專題09空間向量與立體幾何

1.(2022?北京昌平?二模)如圖，在正四棱柱A8C0-A耳G2中，。是底面ABCD的中心，E,F分別是

的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.\OHEFB.AO±EF

C.4?！ㄆ矫鍰.4。，平面￡/81

【答案】B

【解析】在正四棱柱ABCO-AAGD中，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

令A(yù)B=2a,DD]=2b(a>0,b>Q),。是底面ABC。的中心，瓦尸分別是8綜的中點(diǎn),

則0(”,0),4(2a,0,2b),E(2a,2a,b\片(2a,2a,2b),F(0,0,6),O\=(a,-a,2b),FE=(2a,2a,0),EBX=(0,0,b),

對于A,顯然OA與EE不共線，即A。與防不平行，A不正確；對于B,因

0^-FE=a-2fl+(-a)-2fl+0-2/>=0,則O4_LFE,即耳。_1跖，B正確；對于C,設(shè)平面EE用的法向量

為〃=(x,y,z),貝叫-，令x=l,得〃=(1,一1,0),

[w-EBt=bz=0

。4,“=2。>0,因此。a與〃不垂直，即4。不平行于平面EF耳，C不正確；對于D,由選項(xiàng)C知，與

九不共線，即A0不垂直于平面EFg,D不正確.

故選：B

2.（2022?福建省福州第一中學(xué)三模）以下四組向量在同一平面的是（）

A.（1,1,0）、（0,1』）、（1，0，1）B.（3,0,0）、（1,1,2）、（2,2,4）

C.（1,2,3）、（1,3,2）、（2,3,1）D.（1,0,0）、（0,0,2）、（0,3,0）

【答案】B

n-\

【解析】對于A選項(xiàng)，設(shè)（1,1,0）=加（0,1,1）+“（1,0,1）,所以，一根=1,無解；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?/p>

m+n=0

（2,2,4）=0-（3,0,0）+2（1,1,2）,故B選項(xiàng)中的三個向量共面;對于C選項(xiàng)，設(shè)（1,2,3）=3,2）十y（2,3,1）,

尤+2y=10=1

所以，＜3x+3y=2無解；對于D選項(xiàng)，設(shè)（l,0,0）=a（0,0,2）+6（0,3,0）,所以，3b=。，矛盾.

2x+y=32a—0

故選：B.

3.（2022?北京中學(xué)三模）如圖，已知正方體ABC。-A瓦的棱長為4,P是的中點(diǎn)，點(diǎn)”在

側(cè)面功（含邊界）內(nèi)，若RMLCP,則.BCAf面積的最小值為（）

A.8B.4

【答案】D

【解析】以。為原點(diǎn)，所在直線為X軸，DC所在直線為y軸，。，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖,

則尸（4,0,2）,C（0,4,0）,A（0,0,4）,B（4,4,0）,

設(shè)M（4,a,b）（a,Z?e[0,4]）,則。幽=（4,a,b-4）,CP=（4,-4,2）,

因?yàn)镈,M1CP,

所以0河。=16-4。+25-8=0,得b=2a—4,

所以A/（4,（7,2a-4）,

所以=^（4-4）2+（a-4）2+（2a-4）2=J5（a—g）+y,

當(dāng)時，18M取最小值處,

55

易知BC=4,

所以的最小值為拽、4、1=更.

525

故選：D.

4.（2022?四川雅安?二模）如圖，長方體A3CO-A用￡2中，點(diǎn)E尸分別是棱3瓦上的動點(diǎn)（異于

所在棱的端點(diǎn)）.給出以下結(jié)論：①在F運(yùn)動的過程中，直線尸G能與AE平行；②直線AQ與必然異面;

③設(shè)直線AE,AF分別與平面4月和。相交于點(diǎn)P,Q,則點(diǎn)C1可能在直線P。上.其中所有正確結(jié)論的序號

是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】B

【解析】長方體48。-44GR中，AB=ClDl,DDl=BBl,BlCl=AD,連接G^，ACt,EF,當(dāng)點(diǎn)￡,F分

別是棱。2,8片中點(diǎn)時，由勾股定理得：AE=Ji"?+DE2,C/=西出；+Bp,故AE=C￡,同理可得:

AF=QE,故四邊形AECZ是平行四邊形，所以在廠運(yùn)動的過程中，直線尸G能與AE平行，AC】與EF相

交，①正確，②錯誤;

以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，CR,GA，GC所在直線為X軸，y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則當(dāng)點(diǎn)E,尸分別

是棱。A，8月中點(diǎn)且長方體為正方體時，設(shè)棱長為2,則G（0,0,0）,M（2,-2,0）,N（-2,2,0）,則

C,M=（2,-2,0）,Nq=（2,-2,0）,則。幽=NC1，又兩向量有公共點(diǎn)，所以G，%N三點(diǎn)共線，故則點(diǎn)G可

能在直線尸。上，③正確.

