目錄

兩條直線伉置關(guān)東.......................................2

【課前診斷】................................................................2

【知識(shí)點(diǎn)一】兩條直線相交....................................................3

【典型例題】................................................................3

考點(diǎn)一：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)..............................................3

考點(diǎn)二：含參數(shù)的直線恒過定點(diǎn)問題.......................................3

方法總、結(jié)：..............................................................................5

【知識(shí)點(diǎn)二】兩直線平行的判定................................................6

考點(diǎn)一：已知坐標(biāo)判斷直線位置關(guān)系.......................................6

考點(diǎn)二：已知直線平行求直線方程或參數(shù)...................................7

【知識(shí)點(diǎn)三】兩直線垂直的判定................................................7

考點(diǎn)一：已知坐標(biāo)判斷直線位置關(guān)系.......................................7

考點(diǎn)二：已知直線垂直求參數(shù)..............................................8

考點(diǎn)三：直線垂直平行綜合問題...........................................8

【知識(shí)點(diǎn)四】兩條平行線間的距離..............................................8

【典型例題】................................................................9

【知識(shí)點(diǎn)五】點(diǎn)到直線的距離.................................................10

【典型例題】................................................................10

【小試牛刀】................................................................10

【鞏固練習(xí)——基礎(chǔ)篇］.....................................................11

【鞏固練習(xí)——提高篇】.....................................................12

兩條直線住置關(guān)系

【課前吩斷】

1.直線3x—2y=4的截距式方程是()

2XV

1

-±BT-」

A.2-1=4

32-

宴X

D-十-

44-

-

3

2.過點(diǎn)(一2,-4),傾斜角為60。的直線的點(diǎn)斜式方程是.

3.在y軸上的截距為2,且與直線y=-3x—4平行的直線的斜截式方程為

4.當(dāng)。為何值時(shí)，直線小y=—2"+2。與直線為：＞=(4—3)尤+2平行？

(1)頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)直線的方程.

【知識(shí)點(diǎn)一】兩條直線相交

兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示

點(diǎn)A

直線/

點(diǎn)A在直線/上

直線人與《的交點(diǎn)是A

【理解】兩直線相交的條件

(1)將兩直線方程聯(lián)立解方程組，依據(jù)解的個(gè)數(shù)判斷兩直線是否相交.當(dāng)方程組只有一

解時(shí)，兩直線相交.

【典型例題】

考點(diǎn)一：兩條直線I的支點(diǎn)生標(biāo)

例1.判斷下列各組直線的位置關(guān)系.如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)：

(1)/1：5x+4y—2=0,/2：2x+y+2=0；

(2)/i：2x—6y+3=0,h:

(3)/i：2x—6y=0,Zz：y=；x+；.

例2.求經(jīng)過兩直線/i：3x+4y—2=0和，2：2x+y+2=0的交點(diǎn)且過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線/的

方程.

考點(diǎn)二：合參數(shù)的直線慢過定點(diǎn)問題

例1.求證：不論相為何實(shí)數(shù)，直線(加-1)尤+(2加一l)y=〃z—5都過某一定點(diǎn).

例2.若三條直線八：ax+y+l=0,li：x+ay+l=0,h：x+y+a=0能構(gòu)成三角形，貝!Ia

應(yīng)滿足的條件是()

A.a=l或。=—2B.aW±l

C.aWl且aW—2D.aW±l且aW—2

例3.直線y=2x+10,y=x+l,尸數(shù)一2交于一點(diǎn)，則a的值為()

A.fB.一；

2

c.|D.

3

方法總結(jié)：

1.判斷兩直線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是看兩直線的方程組成的方程組的解的情況.

(1)解方程組的重要思想就是消元，先消去一個(gè)變量，代入另外一個(gè)方程能解出另一個(gè)

變量的值.

(2)解題過程中注意對(duì)其中參數(shù)進(jìn)行分類討論.

(3)最后把方程組解的情況還原為直線的位置關(guān)系.

2.解含有參數(shù)的直線恒過定點(diǎn)的問題

(1)方法一：

任給直線中的參數(shù)賦兩個(gè)不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗(yàn)證這兩條直線的交

點(diǎn)就是題目中含參數(shù)直線所過的定點(diǎn)，從而問題得解.

(2)方法二：

含有一個(gè)參數(shù)的二元一次方程若能整理為尤+&y+C2)=0,其中2

[Aix+8iy+Ci=0,

是參數(shù)，這就說明了它表示的直線必過定點(diǎn)，其定點(diǎn)可由方程組,?,

tA2x+B2y+C2=0

解得.

若整理成y—無一尤o)的形式，則表示的所有直線必過定點(diǎn)(尤o,加).

【知識(shí)點(diǎn)二】兩直線平行的判定

【注】對(duì)兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)：

考點(diǎn)一：已知生標(biāo)捌新直線住置關(guān)東

例2.試確定相的值，使過點(diǎn)A(%+1,O),2(—5,㈤的直線與過點(diǎn)C(—4,3),。(0,5)的直線

平行.

