期末復習壓軸重難點題型特訓（50題）

一、單選題

1.如圖，將四邊形CDEB沿A8折疊一下，如果CD〃EF,Zl=130°,那么N2是（）

【答案】B

【分析】本題考查了折疊的性質及平行線的性質.由平行線的性質得/。4〃=/1=130。,

ZDAB+Z2=180°,由折疊即可得解.

【詳解】解：?，CD〃即，4=130。,

,-,ZDAH=^1=130°,NDAB+Z2=180°,

由折疊得ND4B=NBAH=-ADAH,

2

.-.ZDAB=65°,

=180°-ZDAB=115°.

故選：B.

2.如果（x+間與（x+3）的乘積中不含x的一次項，則"?的值為（）

A.1B.3C.0D.-3

【答案】D

【分析】本題考查多項式乘法及根據(jù)特定項系數(shù)為零求解參數(shù)，解題關鍵是利用多項式乘法法則展開式

子，再根據(jù)不含x一次項即一次項系數(shù)為0來確定m的值.

運用多項式乘多項式法則求出它們的乘積，使含x項的系數(shù)為0,即可求出加的值.

【詳解】解：(x+m)(x+3)=x2+(m+3)x+3m,

???（x+M與0+3）的乘積中不含1的一次項,

m+3=0,

m=-3.

故選：D.

3.現(xiàn)有甲、乙兩個正方形紙片，將甲、乙并列放置后得到圖1,已知點”為工￡的中點，連接FH,

將乙紙片放到甲的內部得到圖2,已知甲、乙兩個正方形邊長之和為8,圖2的陰影部分面積為6,則圖

1的陰影部分面積為()

圖1

A.3B.19C.21

【答案】B

【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，解決本題的關鍵是靈活應用完全平方公式的變形.設甲

正方形邊長為X,乙正方形邊長為V,根據(jù)題意分別得到(x+?=64,(x-?=6,兩式相加可得

x2+y=35,在圖1中利用兩正方形的面積之和減去兩個三角形的面積之和，代入計算可得陰影部分面

積.

【詳解】解：設甲正方形邊長為X,乙正方形邊長為九則=EF=y,AE=x+y=8,

(x+j/)2=64,

x2+y2+2xv=64,

???點H為/E的中點，

AH=EH=4,

圖2的陰影部分面積=(x-y>=x2+y2-2xy=6,

(x++(x—v)-=64+6,

x2+y2=35,

,,11

圖1的陰影部分面積=工+y--x4-x--x4-y

=廠+/-2(x+y)

=35-2x8

=19,

故選：B.

4.設^+N=3/_l,其中。為實數(shù)，則初與N的大小關系是（）

A.M>NB.M>NC.M<ND.M=N

【答案】A

【分析】本題考查了整式減法的應用，完全平方公式的應用，利用作差法，用完全平方公式，得

M-iV=4a2-4a+3-（3a2-l）=（a-2）2>0,即可得角電

【詳解】解：,??M-N=4/-4a+3-（3/一1）

=4。2-4。+3-3/+1

=a2—4a+4

=（6Z-2）2>0,

:.M>N,

故選：A.

5.如圖，已知直線則。、0、7之間的關系是（）

A.a+4-2/=180。B./3-a=y

C.+/7+/=360°D.分+/—戊=180。

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的性質，解決本題的關鍵是根據(jù)平行線的性質找到角之間的關系.

【詳解】解：過E向左作射線跖||45,

貝UZFEA=ZEAB=a,

??./FED=ZAED-ZFEA=P-a,

?/AB//CD,

...FE//CDf

ZD+ZFED=180°,

/3+/-a=180°.

故選：D.

6.如圖，在△/BC中，分別以點N,C為圓心，以大于［力。的長為半徑畫弧，兩弧相交于點/，N,過點

2

M,N作直線直線兒W與/C,8c分別相交于點￡,D,連接NO.若4B=3cm,的周長

為9cm,則3C的長為（）

【答案】B

【分析】本題考查了基本作圖一作線段垂直平分線，線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線

的性質是解題的關鍵.由作圖可得：DE垂直平分/C,由線段垂直平分線的性質得出/。=CD,根據(jù)

的周長為9cm,48=3cm,求出AD+40=6cm,即可由史=紀+（27=紀+㈤求解.

【詳解】解：由作圖可得：OE垂直平分/C,

AD=CD,

/\ABD的周長為9cm,

即AB+BD+AD=9cm,

AB=3cm,

BD+AD=6cm,

BC=BD+CD=BD+AD=6cm.

