到了雙曲線的漸近線方程.

3、對(duì)雙曲線離心率的理解

22

在橢圓中，橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度.在雙曲線4=1（。〉0,6〉0）中，雙曲線的“張

ab

口”大小是圖象的一個(gè)重要特征.因?yàn)閑=9=如上=」1+二,所以當(dāng)2的值越大，漸進(jìn)線y=

aa\aaa

的斜率越大，雙曲線的'‘張口"越大，e也就越大，故e反映了雙曲線的“張口”大小，即雙曲線的離心率

越大，它的“張口”越大.

知識(shí)點(diǎn)2等軸雙曲線與共朝雙曲線

1、等軸雙曲線的性質(zhì)

在雙曲線中，若a=6,則雙曲線的長(zhǎng)軸和短軸相等，即等軸雙曲線，等軸雙曲線的性質(zhì)有：

（1）離心率：等軸雙曲線的離心率為：e=也；

（2）漸近線：等軸雙曲線的漸近線為：y=±x-,等軸雙曲線的漸近線互相垂直，且斜率分別為45。和135。.

2、共軌雙曲線

以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，與原雙曲線時(shí)一對(duì)共飄雙曲線.例如，雙曲線

2222

A—勺=1（。〉0）〉0）與斗―勺=1（。〉0,b>0）是一對(duì)共輾雙曲線，其性質(zhì)如下：

（Tb~b"a"

ci）已對(duì)共甄雙曲線有相同的漸進(jìn)線；

（2）已對(duì)共匏雙曲線有相同的焦距；

（3）共輾雙曲線的漸近線與直線x=±。及y=±b的四個(gè)交點(diǎn)，以及雙曲線的四個(gè)交點(diǎn)，八點(diǎn)共圓，圓心

為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為C（半焦距）；

,、上TCc,11a2b2

n可知共輾雙曲線的離心率雖然不同，但離心率的倒

（4）由于弓=一，e2=—,則—+===+--

abexe2cc

數(shù)的平方和等于常數(shù)1.

知識(shí)點(diǎn)3直線與雙曲線的位置關(guān)系

1、直線與雙曲線的位置關(guān)系

22

將雙曲線方程J-2=1與直線方程/：y=履+臺(tái)聯(lián)立消去V得到關(guān)于X的一元二次方程

ab

（b2-a2k2^x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0,

（1）當(dāng)〃-/后2=0,即4=±2,直線/與雙曲線的漸近線平行，直線/與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn);

a

（2）當(dāng)/一//片0,即后4±2,設(shè)該一元二次方程的判別式為4,

a

若A>0,直線與雙曲線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；

若A=0,直線與雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；

若』<0,直線與雙曲線相離，沒有公共點(diǎn)；

【注意】直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線不一定與雙曲線相切，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直

線與雙曲線相交，只有一個(gè)交點(diǎn).

22

2、弦長(zhǎng)公式：若直線/：^=履+加與雙曲線二-工=1（?>0,6>0）交于/（尤1/J,8（%2，%）兩點(diǎn)，

ab

則=J1+F上一引或J一%1（左w0）.

3、中點(diǎn)弦問題

與橢圓的解題策略一樣，既可以聯(lián)立直線與雙曲線的方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解，也可

以用點(diǎn)差法建立斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的等式關(guān)系求解

O>模塊三核心考點(diǎn)舉一反三------------------------------

考點(diǎn)一：由雙曲線方程研究幾何性質(zhì)

,2

X

（23-24高二上?河北鄭口?月考）若雙曲線~~v~y2=1的實(shí)軸長(zhǎng)為4,則正數(shù)加=（）

m+1

7

B.2D.-

2

【答案】A

【解析】由雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為4,有2j??+i=4,乂加>0,.?.機(jī)=退.故選：A.

