內(nèi)蒙古呼和浩特市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月月考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

1.將210?；苫《葹椋ǎ?/p>

A.-2B.2CD.乂

6636

2.已知「（sinacos。）是角■的終邊上一點(diǎn)，貝hand=（）

A.-73B.C.BD.73

33

3.若sin（￡+ej＞0,sin（57i-0）＜O,則角。的終邊所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.已知函數(shù)/5）=5由"+2（0＞0）在］（），2上單調(diào)遞增，在停,"上單調(diào)遞減，則/⑴的最小正周

期為（）

A.2式

若sin["g3

5.)

5

33

A.

65

77

6.將函數(shù)y=8s”的圖象先左移.再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮為原來的所得圖象的解析式為（)

A.y=sin2x-\——

I4

.(1吟

C.y=sin_%+—

(24J

7.已知函數(shù)〃x）=-cos2無一sin尤+2,xe,則/⑺的最大值為（）

A.1B.3C.D.3+忘

22

8.函數(shù)y=.l+sin.i（0V尤vf］的最大值和最小值分別為（）

sinx+cosxv2）

A.1,-1B.烏-立C.—,0D.0,-1

222

9.己知函數(shù)/（%）=Asin（（ax+0）（其中A＞0,a）＞0,0＜。＜兀）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱,

且與點(diǎn)M相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為N1三,-3）,則對于下列判斷：

①直線無=］不是函數(shù)/（X）圖象的一條對稱軸；

②點(diǎn)［-方，0）是函數(shù)〃尤）的一個(gè)對稱中心；

③函數(shù)y=i與y=/（“（一展WxW等）的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為7兀.

其中正確的判斷是（）

A.①②③B.①③C.②③D.①②

10.已知函數(shù)〃力的部分圖象如圖所示，則/（力的解析式可能為（）

A./(x)=xsin7ixB.f(x)=(%-1)sin7LV

C./(x)=xsin7i(x+l)D./(X)=(X-1)COS71X

二、多選題

11.下列各函數(shù)中，最小正周期為萬的是（）

A.y=；sin(x71y=3cos[2x+?

B.

.2

C.y=tanxD.y=sin—x

3

12.下列化簡正確的是（）

A.sinl5°sin30osin75o=—B.cos2150-sin215°=—

82

c-L_tan22.5°

------=2D.

sinlOcoslO01-tan222.5°2

13.關(guān)于函數(shù)/（x）=sinW+卜inx|,下列結(jié)論正確的是（）

A./（x）是偶函數(shù)B./（x）在區(qū)間■，乃單調(diào)遞增

C./（x）的最小正周期為2乃D.7（%）的最大值為2

三、填空題

TT

14.一個(gè)扇形半徑為4,圓心角為彳,則扇形的面積是

cos(2?-a)+2cos

15.若tan(?—a)=-2,則--------------7-

sin(?-戊)-sin1-T-々

16.若兩個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過若干次平移后能夠重合，則稱這兩個(gè)函數(shù)為“同形”函數(shù).給出下列四個(gè)函數(shù)：①

^(x)=sinx+cosx；②/(x)=V^sinx+后；③/(x)=sinx；④力(x)=V^(sinx+cosx).其中“同形”函

數(shù)有.(選填序號)

四、解答題

17.對下列各式子化簡并求值.

sin

c2a.aa.

2cos——I-2sin—cos----1

222

⑵sin50°(1+6tan10°).

18.已知函數(shù)〃x)=si“2x+E)+；.

jr11jr

⑴試用“五點(diǎn)法”畫出在xe時(shí)函數(shù)〃尤)的簡圖;

X

c兀

2xH—

6

.(°

sin2x+—

I6j

y

⑵求21時(shí)x的取值范圍.

19.已知函數(shù)/(x)=tan(x+：J.

(I)求〃x)的定義域；

(II)設(shè)尸?。,兀)，且/(0=2COS(￡-3,求夕的值.

20.如圖，圓。的半徑為2,/為圓。外一條直線，圓心。到直線/的距離|。4|=3.庶為圓周上一點(diǎn)，且

乙4。4=丁JT.點(diǎn)尸從4處開始以2秒一周的速度繞點(diǎn)。在圓周上按逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(這里的角

6

均指逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角）.