故選：B.

7.兩個正方形如圖擺放，大正方形的邊長為〃?，小正方形的邊長為"，則下面四個式子中，不能表示圖中

陰影部分面積的是（）

A.

222

C.—（m2+/D.—\m-n\+—mn

2V2V72

【答案】C

【分析】本題主要考查了整式加減及乘法的應用，完全平方公式，熟練掌握整式混合運算法則是解題的

關鍵.根據(jù)陰影部分的面積等于兩個正方形的面積減去空白部分的面積，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：陰影部分的面積為:

2212

m+〃—n

2

2212112

=m+n—m—mn—n

222

-^mn,故A不符合題意;

1/V3

?：—（m+n]—mn

2V72

1/2c2\3

=一加+2mn+n—mn

2V72

113

=—m2+mn+—n2—mn

222

1

=-m2+-L

222

i97

，5（加+〃）2__mn能表示陰影部分的面積，故B不符合題意;

g（加2+〃2）

=g（加2+2/〃+〃2）

11

=—m2+mn-\--n2,

22

）不能表示陰影部分的面積，故C符合題意；

1/V1

'：—{m—n\+—mn

2V72

1/2c2\1

2V72

111

=-m2—mn2+—n+—mn

222

111

=—m2+—n2—mn,

222

191

能表示陰影部分的面積，故D不符合題意.

故選：C.

8.如圖，在中，ZC=90°,以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交4C,AB于點M,

N,再分別以點N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，作射線NP交8c于點。,

若△N8C的面積是16,AB+AC=\6,則C。的長為（）

【答案】B

【分析】本題主要考查了角平分線的性質，角平分線的尺規(guī)作圖，過點。作DE1N8于￡,由作圖方法

可得/。平分NA4c,則由角平分線的性質可得CD=DE,再由S'BC=S?℃+S△皿,=16列式求解即可.

【詳解】解：如圖所示，過點。作。于E,

???ZC=90°,DE1AB,

:.CD=DE,

**S^ABC-S^ADC+S^ADB=16,

：.-AC-CD+-ABDE=\6,

22

：X[AC+AByCD=\6,

???AB+AC=16,

CD=2,

故選：B.

9.如圖，CD〃AB,BC平分ZACD,C尸平分NNCG,點G、C、。共線，點、B、E、A、尸共線,

ABAC=3?1°,Z1=Z2,則下列結論：①CBLCF；②/1=71。；③/3=2/4；@2zACE=3z4.其中

正確的是（）

A.①②③

【答案】A

【分析】本題考查平行線的性質，角平分線的定義，平角的定義，熟練掌握知識點是解題關鍵.根據(jù)角

平分線的定義和平角的定義即可判斷①；根據(jù)平行線的性質，得出N/CG=N3/C=38°,N2=NBCD=71。,

再根據(jù)N1=N2得出Nl=71。，故②正確；根據(jù)角的和差關系，得出N3=38。，ZACE=33°,即可判斷

③④.

【詳解】解：?.?CD〃48,

zACG=ABAC=38°,/BCD=Z2.

-ZACG+ZACD=1SO°,

zACD=180°-/ACG=180°-38°=142°.

???5。平分NZCD,C/平分N/CG,

z4=-zACG=ix38°=19°,/BCD=zACB=-zACD=-xl42°=71°.

2222

/FCB=zACF+ZACB=190+71°=90°,

；.CB工CF,故①正確；

vZBCD=Z2,N1=N2,

??.N1=NBCD=71。,故②正確；

-CD//AB,

.?.N￡CD=180。-4=180。-71。=109。，

/3=/ECD-/BCD=109°-71°=38°,

??.N3=2N4,故③正確;

VZACE=ZACD-ZECD=142°-109°=33°,z4=19°,

???2N4CEH3N4,故④錯誤.

故選：A.

10.觀察下列等式：

(x-l)(x+l)=x2-1；

+%+1)=_］；

(X-1)^X3+/+%+1)=/-1；

根據(jù)以上規(guī)律計算32°24—32°23+32。22——3?+32—3的值是()

33。253口32025+1廠33°25-3八32025-1

4422

【答案】A

【分析】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解決本題的關鍵是觀察數(shù)字的變化尋找規(guī)律.

32

根據(jù)規(guī)律求出32°24一32023+32必——3+3-3+1^a,再減去1即可解答.