【變式1-1］（23-24高二下?安徽淮北?開學(xué)考試）若雙曲線加f+j?=i的虛軸長(zhǎng)與實(shí)軸長(zhǎng)相等，則用的值

為（）

A.4B.-4C.-1D.1

【答案】C

【解析】依題意，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為了―一T,BPa2=\,b2=--,

----m

m

由于虛軸長(zhǎng)與實(shí)軸長(zhǎng)相等，所以b=a,即從=/,即-'=1,解得加=-1.故選：C

m

22

【變式1-2］（23-24高二?全國?專題練習(xí)）已知雙曲線r土-v匕=1與LV-X土=1,下列說法正確的是（）

916169

A.兩個(gè)雙曲線有公共頂點(diǎn)B.兩個(gè)雙曲線有公共焦點(diǎn)

C.兩個(gè)雙曲線有公共漸近線D.兩個(gè)雙曲線的離心率相等

【答案】C

fv2

【解析】雙曲線土-匕=1的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)都在X軸上，

916

而雙曲線心—E=l的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)都在V軸上，故A、B錯(cuò)誤;

169

224

雙曲線上-匕=1的漸近線方程為^=±:工,

9163

雙曲線二―工=1的漸近線方程為^=土加，故C正確;

1693

雙曲線工-式=1的離心率但至

916V93

22I------------

而雙曲線二―王=1的離心率02=13=5,故D錯(cuò)誤.故選：c.

169V164

2222

【變式1-3］（23-24高二上?重慶?月考）曲線一一+一^=1（m<6）與曲線，+工=1（5<n<9）

10-m6-m5-n9-n

的（）

A.焦距相等B.離心率相等

C.焦點(diǎn)相同D.頂點(diǎn)相同

【答案】A

【解析】因?yàn)榧?lt;6,則10-冽>6-加>0,

22________________________

可知一-——+——=1（加<6）表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，其焦品巨為2j（10—一）一（6—加）=4,

10-m6-m

又因?yàn)?<〃<9,貝|5—〃<0<9—〃，

22

可知曲線^^=1（5<機(jī)<9）表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，其焦距為2j（9-加）+（巾-5）=4,

5-m9-m

所以其焦距相等，離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)均不相同.故選：A.

考點(diǎn)二:由幾何性質(zhì)求雙曲線的方程

“列2.（23-24高二下?浙江?月考）過點(diǎn)（4,一6）且與雙曲線「

上=1有相同漸近線的雙曲線方程是（）

22x2422D——

A.---------=1D.---C.匕-土=1

12912912912

【答案】B

【解析】因?yàn)樗箅p曲線與雙曲線十91有相同的漸近線,所以設(shè)其方程為片-片=*"0）,

43V7

又點(diǎn)（4,-百）在雙曲線上，所以;一耳￡=/,解得=3,

則雙曲線方程為工-仁=1.故選：B.

129

【變式2-1]（23-24高二下?河北邢臺(tái)?月考）已知雙曲線。:三-5=1（°>0乃>0）的一條漸近線方程為

22

y=3x,且C與橢圓E:土+匕=1有公共的焦點(diǎn)，則C的方程為（）

122

【答案】A

【解析】由題意雙曲線C:￡—[=1（4>0,6>0）的一條漸近線方程為了=3盯所以5=9,

a2b2

22

又C與橢圓￡:'+匕=1有公共的焦點(diǎn),

122

所以/+b2=12-2=10,解得/=1,Z?2=9,

從而C的方程為一一展1.故選：A.

22C

【變式2-2］（23-24高二上?四川眉山?月考）已知雙曲線C:與-與=l（a>0,b>0）的離心率為且雙曲線C

ab3

上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為2,則雙曲線C的方程為（）

A.—-^-=1B.—-^=1C.--^=1D.—-^=1

34916169349

【答案】B\為/

【解析】結(jié)合題意：雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為。-。=2,\/

c5

因?yàn)殡p曲線。離心率為所以<e=￡=f，解得

a3

c2=a2+b2

故雙曲線。的方程為二-匕1.故選：B.

916

丫2

【變式2-3］（23-24高二上?安徽宣城?月考）與雙曲線匕-/=1有相同離心率和相同漸近線的雙曲線方程

3

是（）

【答案】C

【解析】雙曲線《一/=1中°=百，b=l,c=2,e=巫,漸近線y=±"x

333

對(duì)于A：a=\,b=G，c=2,e=2,漸近線y=±Gx,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：a=l,b=6,c=2,e=2,漸近線了=±也x，故B錯(cuò)誤;

3

對(duì)于C：a—3,b=V3>c=2A/3>e=-----，漸近線y=±—x,故C正確;

33

對(duì)于D：a=3,bM，C=2A/J,e=號(hào),漸近線y=±Gx,故D錯(cuò)誤.故選：C.