故選：B

5.(2022?山東泰安?二模)已知A,8兩點(diǎn)都在以尸C為直徑的球。的球面上，ABLBC,AB=BC=4,若

球。的體積為36萬，則異面直線尸8與AC所成角的余弦值為()

A.叵B.巫

55

C.BD.在

33

【答案】A

【解析】!!"7A

如圖，取AC中點(diǎn)M,連接MO,由ABLCB可得M是ABC的外心，則平面ABC,又BC=BA,

BM±AC,

4,1_

由S=§?R=36=得R=3,即OC=3,又BC=BA=4,；.MC=MA=MB=20〃，。分別是人,/^中

點(diǎn)，

PA//OM,PA=2OM,OM=^OC--MC2=1>以為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(一20,0,0),尸(一20,0,2),2(0,20,0),PB=(20,20,-2),與AC平行的向量■=(1,0,0)，

/”\n-PB2夜V10、布

cos(w,PB)=比網(wǎng)=優(yōu)+8+4=—，故異面直線PB與AC所成角的余弦值為當(dāng).

故選：A.

6.（2022?浙江嘉興?模擬）如圖，在矩形A3C。中，AB=y/3BC,E,F,G,反分別為邊AB,8C,CD,ZM的

中點(diǎn)，將EBRGD〃分別沿直線EF,HG翻折形成四棱錐8-AEFC,。-ACG”,下列說法正確的是（）

A.異面直線近3',GD所成角的取值范圍是,系

B.異面直線￡B',GD所成角的取值范圍是［。/

C.異面直線所成角的取值范圍是［。，^

D.異面直線碎血所成角的取值范圍是［。仁

【答案】C

【解析】解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由題意得,

夕和￡＞，在平面A3CD中的投影分別在和。。上（如下圖所示）,

因?yàn)?2=若3(3,令A(yù)B=2代，則5c=2,

由比值可知，3’的x,y,z坐標(biāo)比值為1：6：2,所以令3'坐標(biāo)為（"、4,2b）,

（/?>

因?yàn)?'在平面ABC。中的投影在8月上，所以北0,^-,

12）

同理可得。，坐標(biāo)為（2石-d,2-舟,2d）,

E(?0,0),G(g,2,0),F(0,l,0),H(2A/3,1,0),

廠廠rr\EB'GD'\

則EB'=(b-sj3,yJ3b,2b\GD'=(<3-c?,-y/3d,2d),cos〈EB',GD')=J-n~~L,

EB].G。

解得cos〈EB,G。'〉=l6s：）一3|

,因?yàn)?和d的范圍均為

所以cos〈研GO〉e（0,1）,即夾角范圍是（0,引，故A,B錯誤；同理可得

________|73(Z>+tZ)-l|

cos〈FB：HD')=e[0,l）,因?yàn)楫惷嬷本€所成角范圍是（0卷，則夾角范圍是

揚(yáng)-26b+1X,8/-2島+1

[o,g.即C正確，D錯誤；故選：C.

7.（2022?安徽?合肥市第八中學(xué)模擬（理））平行六面體ABCA-ABCQz中,

77

AAiAB=ZA[AD=ZBAD=-,AB=AD=AAi,則8。與底面ABCD所成的線面角的正弦值是()

A.走B.在C.JD.正

3322

【答案】A

【解析】解：如圖所示，連接AC,8。相交于點(diǎn)。，連接4。.

TT

■平行六面體ABCD-44clz）|中Z^AB=Z^AD=ABAD=S.AB=AD=AAl,

不妨令A(yù)B=AD=A4j=2

AA.B,AAA.D,△ABD都是等邊三角形.

42。是等邊三角形.

:.ACA.BD,AO1BD,\OAC=O,^O,ACu平面AA。。

..⑷,平面凡^^^，BDu平面ABCD,

???平面441GC1平面ABCD,

，ZA.AC是AA與底面ABC。所成角.