【詳解】???(工-1)仃+1)=/一1；

(x-l)^x2+x+l)=x3-l；

(x-l)^x3+x2+x+lj=x4-l；

(x_1乂尤"+X'-1+X"-2+…+X+1)=x"+1-1

("為正整數(shù))

(x-l)(x2024+x2023+x2022+…+X+1)=x2024+1-l=x2025-l

2025_i

x2024+x2023+x2022+…+x+1=-——

x-1

..?當％=-3時，

(-3)2024+(-3)2023+(—3廣2+…+(_3)+1

32

=32024_32023+32022——3+3-3+1

_(-3)2025-1_32025-1_32025+1

-3-1-44

...32024_32023+32022——+_3

32025+13*3

------------1=

44

故選：A.

11.如圖，在和△BCD中，AB=BE=EA,BC=CD=DB,且兩個三角形在線段NC同側，①

^ABD^EBC；②4NBC沿AMBD；③AABMaEBN；④AAME2八BCD.則上述結論中正確的

是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質，根據(jù)等邊三角形的性質，即可

推出可得/BDM=/BCN,NBEN=NBAM,即可推出△N8C會△M3。，然后可得

BM=BN,即可推出且A￡2N.

【詳解】解：AB=BE=EA,BC=CD=DB,

;.AABE和△BCD為等邊三角形，

ZABE=ZDBC=NDCB=ZEBD=60°,

ZABD=NEBC=120°,

AB=EB

則在AABD和AEBC中，，ZABE=NEBC,

BD=BC

.“AB2EBC(SAS),故①符合題意；

NADB=NECB,

AMDB=ZNCB

則在ANBC和AMBD中,《ZMBD=ZNBC,

BD=BC

:.^NBC^MBD,故②符合題意；

BM=BN,

AB=EB

貝Ij在&ABM和/\EBN中，＜ZABM=ZEBN,

BM=BN

AABM知EBN{S網,故③符合題意;

但不一定成立，故④不符合題意；

故選：B.

12.如圖，等腰△Z8C的底邊8C長為3,面積是18,腰/C的垂直平分線跖分別交NC,AB邊于E,F

點.若點。為8C邊的中點，點M為線段E尸上一動點，則△CDM周長的最小值為（）

【答案】C

【分析】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，等腰三角形三線合一的性質，連接由于a/BC是

等腰三角形，點。是8C邊的中點，故ND/5C,再根據(jù)三角形的面積公式求出4。的長，再再根據(jù)跖

是線段/C的垂直平分線可知，點C關于直線所的對稱點為點/,故的長為CW+M）的最小值,

由此即可得出結論.

【詳解】解：連接

?；△ABC是等腰三角形，點。是邊的中點，

AD1BC,

,t?^^ABC--BC-AD——X3XAD=18,解得NZ）=12,

22

???EF是線段AC的垂直平分線，

???點C關于直線所的對稱點為點力,

AD的長為CW+的最小值，

LCDM的周長最小值=+MD^+CD=AD+BC=12+-^x3=12+1,5=13.5.

故選：c.

13.我國古代數(shù)學的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學家楊輝（約13世紀）所著的《詳解九章

算術》一書中，用如圖的三角形解釋二項式乘法S+6）”的展開式的各項系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三

角”.根據(jù)“楊輝三角”系數(shù)的規(guī)律，請計算（。+人丫展開式的系數(shù)和是（）

(a+b)°.............1

(a+b)}..........11

(。+6)2...................121

(a+6)3..............1331

(a+b)4.........14641

(a+b)5…15101051

A.256B.1024C.64D.512

【答案】A

【分析】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關鍵是認真觀察楊輝三角，找到系數(shù)和的規(guī)律.

【詳解】解：由楊輝三角得：

（。+”的展開式各項的系數(shù)和為：1+1=2=21

5+6）2的展開式各項的系數(shù)和為：1+2+1=4=22,

（。+6丫的展開式各項的系數(shù)和為：1+3+3+1=8=23,

（a+b『的展開式各項的系數(shù)和為：1+4+6+4+1=16=2。

（。+6）’的展開式各項的系數(shù)和為：1+5+10+10+5+1=32=25,

根據(jù)以上規(guī)律得：（。+6）"的展開式各項的系數(shù)和為2"，

當〃=8時，（a+6）8的展開式各項的系數(shù)和為：28=256.

故選：A.