考點(diǎn)三：求雙曲線離心率的值

例3.（23-24高二下?黑龍江大慶?月考）已知雙曲線*=1（°>0,6>0）的一條漸近線的傾斜角為

JT

H，則此雙曲線的離心率e為（）

A.2B.—C.2或23D.行或2

33

【答案】A

【解析】由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且一條漸近線的傾斜角為

所以2=tang=6,所以6=百”，

a3

+b2=c2f所以/+3a1=c?=—=4=>e2=4,

a

又e〉0,所以e=2.故選：A

【變式3-1]（23-24高二下?黑龍江齊齊哈爾?期中）若雙曲線C：g-（=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為尸（2,0）,

且點(diǎn)尸（2,0）到雙曲線C的一條漸近線的距離為1,則雙曲線C的離心率為（）

A.V2B.V3C.述D.273

3

【答案】C

【解析】因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為尸（2,0）,貝i]c=2,即/+尸=。2=4,

雙曲線，=1（。>0乃>0）的漸近線方程為y=±：x

不妨取瓜+皎=0,

又點(diǎn)尸（2,0）到雙曲線C的一條漸近線的距離為1,可得1==b

Va2+b2

所以Q=A/C2-Z?2=V3，

所以雙曲線的離心率故選：c.

22

【變式3-2]（23-24高二下?湖北?月考）如圖，已知雙曲線E：t-「=l（a>0,6>0）的右焦點(diǎn)為尸，過原

ab

點(diǎn)的直線/與E交于42兩點(diǎn)，A在第一象限，延長(zhǎng)*'交￡于多一點(diǎn)C,若8F//C且|/。=4|/戶|,則￡

的離心率為（）

/TV

AMRVio「gnV17

2323

【答案】A

【解析】設(shè)E的左焦點(diǎn)為尸,|/尸卜冽,連接4F',CF',BF',

則因=3m\AF'\=2a+m,\CF'\=2a+3m,\FF'\=2c,

因?yàn)轫?4C,由雙曲線的對(duì)稱性知四邊形FAF'B為矩形.

在RtZX/FC中，由|//「+|/。2=|尸匕「，得(2°+刈2+(4")2=(2.+3〃7)2,化簡(jiǎn)得機(jī)=。.

在RtZ\/尸戶中，由|//「+|/下『=|尸戶「，得(3ay+/=(2c)2,

化簡(jiǎn)得￡■=*,即離心率e=40.故選：A.

a222

【變式3-3](23-24高二上?浙江杭州?期末)雙曲線鳥-4=1(°>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為不匕，點(diǎn)M是

ab

雙曲線左支上一點(diǎn)，ZFlMF2=90°,直線班交雙曲線的另一支于點(diǎn)N,|MN|=2pV工則雙曲線的離心

率()

A.3B.9C.75D.2

【答案】C

【解析】設(shè)|鶴|=〃，^]\MN\=2n,\MF2\=3n,

由雙曲線定義得|“|-|阿1=2°,故|孫|=3"-2°,

由勾股定理得|町=舊名『，BP9?2+(3?-2a)2=4c20,

連接回，貝1]|附|一|尊1=2。，故卜20+〃，

由勾股定理得=|四『，即41+（3〃一2a）2=（2a+〃y②,

由②得〃=￡,代入①得20/=八2,故￡=石.故選：C

3a

考點(diǎn)四：求雙曲線離心率的范圍

22

］例4.（23-24高二上?安徽馬鞍山?月考）已知雙曲線［一］=1（。>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

居,F］,“為雙曲線右支上的一點(diǎn)，若“在以山閶為直徑的圓上，且乙陷耳不號(hào)），則該雙曲線離

心率的取值范圍為（）

C.(1,V3+1)D.(V2,V3+1)

【答案】D

【解析】由于M在以閨閭為直徑的圓上，故用/，用心

設(shè)明月=夕，貝力9|=2csin<9,|煙|=2ccos6,

根據(jù)雙曲線的定義孫|-|崢1=24,

所以2csin8-2ccos8=2。，

C11

715兀］

所以4sin。-cos。一岳皿”令，公9衛(wèi)廣

7T7171兀5兀

所以F故y=sin6-cos。在。E單調(diào)遞增,

12’6'??12

當(dāng)。=三時(shí),y=sm0-cos0=^-,

5兀7141

當(dāng)。二3時(shí),j?=A/2sinJ夕一當(dāng)：=也sitn—=

12462

兀與^名，所以「（立百+6

所以歹二收sin8G故選：D.

v7

227aa

22

【變式4-1］（23?24高二上?遼寧沈陽?月考）雙曲線C：骨=1（4>0/〉0）的左、右焦點(diǎn)為月,月，若

點(diǎn)尸在雙曲線右支上，且|可|=7|%|，則雙曲線。離心率的值不可能是（）

6543

A.B.C.D.

