期末復(fù)習(xí)必考解答壓軸題（23大題型）

＞題型梳理

【題型1無(wú)理數(shù)的估算】.......................................................................1

【題型2與實(shí)數(shù)有關(guān)的規(guī)律探究】..............................................................3

【題型3與實(shí)數(shù)有關(guān)的應(yīng)用】...................................................................4

【題型4求一元一次不等式（組）中參數(shù)】......................................................5

【題型5解特殊不等式組】.....................................................................6

【題型6一元一次不等式（組）的應(yīng)用】........................................................8

【題型7巧用事的逆向運(yùn)算】...................................................................9

【題型8利用暴的運(yùn)算比較大小】..............................................................10

【題型9整式乘法中不含某項(xiàng)問(wèn)題】...........................................................11

【題型10多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問(wèn)題】.........................................................13

【題型11巧用乘法公式求值】..................................................................15

【題型12乘法公式的幾何背景】................................................................17

【題型13利用拆項(xiàng)或添項(xiàng)進(jìn)行因式分解】.......................................................19

【題型14因式分解的應(yīng)用】....................................................................21

【題型15利用分式性質(zhì)求值問(wèn)題】.............................................................22

【題型16與分式有關(guān)的材料題】...............................................................23

【題型17由分式方程解的情況求值】...........................................................25

【題型18分式方程的實(shí)際應(yīng)用】...............................................................27

【題型19相交線(xiàn)中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】...............................................................28

【題型20相交線(xiàn)中的角度綜合問(wèn)題】...........................................................30

【題型21平行線(xiàn)中的輔助線(xiàn)構(gòu)造】.............................................................31

【題型22平行線(xiàn)中的定值問(wèn)題】...............................................................33

【題型23平行線(xiàn)中的角度綜合問(wèn)題】...........................................................35

?舉一反三

【題型1無(wú)理數(shù)的估算】

【例1】（24-25七年級(jí)?廣西玉林?期中）閱讀材料：

大家知道魚(yú)是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此魚(yú)的小數(shù)部分我們不可能全部寫(xiě)出來(lái)，于是小明

用四一1來(lái)表示血的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？

事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)轸~(yú)的整數(shù)部分是1,將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部

分.

又例如：因?yàn)樗?lt;V7<V9,即2<V7<3,所以V7的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為V7—2.

請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）后的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是;

（2）如果的小數(shù)部分為a,何的整數(shù)部分為6,求a+b—VH的值；

（3）已知12+逐=2爪+n,其中m是整數(shù)，且0<n<l,求小一九的相反數(shù).

【變式1-1］（24-25七年級(jí)?陜西延安?期中）大家知道魚(yú)是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此立

的小數(shù)部分我們不可能全部地寫(xiě)出來(lái)，于是小明用四一1來(lái)表示&的小數(shù)部分，事實(shí)上，小明的表示方法是

有道理的，因?yàn)閂T〈四〈娟，所以魚(yú)的整數(shù)部分是1,將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.

請(qǐng)根據(jù)上述材料解答：

（1）已知3a+2的立方根是2,6是Vli的整數(shù)部分，求一a+2b的平方根；

（2）已知10+遮=x+y,其中x是整數(shù)，且0<y<l,請(qǐng)你求出久-y的值.

【變式1-2］（24-25七年級(jí)?遼寧鞍山?階段練習(xí)）閱讀下面的文字，解答問(wèn)題：

（一）大家知道應(yīng)是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此魚(yú)的小數(shù)部分我們不可能全部地寫(xiě)出來(lái)，

于是小明用四—1來(lái)表示魚(yú)的小數(shù)部分.

例如：V4<V7<V9，即2<夕<3,二舊的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為V7—2.

（1）如果傷的小數(shù)部分為a,V33的整數(shù)部分為6,貝必=,b=.

（2）已知a是國(guó)的整數(shù)部分，b是它的小數(shù)部分，求a3+g—V1U）的平方根.

（二）據(jù)說(shuō)，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪(fǎng)問(wèn)途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有道智力

題：一個(gè)數(shù)是59319,希望求它的立方根，華羅庚脫口而出：39.鄰座的乘客十分驚奇，忙問(wèn)計(jì)算的奧妙.

你知道華羅庚是怎樣迅速準(zhǔn)確地計(jì)算出來(lái)的嗎？請(qǐng)按照下面的問(wèn)題試一試：

(1)由13=1,103=1000,1003=1000000,能確定必59319是兩位數(shù);

(2)由59319的個(gè)位上的數(shù)是9,能確定遮溝9的個(gè)位上的數(shù)是9；

(3)如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59,而33=27,43=64,由此你能確定必59319的十位上的數(shù)

是3；

(4)已知110592是整數(shù)的立方，按照上述方法，請(qǐng)你直接寫(xiě)出：V110592=.

【變式1-3](24-25七年級(jí)?福建福州?期中)閱讀材料1.

或是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此近的小數(shù)部分不能全部寫(xiě)出來(lái)，但由于1<魚(yú)<2,所以魚(yú)

的整數(shù)部分為1,將魚(yú)減去其整數(shù)部分1,差就是小數(shù)部分，其小數(shù)部分為迎一L

(1)己知9+而=尤+丫，其中x是整數(shù)，且0<y<L求7—y的值；

閱讀材料2.

小李同學(xué)探索VI布的近似值的過(guò)程如下：

,??面積為167的正方形的邊長(zhǎng)是VI而且12<V167<13,

???可設(shè)VI石7=12+x,其中畫(huà)出示意圖，如圖所示.根據(jù)示意圖，可得圖中正方形的面積

S正方形=122+2X12%+%2；又TS正方形=167,/.122+2X12%+%2=167.由0</<1,可忽略/,得

144+24%?167,得到比=0.96,即71^7~12.96.

