第03講幕函數(shù)與二次函數(shù)

目錄

01考情解碼?命題預(yù)警..........................................................2

02體系構(gòu)建.思維可視............................................................3

03核心突破?靶向攻堅(jiān)............................................................4

知能解碼...................................................................4

知識點(diǎn)1幕函數(shù).........................................................4

知識點(diǎn)2一元二次方程....................................................5

知識點(diǎn)3二次函數(shù)及其性質(zhì)................................................5

知識點(diǎn)4一元二次、分式、絕對值不等式...................................8

題型破譯....................................................................9

題型1幕函數(shù)的圖象.....................................................9

重

13

題型4幕函數(shù)的綜合應(yīng)用...............................................14

16

題型6分式、絕對值、高次不等式........................................18

題型7二次函數(shù)的解析式................................................21

題型8二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)............................................24

題型9二次函數(shù)的實(shí)根分布..............................................25

27

04真題溯源?考向感知...........................................................30

05木才???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????30

01

考情解碼-命題預(yù)警

考點(diǎn)要求考察形式2025年2024年2023年

2024年新I卷，第1題,5

1.掌握指數(shù)對數(shù)累函數(shù)的

2025年全國二卷，第4分

圖象與性質(zhì)回單選題

題,5分2023年新I卷，第1題,5

2.會指數(shù)對數(shù)的相關(guān)運(yùn)算回多選題

回填空題2025年全國二卷，第12分2023?新課標(biāo)I

1.3.會指對幕函數(shù)值的大□解答題

題,5分2023年新I卷，第4題,5卷

小比較

分

考情分析：1.解三次不等式

2.二次函數(shù)圖象解不等式

3.二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍

本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會結(jié)合其他知識點(diǎn)考查，需要掌握幕函數(shù)的基本性質(zhì)，難度中等偏下

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1.掌握暴函數(shù)的定義及一般形式，掌握y=X,y=犬,y=丁,y==—,y==&的圖象和性質(zhì)

X

2.理解并掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、對稱性、頂點(diǎn)、最值等）

3.理解并掌握幕函數(shù)y=%力。w0）的單調(diào)性和奇偶性

P

02

體系構(gòu)建?思維可視1

幕

函

數(shù)

與

次

函

數(shù)

03

核心突破-靶向攻堅(jiān)

知識點(diǎn)1幕函數(shù)

（1）塞函數(shù)的定義及一般形式

形如丁=工?￡€R）的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中X是自變量，a為常數(shù)

（2）基函數(shù)的圖象和性質(zhì)

①塞函數(shù)的單調(diào)性

a>0時，/（x庵第一象限單調(diào)遞增

/(x)=xJ

aVO時，施第一象限單調(diào)遞減

②塞函數(shù)的奇偶性

a為偶數(shù),〃x）為偶函數(shù)

a為整數(shù)

a為奇數(shù)，人同為奇函數(shù)

f(x)=xa<’。為偶數(shù)時，/⑴為非奇非偶函數(shù)

.為分?jǐn)?shù),設(shè)0='為奇數(shù)時q為奇數(shù)，/（x）為奇函數(shù)

q為偶數(shù)，/（只為偶函數(shù)

自主檢測給定一組函數(shù)解析式:

3232311

①y二%"；②y=x§；③y=%5；④y=⑤,二九5；⑥y=%§；?y=,

如圖所示一組函數(shù)圖象.圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是（）

A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

【答案】C

【分析】根據(jù)募函數(shù)的圖象的性質(zhì)判斷各圖象對應(yīng)解析式的形式，即可得答案.

【詳解】圖象（1）關(guān)于原點(diǎn)對稱，為奇函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故＞=*-5滿足;

圖象（2）關(guān)于y軸對稱，為偶函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故y=滿足；

圖象（3）非奇非偶函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故/=工總滿足；

圖象（4）關(guān)于y軸對稱，為偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，故y=，滿足；

1

圖象（5）關(guān)于原點(diǎn)對稱，為奇函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，故y=3滿足；

圖象（6）非奇非偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長率隨X增大遞減，故y=￡滿足;

3

圖象（7）非奇非偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長率隨x增大遞增，故＞=/滿足;

故圖象對應(yīng)解析式順序?yàn)棰蔻堍邰冖撷佗?

