期末考前滿分沖刺之中等易錯(cuò)題

，思維導(dǎo)本）

類型一、頻數(shù)與頻率里、填^________類型六、二元一次方程組求參（選、填）

類型二、歹歷程（組）（選.填）類型七、平行的性質(zhì)與判定（選、填、解）

\/

盤三分式的基本的（選、填）-----------中等易錯(cuò)題類型，、分式方程的應(yīng)用（解）

類型四二新定義運(yùn)算（選、填）類型九、二元一次方程組的應(yīng)用（解）

類型五、完全平方式（選、填）類型十、分式化簡(jiǎn)求值（解）

【專題過(guò)關(guān)】

類型一、頻數(shù)與頻率

1.考查50名學(xué)生的年齡，列頻數(shù)分布表時(shí)，這些學(xué)生的年齡落在5個(gè)小組中，第一、二、

三、五組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)分別是2,8,15,5,則第四組的頻率是（）

A.20B.0.4C.0.6D.30

【答案】B

【分析】本題考查了根據(jù)數(shù)據(jù)描述求頻率、頻數(shù)，因?yàn)楣?0名學(xué)生，落在5個(gè)小組中，第

一、二、三、五組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)分別是2,8,15,5,列式求出第四組的頻數(shù)，再運(yùn)用頻率等

于頻數(shù)除以總數(shù)，即可作答.

【詳解】解：依題意，50-2-8-15-5=20（名），

回20+50=0.4,

即第四組的頻率是0.4,

故選：B.

2.某校八年級(jí)（6）班50名學(xué)生的健康狀況被分成5組，第1組的頻數(shù)是8,第2,3組的頻

率之和為。4,第4組的頻率是0.2,則第5組的頻數(shù)是（）

A.6B.12C.10D.22

【答案】B

【分析】本題考查了頻率和頻數(shù)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

由第1組的頻數(shù)除以總?cè)藬?shù)即得出第1組的頻率，再用1減去其它組的頻率，即可求出第5組

的頻率，最后用總?cè)藬?shù)乘第5組的頻率即可求出第5組的頻數(shù).

Q

【詳解】解：根據(jù)題意可知第1組的頻率為蘇=016,

第5組的頻率=1-0.16-0.4-0.2=0.24,

???第5組的頻數(shù)是50x0.24=12,

故選：B.

3.在《頻率的穩(wěn)定性》這節(jié)課中，小東同學(xué)通過(guò)任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，統(tǒng)計(jì)了某一

結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則這一結(jié)果的是（）

C.朝上的點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)D.朝上的點(diǎn)數(shù)小于5

【答案】C

【分析】本題考查了頻率，計(jì)算出各個(gè)選項(xiàng)中事件的頻率即可作出判斷.

【詳解】A、朝上的點(diǎn)數(shù)是5的頻率為16.67%,不符合試驗(yàn)的結(jié)果；

6

3

B、朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的頻率為==50%,不符合試驗(yàn)的結(jié)果；

6

2

C、朝上的點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的頻率為弓。33.33%,基本符合試驗(yàn)的結(jié)果.

O

4

D、朝上的點(diǎn)數(shù)小于5的頻率為66.67%,不符合試驗(yàn)的結(jié)果；

故選：C.

4.某班體育委員統(tǒng)計(jì)了全班女生立定跳遠(yuǎn)的成績(jī)，列出頻數(shù)分布表如下:

距離％(m)1.2<x<1.41.4<x<1.61.6<x<1.81.8<x<2.02.0<x<2.2

頻數(shù)138103

已知跳遠(yuǎn)距離1.8m以上為優(yōu)秀，則該班女生立定跳遠(yuǎn)的成績(jī)獲得優(yōu)秀的頻率為.

【答案】0.52

【分析】本題考查了頻數(shù)分布表，掌握優(yōu)秀率的定義是關(guān)鍵.

由優(yōu)秀率的定義計(jì)算即可.

【詳解】解：頻數(shù)總和為：1+3+8+10+3=25,

則該班女生獲得優(yōu)秀的頻率為：甯=0.52；

故答案為：0.52.

5.將50個(gè)數(shù)據(jù)分成5組后，如果前四組的頻數(shù)分別是3,10,12,15,那么第5組數(shù)據(jù)的

頻率為.

【答案】0.2

【分析】本題主要考查頻數(shù)與頻率，先根據(jù)五組的頻數(shù)之和為50求出第五組的頻數(shù)，再根

據(jù)頻率=頻數(shù)+總數(shù)求解即可.

【詳解】解：由題意知第5組的頻數(shù)為50-（3+10+12+15）=10,

所以第5組的數(shù)據(jù)的頻率為10+50=0.2,

故答案為：0.2.

6.淇淇的學(xué)號(hào)是“20030818",其中數(shù)字“8"出現(xiàn)的頻率為.