考點(diǎn)二：巳如直線平行求直線方程或參數(shù)

例1.求與直線3x+4y+l=0平行且過點(diǎn)(1,2)的直線I的方程；

例2.當(dāng)a為何值時(shí)，兩直線y=~x+Aa與y=(4—2)x+4互相平行？

例3.若直線/i：y=—x+2〃與直線，2：y=(層一2)x+2平行，貝！|〃=.

【如詼點(diǎn)三】兩直線垂直的判定

【注】

(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂

直.

(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：

考點(diǎn)一：巳知生標(biāo)判斷直線住置關(guān)系

例2.已知定點(diǎn)A(—l,3),8(4,2),以A、2為直徑作圓，與x軸有交點(diǎn)C,則交點(diǎn)C的坐

標(biāo)是.

考點(diǎn)二：巳如直線垂直求參數(shù)

例1.當(dāng)a為何值時(shí)，兩直線y=ax—2與y=(a+2)x+l互相垂直？

例2.若直線h：y=(2a—1)%+3與直線I?：y=4x—3垂直，則a=.

例3.當(dāng)〃為何值時(shí)，直線/i：(〃+2)%+(1—a)y—1=0與直線，2：(〃一l)x+(2〃+3)y+2=0

互相垂直？

例4.求經(jīng)過點(diǎn)A(2,l)且與直線2x+y~10=0垂直的直線I的方程.

(A)4(B)_4(C)1(D)_!

例6.已知直線/i經(jīng)過A(3,m),B(m—1,2),直線已經(jīng)過點(diǎn)C(l,2),￡)(—2,m+2).

(1)若/i〃/2，求機(jī)的值；

(2)若/J/2，求機(jī)的值.

考點(diǎn)三：直線垂直平行綜合問題

例1.下列命題

①如果兩條不重合的直線斜率相等，則它們平行；

②如果兩直線平行，則它們的斜率相等；

③如果兩直線的斜率之積為一1,則它們垂直；

④如果兩直線垂直，則它們的斜率之積為一1.

其中正確的為()

A.①②③④B.①③

C.②④D.以上全錯(cuò)

(A).平行(B).重合

(C).垂直(D).相交不垂直

【知詼點(diǎn)四】兩條平行線間的距青

1.概念：夾在兩條平行直線間的公垂線段的長度就是兩條平行直線間的距離.

【理解】

(1)利用公式求平行線間的距離時(shí)，兩直線方程必須是一般式，且x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相

等.

(2)當(dāng)兩直線都與x軸(或y軸)垂直時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合來解決

【典型例題】

例1.求兩平行線/1：2x-y-1=0與4：4x-2y+3=0之間的距離.

例2.求與直線/：5x-12y+6=o平行且到I的距離為2的直線方程.

例3.兩直線3x+y—3=0和6x+/wy—1=0平行，則它們之間的距離為

方法總結(jié):

求兩平行線間的距離，一般是直接利用兩平行線間的距離公式，

當(dāng)直線/i：y=kx+bi,h-y=kx+bi,且"名歷時(shí)，＜7=^7==^；

■-7卜+1

Iz-?_「I

當(dāng)直線/i：Ar+5y+G=0,Z2：Ax+By+C2=0且GWQ時(shí)，d=+奈

但必須注意兩直線方程中x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.

【知識(shí)點(diǎn)五】點(diǎn)到直線的距寓

(1)概念：過一點(diǎn)向直線作垂線，則該點(diǎn)與垂足之間的距離,就是該點(diǎn)到直線的距離.

【理解】

1.點(diǎn)到直線的距離公式需注意的問題

2.點(diǎn)到幾種特殊直線的距離

【典型例題】

例1.求點(diǎn)P(3,—2)到下列直線的距離：

(1)y等+：；(2)y=6；⑶x=4.

例2.已知點(diǎn)A(a,2)(a>0)到直線/：尤-y+3=0的距離為1,貝！Ja=()

A.^2B.2~y[2

C.V2-1D.V2+1

例3.已知直線/經(jīng)過直線2x+y—5=0與x—2y=0的交點(diǎn).

(I)若點(diǎn)A(5,0)至1"的距離為3,求I的方程；

(II)求點(diǎn)A(5,0)至1"的距離的最大值.

【小成牛刀】

1.原點(diǎn)到直線尤+2y—5=0的距離為()

A.1B.小

C.2D.小

3.直線4x—3y+5=0與直線8x—6y+5=0的距離為

5.已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(—l,3),8(—3,0),C(l,2),求△ABC的面積￡

【鞏固練習(xí)----基礎(chǔ)篇】

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

2

(A)1(B)-1(C)一1和1(D)-

3.已知在中,4(1,2),8(5,0),C(3,4).

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑵試判定口A8CD是否為菱形？

4.直線/i,6的斜率詼?zhǔn)顷P(guān)于左的方程2M—3左一6=0的兩根，若/1，方則