(2)仿照材料2中的方法，探究解答師的近似值.(要求：畫(huà)出圖形，標(biāo)明數(shù)據(jù)，結(jié)果保留兩位小數(shù))

【題型2與實(shí)數(shù)有關(guān)的規(guī)律探究】

【例2】(24-25七年級(jí)?安徽合肥?期中)先觀察下列等式，再回答問(wèn)題：

①]1+,+/=1+3"；

(1)請(qǐng)寫(xiě)出第④個(gè)等式：；

(2)猜想第n個(gè)等式：；(用含n的式子表示)

(3)根據(jù)上述規(guī)律計(jì)算：J1+.+京++Jl+J+I+-+Jl+?春

【變式2-1］（24-25七年級(jí)?廣東東莞?階段練習(xí)）（1）填表:

a0.0000010.00010.01110010000

0.0010.1100

（2）利用上表中的規(guī)律，解決下列問(wèn)題：已知血=1900,V361=19,貝!|a的值為_(kāi)；

（3）當(dāng)a20時(shí)，比較府和a的大小.

【變式2-2］（2025七年級(jí)?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）觀察下列規(guī)律回答問(wèn)題：

V-0.001==-i,V-iooo=-IO.VO.OOI=o.i.VT=i,Viooo=io,…

（i）Vo.oooooi=,VToe=；

（2）已知發(fā)=1.587,若近=—0.1587,用含x的代數(shù)式表示y,貝Uy=；

（3）根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出正與a的大小情況.

【變式2-3］（24-25七年級(jí)?甘肅隴南?階段練習(xí)）觀察下列一組算式的特征及運(yùn)算結(jié)果，探索規(guī)律：

第1個(gè)等式：V12-2x1x1+12=V0=0；第2個(gè)等式：,22—2x2x1+12=71=1；第3個(gè)等式:

V32-2x3xl+12=V4=2；第4個(gè)等式：V42-2X4x1+12=V9=3；……

規(guī)律發(fā)現(xiàn)：

（1）根據(jù)上述規(guī)律，直接寫(xiě)出下列算式的值：

@V52-2x5x1+12=；

@V1012-2x101x1+12=.

（2）用含n5為正整數(shù)）的代數(shù)式表示出第九個(gè)等式：.

（3）根據(jù)上述規(guī)律計(jì)算：

V12-2x1x1+12-122-2x2x1+12+,32—2x3x1+12-742-2x4x1+12

+……+V20252-2X2025X1+12-720262-2X2026X1+12

【題型3與實(shí)數(shù)有關(guān)的應(yīng)用】

【例3】（2023?四川攀枝花?中考真題）2022年卡塔爾世界杯共有32支球隊(duì)進(jìn)行決賽階段的比賽.決賽階

段分為分組積分賽和復(fù)賽.32支球隊(duì)通過(guò)抽簽被分成8個(gè)小組，每個(gè)小組4支球隊(duì)，進(jìn)行分組積分賽，分

組積分賽采取單循環(huán)比賽（同組內(nèi)每2支球隊(duì)之間都只進(jìn)行一場(chǎng)比賽），各個(gè)小組的前兩名共16支球隊(duì)將

獲得出線(xiàn)資格，進(jìn)入復(fù)賽；進(jìn)入復(fù)賽后均進(jìn)行單場(chǎng)淘汰賽，16支球隊(duì)按照既定的規(guī)則確定賽程，不再抽簽,

然后進(jìn)行《決賽，"決賽，最后勝出的4支球隊(duì)進(jìn)行半決賽，半決賽勝出的2支球隊(duì)決出冠、亞軍，另外2支

球隊(duì)決出三、四名.

（1）本屆世界杯分在C組的4支球隊(duì)有阿根廷、沙特、墨西哥、波蘭，請(qǐng)用表格列一個(gè)C組分組積分賽對(duì)陣表

（不要求寫(xiě)對(duì)陣時(shí)間）.

（2）請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明本屆世界杯冠軍阿根廷隊(duì)在決賽階段一共踢了多少場(chǎng)比賽？

（3）請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明本屆世界杯32支球隊(duì)在決賽階段一共踢了多少場(chǎng)比賽？

【變式3-1］（24-25七年級(jí)?河南周口?階段練習(xí)）座鐘的擺針擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回所需的時(shí)間稱(chēng)為一個(gè)周期，其計(jì)

算公式為7=2兀其中T表示周期（單位：s）,/表示擺長(zhǎng)（單位：m）.假如一臺(tái)座鐘的擺長(zhǎng)為

0.2m.（兀取3,g=9.8m/s2）

（1）求擺針擺動(dòng)的周期.

（2）如果座鐘每擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回發(fā)出一次滴答聲，那么在6分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了多少次滴答聲？

【變式3-21（24-25七年級(jí)?全國(guó)?課后作業(yè)）將一個(gè)半徑為10cm的圓柱體容器里的藥液倒進(jìn)一個(gè)底面是正

方形的長(zhǎng)方體容器內(nèi)，如果藥液在兩個(gè)容器里的高度是一樣的，那么長(zhǎng)方體容器的底面邊長(zhǎng)是多少？（結(jié)

果精確到0.1）

【變式3-3］（24-25七年級(jí)?重慶?階段練習(xí)）我們知道，每個(gè)自然數(shù)都有正因數(shù)，將這個(gè)自然數(shù)的所有正奇

數(shù)因數(shù)之和減去所有正偶數(shù)因數(shù)之和，再除以這個(gè)自然數(shù)所得的商叫做這個(gè)自然數(shù)的“完美指標(biāo)".例如：10

的正因數(shù)有1,2,5,10,它的正奇數(shù)因數(shù)是1,5,它的正偶數(shù)因數(shù)是2,10.所以10的“完美指標(biāo)”是:

［（1+5）—（2+10）］+10=—|.我們規(guī)定，若一個(gè)自然數(shù)的“完美指標(biāo)”的絕對(duì)值越小，這個(gè)數(shù)就越“完

美例如：因?yàn)?的“完美指標(biāo)”是［（1+3）—（2+6）］+6=—|,沒(méi)有正偶數(shù)因數(shù)，7的“完美指標(biāo)”是

（1+7）+7=*且|—1|<|||，所以6比7更“完美”.