【答案】7/0.25

4

【分析】本題考查求頻率.利用頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)，進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：20030818一共有數(shù)字8個(gè)，出現(xiàn)8的頻數(shù)為2個(gè)，

故數(shù)字"8"出現(xiàn)的頻率為：；2=1

84

故答案為：；

類型二、列方程（組）

1.某家具廠設(shè)計(jì)的餐桌椅套裝，1張桌子配4把椅子.該廠一天能生產(chǎn)桌子12張或椅子32

把，決定用20天時(shí)間生產(chǎn)一批這樣的餐桌椅.如果要使生產(chǎn)的桌子和椅子正好配套，設(shè)安

排x天生產(chǎn)桌子，y天生產(chǎn)椅子，根據(jù)題意可列方程組為（）

x+y=20x+y=20

4xl2x=32y12x=4x32y

x+y=20x+y=20

4x32%=12y32%=4xl2y

【答案】A

【分析】本題考查列出二元一次方程組的配套問(wèn)題，由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，找

準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.設(shè)安排x天生產(chǎn)桌子，y天生產(chǎn)椅子，

根據(jù)1張桌子配4把椅子即生產(chǎn)椅子數(shù)量是生產(chǎn)桌子數(shù)量的4倍可列方程組.

【詳解】解：設(shè)安排x天生產(chǎn)桌子，y天生產(chǎn)椅子，

x+y=20

根據(jù)題意可列方程組為:

4xl2x=32y

故選：A.

2.《九章算術(shù)》“盈不足"中記載："今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問(wèn)人數(shù)、

物價(jià)各幾何?"大意為："今有人一起購(gòu)物，每人出8錢，會(huì)多3錢；每人出7錢，又差4錢.問(wèn)

人數(shù)、物品價(jià)格各是多少?”設(shè)有X人，物品價(jià)格為y錢，以下列出的方程組正確的是（）

8x-y=38x+3=y

A-Q',B.{,；

lx-y=4Ix—y=4

8.x-y=38x+3=y

C.{:,D.Q”

y-7x=47x+4=y

【答案】C

【分析】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組.根據(jù)每人出8錢，則多出3錢，可得

8x-y=3,根據(jù)每人出7錢，則還差4錢，可得＞-7尤=4,從而可以列出相應(yīng)的方程組即

可.

【詳解】解：由題意可得，

8x-y=3

{y—7x=4'

故選：C.

3.據(jù)林業(yè)專家分析，樹(shù)葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，

具有滯塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量比一片槐樹(shù)葉一年的平均滯

塵量的2倍少4毫克，若一年滯塵2000毫克所需的銀杏樹(shù)葉的片數(shù)與一年滯塵1100毫克

所需的槐樹(shù)葉的片數(shù)相同，求一片槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量.設(shè)一片槐樹(shù)葉一年的平均滯塵

量為x毫克，根據(jù)題意可列的方程是（）

2000110020001100

A.----=-----B.-----=----

x2x-42尤一4x

20001100,20001100

c.------=---------4D.-------4--4=-------

x2xlxx

【答案】B

【分析】本題考查了列分式方程，設(shè)一片槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量為X毫克，則一片銀杏樹(shù)

葉一年的平均滯塵量為（2X-4）毫克，根據(jù)"一年滯塵2000毫克所需的銀杏樹(shù)葉的片數(shù)與一

年滯塵1100毫克所需的槐樹(shù)葉的片數(shù)相同"列出分式方程即可.

【詳解】解：設(shè)一片槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量為x毫克，

回一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量比一片槐樹(shù)葉一年的平均滯塵量的2倍少4毫克，

回一片銀杏樹(shù)葉一年的平均滯塵量為（2%-4）毫克，

上20001100

由題意可得：---=——，

2x-4x

故選：B.

4.甲、乙兩班學(xué)生參加植樹(shù)造林活動(dòng)，已知甲班每天比乙班多植5棵樹(shù)，甲班植80棵樹(shù)所

用的天數(shù)與乙班植70棵樹(shù)所用的天數(shù)相等，若設(shè)甲班每天植樹(shù)x棵，則根據(jù)題意列出的方

程是.

…心、8070

【答案】一=--

xx—5

【分析】本題考查的是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列分式方程.根據(jù)甲班每天比乙班多植5棵樹(shù)，甲班植

80棵樹(shù)所用的天數(shù)與乙班植70棵樹(shù)所用的天數(shù)相等，即可列出方程.

【詳解】解：設(shè)甲班每天植樹(shù)尤棵，則乙班每天植樹(shù)（％-5）棵,

70

依題意得：—

X

70

故答案為：一

XX—5

5.為了踐行〃綠色生活〃的理念，甲、乙兩人每天騎自行車出行，甲勻速騎行40千米的時(shí)間

與乙勻速騎行35千米的時(shí)間相同，已知甲每小時(shí)比乙多騎行2千米，設(shè)甲每小時(shí)騎行了千

米，根據(jù)題意列出的方程是.