5432

【答案】D

【解析】由點(diǎn)P在雙曲線右支上，且|「盟=7|尸周，

根據(jù)雙曲線的定義，可得|兩尸工|=6/啊=2%可得忸閔=三，

結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，可得|尸鳥|=￡之。-〃，可得稱2%所以e=9wg,

1133a3

4

又因?yàn)閑〉l,所以離心率的取值范圍為（1,學(xué)，

結(jié)合選項(xiàng)，可得D項(xiàng)，不符合題意.故選：D.

22

【變式4-2］（23-24高二上?廣東江門?期末）設(shè)雙曲線二-4=1（。>6>0）的離心率為e,雙曲線漸近線的

ab

斜率的絕對(duì)值小于e,則e的取值范圍是（）

2

A.I——2,+00JB.

【答案】B

【解析】依題意，有9%即，j

2

,Cd?b2b2汨2i1

由e2=—7=——--=1+—7，得1<?<1+~，

a2a2a22

所以1</，即3的取值范圍是1,手.故選：B

I2

2

【變式4-3］（23-24高二上?內(nèi)蒙古赤峰?月考）已知點(diǎn)月，4分別是雙曲線。:/-京=1色>0）的左右焦點(diǎn),

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線右支上，且滿足山丹|=2|。尸|,tan/P/y；1,則雙曲線。的離心率的取值范

圍是（）

【答案】D

【解析】???/巴|=2］。尸.?.耳尸,月尸,

記|尸耳|=x,|尸居|=y,則/+_/=(2c>=402,

又x-y=2。①，

2xy=4c2-4a2,：.(x+y)2=4c2+4c2-4a2=8c2-4a2,x+y=2^2c?-a2@^

,__yx=J2c2―/+ax

由①②得i,又tan/尸乙片二一24,

y=J2c2_ay

______________________217

J2c2—a1+a>4h2c—)，解得二4一，

a9

即l<e=94姮.故選：D

a3

考點(diǎn)五：與雙曲線漸近線相關(guān)的問題

22

例5.（23-24高二下?陜西安康?期末）雙曲線工-匕=1的漸近線方程為（）

3m6m

A.y=±V2xB.y=±—C.y=±2xD.y=±—x

2

【答案】A

22

【解析】由工-匕=0,得/=2/，所以尸土應(yīng)X,

3m6m

即雙曲線的漸近線方程為y=±也X.故選：A

2222

【變式5-1］（23-24高二下?山西長(zhǎng)治?月考）已知雙曲線G：土-匕=1（〃?>0）與雙曲線。2：匕-L=i（加>0）

4m2m

有共同的漸近線，則加=（）

A.V2B.2C.2啦D.4

【答案】C

【解析】雙曲線G的漸近線方程為y=±匹x,雙曲線C2的漸近線方程為y=±JXv,

2Vm

所以互=型，所以加=2板.故選：C

22

【變式5-2］（23-24高二下?湖南長(zhǎng)沙?月考）已知耳，匕為雙曲線E:=-4=1（a>0/>0）的左、右焦點(diǎn),

ab

過名的直線/與雙曲線的漸近線交于/、8兩點(diǎn)，滿足/,3均在y軸右側(cè)，且為正三角形，則雙曲

線E的漸近線方程為（）

A.x=±---yB.y=±--—xC.y=±V2xD.x=+V2y

【答案】B

【解析】依題意，|/耳|=|期|=|/邳,根據(jù)對(duì)稱性可知45，6月，從而閨居|=6|4局,

不妨設(shè)/在第一象限，其中一條漸近線方程為V=2x,令X=C得y=",

aa

,,b22出

故一二7二—

aV33

a士平”?故選：B

【變式5-3］（23-24高二下?河南?月考）（多選）已知雙曲線C:*一/=4,河為c右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

過M分別作兩條漸近線的垂線，垂足分別為/，B,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形。4MB的周長(zhǎng)的可能取值有

（）

A.5B.8C.6D.2/

【答案】BC

【解析】雙曲線C:f-y2=4,M為C右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

設(shè)則尤;7；=4,

兩條漸近線方程為?=±x,則兩條漸近線互相垂直，，

則|M4|+|M3|22耶砒阿=2逝，當(dāng)且僅當(dāng)|M4|=|Affi|=行時(shí)等號(hào)成立,

所以四邊形的周長(zhǎng)為2（|M4|+|MS|）24&,

結(jié)合選項(xiàng)可知，8,6適合題意，故選：BC.