14.尺規(guī)作圖中蘊含著豐富的數(shù)學知識和思想方法.如圖，為了得到4在用直尺和圓規(guī)作

圖的過程中，得到△OCD四△OC'D'的依據(jù)是：（）

A

A.SASB.ASAC.SSSD.AAS

【答案】C

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖、全等三角形的判定等知識點，明確尺規(guī)作圖所隱含的條件成為解

題的關鍵.

由尺規(guī)作圖可知：AB=A'B'、OA=OB=O'A'=O'B',然后根據(jù)全等三角形的判定定理即可解答.

【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知：AB=A'B'、OA=OB=O'A'=O'B',

.?.△OCD0△O'C'D'（SSS）.

故選：c.

二、填空題

15.閱讀下列解題過程，試比較2儂與375的大小.

解：v^00=（24）25=160,375=（33）25=2725,,而16<27,二21°°<3,5.

請根據(jù)上述解答過程解答：

若a=2555,人3444,0=4叫4=5222,請比較小b、c、”的大小.我的結論是：

<<<.

【答案】dacb

【分析】本題主要考查了幕的乘方的逆運算，幕的乘方計算，根據(jù)題意可得a=32e，6=81”、

c=64nl,J=25m,再由25<32<64<81即可得到答案.

【詳解】解：a=2555=（25）111=32111,fe=3444=（34）111=81111,

c=4333=（43）H1=64111,d=5222=（52）H1=25111,

25<32<64<8E

/.d<a<c<b,

故答案為：d；a；c；b.

-1

16.計算：（2-%）0+

【答案】3

【分析】本題主要考查了零指數(shù)幕，負整數(shù)指數(shù)幕，根據(jù)零指數(shù)累和負整數(shù)指數(shù)幕的計算法則求解即

可.

【詳解】解：（2-萬）°+&[=1+2=3,

故答案為：3.

17.若一個等腰三角形有一個內角為82。，則它的底角為.

【答案】82?；?9°

【分析】本題考查等腰三角形的定義、三角形內角和定理，解題的關鍵是注意分情況討論，避免漏

解.分82。是等腰三角形的底角或頂角兩種情況，利用三角形內角和定理求解.

【詳解】解：①82。是等腰三角形的底角；

②當82。是等腰三角形的頂角時，

它的底角的度數(shù)為：1x（180°-82°）=49°,符合要求；

故答案為：82?；?9。.

18.如圖，點4,O,E在同一條直線上，＜%＞，/￡于點。ZBOD=90°.有如下4個結論：

①N/OC=90°；②ZAOB=4COD；③NAOB馬NDOE互為余角;④18OC與N/OD互為補角.上

述結論中，所有正確結論的序號有.

【答案】①②③④

【分析】本題考查了余角和補角，熟練掌握余角和補角的定義是解題的關鍵.

根據(jù)余角和補角的定義，進行計算逐一判斷即可解答.

【詳解】解：由COL/E且A、。、E共線，可知//OC=90。，故①正確；

在點。周圍作簡單的“坐標式”分析（或利用“兩組對應線均兩兩垂直時夾角相等”的性質）可得NO，C。

且80LOO,則=故②正確；

繼續(xù)利用坐標式分析可得：NAOB+NDOE=90°,它們互為余角，故③正確；

同理可得：ZBOC+ZAOD=180°,它們互為補角，故④正確；

綜上，①②③④均成立；

故答案為：①②③④；

19.如圖，在面積為12的ZUBC中，AB=AC,BC=6,ADJ.BC于點D,直線跖垂直平分AB交于

點、E,交于點尸，尸為直線樣上一動點，則△尸2。周長的最小值為一.

【答案】7

【分析】如圖，連接尸利用三角形的面積公式求出Z。，由所垂直平分42,推出尸3=推出

PB+PD=PA+PD>AD,推出尸N+PZ)24,即可得解.

【詳解】解：如圖，連接尸/,

AB=AC,BC=6,AD1BC,

：.BD=CD=—BC=—x6=3,

22

???△/BC的面積為12,

2

/.AD=4,

???EF垂直平分45,

??.PB=PA,

???尸為直線斯上一動點，

/.PB+PD=PA+PD>AD,

PA+PD>A,

:.BD+PB+PD=BD+PA+PDNBD+AD=3+4=7,

???XPBD周長的最小值為7.

故答案為：7.

20.若3m=4,3"=2,貝!13*2"=.

【答案】16

【分析】本題主要考查了同底數(shù)暴的乘法的逆用和幕的乘方的逆用等知識，熟練掌握相關運算法則是

解題關鍵.根據(jù)3"'=4,3"=2,結合同底數(shù)幕的乘法的逆用和幕的乘方的逆用，即可獲得答案.