⑴求/秒鐘后，點(diǎn)P到直線I的距離用V=mt>0）的解析式;

⑵當(dāng)=2有時(shí)，求/的值

711_V3

21.已知〃x)=sinX+—cosx+-sin2x+-

234

⑴求〃%）的單調(diào)遞增區(qū)間;

1+/7122對任意的TT'冗

⑵若4—X—XG恒成立，求。的取值范圍.

21266

22.如果一個(gè)實(shí)數(shù)是有理數(shù)，或是對有理數(shù)進(jìn)行有限次加、乘和開二次方根運(yùn)算的結(jié)果，或是對這些結(jié)果

繼續(xù)進(jìn)行有限次加、乘和開二次方根運(yùn)算的結(jié)果，則稱這個(gè)實(shí)數(shù)為可解數(shù).如果一個(gè)角的正弦值和余弦值都

是可解數(shù)，則稱這個(gè)角為可解角汝口：30°,45。，120。角都是可解角.

⑴判斷2+百，J5T,也是否為可解數(shù)（無需說明理由）;

（2）證明：72。角是可解角;

題號12345678910

答案DBCBDDDDAB

題號111213

答案BCABDAD

1.D

根據(jù)角度與弧度的關(guān)系求解即可.

JT7

【詳解】2100=210x——=-7i,

1806

故選：D.

2.B

由三角函數(shù)的定義可得sin。,cos。,進(jìn)而由商數(shù)關(guān)系可求tan。.

【詳解】因?yàn)槭╯in。,cos。）是角弋的終邊上一點(diǎn)，

所以cos=sin6=g,sin［一］］=cos夕=，

故選：B.

3.C

利用誘導(dǎo)公式可得出cos。、sin。的符號，即可得出角。的終邊的位置.

【詳解】因?yàn)閟in+夕）=—cos0>0,則cos0<0,

又因?yàn)閟in（57i-e）=sin6><0,故角6的終邊所在的象限是第三象限.

故選：C.

4.B

根據(jù)題意，X=?27r時(shí)，/（X）取得最大值，進(jìn)而列出等式，求出。，進(jìn)一步再根T據(jù)兀（區(qū)間長度）得到答

案.

【詳解】由題意可知x=F時(shí)，/（X）取得最大值，貝+J=g+伏eZ）,解得。=《+3左，由于

3362223

31

則故。=最小正周期7=4兀.

22

故選：B.

5.D

月+年結(jié)合三角恒等變換可求值.

利用sin(6z-/7)=-sinj,

71j.cosU+2兀5715兀,4〃2兀

【詳解】因?yàn)閟ina~~a—GG

1333

2TI

=2XA.(_1)X1Z=63

51351365

則sinfcr-/?)=-sin(a-p-7c\=---

65

故選：D.

6.D

71713萬

【詳解】y=cosx=sinx+—向左平移一個(gè)單位，故變?yōu)椋?sinx+

24

37c

縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮為原來的變?yōu)閥=sin2X+

故選：D.

7.D

【詳解】/(%)=-(1-sin2x)-sinx+2=sin2x-sinx+l

因?yàn)?-7尹所以sin尤e

令，=sinx,te

則上）氣⑴—，二次函數(shù)g⑴在區(qū)間卜字；］上單調(diào)遞減,;當(dāng)上單調(diào)遞增

、2

(6巨1=2

g(

-T）一T224

7J

所以“X）的最大值為言&

故選：D

8.D

【詳解】設(shè)tan5=f,貝則

1,?一sin—F2sin—cos—cos——tan—F2tan—1

>=-1+smx=2222=22

sinx+cosx-sin2—+2sin—cos—+cos2--tan2—+2tan—+1

222222

—5+2”l1212

=----------------=Id----------------=Id------------------

+2^+1/―21—1(/-if-2’

2

由，^-2<(r-l)2-2<-l,所以TVl+j10,

v-1;-z

TT

所以當(dāng)％=。，即X=0時(shí)，Vmin=T；當(dāng)"1，即％=丁時(shí)，ymax=0.