考點(diǎn)六：直線與雙曲線的位置關(guān)系

［、憫6.（23-24高二?全國?課堂例題）直線3x-4y=0與雙曲線f一二=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

916

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】方法一：聯(lián)立直線3x-4歹=0與雙曲線己一工二1的方程，

916

f221一

y__L=］162

,9一16一，得乙_、L=1，方程組無解，說明直線與雙曲線沒有交點(diǎn).

3、一4）=0916

方法二：由4-5=0,得3x±4y=o,所以雙曲線的漸近線方程為3x±4y=0,

916

因?yàn)橹本€3x-4y=0是雙曲線f―￡=1的一條漸近線，因此交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.故選：A

916

【變式6-1］（22-23高二上?黑龍江哈爾濱?期中）雙曲線1-；=1與直線y=-gx+加（加eR）的公共點(diǎn)的

個(gè)數(shù)為（）

A.0B.IC.0或1D.0或1或2

【答案】C

丫2V22

【解析】因?yàn)殡p曲線（■-3=1的漸近線方程為y=±：x,

2

所以，當(dāng)加=0時(shí)，直線/：＞=-］》+機(jī)與漸近線重合，此時(shí)直線/與雙曲線無交點(diǎn)；

當(dāng)〃zwO時(shí)，直線/與漸近線平行，此時(shí)直線/與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn).故選：C

丫2

【變式6-2］（23-24高二上?遼寧沈陽?月考）過點(diǎn)P（-l,2）的直線/與雙曲線3一r=1的公共點(diǎn)只有1個(gè),

則滿足條件的直線/有（）

A.2條B.3條C.4條D.5條

【答案】C

【解析】當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，顯然x=-l與雙曲線片-/=1沒有公共點(diǎn).

4-

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為了-2=左（尤+1）,

與雙曲線方程聯(lián)立可得（1-止一&（/+2力x-4萬2-16"20=0,

當(dāng)1-4/=0時(shí)，即左=±；時(shí)，此時(shí)直線和雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè)，

A=2時(shí)，x=-3；后=-‘時(shí)，x=U.

226

當(dāng)1一4公片0時(shí)，A=64（^2+2k\-4（1-4/C2）（-Ak2-\6k-2^=C,

整理可得3/_"-5=0,因?yàn)锳=76>0,所以3r-"-5=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

又因?yàn)槿耸?不是3-_"-5=0的根，所以此時(shí)直線和雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè).

綜上可知直線和雙曲線的公共點(diǎn)只有1個(gè)時(shí)，直線/有4條.故選：C.

【變式6-3］（23-24高二下?上海?月考）如果直線/經(jīng)過雙曲線9/_4/=36的中心，且與該雙曲線不相交,

則/的斜率的取值范圍是（）

3333

A.B.—00,----U---—,+coC.D.

22°4-r°

【答案】B

【解析】依題意知，直線/的斜率存在，設(shè)為k,雙曲線9/-4/=36的中心為（0,0）,

因?yàn)橹本€/經(jīng)過雙曲線9/-4y2=36的中心，所以設(shè)直線方程為y=kx,

二）=6,消去,得，（—卜』6,

由

因?yàn)橹本€與該雙曲線不相交，所以方程（9-4〃）-=36沒有實(shí)數(shù)根,

33

所以9-4%0,即4s2解得心一萬或人5'

所以直線/的斜率的取值范圍是：u故選：B.

考點(diǎn)七：直線與雙曲線的交點(diǎn)及弦長(zhǎng)

7.（23-24高二?全國?課堂例題）過雙曲線x2-V=4的右焦點(diǎn)尸作傾斜角為30。的直線，交雙曲線

于4,8兩點(diǎn),則弦長(zhǎng)以即=.

【答案】8

【解析】由雙曲線/-/=4,得。=6=2,c=2A/2>

焦點(diǎn)為一（2&,0）,傾斜角e=30°，

法一：直線斜率左=*，直線方程為x=Gy+2VL

x"-=4,—v,+v。=—2y

聯(lián)立LL消X得，/+2如+2=0,由韋達(dá)定理知“,27,

x=y/3y+2>j2［必%=2

代入弦長(zhǎng)公式|期=j+53-%|=2步|+y2）2-4w2,得:同=24-2?）2-4義2=8.