【詳解】解：?.3"=4,3"=2,

?.?原式=3'"X32'=3mx（3"）2=4x22=16.

故答案為：16.

21.如圖，在四邊形48。中，AD//BC,連接NC,ZBAC=90°,AC=8,AB=6,。是/C的中點,

連接。。并延長，交BC于點、E,則圖中陰影部分的面積為.

【答案】24

【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，先證明之△CEO,得出S“D0=S.CEO,根據(jù)

S陰影=S四邊形4BE0+S-ADO=S四邊形4BE。+*^4C￡0=^ABC求出結果即可.

【詳解】解：:40〃5C,

ZDAO=NECO,ZADO=NCEO,

???。是/C的中點，

AO=CO,

???/\ADO^Z\CEO,

.v—v

,,3ADO一°ACEO'

???S陰影=S四邊形ZBEO+S^ADO

=S四邊形/BE。+S^cEO

—C

=-ABxAC

2

=—x8x6

2

=24.

故答案為：24.

DF

22.如圖，在△48C中，AB>AC,AD是中線，若NDAC=2NBAD,于點尸，則下的值是.

【答案】；

【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質，作出合理的輔助線構建全等三角形是解題的關鍵.過

點、B作BHJ.AD于H,延長ZU至￡,使4E=/C,連接CE,利用AAS證明△班/。絲ACFO,

xEFCJAHB,根據(jù)全等三角形的性質及線段的和差求解即可.

【詳解】解：過點B作于H,延長加至￡,使NE=/C,連接CE,

ZE=ZACE,

???ADAC=N￡+/ACE,ADAC=2ZBAD,

/.ABAD=/E,

.?.4D是中線,

BD=CD,

在△BHD和△CFO中，

ZH=ZCFD=90°

<ZBDH=ZCDF,

BD=CD

也△CED(AAS),

:.BH=CF,DH=FD,

在xEFC和AAHB中，

ZE=/BAD

</EFC=/H=90。,

CF=BH

二.△￡尸。也△42?(AAS),

/.EF=AH9

AE=FH=DH+FD=2FD,

:.AC=2FD,

.DF-1

\4C~2f

故答案為：—?

2

23.如圖①，“二八大杠”傳統(tǒng)老式自行車承載了一代人的回憶，圖②是它的幾何示意圖.已知5C〃OE,

AB//CD,當NABD=7。。，/CH。=44。時，/CQE的度數(shù)為

圖①

【答案】66。/66度

【分析】本題考查了平行線的性質.根據(jù)可得/BDC=N4BD=7。。,根據(jù)可得

ZDBC+ZBDE=1SQ0,由此可得N5DE=180?！?D5C,NODE=—。即可得解.

【詳解】解：

NBDC=/ABD=70°,

：BC//DE,

NDBC+/BDE=180。,

/BDE=180?！猌DBC=180°-44°=136°,

ZCDE=ZBDE-/BDC=136。一70°=66°,

故答案為：66°.

三、解答題

24.在計算（2x+a）（x+6）時，甲錯把6看成了6,得到的結果是2f+8x-24,乙錯把?？闯闪艘弧?，得到

的結果是2X2+14X+20.

⑴求。、6的值；

（2）將。，方的值代入（2》+4）（》+“并化簡，求出正確的結果.

［答案］⑴"-4,6=5；

（2）2X2+6X-20.

【分析】本題考查了整式的乘法運算，正確的計算是解題的關鍵.

（1）根據(jù)條件求出代數(shù)式的值，對比結果，分別求出。/的值；

（2）將（1）的。力的值代入代數(shù)式求解即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意：

（2x+a）（x+6）

=2x2+12x+ax+6。

=2x2+（12+a）x+6a,

?.?計算（2x+a）（x+?時，甲錯把6看成了6,得到的結果是2尤2+8x-24

???6a=-24,

???a=—4,

（2x+4）（x+Z））

=2x2+2bx+4x+4b

=2x2+（2b+4）x+4b,

???乙錯把a看成了-〃=4,得到的結果是2x2+14x+20,

4b=20,

:?b=5.