故選:C

知識點(diǎn)2一元二次方程

ax2+bx+c=0（。w0）

①方程有兩個實(shí)數(shù)根O△=/—4ac20

A>0

②方程有同號兩根U><c

xrx2=—>0

、a

A>0

③方程有異號兩根oJc

xxx2=—<0

、a

bc

④韋達(dá)定理及應(yīng)用：%+々=,%/2二—

aa

+々）[（玉+々）2—3%工2]

自主檢測設(shè)常數(shù)peR,已知關(guān)于尤的一元二次方程x2+2（p-l）x+p2-p=0的兩個實(shí)根分別為a、/5,若

a2+￡2=i2,貝!]p=.

【答案】-1

【分析】根據(jù)根的判別式求出。的范圍，再由韋達(dá)定理計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程，+2（p-l）x+p2-〃=0的兩個實(shí)根分別為a、B,

貝"A=4（p_l）2_4（/_p）t0,解得

所以（z+分=—2（p-l）,a（3=p~-p,

又儲+加=（&+￡）2-2奶=12,即4（p-l）2-2（p2-p）=12,解得p=T或0=4（舍去）；

故答案為：-1

知識點(diǎn)3二次函數(shù)及其性質(zhì)

（1）二次函數(shù)

b4f7c—hh

①一般式：y=ax2+/zx+c=----）2H---------（a。0）,對稱軸是1=-----,

2a4a2a

2

〒工…/b4ac-b

頂點(diǎn)是（一一,-------）x；

2a4a

②頂點(diǎn)式：y=〃（%+用/+左（〃。0）,對稱軸是％=頂點(diǎn)是（一根，左）；

③交點(diǎn)式：y=。（%-%1）（九一無2）（。。0），其中（/。），（x2,0）是拋物線與x軸的交點(diǎn)

（2）二次函數(shù)的性質(zhì)

①函數(shù)y^ax2+bx+c（a^0）的圖象關(guān)于直線x=對稱。

2a

hh

②。>。時，在對稱軸（％=——）左側(cè)，y值隨］值的增大而減少；在對稱軸（犬=——）右側(cè)；y

2a2a

b4cic-Z?2

的值隨工值的增大而增大。當(dāng)%二-二時，y取得最小值--------

2a4a

Ah

③a<0時，在對稱軸（x=——）左側(cè)，y值隨X值的增大而增大；在對稱軸（x=——）右側(cè)；y

2a2a

的值隨X值的增大而減少。當(dāng)x=-上h~時，y取得最大值4-ctc—h~

2a4a

自主檢測|在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)〃%）=加+彳+1和函數(shù)g（x）=ox+l的圖象不可能是（）

【分析】從函數(shù)/。）=依2+》+1入手，當(dāng)。=0時，易得結(jié)論，當(dāng)。片0時，根據(jù)二次函數(shù)的開口方向和與X

軸的交點(diǎn)情況，由。的正負(fù)和判別式，分。<0,0<a<1,a>］討論求解.

【詳解】若。=0,則〃x）=x+l,g（x）=l,A可能;

若。<0,則“X）的圖象開口向下，過點(diǎn)（0,1）,對稱軸為A-*〉。，

g（x）的圖象過點(diǎn)（0,1）和卜：,0）,且-:<1，B可能；

若0<a<；,則的圖象開口向上，對稱軸為尤=-（<。，與x軸有兩個交點(diǎn)，過點(diǎn)（0,1）,

g（"的圖象過點(diǎn)（0,1）和［-］。］,旦-C不可能；

若則〃力的圖象開口向上，與x軸沒有交點(diǎn)，過點(diǎn)（0,1）,對稱軸為了=$<0,

g(x)的圖象過點(diǎn)(0,1)和［-］。］,且-f>)，D可能.

故選：C.