4

故選：D.

9.A

【詳解】因?yàn)椤▁)=Asin(6+0)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，且與點(diǎn)M相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為

N(W，—31,:.A=3,且］=今一"=g,:.T=TI,\'-=T,:.①=2.

3)43124①

故/(x)=3sin(2x+°).

又圖像最低點(diǎn)為“三,-3；++

即夕=2E+：%￡Z.又,.?0<0<兀,:.cp=~.?./(x)=3sin|2x+—\.

66I6J

對①，當(dāng)x==時(shí)2x=+當(dāng)==,不是正弦函數(shù)的對稱軸.故①正確.

對②，當(dāng)％=4時(shí)，3sin^2x^j+^j=0,所以點(diǎn)卜專,。］是函數(shù)的一個(gè)對稱中心，故②正確.

對③，花，0V2x+￡v6兀，所以函數(shù)/(力=3$苗(2)+2］與y=l有6個(gè)交點(diǎn).

設(shè)交的橫坐標(biāo)分別為不，％…%，根據(jù)圖像以及五點(diǎn)作圖法的方法可知，當(dāng)2x+g7T=彳5TT時(shí)，解得尤=77?r為6

626

個(gè)橫坐標(biāo)外,飛…%的對稱軸,

綜上，①②③正確.

故選：A

10.B

根據(jù)已知圖象的對稱性，結(jié)合AC的奇偶性可排除AC,根據(jù)已知圖象式0)=0可排除D,從而正確可得B為

正確選項(xiàng).

【詳解】對于A,〃-x)=-xsin(FX)=xsin7ct=〃x),故/(x)=xsin7Lr為偶函數(shù)，圖象應(yīng)該關(guān)于y軸對

稱，與已知圖象不符；

對于C,/(x)=xsin(7ix+7r)=-xsinnx也為偶函數(shù)，故排除AC；

對于D,=與己知圖象不符，故排除D.

對于B,/(2-x)=(2-x-l)sin7r(2-A：)=(l-^)sin(-7ix)=(A：-l)sin7LV=/(x),故/(x)關(guān)于x=l對稱,#))=0,

均與已知圖象符合，故B正確.

故選：B.

11.BC

利用三角函數(shù)的周期公式計(jì)算各選項(xiàng)中函數(shù)的最小正周期，由此可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)y=；sin]xf的最小正周期為2萬；

對于B選項(xiàng)，函數(shù)y=33(2苫+3的最小正周期為1=7.

對于C選項(xiàng)，函數(shù)V=tanx的最小正周期為乃；

24

9—=2)71

對于D選項(xiàng)，函數(shù)〉=sin二x的最小正周期為2.

3§

故選：BC.

12.ABD

利用二倍角公式、輔助角公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，逐項(xiàng)化簡判斷即得.

【詳解】對于A,sinl5°sin30osin75o=-sinl50cosl50=-sin30°=-,A正確;

248

對于B,COS215°-sin215°=cos30°=^-,B正確；

2

1G_cosl00—gsinlO。_2sin20°一彳

對于C,sinlO0coslO0sin10°cos100-sin200'C錯(cuò)誤；

2

tan22.5°12tan22.5°1..1

對于D,-----------=-------------=-tan45°=-D正確.

1-tan222.5°21-tan2522.5022

故選：ABD

13.AD

利用函數(shù)奇偶性的定義即可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，對f(x)去絕對值即可判斷選項(xiàng)B；作出函數(shù)

的圖象，即可判斷選項(xiàng)C、D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】對于選項(xiàng)A：/(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx\=f(x),所以/'(x)是偶函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B：當(dāng)xe],%]時(shí)，sin|x|=sinx,因?yàn)閟inx>0,所以卜inx|=sinx,

所以/(x)=sinx+sinx=2sinx在區(qū)間■，乃[單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B不正確；

對于選項(xiàng)C：當(dāng)xe[2Qr,2Qr+7r](笈wN)時(shí)，/(x)=sinx+sinx=2sinx,

當(dāng)了6[2左萬+萬,2%萬+2萬](左GN)時(shí)，/(x)=sinx+(—sinx)=O,

因?yàn)?(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于>軸對稱，可得/(x)的圖象如圖所示：

由圖知：/(尤)不是周期函數(shù)，故選項(xiàng)C不正確；

對于選項(xiàng)D：由/'(x)的圖象可知：/(x)的最大值為2,故選項(xiàng)D正確,

故選：AD.