根據(jù)上述材料，求出18,19,20,21這四個(gè)自然數(shù)中最“完美”的數(shù).

【題型4求一元一次不等式（組）中參數(shù)】

【例4】（24-25七年級(jí)?河南信陽(yáng)?期末）我們定義：如果兩個(gè)一元一次不等式有公共解（兩個(gè)不等式解集

的公共部分），那么稱(chēng)這兩個(gè)不等式互為“云不等式”，其中一個(gè)不等式是另一個(gè)不等式的“云不等式”.

（1）在不等式①3%—5V0,@x>1,③久一（3%—1）V—5中，不等式X41的“云不等式”是

_____________.（填序號(hào)）

（2）若。。一2,若關(guān)于％的不等式2久+422a與不等式依一2V。一2%互為“云不等式”，求a的取值范圍.

【變式4-1］（24-25七年級(jí)?湖南長(zhǎng)沙?期末）我們約定：不等式組租<x<n,m<x<n,m<x<n,m<x<n

的“長(zhǎng)度”均為d=n—機(jī)，(M<n),不等式組的整數(shù)解稱(chēng)為不等式組的“整點(diǎn)”.例如：一2<xW2的“長(zhǎng)度”

d=2—(―2)=4,“整點(diǎn)”為x=—1,0,1,2.根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：

⑴不等式組｛2士3^^的“長(zhǎng)度”d=；“整點(diǎn)”為；

(2)若不等式組1ax_3<1%+2的“長(zhǎng)度”d=2,求。的取值范圍；

(3)若不等式組［<+2的“長(zhǎng)度”d=|，此時(shí)是否存在實(shí)數(shù)m使得關(guān)于y的不等式組｛武=%器

恰有4個(gè)“整點(diǎn)”，若存在，求出加的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式4-2］(24-25七年級(jí)?四川南充?期末)閱讀下面材料：

關(guān)于無(wú)的不等式:>l(aHO)的所有解都滿(mǎn)足久>1,求a的取值范圍.

-----1-----1-----^4

-101a

解：>1,???當(dāng)avO時(shí)，x<a,當(dāng)a>0時(shí)，x>a.

?.x的不等式?>1的所有解都滿(mǎn)足%>1,

.,.a>1.

根據(jù)材料，完成下列各題：

(1)解關(guān)于X的不等式;

(2)關(guān)于x不等式號(hào)<的所有解都滿(mǎn)足不等式;<發(fā)求。的取值范圍.

X—a>a1

Xi§非負(fù)整數(shù)解的和為3,求。的取值范圍.

I丁<5

【變式4-3］(24-25七年級(jí)?福建福州?期末)若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿(mǎn)足［=匕1留式］5.

(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一2,—1),求a,b的值；

(2)若點(diǎn)P在第二象限，且符合要求的整數(shù)a只有五個(gè)，求b的取值范圍；

(3)若點(diǎn)P為不在x軸上的點(diǎn)，且關(guān)于z的不等式y(tǒng)z+3%+15>0的解集為z<求關(guān)于t的不等式at<b的解

集.

【題型5解特殊不等式組】

【例5】(24-25七年級(jí)?福建泉州?期末)閱讀下列材料:

我們知道IM的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)比對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，即因=|x—0|,也就是說(shuō)，|孫一久2|表示在

數(shù)軸上數(shù)句與數(shù)*2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；

例1.解方程田=2,因?yàn)樵跀?shù)軸上到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為±2,所以方程因=2的解為

x=±2.

例2.解不等式|x—1|>2,在數(shù)軸上找出|x—1|=2的解(如圖)，因?yàn)樵跀?shù)軸上到1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等

于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為一1或3,所以方程|x—1|=2的解為工=—1或尤=3,因此不等式氏一1|>2的解集為

x<—1.或x>3.

參考閱讀材料，解答下列問(wèn)題：

(1)方程|x+3|=5的解為」

(2)解不等式：\x-2\<3；

(3)解不等式：|%-4|+|%+2|>8.

-2-I0I234

【變式5-1](24-25七年級(jí)?湖北武漢?期末)記R(x)表示正數(shù)X四舍五入后的結(jié)果，例如

R(2.7)=3,/?(7.11)=7R(9)=9

⑴R(TT)=_,/?(V3)=

⑵若R0比一1)=3,則x的取值范圍是

(3)若R(曾2)=4則x的取值范圍是

【變式5-2](24-25七年級(jí)?福建三明?期中)【閱讀思考】閱讀下列材料：

已知“x-y=2,且無(wú)>1,y<Q,試確定x+y的取值范圍”有如下解法：

解：??x-y=2,

???x=y+2

又?.，x>1

.?少+2>1

?,.y>-1

又TyVO

-l<y<0@

同理1Vx<2(2)

由①+②得-l+l<x+y<0+2

.■-x+y的取值范圍是0<x+y<2

【啟發(fā)應(yīng)用】請(qǐng)按照上述方法，完成下列問(wèn)題：

已知x=3,且x>2,y<1,則x+y的取值范圍是」

【拓展推廣】請(qǐng)按照上述方法，完成下列問(wèn)題：

已知xy=2,且x>l,y>-4,試確定x-y的取值范圍.

【變式5-3］（24-25七年級(jí)?安徽六安?期中）已知a<x<b,若“<等，則稱(chēng)x為a,b的偏小值；若

x>則稱(chēng)x為a,b的偏大值.