因?yàn)檎?2,AO=yj3=AtO,所以cosNAAO=1=g

3

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(6,0,0),8(0」,O),0(0,TO),A[4,O,平

I33J

其中A的坐標(biāo)計算如下，過A作AE_LAC交AC于點(diǎn)E,

因?yàn)镃OSNAAO=4，cos4Ao=策，所以AE=A41cos/4人。=手，

所以O(shè)E=OA-AE=由一^~=M

33

因?yàn)锳A=AD=(—6,T,0)

顯然平面ABC。的法向量為”=(0,0,1),

??2n

設(shè)2,與底面ABCD所成的角為e,則sin9=幽T丁

畋HW_20_3

8.（2022?安徽合肥?二模（文））在直三棱柱ABC-A4G中，AB1AC,AB=AC=AAt=2,p為該三

棱柱表面上一動點(diǎn)，若CP=B、P,則尸點(diǎn)的軌跡長度為（）

A.3亞B.372+76

C.6垃D.6直+幾

【答案】B

【解析】因?yàn)锳B，AC，AB=AC=AAi=2,所以可將直三棱柱ABC-其與G補(bǔ)形為邊長為2的正方體

ABCD-^B^D],取人反叫小弓（冷刀口/^的中點(diǎn)石，F(xiàn),G,H,K,乙按順序連接.XGcqC]=M,

ELcBC=N,BCMN=O如圖所示,

正方體ABC。—A4G2中A￡_LAC,AC11Bx\,4Ac4C=4,

所以AG，面用AC,

所以用CLAG，因?yàn)镚歹〃AC-所以gCLGP.

同理可得用C_LEF,

因?yàn)镚Pc￡F=b,所以80，面EFG//AZ,其中EFGZ/AZ為正六邊形.

因?yàn)镋,G,H,工為AB，AG，￡2,OB的中點(diǎn)，所以跖N為與C,BC的四等分點(diǎn)，

根據(jù)正方體對稱性，知。為MN中點(diǎn)也是BC中點(diǎn)，因?yàn)镃P=4尸，所以點(diǎn)P在過點(diǎn)O垂直于BC的平面

內(nèi)，即點(diǎn)尸在面EbGHKL內(nèi).

又因?yàn)辄c(diǎn)P在三棱柱表面上，所以P點(diǎn)的軌跡為五邊形MNEFG,

=+BB；=店,由正六邊形及正方體對稱性可知

NE+EF+FG+MG=3EF=3版,

故點(diǎn)P的軌跡長度為3國瓜

故選:B

9.（2022?湖南?長郡中學(xué)模擬）（多選題）己知正方體48。-取汨2的邊長為2,M為CG的中點(diǎn)，尸為

側(cè)面BCC4上的動點(diǎn)，且滿足AM//平面ABP，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AM±BtMB.eq//平面A2P

C.力〃與4耳所成角的余弦值為弓D.動點(diǎn)尸的軌跡長為2叵

33

【答案】BCD

【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2,

則A(0,0,2),A(0,2,2),B(0,0,0),M(2,l,0),P(x,y,0),

所以AB=(0,-2,-2),BP=(x,y,0),AM=(2,1,-2),

0+bx=2

由AM〃平面A8P,^AM=aAlB+bBP,即一2a+6y=l,

—2a——2

化簡可得：3x-2y=0,

所以動點(diǎn)尸在直線3x-2y=0上，

對于選項(xiàng)A：AM=(2,l,-2),S1A/=(2,-l,0),AM-B1M=2x2+lx(-l)+(-2)x0=3^0,所以AM與4M不

垂直，所以A選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)B：C2//A氏A8u平面A8尸,C2N平面ABP,所以CR〃平面A8P,

42

B選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)C：A旦=（°，°，—2）,COS<AM，AB|>==W，C選項(xiàng)正確;對于選項(xiàng)D：

2,2+1+（-2）3

動點(diǎn)尸在直線3x-2y=0上，且P為側(cè)面BCG片上的動點(diǎn)，則P在線段上，棉2,。），所以

《8=J[g[+22+02=與，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.