【答案】竺40二35

xx—2

【分析】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程,解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，

列出相應(yīng)的方程.

根據(jù)甲勻速騎行40公里的時(shí)間與乙勻速騎行35公里的時(shí)間相同,可以列出相應(yīng)的分式方程.

【詳解】設(shè)甲每小時(shí)騎行X千米，則乙每小時(shí)騎行（尤-2）千米，

根據(jù)題意，得竺=%.

xx-2

，心田山d4035

故答案為：—=-

xx-2

6.《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)題："今有醇酒一斗，值錢五十；行酒一斗，值錢一十.今將

錢三十，得酒二斗.問(wèn)醇、行酒各得幾何？"其譯文是：今有醇酒（優(yōu)質(zhì)酒）1斗，價(jià)值50錢；

行酒（劣質(zhì)酒）1斗，價(jià)值10錢.現(xiàn)有30錢，買得2斗酒.問(wèn)醇酒、行酒各能買得多少？

設(shè)醇酒為x斗，行酒為y斗，則可列二元一次方程組為.

x+y=2

【答案】

50x+10y=30

【分析】本題考查了二元一次方程組的運(yùn)用，理解數(shù)量關(guān)系，正確列式是關(guān)鍵.

根據(jù)數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組即可.

【詳解】解：醇酒（優(yōu)質(zhì)酒）1斗，價(jià)值50錢；行酒（劣質(zhì)酒）1斗，價(jià)值10錢，現(xiàn)有30錢,

買得2斗酒，

設(shè)醇酒為x斗，行酒為y斗，

x+y=2

50x+10y=30

龍+>=2

故答案為:

50x+10y=30

類型三、分式的基本性質(zhì)

Y+V

1.若把分式2~~2-中X和y的值都擴(kuò)大2倍，那么分式的值（）

孫

A.擴(kuò)大2倍B.縮小2倍C.不變D.縮小4倍

【答案】C

【分析】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，把原分式中的％、V分別用2x、2y替換，再約分化

簡(jiǎn)即可得到答案.

22

【詳解】解：把分式上上上中1和y的值都擴(kuò)大2倍后變形為

孫

（2x）2+（2y）-_4x2+4y2_x2+y2

2x-2y4xy孫

回分式的值不變,

故選：C.

2.把分式盧■

的分子分母中的a,6都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則分式的值（）

3a-4b

A.不變B.變?yōu)樵瓉?lái)的4倍

C.變?yōu)樵瓉?lái)的一半D.變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

【答案】D

【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì),把分式中的少分別用2a、2b代替，再利用分式的基

本性質(zhì)化簡(jiǎn)即可判斷求解，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2x2ax2Z?4ab.2ab

【詳解】解:_______-2x_______

3x2a-4x2b3a-4b3a—4b

團(tuán)分式的值變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,

故選：D.

3.化簡(jiǎn)16?一步時(shí),小明、小華兩位同學(xué)的化簡(jiǎn)過(guò)程如下：

4a+b

,16a2-b2（4Q+/?）（4〃-Z?）

小明nn：--------=-------------^-=4a-b；

4a+b4。+。

16〃2一〃2（16。2—力2）（4。一匕）

小華：°-----q_^=4a-b.對(duì)于他倆的解法，你的看法是（）

4a+b（4a+b）（4a-b）

A.都正確

B.小明正確，小華不正確

C.小華正確，小明不正確

D.都不正確

【答案】B

【分析】本題考查了分式的約分.把分子分母因式分解，然后約分即可.

【詳解】解：小明的做法是先將分子、分母分解因式，再約分，正確；

小華是把分子、分母乘以（4a-6）,利用平方差公式約去064-6）,應(yīng)注意分式的性質(zhì),

分子、分母同乘以一個(gè)不為0的數(shù),

團(tuán)小華不正確.

故選：B.

x+—

4.不改變分式的值，把分式1—乙的分子與分母中各項(xiàng)的系數(shù)都化為整數(shù)且最簡(jiǎn)，結(jié)果

4X~2y

為

■田上.12x+4y

［答案］不再

【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，無(wú)論是把分式的分子和分母擴(kuò)

大還是縮小相同的倍數(shù)，分式的值不變，可得答案.分式的分子分母都乘以12是解題關(guān)鍵.

X+—4

【詳解】解：分式—的分子與分母都乘以12,得?廣廣，

1.3x-24y

-x-2y

4

12x+4y

故答案為:

3x-24y

已知,+上=則代數(shù)式la-5ab+4b

5.3,的值為

a2b4ab-3a-6b

【答案】-1/-0.5

【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，掌握運(yùn)算法則，整體代入思想解題是關(guān)鍵.