⑴已知x為一L和3的偏小值，且x為整數(shù)，求x的值；

（2）若加為整數(shù)，且在-2和加的所有偏大值x中，僅存在一個(gè)整數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的乙的值.

【題型6一元一次不等式（組）的應(yīng)用】

【例6】（24-25七年級(jí)?廣東深圳?期末）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

背深外初中部與南科大物理系聯(lián)合開(kāi)發(fā)“高階科學(xué)實(shí)驗(yàn)之旅”拓展課程，學(xué)校擬向公交公司租借/、8兩

景種車(chē)共8輛，帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)南科大，了解量子物理全球前沿發(fā)展動(dòng)態(tài)，參觀高精尖實(shí)驗(yàn)室.

素/型車(chē)最大載客量是60人，8型車(chē)的最大載客量是40人，已知/型車(chē)每輛的租金是500元，8型車(chē)

材1每輛的租金是350元.

素

七年級(jí)的師生共有360人，根據(jù)學(xué)校預(yù)算，租車(chē)的費(fèi)用需要控制在3300元（包含3300元）以?xún)?nèi).

材2

問(wèn)題解決

任根據(jù)素材2中該校七年級(jí)師生的實(shí)際情況，該如何租車(chē)？請(qǐng)給出所有滿(mǎn)足條件的租車(chē)方案.（用一

務(wù)1元一次不等式組求解）

任

在所有滿(mǎn)足條件的租車(chē)方案中，花費(fèi)最少的方案比預(yù)算3300元省多少錢(qián)？

務(wù)2

【變式6-1］（24-25七年級(jí)?浙江金華?期末）某學(xué)校為慶祝辦學(xué)50周年校慶活動(dòng)，特訂購(gòu)校慶紀(jì)念冊(cè)和校

慶紀(jì)念品.經(jīng)了解，以紀(jì)念冊(cè)和紀(jì)念品的平均單價(jià)計(jì)算，訂購(gòu)30本紀(jì)念冊(cè)和50件紀(jì)念品共需2100元；訂購(gòu)20

本紀(jì)念冊(cè)比10件紀(jì)念品多花100元.

（1）求平均每本校慶紀(jì)念冊(cè)和每個(gè)校慶紀(jì)念品各是多少元.

（2）計(jì)劃訂購(gòu)校慶紀(jì)念冊(cè)和校慶紀(jì)念品總費(fèi)用不超過(guò)5000元，其中訂購(gòu)校慶紀(jì)念冊(cè)大于115本，校慶紀(jì)念冊(cè)

的數(shù)量比校慶紀(jì)念品的數(shù)量多30,請(qǐng)求出所有符合條件的訂購(gòu)方案.

【變式6-2](24-25七年級(jí)?湖北隨州?期末)隨著技術(shù)的飛速發(fā)展，人工智能己經(jīng)成為商場(chǎng)中不可或缺的一

部分，大大提升了購(gòu)物效率和顧客的滿(mǎn)意度.某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批智能機(jī)器人，其計(jì)劃單中部分信息如下：

型號(hào)單價(jià)(元)數(shù)量(臺(tái))總金額(元)

a型27000

B型12000

已知計(jì)劃購(gòu)進(jìn)4型機(jī)器人比購(gòu)進(jìn)B型機(jī)器人多2臺(tái)，且4型機(jī)器人的進(jìn)價(jià)比8型機(jī)器人的進(jìn)價(jià)每臺(tái)高50%.

(1)求4B兩種型號(hào)的機(jī)器人的進(jìn)價(jià)各是多少？

(2)春節(jié)將至，為應(yīng)對(duì)購(gòu)物高峰，商場(chǎng)決定用不超過(guò)20000元再次購(gòu)買(mǎi)這兩種型號(hào)的機(jī)器人共5臺(tái)，并要求

再次購(gòu)買(mǎi)的4型機(jī)器人的數(shù)量不少于8型機(jī)器人的數(shù)量，問(wèn)該商場(chǎng)如何采購(gòu)這批機(jī)器人？總費(fèi)用是多少？

【變式6-3](24-25七年級(jí)?山東荷澤?期中)據(jù)燈塔專(zhuān)業(yè)版數(shù)據(jù)，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童鬧

?！房偲狈窟_(dá)155.74億元，登頂全球動(dòng)畫(huà)電影票房榜，是亞洲首部票房過(guò)百億的影片，并創(chuàng)造了全球單一

電影市場(chǎng)最高票房紀(jì)錄.該片來(lái)源于哪吒鬧海的傳統(tǒng)故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊兒郎

當(dāng)，實(shí)則勇敢堅(jiān)毅，強(qiáng)烈反差引發(fā)情感共鳴；“我命由我不由天”的不屈精神，讓觀眾淚目.為滿(mǎn)足兒童對(duì)哪

吒的喜愛(ài)，商家推出力、B兩種類(lèi)型的哪吒紀(jì)念娃娃.已知購(gòu)進(jìn)50件4種娃娃和40件B種娃娃的費(fèi)用共2000

元；且每個(gè)B種娃娃的進(jìn)價(jià)比每個(gè)4種娃娃的進(jìn)價(jià)多5元.

AB

(1)每個(gè)月種娃娃和每個(gè)B種娃娃的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

(2)因銷(xiāo)售效果不錯(cuò)，某玩具店決定購(gòu)進(jìn)48兩種哪吒玩偶共100個(gè)，且4種娃娃的數(shù)量不多于B種娃娃數(shù)量,

且購(gòu)買(mǎi)資金不超過(guò)2260元.請(qǐng)問(wèn)共有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？哪一種方案最省錢(qián)？

【題型7巧用幕的逆向運(yùn)算】

【例7】(24-25七年級(jí)?江蘇鹽城?期中)如果久n=y,那么我們規(guī)定Q,y]=n.例如：因?yàn)??=16,所以

(4,16]=2.