知識點(diǎn)4一元二次、分式、絕對值不等式

(1)解一元二次不等式

“三個二次”：一元二次不等式與一元二次方程及二次函數(shù)的聯(lián)系

判別式

A>0A=0A<0

A=b2-4ac

一元二次方程有兩個相等實(shí)根

有兩個不等實(shí)根

ax1+bx+c-0(?w0)b無實(shí)數(shù)根

xx,元2(設(shè)X<%2)X\=%2=一丁

的根La

五

二次函數(shù)

y=ax2+bx+c(a>0)

的圖象

LX1=ZX2XV

ax2-\-bx+c>0(Q>0)(x|x<x^U>x}

12R

的解集

ax2-\-bx+c<0(Q>0)

{'%<x<x2}

的解集00

(2)解分式不等式

①。o/(x)g(x)<o②〉0=/(x)g(x)〉0

③需Vf(x)g(x)<G7(%)^(%)>o

./(X)H0④tw〔即。

(3)解單絕對值不等式

忖2。(〃>0)=>%<一〃或12〃，W<a(a>0)^-a<x<a

|自主檢測|不等式，一2x-3)，+4x+4)<0的解集是()

A.{x|九<一1或x>3}B.{x[—1<%<2或2Vx〈3}

C.{%|-l<x<3}D.{x|-2<x<3}

【答案】C

【分析】先因式分解，然后分工=-2和門-2求解即可.

【詳解1(X2-2X-3)(X2+4x+4)<0o(x—3)(x+l)(x+2)2<0,

當(dāng)x=-2時，不等式顯然不成立;

當(dāng)』2時，(X+2)2>0,所以原不等式o(x—3乂%+1)<0,

解得一1<xv3.

綜上，原不等式的解集為{x|-l<x<3}.

故選：C

題型1幕函數(shù)的圖象

例王U若幕函數(shù)>=廣|,，=^與，=彳"在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則加與〃的取值情況為()

A.-l<m<O<n<lB.-l<n<O<m<—

2

C.-l<m<O<n<—D.-l<n<O<m<l

2

【答案】D

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的圖象性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】當(dāng)a>0時，幕函數(shù)y=丁在(。,+8)上單調(diào)遞增，且Ovavl時，圖象上凸，.,.()<相<1.

當(dāng)。<0時，慕函數(shù)丁=丁在(0,+8)上單調(diào)遞減.不妨令％=2,由圖象得2一1<2〃，則-lv〃vO.

綜上可知，—IVMVOV%vl.

故選擇：D.

---------------2

例1-2懦函數(shù)?的圖象大致為()

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義域及奇偶性判斷圖象即可.

【詳解】累函數(shù)/(%)=/=行的定義域?yàn)镽，故D選項(xiàng)錯誤；

因?yàn)?就彳=正=〃x),所以為偶函數(shù)，故A,C選項(xiàng)錯誤;

故選：B.

方法技巧

⑴對于幕函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即尤=14=1,、=無所分區(qū)

域.根據(jù)a<0,0<a<l,a=l,a>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.

⑵在比較塞值的大小時，必須結(jié)合基值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.

【變式訓(xùn)練1-1】已知累函數(shù)y=J(0eZ)的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則()

A.p為奇數(shù)，且。>。B.。為奇數(shù)，且。<0

C.p為偶數(shù)，且。>。D.p為偶數(shù),且。<。

【答案】D

【分析】根據(jù)圖象的單調(diào)性和奇偶性判斷.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)>=/的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)>=清為偶函數(shù)，即P為偶數(shù).

又函數(shù)v=J的定義域?yàn)?-g,o)U(o,+8),且在(0,+8)上單調(diào)遞減，

J4

則有與<。，所以P<0.

故選：D

【變式訓(xùn)練1-2](多選)已知/(x)=，(ceR),則下列說法正確的是()

A.當(dāng)。=一1時，〃尤)的值域?yàn)镽B.當(dāng)a=3時，/(Jr)>/(3)

C.當(dāng)a=:時，/(f)是偶函數(shù)D.當(dāng)c=g時，產(chǎn)。)是奇函數(shù)

【答案】BC

【分析】根據(jù)幕指數(shù)a的取值，結(jié)合幕函數(shù)的性質(zhì)一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】當(dāng)￡=—1時，此時/(x)的值域?yàn)閧"k0},故A錯誤；

當(dāng)a=3時，/(刈=》3在R上單調(diào)遞增，所以，(兀)>/(3),故B正確；

當(dāng)a=1?時，/(刈=#，==\X\,定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，

VxeR,/((-x)2)=|-x|=/(x2),所以是偶函數(shù)，故c正確；

當(dāng)a=g時，/（X）=￡,（XNO），則/（X）=X,（XN。），定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故為非奇非偶函數(shù)，D錯誤.