(2)解：根據(jù)〃=-4,b=5

可知:(2x-4)(x+5)

=2x?+1Ox—4x—20

=2x?+6x-20

25.【知識背景】我國著名數(shù)學家華羅庚曾在給青少年撰寫的“數(shù)學是我國人民所擅長的學科”一文中談到，

我國古代數(shù)學的許多創(chuàng)新與發(fā)展都曾居世界前列.他說：“實際上我們祖國偉大人民在人類史上，有過

無比睿智的成就.”其中“楊輝三角”就是一例.在我國南宋數(shù)學家楊輝(約13世紀)所著的《詳解九

章算術》(1261年)一書中，用三角形形狀排列數(shù)字解釋二項和的乘方規(guī)律.楊輝在注釋中提到，在

他之前北宋數(shù)學家賈憲(1050年左右)也用過上述方法，因此我們稱這個三角形為“楊輝三角”或“賈憲

三角”.

【知識解讀】楊輝三角兩腰上的數(shù)都是1,其余每個數(shù)為它的上方(左右)兩數(shù)之和.

【知識應用】閱讀材料，完成填空：

(1)(X+1)°=_(XH-1)

(2)x+y=x+y

(3)(x+y)~=x2+2xy+y2

(4)(x+=x3+3x2y+3xy2+y3

(5)(x+j?)4=x4+_x3y+_+4xy3+y4.

(6)請寫出展開式：(x+田丁

【遷移應用】利用楊輝三角，計算114值.(要求寫出解答過程)

2254322345

【答案】(1)1；(5)4:6xy(6)x+5xy+1Oxj；+10xy+5Ay+y；遷移應用：14641

【分析】本題考查與完全平方公式相關數(shù)字的變化規(guī)律，正確得出“楊輝三角”的規(guī)律是解題關鍵.

知識應用：根據(jù)0次塞意義即可得出(x+l)°=l,其他空根據(jù)“楊輝三角”的規(guī)律寫出各項系數(shù)即可;

遷移應用：根據(jù)“楊輝三角”的規(guī)律得到(10+1)4的展開式，計算即可得答案；

【詳解】解：⑴(X+1)°=1(x^-1)

(2)x+y=x+y

(3)(x+=x2+2xy+y2

(4)(x+_y)3=x3+3x2y+3xy2+y3

(5)(尤+y)4=x，+4x3y+6xV+4孫3.

(6)請寫出展開式：(x+y)'=x'+5x4y+10x3/+10》2>3+5盯4+y'.

遷移應用：

解：ll4=(10+1)4=104+4xl03xl+6xl02xl2+4xl0xl3+l4-14641

26.【發(fā)現(xiàn)問題】

《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學發(fā)展史的一個里程碑.在該書的第2

卷“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結論.

【提出問題】

(1)觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式.(下面各圖形均滿足推導各公式的條件，只需填寫對

應公式的序號)

公式①：(?-^)=<72-2ab+b1；

公式②：(a+^)"=a2+lab+b2

(2)利用《幾何原本》中記載的圖形所表示的乘法公式，能解決下面的問題嗎？

已知a+_=4,求1°一工)的值.

【能力拓展】

(3)如圖3,在六邊形4BCDEF中，對角線和CF相交于點G,當四邊形/2G尸和四邊形CDEG

都為正方形且對角線BELC尸時，若BE=8,正方形N8Gb和正方形CC^G的面積和為36,請求

出陰影部分的面積.(提示：正方形的四條邊都相等，四個角都是90。)

【答案】(1)②，①；(2)12；(3)14

【分析】本題考查了完全平方公式，正確理解題意是解題的關鍵：

(1)根據(jù)圖形即可得出圖1對應公式是(。+6)2=/+2仍+/；圖2對應公式是

(a-6)=a~-2ab+b-；

(2)先求出。+工丫=16,得出/+二=14,再根據(jù)[一L[=]+]一2即可得出答案；

Va)a\a)a

(3)設正方形45G廠的邊長為。，正方形CDEG的邊長為b，則根據(jù)題意，得

Q+b=8,6Z2+/?2=36,再得出8陰影部分=；必+3必=。6求出246=28,進而可得出答案.

【詳解】(1)解：圖1對應公式是(。+6)2=。2+2。6+62；圖2對應公式是(〃一6『一2。6+〃,

故答案為：②；①；

(2)va+-=4,

a

(3)設正方形疝?G尸的邊長為。，正方形CDEG的邊長為6,

則根據(jù)題意,得a+b=8,凡+/=36,

E

???BEYCF,

二?S陰影部分=-ab+—ab=ab

,/(a+bp=/+2ab+b1,

2"=(a+b)2—,2+62)=64—36=28

?*,S陰影部分="6=14

27.已知45〃CD,點E、/分別在直線45、CQ上，點M在45、CD之間，連接ME、MF,

ZEMF=a.