⑴(2,8]=；若(5,y]=3,貝ijy=；

(2)已知(3,15]=a,(3,6]=b,(3,s]=c,若a+b=c,求s的值；

(3)若(2,20]=a,(5,20]=b,令t=詆，求t的值.

【變式7-1](24-25七年級(jí)?福建泉州?期中)對(duì)于整數(shù)06定義運(yùn)算:=(曲1+&尸(其中如〃

為常數(shù))，如3X2=(32)m+(23)n.

(1)填空：當(dāng)巾=1,ri=2023時(shí)，2X(1)=；

(2)若1X4=10,2X2=15,求42m+Ji的值.

【變式7-2](24-25七年級(jí)?安徽安慶?專(zhuān)題練習(xí))請(qǐng)閱讀材料，并解決問(wèn)題，如果10卜=幾，那么方為〃的“勞

格數(shù)”，記為b=d(n).由定義可知：10b=n與b=d(n)表示b、n兩個(gè)量之間的同一關(guān)系.

⑴根據(jù)“勞格數(shù)”的定義，填空：d(10)=,d(10-2)=；

“勞格數(shù)”有如下運(yùn)算性質(zhì)：

若m、"為正數(shù)，則d(znn)=d(ni)+《竺)=d(m)—d(n);

(2)根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：黯=.(°為正數(shù))

(3)若d(2)=0.3010,分別計(jì)算d(4),d(5).

【變式7-3](24-25七年級(jí)?江蘇無(wú)錫?期中)在數(shù)學(xué)的奇妙世界里，我們常常會(huì)遇到一些獨(dú)特的運(yùn)算規(guī)

則.現(xiàn)在定義一種新的運(yùn)算“?！?，對(duì)于任意的有理數(shù)。和6,有其中m,"是正整數(shù).同

時(shí)，我們還知道整式乘法和塞運(yùn)算的相關(guān)知識(shí)，比如同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即aP-aq=

d+q；累的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即(碎尸=。。％并且我們會(huì)利用二元一次方程組來(lái)解決一些未知

量的問(wèn)題.

(1)已知2。3=108,

①求m,n的值；

②若aG)6=32,bQa=243,求a?6的值.

(2)對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a,b,c,若新運(yùn)算“O”滿(mǎn)足aO(6+c)=(aOb)+(aG)c),且存在某個(gè)常數(shù)上

使得a。(k—2)=a?,求加，"的值和常數(shù)上.

【題型8利用幕的運(yùn)算比較大小】

【例8】(24-25七年級(jí)?廣西貴港?期中)閱讀理解：我們?cè)趯W(xué)習(xí)了幕的有關(guān)知識(shí)后，對(duì)兩個(gè)嘉曖1與L(a,

b都是正數(shù)，m,n都是正整數(shù))的大小進(jìn)行比較，并歸納總結(jié)了如下兩個(gè)結(jié)論：

①若a=b,m>n,則。帆>臥.(底數(shù)相同，指數(shù)大的幕大)

②若a>6,m=n,則a">".(指數(shù)相同，底數(shù)大的累大)

嘗試應(yīng)用：試比較21。。與375的大小.

解：因?yàn)?1°°=(24)25=1625,

375=(33)25=2725,...(第1步)

又16<27,

所以210°<375……(第2步)

問(wèn)題解決：

(1)在嘗試應(yīng)用的解題過(guò)程中，第1步的思路是將底數(shù)和指數(shù)都不相同的兩個(gè)暴轉(zhuǎn)化化歸為；第2步

的依據(jù)是.

(2)請(qǐng)比較下面各組中兩個(gè)暴的大?。?/p>

①450與833；

②3100與560.

【變式8-1](24-25七年級(jí)?安徽合肥?單元測(cè)試)a,b,c,d都是正數(shù)，且=2爐=3,c4=4,d5=5,則a,hc,d

中最大的是哪個(gè)？

【變式8-2](24-25七年級(jí)?陜西西安?期中)比較兩個(gè)底數(shù)大于1的正數(shù)幕的大小，可以在底數(shù)(或指數(shù))

相同的情況下，比較指數(shù)(或底數(shù))的大小，如：25>23,55>45,在底數(shù)(或指數(shù))不相同的情況下,

可以化成同底數(shù)(或指數(shù))嘉，進(jìn)行比較，如：比較271。與325的大小，因?yàn)?71。=(33)1。=33。，

30>25,所以33。>325,即271°>325.

⑴比較163643的大?。?/p>

(2)比較2555,3444,4333的大小.

【變式8-3](24-25七年級(jí)?安徽合肥?專(zhuān)題練習(xí))請(qǐng)閱讀下列材料：若a3=2,b5=3,比較a,b的大小關(guān)

系；

解：???a15=(a3)5=25=32,b15=(b5)3=33=27,且32>27

a15>b15

a>b

類(lèi)比閱讀材料的方法，解答下列問(wèn)題：

(1)上述求解過(guò)程中，逆用了哪一條累的運(yùn)算性質(zhì).

A.同底數(shù)塞的乘法；B.同底數(shù)暴的除法；C.基的乘方；D.積的乘方

(2)已知。3=4,從1=8,試比較a,6的大小.

【題型9整式乘法中不含某項(xiàng)問(wèn)題】

[例9](24-25七年級(jí)?福建漳州?期中)小華同學(xué)在計(jì)算(2久+3)(x—2)=2久2-4%+3比一6=2x2-x-6

后，愛(ài)思考的他發(fā)現(xiàn)：2x(—2)+lx3=—1是x項(xiàng)的系數(shù)，與通過(guò)計(jì)算后的結(jié)果對(duì)比，x項(xiàng)的系數(shù)是正

確的.為了驗(yàn)證這個(gè)發(fā)現(xiàn)，又計(jì)算，(%+2)(%—2)(3*+4)=(爐—4)(3%+4)=3%3+4%2—12%—16,x

項(xiàng)的系數(shù)為一12；用他發(fā)現(xiàn)的方法計(jì)算：1x(—2)x4+lx2x4+3x2x(—2)=—12,結(jié)果還是一樣

的.請(qǐng)你認(rèn)真領(lǐng)會(huì)小華同學(xué)的方法，并用他的方法解決下面問(wèn)題.