2abz_2x2x4=8

法二：,2-。2cos4O3

4

故答案為：8.

【變式7-1］（23-24高二上?內(nèi)蒙古赤峰?期末）已知雙曲線C:1-/=i,直線/：y=x+m被C所截得的弦

長(zhǎng)為4A/6，則m=.

【答案】±3A/2

【解析】設(shè)雙曲線C與直線/交于/（小乂）,8（々,%）兩點(diǎn)，

---y2=1,?

由<3'消去>整理得2f+6加x+3加之+3=0,

y=x+m,

222

貝ijA=36m-8（3m+3）=12m-24>0,解得加2>2,且%=-3m,xxx2,

2

所以二拒|再―引=Cj（xi+x2）-4再%2-6乂13m2一6.

由Xyl3m2-6=4A/^'解得加2=18，所以77t=±3j^?

故答案為：±3>/2

【變式7-2](23-24高二上?江蘇泰州?期中)已知雙曲線C：￡一/=[的右焦點(diǎn)為尸，過尸的直線/與雙

曲線C交于4,8兩點(diǎn)，若|AB|=4,則這樣的直線/有(

A.0條B.2條C.3條D.4條

【答案】C

【解析】由題意，F(xiàn)1區(qū)0),

當(dāng)直線/的斜率為o時(shí)，直線/的方程為y=o,

在方程?-/=1中，令y=o,則苫=±2,此時(shí)|AB|=4,符合題意,

當(dāng)直線/的斜率不等于0時(shí)，設(shè)方程為x=冽y+E，

_4）/+2舊my+1=0,

加一4w0

,解得加w±2,

A=20m2-4（m-4>0

=

設(shè)”（演/1），8（x2，%）'則弘+%=-2^：，必%2A

m-4m-4

2y[5m、44（/+i）

故|48|=JT+m

m2-4

尚|得m=±--，

綜上所述，符合題意得直線/有3條.故選：C.

【變式7-3](23-24高二上?黑龍江哈爾濱?期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)

田-亞0),/(/,0川孫卜|咽||=4,動(dòng)點(diǎn)W的軌跡為C.

⑴求C的方程；

⑵若直線=交C于4B兩點(diǎn)，且|/同=2而，求直線/的方程.

Y23

【答案】⑴十/=1：⑵尸丁士2

【解析】⑴根據(jù)題意由||町|-|"卜4<|月閶=2若可知,

動(dòng)點(diǎn)”的軌跡為以耳卜石,0卜8(6,0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4的雙曲線，

即°=石,.=2,所以/=4方=02-/=1,

所以可得C的方程為江-/=1；

4-

依題意設(shè)/(國,必),3(%2,%)，

3V2

聯(lián)立/：>=一+f與c的方程

消去V整理可得5--24/x+16(/+1)=0,則%+%=g"也="+1).

MA=(-24r)2-4x5xl6(/2+l)=256z2-320>0,解得/>-.

22

所以I/同=JwA/(X1+X2)-4X1X2=|jn_4X.16(；+1)=|X|V4Z-5=2而，

解得t=±2,滿足/>3,符合題意；

4

所以直線/的方程為了=-=3x±2.

4

考點(diǎn)八：雙曲線的中點(diǎn)弦問題

[X例8.（23-24高二上?江蘇南通?月考）直線/與雙曲線V-1=1交于48兩點(diǎn)，線段48的中點(diǎn)為

M（3,2）,則直線/的斜率為（）

A.3B.6C.8D.12

【答案】B

【解析】設(shè)，（石,弘）、B（x29y2）f

工2_片=1

14

則有2=（i華f）=0,

考-三=1一一4

L24

化簡(jiǎn)得=6,即配=6.故選:B

項(xiàng)+x2占一x2x1-x2y1+y22x2

【變式8-1］（23-24高二上?四川成都?期中）設(shè)/,3為雙曲線上-匕=1上的兩點(diǎn)，若線段N3的中點(diǎn)為

816

M（1,2）,則直線的方程是（）

A.x+y—3=0B.2x+>—3=0C.x—y+l=0D.%—2y+3=0

【答案】c

【解析】設(shè)/（玉,?。?8（孫力），

有,兩式相減，得（%+%）（%-工2）=（必+%）（弘一%）,

I