故選：BC

題型2幕函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性|重

例2』（多選）已知函數(shù)/（》）=（4相-m2-3卜2"，為基函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為（）

A.m=2B.f（x）為偶函數(shù)

C.為單調(diào)遞增函數(shù)D.的值域?yàn)椋?,”）

【答案】ABD

【分析】由塞函數(shù)定義可得加，然后可得了（X）奇偶性，單調(diào)性，值域.

【詳解】對于A,因/'（%）為累函數(shù)，則4根-〃，-3=1=>（〃Z-2）2=0=>〃z=2,

故A正確；

對于B,由A,=/為偶函數(shù)，故B正確;

對于C,/（尤）在（-雙0）上單調(diào)遞減，在［0,+e）上單調(diào)遞增,

則/（x）不為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，故C錯誤;

對于D,注意到/（力=/20,則/'（x）的值域?yàn)椋?,+心），故D正確.

故選：ABD

----------m

例2-2版圖所示是函數(shù)y="（m、〃eN*且互質(zhì)）的圖象，貝I（）

B.機(jī)是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，且‘<1

n

C.機(jī)是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，且‘>1D.m,〃是偶數(shù)，且生>1

nn

【答案】B

【分析】

根據(jù)圖象得到函數(shù)的奇偶性及（0,+8）上單調(diào)遞增，結(jié)合機(jī)、/wN*且互質(zhì)，從而得到答案.

【詳解】由圖象可看出y=/為偶函數(shù)，且在（。，+8）上單調(diào)遞增,

故里€（0,1）且加為偶數(shù)，又加、"eN*且互質(zhì)，故〃是奇數(shù).

n

故選：B

------------------------------------------------------------------------------------------------《

方法技巧

①所有的幕函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且圖象都過點(diǎn)（1,1）

②。>0時，嘉函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在[0,+8）上是增函數(shù)

特別地，當(dāng)￡>1時，塞函數(shù)變化快，圖象下凹；當(dāng)0<￡<1時，幕函數(shù)變化慢，圖象上凸

③tz<0時，基函數(shù)的圖象在（0,+8）上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)X從右邊趨向原點(diǎn)時，圖象在y軸右方

無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+8時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.

【變式訓(xùn)練2-1】（多選）下列關(guān)于幕函數(shù)》=/的性質(zhì)，描述正確的有（）

A.當(dāng)。=-1時，函數(shù)在其定義域上為減函數(shù)B.當(dāng)。=0時，函數(shù)y=x"不是暴函數(shù)

C.當(dāng)。=2時，函數(shù)是偶函數(shù)D.當(dāng)。=3時，函數(shù)與x軸有且只有一個交點(diǎn)

【答案】CD

【詳解】幕函數(shù)y在（-*0）和（0,+⑹上是減函數(shù)，但是在定義域上不單調(diào)，故A錯誤；當(dāng)。=0時，函數(shù)

y=x"是幕函數(shù)，故B錯誤；y=Y是偶函數(shù)，故C正確；當(dāng)。=3時，函數(shù)為y=d,當(dāng)y=0時，只有唯一

解x=0,故。正確.

【變式訓(xùn)練2-2?變考法】己知嘉函數(shù)/（》）=（療-3:〃+3）x而為偶函數(shù)，則（）

A.m=lB.m=2

C.機(jī)=1或機(jī)=2D.加不存在

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用幕函數(shù)的定義，結(jié)合偶函數(shù)特征求解即得.

,—fm-1>0

【詳解】由/（x）=（W-3加+3）丈而是幕函數(shù)，得2。。「解得m=1或機(jī)=2,

當(dāng)機(jī)=1時，/（x）=x°是偶函數(shù)，符合題意；

當(dāng)m=2時，X是奇函數(shù)，不符合題意，

所以m=1.

故選：A

【變式訓(xùn)練2-3?變載體】（多選）己知函數(shù)/'（"=V的圖象經(jīng)過點(diǎn)13,￡|,則（）

A.〃x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（9,g[B.〃x）在（0,+“）內(nèi)的值域?yàn)椋?+8）

C./（X）在定義域上單調(diào)遞減D./（X）的圖象關(guān)于y軸對稱

【答案】AB

【分析】代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)判斷.