(1)如圖1,若a=80。，直接寫出4EM+NZ加飲的度數(shù)；

(2)如圖2,點N是上方一點，連接NE、NF,NF與ME交于點、G,2MEB=；ZMEN,

ZMFN=^ZDFN,ZDFM=20°,求NE橋的度數(shù)；(結果可用含a的式子表示)

(3)如圖3,點N是下方一點，連接NE、NF,若收的延長線尸產是NCKV的三等分線，瓦V平分

乙4EM交FP于點、G,2AENF+ZEMF=110°,求NCEV的度數(shù).

［答案］(1)80°

(2)70°-2a

⑶2CFN的度數(shù)為52.5°或42°

【分析】本題考查平行線的判定和性質，過拐點構造平行線是解題的關鍵：

(1)過點初作"N〃/8,得到MN"AB"CD,根據(jù)平行線的性質和角的和差關系進行求解即可；

(2)過點、N作NH〃4B,貝U：的〃N2〃CZ),根據(jù)平行線的性質和角的和差關系進行求解即可；

(3)過點N作八尺〃CD,得到NK〃AB〃CD,利用平行線的性質結合角的和差和數(shù)量關系，分2種

情況討論求解即可.

【詳解】（1）解：過點M作跖

???AB//CD,

：.MN//AB//CD,

ZBEM=/NME/DFM=/NMF,

???/BEM+ZDFM=/NME+ANMF=ZEMF=a；

???a=80。，

:.ZBEM+ZDFM=8N；

（2）過點、N作NH〃AB,

???AB//CD,

：.NH//AB//CD,

??./HNF=/DFN,ZHNE=/NEB,

由（1）知：ABEM+ADFM=a,

???ZDFM=20°,

???/BEM=a-20。,

???/MEB==/MEN,ZMFN=-ZDFN,

33

2

:"NEB=ZNEM-ZMEB=2/MEB=2（a-20。），ZDFM=ZDFN-ZMFN=-ZDFN,

3

ZDFN=-ZDFM=30°,

2

:"HNF=ZDFN=30。,2HNE=/NEB=2（a-20°）,

："ENF=NHNF-NHNE=30°-2（a-20。）=1Q0-2a；

（3）過氤N作NK〃CD,

-：AB//CD,

：.NK//AB//CD,

ZKNE=ZAEN,ZKNF=NCFN,

?：EN平分NAEM,

ZAEN=4MEN=3（180。-ABEM）,

?.?尸尸是NC/W的三等分線，分兩種情況：

①當ZCFP=|ZCFN時,

NCFP=NDFM,

NCFN=3ZDFM,

ZENF=ZENK-ZFNK,

ZENF=ZAEN-ZCFN=90。」NBEM-3ZDFM,

2

2ZENF+AEMF=110°,又由（1）知：ZEMF=Z.BEM+ZDFM,

：.2190。一gABEM-3ADFM^+NBEM+ZDFM=110°,

■■.ZDFM=14°,

ZCFN=3ZDFM=42°；

2

②當/CF尸=§/CW時，

???ZCFP=ZDFM,

3

"CFN=—NDFM,

2

???ZENF=ZENK-ZFNK,

13

/ENF=ZAEN-ZCFN=90?！?BEM——ZDFM,

22

v2ZENF+ZEMF=110°,ZEMF=ZBEM+ZDFM,

...2^90°-^ZBEM-1ZDFM^+NBEM+ZDFM=110°,

.-.ZDFM=35°,

3

ZCFN=-ZDFM=52.5°；

2

綜上：ZCFN=52.5°ZCFN=42°.

28.課題學習：平行線的“等角轉化”功能.

【閱讀理解】如圖1,已知點N是8C外一點，連接/B,AC,求乙BNC+N3+NC的度數(shù).

(1)閱讀并補充下面推理過程：

解：過點/作DE〃8C,

:?/B=,Z-C=.

又???/EAB+ABAC+ADAC=180°,

??.ZBAC+ZB+ZC=180°.

【解題反思】從上面推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉化”的功能，將/9C,NB,NC“湊”

在一起，得出角之間的關系，使問題得以解決.

【方法運用】

(2)如圖2,已知試說明,8,ZBCD,2。之間的關系，并證明.