10.（2022?江蘇淮安?模擬）（多選題）如圖，已知正方體ABC￡>—4瓦CQ的棱長為1,P為正方形底面

ABCD內(nèi)一動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）

A.三棱錐與4。尸的體積為定值

B.存在點(diǎn)P,使得APLAA

C.若則尸點(diǎn)在正方形底面ABC。內(nèi)的運(yùn)動軌跡是線段AC

D.若點(diǎn)尸是A。的中點(diǎn)，點(diǎn)。是B片的中點(diǎn)，過P,Q作平面a垂直于平面ACGA,則平面a截正方體

ABCD-A^QD的截面周長為3a

【答案】ACD

【解析】對于A,P為正方形底面ABC。時，三棱錐P-ABQi的高不變，底面積也不變，所以體積為定值,

所以A正確；對于B,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)尸（x,y,O）,則A（0,0,1）,A（l,0,0）,D,P=（%,y,-l）,AD,=（-1,0.1）；若口尸，AD,,則RPAR=0,即x=-l,

與題意矛盾，所以B不正確；對于C,DB,=（1,1,1）,由得x+y=l,所以P的軌跡就是線段AC,

所以C正確；對于D,因?yàn)?。，AC,3。，相，所以8。，平面ACGA；因?yàn)槠矫鍯平面ACGA，所

以網(wǎng)）〃平面a；以3。為參照線作出平面a與正方體各個側(cè)面的交線，如圖，易知每個側(cè)面的交線均相等,

長度為日，所以截面周長為3亞，所以D正確.

二

故選：ACD.

11.（2022?江蘇?蘇州市第六中學(xué)校三模）（多選題）某酒店大堂的壁燈的外觀是將兩個正三棱錐的底面重

合構(gòu)成的一個六面體（如圖），已知3C=AB=1,現(xiàn)已知三棱錐E-3CD的高大于三棱錐A-3CD的高，

貝U（）

A.AB〃平面DCE

7

B.二面角A—3C-E的余弦值小于一§

C.該六面體存在外接球

D.該六面體存在內(nèi)切球

【答案】BD

(解析］連接AE交平面BCD于足延長DF交BC于H.

E

因?yàn)樵搸缀误w為兩個正三棱錐的底面重合構(gòu)成的一個六面體，且3C=AB=1,

所以△BCD為邊長為1的正三角形，且尸為ABCD的中心，且面面BCD.

所以〃=19=鴻￥.=^^=卜用=?

以“為原點(diǎn)，HC為x軸正方向，”￡)為y軸正方向，過H作Hz平行AR為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

c|11,O,Oj,D0,號,0,FE0,%“一”以

2

7

AB=,CD=-弁小

7

￡1上6n

〃C￡)二(%,y,z).-二——x-\---y=0

222

對于A：設(shè)〃=(x,y,z)為面?！钡囊粋€法向量，貝人,不妨

_1^X、

n-CE=(x,y,z>，，/一--x-\---y+tz=0

2626

7

、

“Cr⑻

令y=l,則〃=.

7

假設(shè)AB〃平面DCE,則有4小〃=卜,-坐,-g］［百,1,乎］=0,解得：:一逅.

(263〃3t)3

這與f<-"相矛盾，所以〃平面OCE不成立.故A錯誤；對于B：因?yàn)槎蘝1面88,所以AE_LBC.

3

在正三角形8c。中，DH1BC.

又DHcAE=/，所以3c，面AHE,所以BC_LAH,BC_LE，.所以NEHA為二面角A—BC—E的平面角.

E

在斯上取點(diǎn)G,使AF=GF.連接BG、CG、DG、HG.

則幾何體GBCD為正三棱錐，且與正三棱錐ABCD全等.

由余弦定理得：cosWG=W+XG-G?

2xAHxHG

7

如圖示：因?yàn)镹AHGvNAHE,所以cosNAH^vcosNAHGn——.

7

即二面角A—5C—E的余弦值小于

E

故B正確；對于C：假設(shè)該六面體存在外接球，設(shè)其球心為。則球O必經(jīng)過A5CR所以球。為正三棱錐

A3C。的外接球，設(shè)球。的半徑為R

A

由=8=H得：R=^AF-R）2+FD2.

因?yàn)?。?3，4尸=逅.所以R[YLR]+[正]，解得:R=--

33<3J3J4

設(shè)球0的與AE的另一個交點(diǎn)為M,貝I]OM=R=四,所以9=OM一。/=邁一逅=漁

44126

而尸E>AF=逅，所以球0不能經(jīng)過點(diǎn)E.

3

即該六面體不存在外接球.故C錯誤；對于D：由于該六面體是將兩個正三棱錐的底面重合構(gòu)成的，所以存

在球。與六面體均相切，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r.設(shè)EF=d.由等體積法可得：

V=-SBCD-AE=-x-xlxlx^.

3c322

3..艮3i

而M=；S表.r=gx—xlxlx---F-xlx

222

員國

(JA/6

可求出'--------12、d〉

3省+6J屋+個

故該六面體存在內(nèi)切球.故D正確.