【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入〃耳=/，可得。=-1,貝

對A,當(dāng)x=9,/（9）=1,所以的圖象經(jīng)過點(diǎn)（9,J,A正確；

根據(jù)神函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知」為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，在定義域上不具有單調(diào)性,

X

函數(shù)〃尤）=:在（0,+。）內(nèi)的值域?yàn)椋?,+8）,故CD錯誤，B正確，

故選:AB.

難

04

例3-1|已知a=0.4°5,b=log050.4,c=O.5,則a,瓦c三者的大小關(guān)系是()

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

050404

【詳解】a=O.4<O.4-<O.5-<0.5°=1=log050.5<log050A=b,則a<c<6,

所以a,b,c二者的大小關(guān)系是6>c>a.

故選：A

酶可實(shí)數(shù)2百,3色芯,2口從小到大排列為.

【答案】2/<3也<2兀<71后

【分析】運(yùn)用指數(shù)函數(shù)累函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)累性質(zhì)可解.

【詳解】因?yàn)椋?點(diǎn)1=9有，邛『=8應(yīng)，則由y=，在（0,+。）上單調(diào)遞增,

y=8”在R上單調(diào)遞增，知94>8百>8點(diǎn)，故3應(yīng)>24，

又由函數(shù)〃x）=a*（a>D為增函數(shù)，

3

得3貶〈學(xué)=727<23<271>則2n>3貶.

又271V23-2=8X20-2<7t2x710-2=7T2-2<一.

故答案為：24<3應(yīng)<2*<兀"?

方法技巧

a>0時，/（x庵第一象限單調(diào)遞增

f(x)=xa<

a<0時，施第一象限單調(diào)遞減

【變式訓(xùn)練3-1】(多選)已知實(shí)數(shù)x,y滿足，)則下列關(guān)系式中恒成立的是()

A.e2%+1>e2y+IB.sinx>siny

c.%3>j3D.2X-2y>yx-yy

【答案】ACD

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、幕函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.

【詳解】因?yàn)樗?/p>

A：y=e"在R上是增函數(shù)，故故本關(guān)系恒成立；

B：當(dāng)x=7t,y=。時，顯然符合x>y,但是sinx>siny不成立，故本關(guān)系式不恒成立；

C:因?yàn)?gt;=/在R上是增函數(shù)，所以尤3>>3,故本關(guān)系恒成立.

D：由于y=2'為單調(diào)遞增函數(shù)，>=3一，為單調(diào)遞減函數(shù)，故>=2工-3-，為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，由可

得2'-3T>2>-3->,故2。2,>3^-37,故本關(guān)系式恒成立；

故選：ACD

【變式訓(xùn)練3-2】若暴函數(shù)“X)是R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(f,0)上單調(diào)遞減，若"=點(diǎn)="-1.4),

c=/(0.6),則a1,c的大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a

【答案】B

【分析】運(yùn)用幕函數(shù)知識，結(jié)合偶函數(shù)和單調(diào)性性質(zhì)，轉(zhuǎn)化比較大小即可.

【詳解】〃x)為偶函數(shù)，所以c=/(O.6)=/(-O.6),又因?yàn)槟己瘮?shù)在(-。,0)上單調(diào)遞減，

所以/(一1.5)>/(-1.4)>"-0.6)=/(0.6),即a>6>c.

故選：B.

題型4幕函數(shù)的綜合應(yīng)用

|例4-1|已知著函數(shù)〃x)=(1一3m+3%”是R上的偶函數(shù),且函數(shù)g(x)=/(x)-2依在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞

減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[3,+w)B.(-co,l]C.(-oo,l)D.(-<x),l]u[3,+(?)

【答案】A

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)得到2,則g(x)=d-2G,其對稱軸方程為x=a,根據(jù)單調(diào)性得到不等式,

求出答案.