(1)直接寫(xiě)出(2x+3)(5x—1)相乘，積中x項(xiàng)的系數(shù)

20232022

(2)若(X+1)2024=(21%2024.(_(22%+a3X+…+(22024^+?2025>直接寫(xiě)出。2024的值；

(3)若(久+1)(2%-3)(4%+P)的積中不含X項(xiàng)，求0的值；

(4)拓展應(yīng)用：某超市計(jì)劃購(gòu)進(jìn)/,8兩種型號(hào)某品牌礦泉水共100箱(每箱24瓶)，有多種購(gòu)進(jìn)方案.這

兩種型號(hào)礦泉水的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表格所示，

AB

進(jìn)價(jià)(元/箱)2430

售價(jià)(元/箱)4857

該超市積極參與做慈善活動(dòng)，決定每售出一箱5型號(hào)礦泉水，向社會(huì)福利機(jī)構(gòu)捐款加元，/型號(hào)礦泉水每

箱的售價(jià)不變，100箱礦泉水全部售出后，不同的購(gòu)進(jìn)方案，超市獲得的利潤(rùn)都相同，設(shè)購(gòu)進(jìn)/型號(hào)礦泉水

有。箱，超市獲得的利潤(rùn)為w元，用含。，入的式子表示狡，并求加的值.

【變式9-1](24-25七年級(jí)?安徽合肥?專(zhuān)題練習(xí))若(2/+2)(久2+3x—n)的乘積中不含好與x3項(xiàng),

求爪2—十的值.

【變式9-2](24-25七年級(jí)?浙江杭州?期中)定義;2=ad—be,如；：=1X4—3X2=—2.

⑴若口;:得=8,求久的值；

若的值與久無(wú)關(guān)，求幾)機(jī)值.

(2)II人》I-L(3

【變式9-3](24-25七年級(jí)?北京?期中)【知識(shí)回顧】

我們?cè)趯W(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類(lèi)題：代數(shù)式ax—y+6+3x—5y—1的值與x的取值無(wú)關(guān)，求a的

值.

通常的解題思路是：把x、y看作字母，?？醋飨禂?shù)，合并同類(lèi)項(xiàng).因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，所以

含x項(xiàng)的系數(shù)為0.

具體解題過(guò)程是：原式(a+3)K一6y+5,

???代數(shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，

?1?a+3=0,解a=—3.

【理解應(yīng)用】

（1）若關(guān)于X的代數(shù)式mx-4x+3的值與X的取值無(wú)關(guān)，則加值為.

（2）己知4=（2%+1）（久一2）,B=—久），且4+2B的值與x的取值無(wú)關(guān)，求加的值.

【能力提升】

（3）7張如圖1的小長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為°,寬為6,按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形4BCD內(nèi)，大長(zhǎng)方形中

未被覆蓋的兩個(gè)部分都是長(zhǎng)方形.設(shè)右上角的面積為Si，左下角的面積為S2,當(dāng)力B的長(zhǎng)變化時(shí)，Si—S2的

值始終保持不變，求。與6的等量關(guān)系.

h

圖1圖2

【題型10多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問(wèn)題】

【例10】（24-25七年級(jí)?山東濟(jì)南?期中）（1）【知識(shí)生成】將一個(gè)大正方形分割成如圖1的四部分，兩

個(gè)邊長(zhǎng)分別為a,b的正方形和兩個(gè)長(zhǎng)方形.用兩種方法表示該大正方形的面積，可得（a+6尸=a2+2ab+b2.

若a?+房=40,ab=12,則該大正方形的邊長(zhǎng)為；

（2）【知識(shí)運(yùn)用】?jī)烧叫稳鐖D2方式擺放.正方形4BC0邊長(zhǎng)記為機(jī)，正方形CEFG邊長(zhǎng)記為ri,點(diǎn)B,C,G

在一條直線(xiàn)上，點(diǎn)M為8G的中點(diǎn)，若m+n=10,nm=15,求圖中陰影部分的面積；

（3）【知識(shí)拓展】如圖3,觀察棱長(zhǎng)為a的大正方體的分割，可得到（a+b）3=a3+3a2b+3aZ?2+b3.

若已知a+b=5,ab=2,則（P+b3=.

（4）【民族驕傲】我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例.如圖，這個(gè)三

角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1,其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（a+6）n5為正整數(shù)）

的展開(kāi)式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律.例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1,2,1,恰

好對(duì)應(yīng)(a+b)2=層+2ab+力2展開(kāi)式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1,3,3,1,恰好對(duì)應(yīng)著(a+6尸=足+3層

b+3ab2+川展開(kāi)式中的系數(shù)等等.

WP=1.........................................I

u+b……||

爐?2d8*"?……………-121

(<>+”?爐+3爐護(hù)f...............1331

4琳....14641

(。功戶(hù)=。"*出?"…I510105I

圖1圖2

下列說(shuō)法：正確的有

①(a+匕戶(hù)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和為64；

②(a+b)7展開(kāi)式各項(xiàng)中，系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)和第五項(xiàng)；

@25-5x24+10x23-10x22+5x2-1=1；

612111032aaa

④若(好—2x—I)=a12%+an%+a10x+…+a3x+a2x+a1x+a0,則由2+n+io+…+2

+=64；

⑤585—4能被28整除.