根據(jù)分式加法運(yùn)算，可得。+2。=6仍，然后代入計(jì)算即可.

【詳解】解：0-+^-=3,

a2b

a+2b

團(tuán)-----=3,

2ab

團(tuán)。+26=6赤

2a—5ab+4b_2（^a+2b^—5ab—_2x6ab—5ab—_lab—_~1~

4ab—3a-6b4ab—3（Q+2Z?）4ab-3x6ab-14ab2

故答案為：-g

6.分式七和冊(cè)的最簡(jiǎn)公分母是.

【答案】6a2b2

【分析】本題考查了最簡(jiǎn)公分母，由題意可得兩個(gè)分式的分母分別為3/b和2a",再根據(jù)

最簡(jiǎn)公分母的定義求解即可.

【詳解】解：回分式￡和—的分母分別為3。%和2ab2,

回分式3萬(wàn)和品的最簡(jiǎn)公分母是6""，

故答案為：6crb1-

類型四、新定義運(yùn)算

1.定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,6都有?；厝?加，等式右邊是通常的減法和乘法運(yùn)

算，設(shè)定：若2刈=12,5※(-2)=68.則(-3)※(-5)的值為()

A.12B.4C.-16D.-56

【答案】C

⑵z-3”=12①

【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，解二元一次方程組，由題意得到uC〈。令，求得

5m+2〃=68②

m=12,,

,,代入即可求解，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：^\d^b=am—bn,2初=12,5※（一2）=68,

[2m-3n=12①

[5m+2n=68②

①x2+②x3得：19m=228,

解得：加=12,

將m=12代入①得：24-3〃=12,

解得：〃=4,

m=12

方程的解為:

n=4

(-3)※(-5)

=(-3)xl2-4x(-5)

=-36+20

=—16，

故選：C.

2.對(duì)有理數(shù)羽y定義一種新運(yùn)算〃*〃：］*'="+與-1,其中小b為常數(shù),等式右邊是通

常的加法和乘法運(yùn)算，已知3*2=21,3*(-2)=4,那么。+〃的值為()

【答案】A

【分析】本題考查定義新運(yùn)算，解二元一次方程組,根據(jù)新定義，列出二元一次方程組，進(jìn)

行求解即可，熟練掌握新定義，是解題的關(guān)鍵.

3。+26-1=21

【詳解】解：由題意，得:

3。一2。-1=4

9

CI———

解得：;2

b=-

[4

35

24T

故選A.

ababx+11

3.定義,為二階行列式,規(guī)定它的運(yùn)算法則為，=〃/-歷，則二階行列式八

caca0x-

的值為（）

A.（x+1）2B.（x-1）2C.x2+lD.x2-l

【答案】D

【分析】本題考查了整式的乘法，平方差公式，讀懂題意，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二階行列式的定義列式即可.

【詳解】解：由題意得，

尤+11

0x-1

故選：D.

4.定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為"登高

數(shù)”.例如：8=32-12,16=52-32,24=72-53因此8,16,24都是“登高數(shù)"，求不超

過(guò)2024的所有“登高數(shù)"的和.

【答案】257048

【分析】本題主要考查了新定義，因式分解的應(yīng)用，設(shè)兩個(gè)連續(xù)的正奇數(shù)為2〃-1,2〃+1（”

為正整數(shù)），求出（2〃+1）2-（2〃-1）2=8〃，則任意的“登高數(shù)”一定是8的倍數(shù)，再根據(jù)

2024=253x8可得不超過(guò)2024的所有“登高數(shù)”的和即為1到253的自然數(shù)之和的8倍，據(jù)此

求解即可.

【詳解】解：設(shè)兩個(gè)連續(xù)的正奇數(shù)為2〃-1,2〃+1("為正整數(shù))，

(2ZI+1)2-(2H-1)2

=(2〃+1+2〃-1)(2〃+1-2〃+1)

=8〃,

即為正整數(shù)，

團(tuán)8〃為正整數(shù)，

團(tuán)任意的"登高數(shù)”一定是8的倍數(shù)，

02024=253x8,

團(tuán)不超過(guò)2024的所有“登高數(shù)”的和為8x(1+2+3++252+253)=257048,

故答案為：257048.

117

5.定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a,b,滿足a*b=--+若2x*(x+l)=*,則

a-bax

x的值為.

【答案】3

117

【分析】此題考查了新定義運(yùn)算，根據(jù)新定義得到分式方程「+丁=-是解題的關(guān)鍵.根

X-12x尤

1111?117

據(jù)定義得到2x*元+1----------+—=--+—,由2無(wú)*尤+1)=—得至I」--+—=解

2無(wú)一x—12x龍-12xxx—12xx

分式方程即可得到答案.