【詳解】因?yàn)槔酆瘮?shù)〃力=(療-3"+3)/是R上的偶函數(shù)，

則m2—3m+3=1,解得〃?=1或機(jī)=2,

當(dāng)機(jī)=1時，/(x)=x,該函數(shù)是奇函數(shù)，不合乎題意；

當(dāng)根=2時，f(x)=x2,該函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，合乎題意，所以〃x)=f,

則g(x)=x,-2依，其對稱軸方程為

因?yàn)間(x)在區(qū)間［L3］上單調(diào)遞減，則心3.

故選：A.

|%3-3%2+8.X-+15=0

例4-2已知實(shí)數(shù)x,V滿足9y2+32i3=0'貝"+y=

【答案】4

【分析】通過對兩個方程進(jìn)行變形，構(gòu)造出相同形式的函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)來求解x+y的值.

【詳解】對丁-3/+8工+15=0進(jìn)行變形，可化為(I)?+5(1)=-21,

對V-9/+32y-63=0進(jìn)行變形，可化為(3-?+5(3-y)=-21,

設(shè)y=x)丁隨x增大而增大，y=5x,>也是隨x增大而增大，

則,=丁+5了是單調(diào)遞增函數(shù).貝l］x_l=3-y可得x+y=4.

故答案為：4.

【變式訓(xùn)練4-1】已知函數(shù)/(x)=6T-6"若/(3帆-2左)>“〃?-2),則下列錯誤的是()

A.em<eMB.若機(jī)>0,則:m一—1<；YY!

k-\k

c.ln(^-m)<0D.

【答案】C

【分析】由函數(shù)的單調(diào)性得出私人的關(guān)系，然后由不等式的性質(zhì)判斷AB,由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷C,由幕函

數(shù)性質(zhì)判斷D.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=6-，,y=-6'在R上都單調(diào)遞減，所以/(X)在R上是減函數(shù).

由2左)〉篦—2),得3〃z—2左<"?—2,

即加<發(fā)一1,貝Ue"'<ei,A正確.

因?yàn)闄C(jī)>0,所以0<〃2<%—1<左，

m-1m_m-kCLLI、I機(jī)一1m

Ak-1~~k~k(k-l)<o,所以‘T，B正確.

k(k-l)k-1<~k

因?yàn)閥=lnx在(0,+e)上是增函數(shù)，且左—相>1,

所以In(左一加)>lnl,即In(左一加)>0,C錯誤.

3

因?yàn)榧印磁?1,所以根<3因?yàn)槿瘮?shù)y=必在R上單調(diào)遞增,

33

所以/kv7/II.I，D正確.

故選：c.

【變式訓(xùn)練4-2?變載體】已知暴函數(shù)”。=（〃2-6〃+9卜"-3在（0,+8）上單調(diào)遞增，若正數(shù)〃、人滿足

43

3a+4b=〃，則一的最小值為

ab

【答案】12

【分析】由事函數(shù)的定義與單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)〃的等式或不等式，解出〃=4,可得出3a+46=4,將

代數(shù)式,4+號3與代數(shù)式：1（3。+46）相乘，展開后利用基本不等式可求4得]3的最小值.

【詳解】因?yàn)槟缓瘮?shù)/'（司=（〃2-6〃+9）尤“3在（0,+e）上單調(diào)遞增,

"2—6九+9=1AR,口

則，斛得n=4,

n-3>0

丁皿田n,431/.43^1.9〃16Z?A

正數(shù)〃、萬滿足3a+4Z?=4,貝lJ,+]=W（3a+4b）[,+石J=a[24+了+-^-J

2

a=——

:時，等號成立,

b=-

2

因此，主4+?3的最小值為12.

ab

故答案為：12.

題型5—元二次不等式重

例5-1|（2025?重慶九龍坡?三模）已知集合M={x|0（尤<a},N={x|爐-6x+5<0},若N[JM=M,則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[5,+co）B.（5,+oo）C.[3,+oo）D.（3,+oo）

【答案】A

【分析】解不等式求得N,由已知可得Na",進(jìn)而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】由/一6》+5<0,可得（x-58—1）<0,解得l<x<5,

所以N={疝<x<5},由NUM=M，可得NqM,

又M={%|0<x<a},所以Q25,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是[5,內(nèi)）.

故選：A.

例5-2命題“為?尺尤2+5+1卜+1<0，為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(-co,-3]u[l,+oo)B.(-oo,-3)U(l,+℃)

C.[-3,1]D.(-3,1)

【答案】C

【分析】由題意可知已知命題的否定為真命題，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，求解即可得出答案.