【變式10-1](24-25七年級(jí)?四川達(dá)州?期中)觀察并驗(yàn)證下列等式：

13+23=(1+2)2=9

13+23+33=(1+2+3)2=36

I3+23+33+43=(1+2+3+4)2=100

(1)續(xù)寫(xiě)等式13+23+33+43+53=.

(2)根據(jù)上述等式中所體現(xiàn)的規(guī)律，猜想結(jié)論

I3+23+33+???+(n-I)3+n3=.

(3)利用(2)中的結(jié)論計(jì)算：

①33+63+93+???+543+573

②13+33+53+73+???+(2n-I)3

【變式10-2](24-25七年級(jí)?廣東茂名?期中)(1)計(jì)算并觀察下列各式填空：

(%—1)(%+1)=x2—1；

(X—l)(x2+x+1)=X3—1;

(%—1)(%3+X2+x+1)=_;

(2)從上面的算式及計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接填寫(xiě)下面的空格：

(%—1)(_)=x6—1：

(3)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：(x—l)(x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=_；

(4)利用該規(guī)律計(jì)算：1+2+22+23+…+22。21的值.

【變式10-3】(2025?浙江溫州?一模)"字母表示數(shù)”的系統(tǒng)化闡述是16世紀(jì)提出的，被后人稱(chēng)為從“算術(shù)”

到“代數(shù)，，的一次飛躍，從而大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.經(jīng)過(guò)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我們知道了用字母表示數(shù)可以分

析從特殊到一般的數(shù)學(xué)規(guī)律，字母與數(shù)一樣，也可以參與運(yùn)算.請(qǐng)同學(xué)們觀察下列關(guān)于正整數(shù)的平方拆分

的等式：

第1個(gè)等式：22=1+12+2；第2個(gè)等式：32=2+22+3；

第3個(gè)等式：42=3+32+4；第4個(gè)等式：52=4+42+5；

(1)請(qǐng)用此方法拆分20242.

(2)請(qǐng)你用上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論(用含〃的等式表示，〃為正整數(shù))并運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明

這個(gè)結(jié)論是正確的.

【題型11巧用乘法公式求值】

【例11】(24-25七年級(jí)?廣東廣州?期末)閱讀理解：

條件①：無(wú)論代數(shù)式/中的字母取什么值，/都不小于常數(shù)加；

條件②：代數(shù)式/中的字母存在某個(gè)取值，使得/等于常數(shù)

我們把同時(shí)滿(mǎn)足上述兩個(gè)條件的常數(shù)M叫做代數(shù)式工的下確界.

例如：

x2+2x+5=%2+2?%?1+I2—I2+5=(x+I)2+4,

(x+I)2>0,

x2+2x+5>4(滿(mǎn)足條件①)

當(dāng)久=一1時(shí)，%2+2%+5=4(滿(mǎn)足條件②)

??.4是/+2乂+5的下確界.

又例如：

%2+2|%|+5=\x\2+2-|x|-1+I2-l2+5=(|x|+I)2+4,

由于|久|大一1,所以+2田+5K4,(不滿(mǎn)足條件②)

故4不是*2+2\x\+5的下確界.

請(qǐng)根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：

(1)求尤2-4x+1的下確界.

(2)若代數(shù)式2久2+nu：+3的下確界是1,求加的值.

(3)求代數(shù)式尤2+2y2+2xy—2x—4y+10的下確界.

【變式11-1](24-25七年級(jí)?陜西西安?階段練習(xí))(1)問(wèn)題探究：已知a+b=3,ab=2,可利用完全平

方公式得：a2+b2=.

(2)自主推導(dǎo)：(a+6+c)2=.

根據(jù)上面的公式計(jì)算：已知a+b+c=6,ab+be+ac—11,求a2+房+c2=.

(3)問(wèn)題解決：已知a+b+c=0,a2+b2+c2=6,求a,+〃+?4的值.

【變式11-2](24-25七年級(jí)?浙江舟山?期末)我國(guó)著名數(shù)學(xué)家曾說(shuō)：數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，

數(shù)形結(jié)合思想是解決問(wèn)題的有效途徑.請(qǐng)閱讀材料完成：

(1)算法賞析：若x滿(mǎn)足(l—x)(x—5)=2,求(1一%尸+(%—5)2的值.

解：設(shè)(1—x)=a,(x—5)=b,則(1—x)(x—5)=ab=2,a+b=(1—x)+(x—5)=—4

.,.(1—x)2+(x—5)2=a2+b2……

請(qǐng)繼續(xù)完成計(jì)算.

(2)算法體驗(yàn)：若x滿(mǎn)足(30—切(久一20)=—580,求(3。一x)2+Q—20)2的值；

(3)算法應(yīng)用：如圖，己知數(shù)軸上/、B、C表示的數(shù)分別是加、10、13.以為邊作正方形ABDE,以ZC

為邊作正方形ACFG,延長(zhǎng)ED交FC于P.若正方形ACFG與正方形ABDE面積的和為117,求長(zhǎng)方形AEPC

的面積

【變式11-3](24-25七年級(jí)?廣東珠海?期中)結(jié)合圖形我們可以通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算面積，從而可以

得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是;

(2)我們可以利用(1)中的關(guān)系進(jìn)行求值，例如，若x滿(mǎn)足(2—久)(x-5)=1,可設(shè)2-x=a,x-5=b,

則ab=1,a+b——3.則a?+b2=.

(3)若x滿(mǎn)足。一10)(5—x)=3,則丘—10)2+(5-x)2的值為；

(4)小玲想利用圖2中x張/紙片，y張3紙片，z張C紙片拼出一個(gè)面積為(3a+b)(a+b)的大長(zhǎng)方形，則

x+y+z=；

(5)如圖3,已知正方形4BCD的邊長(zhǎng)為x,E,尸分別是AD、DC上的點(diǎn)，且4E=1,CF=3,長(zhǎng)方形EMFD

的面積是24,分別以MF、。尸為邊作正方形，求陰影部分的面積.