【詳解】解：回。*6=工+1，

a-ba

…/八1111

團(tuán)2x*(x+l)=-----------+——=-------+——,

2x-x-12xx-12x

回/\=—2,

x

112

回----1--=—,

x-l2xx

解得：x=3,

經(jīng)檢驗(yàn)，龍=3是分式方程的根，

即x的值為3.

故答案為：3.

6.對(duì)于兩個(gè)非零的實(shí)數(shù)。力，定義運(yùn)算※如下：a※匕=，.例如：3X4=9若

ba4312

無(wú)※y=3,則；一的值為_(kāi)_______.

2xy

【答案】-|

【分析】本題主要考查分式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是結(jié)合新運(yùn)算運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為分式運(yùn)

算.已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可求出所求.

【詳解】解：由題意得，族戶/「午=3’

3y-3x3y-x3,9

團(tuán)二-----=-x-——=-x(-3)=——

2xy2xy2v72

故答案為：-;Q.

類型五、完全平方式

1.已知關(guān)于X的代數(shù)式"4尤2+A+1"是完全平方式，則A應(yīng)該是（）

A.4x"或±4xB.±4xC.4xD.-4x

【答案】A

【分析】本題考查完全平方公式，根據(jù)完全平方公式即可求出答案.

【詳解】解：EI（2X±1）2=4X2±4X+1,（2X2+1）2=4X4+4X2+1,

EIA=±4X或4/,

故答案為：A.

2.若4/+履+9是完全平方式，貝必的值是（）

A.6B.±12C.±6D.-6

【答案】B

【分析】本題考查了完全平方式.能熟記完全平方式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵，完全平方式

有（a±I）?=a2+2ab+b2.

根據(jù)4爐+fct+9是完全平方式，且4%2=（2力~,9=3，得至!J^x=±2x2xx3=±12x,即得

k=±12.

【詳解】解：團(tuán)4洋+1+9是完全平方式,且4元2=（2域，9=33

0Ax=±2x2xx3=±12x.

團(tuán)Ax=±12x.

回左=±12.

故選：B.

3.若+痛+9（根為常數(shù)）是一個(gè)完全平方式，則機(jī)的值是（）.

A.6B.12C.±6D.±12

【答案】D

【分析】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)題意可得兩平方項(xiàng)為（2x）2,32,則一次項(xiàng)為

±2-2x-3,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：04X2+/^+9=（2X）2+/?7X+32（他為常數(shù)）是一個(gè)完全平方式，

團(tuán)mx=±2?2x?3=±12x,

回加=±12,

故選：D.

4.若關(guān)于尤的多項(xiàng)式4元2一3+9是一個(gè)完全平方式，且機(jī)為正數(shù)，那么機(jī)=.

【答案】12

【分析】本題考查求完全平方式中的字母的值，根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：團(tuán)4/一巾+9是一個(gè)完全平方式，且根為正數(shù)，

^mx-2-2x-3-12x,

回“2=12；

故答案為：12.

5.若d+〃tx+49是一個(gè)完全平方式，則"，可以是.

【答案】±14

【分析】本題考查完全平方式，根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)，首平方，尾平方，首尾的兩倍放中

央，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???若/+小+49是一個(gè)完全平方式，

???mx=±2x7x=±14x,

m=±14,

故答案為：±14

6.己知--12彳+療是一個(gè)完全平方式，則機(jī)的值是.

【答案】+6

【分析】本題主要考查了求完全平方式中的字母系數(shù)，其中兩數(shù)的平方和，再加上或減去它

們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式.

根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)求解即可.

【詳解】解：回V_i2x+病是一個(gè)完全平方式,

回加2=［手］=36,

回”7=±6,

故答案為：±6.

類型六、二元一次方程組求參

lax+3by=3①

1.解關(guān)于x,y的方程組可以用①x3-②，消去未知數(shù)x,也可以用

5bx-lay=7②

①+②/4消去未知數(shù)幾則的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】本題考查加減消元法解二元一次方程組，根據(jù)消元方法，列出關(guān)于以沙的方程組,

進(jìn)行求解然后代入即可求解，掌握二元一次方程組解法是解題的關(guān)鍵.

2ax+3by=3①

【詳解】解:

5bx-lay=7②

①x3—②，消去未知數(shù)x,得（6a—5b）x+（96+2a）y=2,

回6a—5》=。③，

①+②x4,消去未知數(shù)九得(2a+20Z?)x+(3Z7—8a)y=31,

03/7-8(7=0?,

③+④得，-2。-2b=0,

團(tuán)4+力=0,

故選：B.

\a-b=6

2.已知方程組中,處人互為相反數(shù),則"值是（）

A.0B.-3C.3D.9

【答案】C

【分析】此題考查了解二元一次方程組和解一元一次方程，解二元一次方程組是關(guān)鍵.