【詳解】由已知可得，命題“玄€&/+(4+1卜+1<0”的否定，

即命題“VxeR,x2+(a+l)x+l?0”真命題，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，應(yīng)有△=(。+1)2-4=。2+2。一340,

解得-3WaWl.

故選：C.

[變式訓(xùn)練5-1]已知關(guān)于x的不等式d-4依+3^<0(。<0)的解集為(西,無2)，則斗+超+2的最大值是

()

A476R4#「4指n4白

3333

【答案】B

[x.+x9=4a

【分析】利用韋達(dá)定理得到:2，再代入利用基本不等式計(jì)算可得.

[x11r2=3Q

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于X的不等式d-4依+3/<0(4<0)的解集為(石,馬),

玉+%2=4。

所以

玉入2=3〃2

2a.2a.2

---=44〃+—

所以石+x2+。+--=

XxX23礦3a

“后弓=-半,當(dāng)且僅當(dāng)"￡，即"4時取等號.

=-（—4。）+^^

''-3a

故選：B

【變式訓(xùn)練5-2】已知/（J;）=—3x2+d!（6—a）x+6.

(1)解關(guān)于a的不等式/。)>0

(2)若不等式"X)>b的解集為(-L3),求實(shí)數(shù)a,b的值.

【答案】⑴,13-2百<a<3+2有｝

(2)a=3±"6=-3

【分析】（1）求出/（I）,結(jié)合二次不等式的求解方法可得答案；

（2）利用不等式的解與方程的根的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理可求答案.

【詳解】（1）由題意知/（l）=a（6-a）+3>0,BPa2-6?-3<0,

解得3-26<。<3+2技

所以所求不等式的解集為{。|3-2壞<。<3+2/}.

（2）不等式〃力>6的解集為（-1,3）,所以方程-3%2+。（6-。卜+6-6=0的兩根為-1,3,

(/-1、)+3=—a(6-a\

〃=3±^3

所以,解得

㈠),與b=-3

故〃的值為3土0，b的值為-3.

題型6分式、絕對值、高次不等式

-------x—4

例6-1（2025?全國二卷?高考真題）不等式一2的解集是（）

-------x-1

A.{x\-2<x<l]B.[x\x<-2}

C.{x|-2<x<l}D.{x\x>l]

【答案】C

【分析】移項(xiàng)后轉(zhuǎn)化為求一元二次不等式的解即可.

【詳解】=22即為注<0即,Rib。,故一2?x1,

x-1x-11x—lwO

故解集為[-2,1）,

故選：C.

(x-l)(x-3)(x-5)-0-4

例6-2關(guān)于x的不等式4。的解集為

(x-2『(4-X)3(X-6)

【答案】(-8,1M3,4)u{5}u(6,+8)

4

(x—l)(x—3)(x—5)~°~(無一2)~(4—尤丫(無一6)<0

【分析】利用不等式的等價(jià)變形可得<,再利用數(shù)軸標(biāo)根法可

3

(x-2)~(4-x)(尤-6)R0

求得不等式的解集.

（尤一1）（彳一3）（無一5）加

【詳解】由<0,

（彳-2）~（4-尤苗（彳-6）

-3

(x—1)(無一3)(尤-5)~°"(%—2)(4-.x)(^—6)<0

2

(%—2)(4-尤丫(x—6)/0

所以［(I)。一3)(“一5產(chǎn)4(尤一2)?-4丫(尤-6)2°

(x-2)2(4-無丫(x_6)w0

方程(工—1)6-3)(*—5)2024。—2)2(4—耳3(第-6)=。的根為1,2,3,4,5,6,

由數(shù)軸標(biāo)根法可得(F,1]U[3,4)/5}U(6,y).

故答案為：(y>,UU[3,4)U{5}U(6,+?).