故選：BD

12.（2022?山東師范大學(xué)附中模擬）（多選題）己知正方體ABC。-A用G2棱長為2,尸為空間中一點(diǎn).下

列論述正確的是（）

uuniuuur瓜

A.若=則異面直線BP與CQ所成角的余弦值為在

26

ULIUUULIUU

B.^BP=ABC+BB1（2e［0,l］）,三棱錐尸一4刀。的體積為定值

uuruuniuun

C.若月（4式0,1］）,有且僅有一個點(diǎn)尸，使得AC，平面AB/

UUUUUU/、「7Z"乃

D.若”=XA￡>Oq（U］）,則異面直線即和所成角取值范圍是

【答案】ABD

【解析】選項(xiàng)A：由題，如下圖，P為中點(diǎn)，取8a的中點(diǎn)。連接PO,BO,則尸O〃G〃，所以/BP。

或其補(bǔ)角即為異面直線8尸與G。所成的角，易得BP=&>,PO=6,BO=&>,所以cosNBPO=走，A正

6

確；

選項(xiàng)B：由條件3P=/LBC+B4（Xe［0,l］）,可知P點(diǎn)的軌跡為線段耳q,因?yàn)?c1〃BC,故尸到平面A^C

4

的距離為定值，且三角形.48。面積為定值，故三棱錐尸-4BC體積為定值故選項(xiàng)B正確.

—?1—

選項(xiàng)C：由=+q（2c［0/D可知點(diǎn)P在線段所上（E、尸分別為8片、CG中點(diǎn)），因?yàn)?^平

面AqR,所以平面A旦尸即為平面A片。，點(diǎn)P即為平面A8Q與直線收交點(diǎn)，此交點(diǎn)在正延長線上,

故選項(xiàng)C錯誤.

選項(xiàng)D：由"=九曲（彳€[0,1]）可知點(diǎn)尸的軌跡為線段4。|.建系如圖，得GD=（—2,0,2）,3（2,0,2）,設(shè)

4—2cl2-a

P(0,a,2-a),ae[0,2],則BP=(-2,a,-q)，所以cos〈2P,CQ〉=—,—,,令2-。=尤e[0,2],

242A/4+2〃242+Q

77

當(dāng)。=2,即x=0時，cos〈3尸,CQ〉=0,此時直線族和G。所成角是,；當(dāng)。#2,即xe（0,2]時，則

cos〈BP,C}U)——.1L+s],cos〈BP,C]￡）〉=—.=,所以當(dāng)，=r=-l,即。=0

2,但j+1，令Jte2）2&r-4r+lx2

時，cosCBP,CQ〉取最大值為乎，直線鰭和CQ所成角的最小值為（，故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

13.（2022?福建漳州?三模）已知正方體ABCD—4qG。的棱長為4,〃在棱A與上，且3AM=上/1,則

直線BM與平面A^CD所成角的正弦值為

【答案】述

5

【解析】如圖所示，以。為原點(diǎn)，D4方向?yàn)閤軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

所以有，￡＞（0,0,0）,A（4,0,4）,C（0,4,0）,3（4,4,0）,可（4,1,4）,

則D4,=(4,0,4),DC=(0,4,0),MB=(0,3,-4),

設(shè)平面AQC的法向量力=（x,y,z）,則由

ri-DC=4y=0/、

，令x=l,得〃=(1,0,-1),

nD\=4x+4z=0

設(shè)直線與平面44。所成角為e,則

"-MB\_|4|_272

sin0=|cos<n,MB>|=

M||MB|及X55

故答案為：孚

14.（2022?北京西城?一模）如圖，在棱長為2的正方體ABCO-A4G2中，點(diǎn)E為棱8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為

底面A8CD內(nèi)一點(diǎn)，給出下列三個論斷:

①4尸，8￡；②4歹=3；③S△ADF=2s△A5R.

以其中的一個論斷作為條件，另一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：.

【答案】若A/，BE,則“A￡）F=2s4.F；若S△仞F=2s△ABF,則A{F_LBE,

【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系。-孫Z

x

則A(2,0,2),3(2,2,0),石(0,1,0)

BE=(-2,-1,0)

設(shè)F(x,y,0),xe[0,2],yG[0,2],則A尸=(%-2,y,-2)

=xx=

sADF~^yy

S=]x2x(2-x)=2—x

AlF±BE<=>AlFBE=-2(x-2)-y=0

<=>y=4-2xS陋p—2sABF

而4尸=7(Jt-2)2