\a—b=6

首先根據(jù)c,,應(yīng)用加減消元法，用”2表示出。、b；然后根據(jù)a,6互為相反數(shù)，可

[2a+b=m

得：a+b=O,據(jù)此求出機(jī)的值是多少即可.

…人f〃一/?=6①

【詳解】解：②

①+②，可得3a=機(jī)+6,

解得a=￡+2,

把a(bǔ)=￡+2代入①，解得6=￡-4,

回a,6互為相反數(shù)，

團(tuán)a+〃=0,

mm

0—+2+——A4=0,

33

解得加=3.

故選：C.

\ax+by-2一[x=-2

3.解關(guān)于羽y的二元一次方程組J乙時(shí)，一學(xué)生把?？村e(cuò)而得到。，而正確

[ex—7y=6及=2

[x=4

的解是c，則〃，b,。的值分別是（）

[y=-2

A.a=2,b=3,c=—2B.a=—2,b=—5,c=—10

C.a,/?不能確定，c=-2D.a,Z?不能確定，c=-10

【答案】A

【分析】本題考查了解二元一次方程組和二元一次方程組的解，能得出關(guān)于〃、〃的方程組

fci—b=-1\x=-2—

c,，和關(guān)于C的方程4c+14=6是解此題的關(guān)鍵.先把.代入①得出-2a+26=2,

\2a—b=\[y=2J

（x—4

求出。一6=-1③，把?一c代入①得出4。-26=2,求出2a—6=1④，再由③和④組

17=-2

K\a—b=—\fx=4

成一個(gè)二元一次方程.八一求出方程組的解，再把代入②得出4c+14=6,再

[2a—b=l[y=-2

求出C即可.

ax+by=2①

【詳解】解:

cx-rly=6②,

x——2-.

把c代入z①，得一2。+26=2,

j=2

a-b=-\（3）,

x=4

把c代入①，得4a—力=2,

y=-2

2。一8=1④,

a-b=-1

由③和④組成一個(gè)二元一次方程組:

2a—b=\

a=2

解得:

b=3

x=4

把c代入②，得4c+14=6,

J=-2

解得：。=一2,

即a=2,b=3,c=—2

故選：A.

了一空5的解是x=l

4.已知關(guān)于羽y的方程組c，則a-b的值為

bx—ay—\y=2

【答案】6

3a—2b=5

【分析】本題考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組，由題意得—解

；二；3,代入7求解即可，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵?

得

3ax—by=5x=\

【詳解】解：團(tuán)關(guān)于xy的方程組,.I的解是

bx—ay=\y=2

3a-2b=5

0

b-2a=l

a=-l

解得:

b=-13f

回a—/?=—7—(—13)=6,

故答案為：6.

5.已知關(guān)于x,y的方程組的解為/,請(qǐng)直接寫出關(guān)于加、"的方程組

\a2x+b2y-c21y=4

q(m+2)—=q

的解是_______________

a2(m+2)-3b2n=c2

m=l

【答案】4

I3

【分析】本題考查了解二元一次方程組、二元一次方程組的解，掌握整體思想的應(yīng)用是解題

關(guān)鍵.

把m+2,-3n,看作一個(gè)整體，則第二個(gè)方程組與第一個(gè)方程組形式和結(jié)構(gòu)一樣，是同解

,[m+2=3,

方程組,得出.31,由此即可求解?

q(陽(yáng)+2)+4(-3〃)=j

【詳解】解:

a2(m+2)+b2(-3〃)=c2

機(jī)+2=3

根據(jù)題意可知：

-3n=4

m=l

解得14,

13

m=l

故答案為：，4.

n=——

I3

1、1\x=m

6.已知x=M是關(guān)于X的方程彳（z尤+2）-；=〃的解，若＜是二元一次方程組

33[y=n

3x+y=2左+1

的解，則左的值為

2x+4y=k

【答案】-2

【分析】本題考查了二元一次方程組的解，一元一次方程的解，解方程及方程組，熟練掌握

知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

x=m

由％=根是關(guān)于x的方程=〃的解，則帆—3〃=—1,又因?yàn)槭欠匠探M

y=n

3x+y=2k+13m+n=2k+1①

的解，則有然后利用加減消兀得m-3九=k+1,得出

2x+4y=k2m+4〃=k@

左+1=—1即可求解.

【詳解】解：因?yàn)椤笝C(jī)是關(guān)于X的方程;(x+2)-g=”的解，,

所以;(m+2)_g=",

所以加一3〃=一1，

x=m3無(wú)+y=2k+1

因?yàn)槭欠匠探M的解,

y=n2x+4y=k

3m+n=2k+1①

所以

2m+4/7=左②’

①一②，得機(jī)-3n=k+1,

所以％+1=—1,

所以左=—2.

故答案為：—2.