【題型12乘法公式的幾何背景】

【例12】(24-25七年級(jí)?吉林?階段練習(xí))【觀察】如圖①是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為6的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線(xiàn)用

剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形，如圖②所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出(a+b)2,

(a—6)2,ab之間的等量關(guān)系；

圖1圖2圖3

【應(yīng)用1若ni+n=6,mn=5,貝!Jzn—n=

【拓展】如圖③，正方形力BCD的邊長(zhǎng)為x,AE=5,CG=15,長(zhǎng)方形EFGD的面積是200,四邊形NGD”

和四邊形MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長(zhǎng)方形，求圖中陰影部分的面積.

【變式12-1](24-25七年級(jí)?河南鄭州?開(kāi)學(xué)考試)如圖，邊長(zhǎng)為a的大正方形內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形.

(1)用含字母的代數(shù)式表示圖1中陰影部分的面積為；

(2)將圖1的陰影部分沿斜線(xiàn)剪開(kāi)后，拼成了一個(gè)如圖2所示的長(zhǎng)方形，用含字母的代數(shù)式表示此長(zhǎng)方形的

面積為:

（3）比較（2）、（1）的結(jié)果，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)非常熟悉的乘法公式.

（4）【問(wèn)題解決】利用（3）的公式解決問(wèn)題：

①己知4爪2—九2=12,2m+n=4,貝?。?m—n的值為.

②直接寫(xiě)出下面算式的計(jì)算結(jié)果:（1一9（1一曷（1一專(zhuān)）。一春）…（1一募）.

【變式12-2］（24-25七年級(jí)?浙江?期中）兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為。和6的正方形如圖放置（圖1）,其未疊合部

分（陰影）面積為Si；若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（如圖2）,兩個(gè)小正

方形疊合部分（陰影）面積為52.

a

圖1圖2圖3

（1）用含0,6的代數(shù)式分別表示Si、S2；

(2)若a+b=16,ab=40,求Si+S2的值;

（3）當(dāng)S1+S2=76時(shí)，求出圖3中陰影部分的面積S3.

【變式12-31（24-25七年級(jí)?山西太原?階段練習(xí)）【知識(shí)生成】

我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)

時(shí)難入微”.在學(xué)習(xí)整式的乘法時(shí)可以發(fā)現(xiàn)：用兩種不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式,

進(jìn)而可以利用得到的等式解決問(wèn)題.

b

圖1圖2圖3

圖4圖5

(1)根據(jù)圖1,可以得到等式：(a+6)2=a2+2ab+/,從而驗(yàn)證了完全平方公式.這體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是

(填選項(xiàng))：

A.分類(lèi)討論B.轉(zhuǎn)化C.由特殊到一般D.數(shù)形結(jié)合

(2)根據(jù)圖2,可以得到等式：；

(3)①圖3是由幾個(gè)小正方形和小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的大正方形，用不同的方法表示這個(gè)大

正方形的面積，可以得到等式；

②己知a+6+c=9,ab+bc+ac=26.利用①中所得到的等式，直接寫(xiě)出代數(shù)式a?+房+C2的值為

(4)畫(huà)出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示(2a+6)(a+2b)=2a2+5ab+2b2.

【知識(shí)遷移】

⑸①類(lèi)似地，利用立體圖形體積的等量關(guān)系也可以得到某些數(shù)學(xué)公式.如圖4,是用2個(gè)小正方體和6個(gè)

小長(zhǎng)方體拼成的一個(gè)棱長(zhǎng)為a+b的大正方體.用不同的方法表示這個(gè)大正方體的體積，可以得到的等式為

②己知a+b=5,ab=6,利用①中所得的等式，直接寫(xiě)出代數(shù)式+/的值為.

(6)圖5表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖中圖形的

變化關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式：.

【題型13利用拆項(xiàng)或添項(xiàng)進(jìn)行因式分解】

【例13】(24-25七年級(jí)?廣東江門(mén)?期中)閱讀材料，解決問(wèn)題

【材料1】教材中這樣寫(xiě)道：“我們把多項(xiàng)式。2+2防+〃及。2—2防+〃叫做完全平方式，，，如果關(guān)于某一

字母的二次多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式,

再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法.例如：分解因式好+2刀-3.

原式=x2+2x—3=x2+2x+1—1—3=(x+I)2—4=(%+1+2)(久+1—2)=(%+3)(久—1).

【材料2】因式分解：Q+y)2+2(x+y)+l

解：把x+y看成一個(gè)整體，令x+y=4,貝！|

原式=4+24+1=(4+1)2,再將4=乂+)/重新代入，得：原式=(x+y+l)2

上述解題用到的“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的思想方法.請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：

(1)根據(jù)材料1，利用配方法進(jìn)行因式分解：%2-6%+8；

(2)根據(jù)材料2,利用“整體思想”進(jìn)行因式分解：(x-y)2-4(x-y)+4；

(3)當(dāng)a,b,c分別為△4BC的三邊時(shí)，且滿(mǎn)足a2+次+—4a—6b—4c+17=0時(shí)，判斷△力8c的形狀

并說(shuō)明理由.

【變式13-1](24-25七年級(jí)?安徽池州?期中)【閱讀理解】

對(duì)于二次三項(xiàng)式尤2+2ax+a2,能直接用公式法進(jìn)行因式分解，得到/+2以+a?=(久+a)2,但對(duì)于二次

三項(xiàng)式#+2ax—3a2,就不能直接用公式法了.

我們可以采用這樣的方法：在二次三項(xiàng)式/+2ax-3a2中先加上一項(xiàng)。2,使其成為完全平方式，再減去

這項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，于是：x2+2ax—3a2=x2+2ax+a2—a2—3a2=(%2+2ax+a2)