【解決問題】

(3)如圖3,已知28〃CD,點C在點。的右側，N/DC=68。，點8在點/的左側，NABC=52°,

BE平分NABC,DE平分/ADC,BE,￡>E所在的直線交于點E,點E在與CD兩條平行線之間，

【答案】(1)NEAB,NDAC；(2)NB+NBCD+ND=360。,見解析；(3)60°

【分析】此題考查了平行線的判定與性質，解題的關鍵是正確添加輔助線，利用平行線的性質進行推

算.

(1)過點/作。E〃8C,根據(jù)平行線的性質即可得到結論;

(2)過點C作C尸〃N3,根據(jù)平行線的性質得到N3=N8CF,ND=NDCF,然后根據(jù)已知條件即可

得到結論；

(3)過點E作即〃然后根據(jù)兩直線平行內錯角相等，即可求的度數(shù).

【詳解】

ZB=ZEAB,AC=ADAC,

又NEAB+ZBAC+ZDAC=180°,

ZB+ABAC+ZC=H0°,

故答案為：NEAB,NDAC；

(2)如圖，過點C作。尸〃NB,

AB//ED,

：.AB//ED//CF,

NB=NBCF,ND=NDCF,

ZB+/BCD+ZD=NBCF+/BCD+ZDCF=360°,

即ZB+NBCD+ZD=360°；

(3)如圖，過點E作EF〃4B,

BA

DC

???AB//CD,

AB//CD//EF,

；./ABE=/BEF,ZCDE=ZDEF,

■:BE平分NABC,DE平分NADC,ZABC=52°,ZADC=68°,

NABE=-NABC=26°,NCDE=-NADC=34°,

22

ABED=NBEF+/DEF=260+34°=60°.

29.數(shù)形結合是數(shù)學學習中一種很重要的思維方法，“數(shù)”的精確描述與“形”的直觀刻畫，使代數(shù)問題與幾何

問題相互轉化.例如，利用圖1中圖形面積的兩種不同表示方式可以得到等式("6)2="-2"+62.

【解決問題】

(1)如圖2,用四個全等的長方形(XJ為兩條鄰邊長，且拼成一個大正方形，內含一個小正

方形.若大正方形的邊長為相，小正方形的邊長為〃，則下列三個關系式中，正確的是.(只填序

號)

22_

mn22

@x+y=m.(2)xy=~；@x-y=mn.

(2)用四個全等的直角三角形6是直角邊，c是斜邊)和一個邊長為c的正方形拼接成一個大正方

形如圖3所示.根據(jù)此圖形，可以得到一個關于d瓦c的等式，請你寫出這個等式.

【創(chuàng)新設計】

(3)如圖4,N型是邊長為。的正方形，8型是長為6、寬為。的長方形，C型是邊長為6的正方形，

其中/型、B型、C型都有若干個.請你用/型、B型、C型拼出一個長方形或正方形(/型、B型、

C型至少使用一次，拼接時不可有重疊、不可有縫隙)，并根據(jù)你的拼圖寫出一個關于。力的等式.

【答案】(1)①②③；(2)a2+b2=c\(3)圖見解析，寫出的關于凡6的等式是：

(a+=a2+2ab+b2

【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的關鍵.

(1)根據(jù)拼圖得出大正方形、小正方形以及長方形的邊長之間的關系、面積之間的關系，逐項進行判

斷即可；

(2)用代數(shù)式表示圖形中大、小正方形面積，長方形的面積由面積之間的和差關系可得答案；

(3)畫出相應的拼圖，再根據(jù)面積之間的和差關系即可得出答案.

【詳解】解：(1)圖2中，大正方形的邊長機=無+了，因此①正確；

圖2中大正方形的邊長切,因此面積為加,中間小正方形的邊長為〃，因此面積為二,4個小長方形

的面積為49，由拼圖可知裙—/=4中，即中=上彳土，因此②正確；

由拼圖可知x+y=加，X-y=n,所以(x+y)(x-y)=加"，gpx2-y2=mn,因此③正確；

故答案為：①②③；

(2)a2+b2=i，理由如下：

圖3中大正方形的面積為(“+6)2,小正方形的面積為02,4個直角三角形的面積和為2仍，

因此有(“+6)2=。2+2",即〃+/=。2；

(3)畫圖：如圖所示(畫圖不唯一),

根據(jù)拼圖，可得關于。，人的等式是：(a+b)2=/+2H+b2.

30.對于任意四個有理數(shù)a,b,c,d,可以組成兩個有理數(shù)對(a,6)與