類型七、平行的性質(zhì)與判定

1.隨著人們對(duì)環(huán)境的日益重視，騎行單車這種“低碳”出行方式已融入人們的日常生活，如

圖是某單車車架的示意圖，線段AB,CE,OE分別為前叉、下管和立管，E尸為后下叉.已

知AB//DE,ADEF,ZBCE=10°,ZCEF=130°,則的度數(shù)為()

D.130°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，理解平行線的性質(zhì)是解答關(guān)鍵.

根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等求出NCED,進(jìn)而求出的度數(shù)，再利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角

相等求出NADE的度數(shù)，最后利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)求解.

【詳解】解：AB//DE,ZBCE=10°,

:.NCED=ZBCE=1。。.

ZCEF=130°,

:"DEF=ZCEF-Z.CED=130°—70°=60°.

AD//DE,

:.ZADE=NDEF=60°.

AB//DE,

，NA=180?！猌ADE=180?！?0°=120。.

故選：C.

2.如圖，已知直線A3〃CD,EG平分ZBEF,Zl=30°,則N2的度數(shù)是（）

A.70°B.75°C.40°D.150°

【答案】B

【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)

是解答本題的關(guān)鍵.

由鄰補(bǔ)角的定義得班=150。，由角平分線的定義得48￡<?=/斤￡6=1/8跖=75。，最

后根據(jù)血〃CD得N2=NB￡G=75。，即可得解.

【詳解】解：."=30。,

ZBEF=180°-Z1=150°,

.EG平分ZBEF,

NBEG=ZFEG=-ZBEF=75°,

2

ABCD,

:.Z2=ZBEG=75°,

故選：B.

3.光在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，故從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時(shí)，光會(huì)發(fā)生折射.如

圖，水面A5與水杯下沿CD平行，光線跖從水中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線變成已

知點(diǎn)G在射線所上，ZHFB=25°,ZFED=55°,則/GEH的度數(shù)=

【答案】30。/30度

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角的和差等知識(shí)點(diǎn)，掌握平行線的性質(zhì)成為解題的

關(guān)鍵.

先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NGEB=NE=55。，然后根據(jù)角的和差即可解答.

【詳解】解：^AB//CD,

0ZGFB=ZF￡E>=55°,

0Z.GFH=ZGFB-ZBFH=55°-25°=30°.

故答案為：30°.

4.如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD的延長(zhǎng)線上，連接80,如果添加一個(gè)條件，使

得AD〃3C,那么可添加的條件為（寫出一個(gè)即可）.

【答案】ZCBD=ZBDA（答案不唯一）

【分析】本題主要考查了平行線的判定，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；據(jù)此即可求解.

【詳解】解：添加的條件為：NCBD=ZADB,

理由：SZCBD^ZADB,

SAD//BC.

故答案為：/CBD=ZADB（答案不唯一）.

5.如圖，已知/3=/應(yīng)場(chǎng)、AC1BE,4=N2,Z3+Z4=180°.求證:

(2)若ND=30。，求/DCE.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)ZDCE=30°.

【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì).

(1)先根據(jù)題意求得NBAE=90。，Z4=90°,推出NBAE=N4,即可判定?1B〃CD；

(2)由N1=N2,^^Zl+ZCAE=Z2+ZCAE=ZCAD=90°,推出N3=NC4D=90°,則

ADBE,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，從而得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：0AC1SE,

0Z3=9O°,

0Z3=ZBAE,Z3+Z4=180°,

0ZE4E=9O°,Z4=90°,

0ZBAE=Z4=9O°,

回43〃CD；

(2)解：0Z1=Z2,ZBAE=90°,

EIZl+ZCAE=Z2+ZCAE=ZC4D=90o,

0Z3=ZC4D=9O°,

EADBE,

0Z￡>=3O°,

0ZDCE=Zr)=30°.

6.如圖，在三角形45c中，D、E分別是AB、8C邊上的點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AC邊上，連

接DE,DF,GE,已知NAFD=ND￡B,ZDFC+ZC=180°.

A

⑴求證：DE//AC；

(2)若NC=38。，EG平分/DEC,求/PGC的度數(shù).

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)71°

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本

題的關(guān)鍵.

(1)利用平行線的判定及性質(zhì)即可求證結(jié)論；

(2)利用平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)證明：ZDFC+ZC=180°,

/.DF//BC,

:.ZDEB=/EDF,

ZAFD=/DEB,

:.ZEDF=ZAFD,

.\DE//AC；

(2)解：DE"AC,

.?.NC+ND￡C=180。，

ZC=38°,

.*.ZDEC=180o-38o=142°,

EG平分/DEC,

ZDEG=-ZDEC=71°,

2

DE//AC,

../EGC=NDEG=710.