【變式訓(xùn)練6-1】(多選)不等式(尤-〃嚴(yán)3。-1)的(尤-2)2儂<0(其中aeR)的解集可以是()

A.{x|0(尤<2且xwl}B.{x|l<x<2}

C.0D.{x|x<l或1cx<2或x>3}

【答案】ABC

【分析】A選項(xiàng)，。=。時滿足要求；B選項(xiàng)，。=1時滿足要求；C選項(xiàng)，。=2滿足要求；D選項(xiàng)，由于解

集中出現(xiàn)了x>3,故。=3,由穿針引線法可知，不等式解集為{x[2<x<3},D錯誤；

【詳解】A選項(xiàng)，若a=0,^023(X-1)2024(X-2)2025<0,

由穿針引線法可知，不等式解集為{尤|0<》<2且xwl},A正確；

B選項(xiàng)，當(dāng)。=1時，(%-1)4047(%-2)2025<0,解得l<x<2,B正確；

C選項(xiàng)，當(dāng)。=2時，解集為0,C正確；

D選項(xiàng)，由于解集中出現(xiàn)了x>3,故。=3,

止匕時(X—3>°23(X—1)2必(了一2)2°25<。，

由穿針引線法可知，不等式解集為{x[2<x<3},D錯誤；

故選：ABC

【變式訓(xùn)練6-2】已知集合4=卜|—1<了<0},B=jx|-^<o1,則AU2=()

A.{x|x<0}B.{x|x<l)

C.{x|-l<x<0}D.{x|-l<x<l}

【答案】B

【分析】首先求出集合A,B,然后求這兩個集合的并集.

【詳解】由」v<。解得x<l.

x-1

所以集合3={x|x<l}.

所以AU3={x|x<l}.

故選：B

題型7二次函數(shù)的解析式

忸叵口圖象是以(L3)為頂點(diǎn)且過原點(diǎn)的二次函數(shù)/(x)的解析式為()

A./(x)=—3x?+6xB.f[x^--2x2+4x

C./(x)=3x2-6xD./(x)=2x2-4x

【答案】A

【分析】由待定系數(shù)法求函數(shù)解析式問題，根據(jù)題意可以設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，然后根據(jù)函數(shù)過原點(diǎn)，將

(0,0)代入即可.

【詳解】設(shè)圖象是以(L3)為頂點(diǎn)的二次函數(shù)”x)=a(xT)2+3(awO).

因?yàn)閳D象過原點(diǎn)，所以0=a+3,a=—3,所以/(x)=—3(x—1)?+3=—3尤?+6x.

故選：A

例7口(2025?陜西?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)＜(力的定義域?yàn)镽,K/(-x+l)=-/(x+l),/(x+2)=/(-x+2),

當(dāng)xe[0,l]時，/(x)=2x2+te+c,/(3)-/(2)=6,則b+c=()

A.-4B.-3C.1D.-2

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，通過賦值法求得了(1),/(2),/(3),即可聯(lián)立方程解出七c.

【詳解】由題意可得〃f+l)=-/(x+l)①；〃x+2)=〃r+2)②.

令元=1,由①得：/(O)=-/(2)=c,

令尤=1,由②得/(3)=/(l)=2+6+c,因?yàn)椤?)—"2)=6,

所以2+Z?+c+c=6,即Z?+2c=4.

令x=0,由①得==/■⑴=0=2+6+c=0,

解得。=-8,c=6,所以＞+c=-2.

故選：D.

方法技巧求二次函數(shù)解析式的三個策略

(1)已知三個點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用一般式.

⑵已知頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、最大(小)值等，宜選用頂點(diǎn)式.

(3)已知圖象與無軸的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，宜選用零點(diǎn)式.

【變式訓(xùn)練7-1】已知二次函數(shù)“X)滿足/?(2)=T"(l-x)=f(x),且的最大值是8,則此二次函數(shù)

的解析式為/(x)=()

A.—4x~+4x+7B.4x2+4x+7

C.-4X2-4X+7D.-4X?+4X-7

【答案】A

【分析】根據(jù)條件設(shè)二次函數(shù)為/(x)=a[x-￡|2+-aw0),代入條件求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，由/0x)=/(x)得F。)圖象的對稱軸為直線x==，

2

設(shè)二次函數(shù)為/(x)=a(x-J+A(awO),

因/(x)的最大值是8,所以。＜0,當(dāng)x=g時，,

即二次函數(shù)/(x)=a(無—g1+8(aw0),

由/(2)=-1得：/(2)=彳2-g[+8=-1,