類型八、分式方程的應(yīng)用

1.2025年春節(jié)檔上映的《哪吒之魔童鬧海》一經(jīng)播出，便引起了極大的反響，票房數(shù)據(jù)節(jié)

節(jié)攀升，不斷刷新記錄.為滿足消費(fèi)者需求，某商店用800元購(gòu)進(jìn)了一批敖丙手辦，用1560

元購(gòu)進(jìn)了一批哪吒手辦，且所購(gòu)哪吒手辦的數(shù)量是敖丙手辦數(shù)量的2倍，單價(jià)比敖丙手辦低

2元.求該商店購(gòu)進(jìn)了多少個(gè)哪吒手辦.

【答案】該商店購(gòu)進(jìn)了20個(gè)哪吒手辦

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題中等量關(guān)系列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

1560

設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)了x個(gè)敖丙手辦，則購(gòu)進(jìn)了2x個(gè)哪吒手辦，根據(jù)題意得+2=—,解方

2尤X

程進(jìn)而得到答案.

【詳解】解：設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)了尤個(gè)敖丙手辦，則購(gòu)進(jìn)了2x個(gè)哪吒手辦,

根據(jù)題意，得等+2=則

2xx

解得x=10,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是原方程的解，且符合題意,

2x10=20（個(gè)）,

回該商店購(gòu)進(jìn)了20個(gè)哪吒手辦.

2.4月23日至25日，以“培育讀書風(fēng)尚建設(shè)文化強(qiáng)國(guó)”為主題的第四屆全民閱讀大會(huì)成功

在我省太原舉辦，將全民閱讀推上了新高潮.某社區(qū)老年活動(dòng)中心為方便老年人閱讀，準(zhǔn)備

購(gòu)進(jìn)4、B兩種老年大字書供大家借閱.據(jù)了解，用600元購(gòu)買A書籍的數(shù)量比購(gòu)買B書籍

的數(shù)量多5本，且8書籍的單價(jià)是4書籍單價(jià)的L2倍，求A、8兩種書籍的單價(jià).

【答案】A種書籍的單價(jià)為20元，則3種書籍的單價(jià)為24元

【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)A種書籍的單價(jià)為x元，則B種書籍的單

價(jià)為L(zhǎng)2x元，根據(jù)用600元購(gòu)買A書籍的數(shù)量比購(gòu)買8書籍的數(shù)量多5本，且B書籍的單

價(jià)是A書籍單價(jià)的1.2倍建立方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)A種書籍的單價(jià)為x元，則8種書籍的單價(jià)為L(zhǎng)2x元.

mem*zn600600「

根據(jù)題意，得------=5.

x1.2x

解得x=20.

經(jīng)檢驗(yàn)x=20是原方程的根，且符合題意,

1.2x20=24(元)

答：A種書籍的單價(jià)為20元，則2種書籍的單價(jià)為24元.

3.研究表明：植物具有固碳能力，所謂固碳能力，具體表現(xiàn)為植物通過(guò)光合作用將大氣中

的二氧化碳轉(zhuǎn)化為有機(jī)碳，并固定在植物體內(nèi)的能力.生物興趣小組的同學(xué)們通過(guò)查閱資料

發(fā)現(xiàn),洋槐一天固碳2700克所需的種植面積是垂柳一天固碳2150克所需種植面積的2倍，

而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多3.2克，求洋槐一天平均

每平方米的固碳量.

【答案】洋槐一天平均每平方米固碳量是5.4克

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)洋

槐一天平均每平方米固碳量是x克，則垂柳一天平均每平方米固碳量是(x+3.2)克，根據(jù)題

意列出分式方程，求出x的值即可解答.

【詳解】解：設(shè)洋槐一天平均每平方米固碳量是尤克，則垂柳一天平均每平方米固碳量是

(x+3.2)克.

解得：x=5.4,

經(jīng)檢驗(yàn)，尤=5.4是原方程的解，且符合題意，

答：洋槐一天平均每平方米固碳量是5.4克.

4.列方程(組)解應(yīng)用題：重慶某動(dòng)漫玩具創(chuàng)意企業(yè)計(jì)劃委托供貨商生產(chǎn)自己設(shè)計(jì)的甲、

乙兩種動(dòng)漫玩具共7800個(gè)投放市場(chǎng)，甲玩具的數(shù)量比乙玩具數(shù)量的一半少300個(gè).

(1)甲、乙兩種動(dòng)漫玩具的數(shù)量分別是多少個(gè)？

⑵若供貨商安排20人同時(shí)生產(chǎn)這兩種動(dòng)漫玩具，每人每天能生產(chǎn)甲玩具20個(gè)或乙玩具30

個(gè)，應(yīng)分別安排多少人生產(chǎn)甲、乙玩具，才能確保同時(shí)完成兩種玩具的生產(chǎn)任務(wù)？

【答案】(1)