14.2兀

由扇形面積公式S=^aR12即可得解.

TT

【詳解】由題扇形半徑為尺=4,圓心角為&=

4

11jr

所以扇形的面積是5=彳。店=x2x42=27r.

224

故答案為：27r.

15.-1

由tang-a)=-2,可得tana=2,然后利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系對原式化簡，再代值計(jì)算即可

【詳解】由tan(;r-a)=-2,得tane=2,

cos(2?-a)+2cos

C0S6Z-2sincr

所以

sina+cosa

sin(?-a)-sin-------a

1-2tan

1+tana

1-2x2

1+2

故答案為：-1

16.①②

利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化函數(shù)解析式，對比各函數(shù)的最小正周期及振幅即可得解.

【詳解】由題意，/；(x)=sinx+cosx=0sin(x+?j,力(x)=^(sinx+cosx)=2sin(x+?

四個(gè)函數(shù)的最小正周期均相同，但振幅相同的只有①，②，

所以“同形”函數(shù)有①②.

故答案為：①②.

17.⑴*

(2)1

(1)利用倍角公式與輔助角公式即可求解；

J?sin10°'

包嗎將原式變?yōu)?sin50。1+

(2)利用商數(shù)關(guān)系tan10。=,通分后利用輔助角公式化簡得

cos10cos10°/

2sM4鏟sin50,最后利用倍角公式與誘導(dǎo)公式即可求解.

cos10

L)

71

sinsinSm|

【詳解】(1)原式=i+:i+t

cos。+sin〃r~1^sina+^cosa應(yīng)si]j一Z

0

g4

sin10)

原式=$山低?coslO+^sinltfsin5()??

(2)50n0

gcosl承=sl5cos10cosl0?

2(sin3(/%osl0+cos30?sinl0)2sin40場in50

=sin50°?

cosl(Fcos10

2sin40°cos40°sin80°1

---------=].

cos10coslO°

18.(1)見解析

兀

(T)kn<x<—+ku,keZ

(1)由五點(diǎn)作圖法完成表格，描點(diǎn)作圖，可得答案；

(2)利用整體思想，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性與周期性，可得答案.

【詳解】G)

-立五5冗\(yùn)~?

12卜6__3一\1/12

(2)由貝l]sin[2x+jz；

解得—+2kit<2x+—<—+2fatksZ,

666

兀

Bpfol<x<—+^71,keZ.

TTTT3冗

19.(I){%|%wE+—?EZ}(II)/3=一,或夕=一

4124

【詳解】試題分析：(I)使正切函數(shù)有意義，需滿足x+.會(huì)丘入Z,解不等式得定義域；(II)將夕

代入得tan"+；J=2cosC：J,將切化弦結(jié)合誘導(dǎo)公式得sinQ(12cos上+#1=0,等價(jià)于

sin[￡+：]=0,或cos(〃+：J=g,結(jié)合夕的范圍可得結(jié)果.

試題解析：(I)由x+殳2版+乙，得尤力版+殳，keZ.

424

所以函數(shù)/(x)的定義域是{x|尤+,左eZ}.

(、(\sin^S+z)/、

(II)依題意，得tan夕+丁=2cos"g,所以一~4=2sin/+?,

I力I4j+jI力

整理得sin1分+：12cosU+^j-l=0,所以sin[p+；]=0,或cos(〃+：j=g

因?yàn)樽?0,兀)，所以〃+H：耳，由"網(wǎng)斗。，得"十*加六由8S尸+：《，得

6+：=4，B=?所以夕=展，或分=.?

20.(l)/(r)=3-2COS7lt+—,r>o

I6

24

(2)/=—+2k,左wN或/=§+2k,ksN.

(1)根據(jù)題意求出旋轉(zhuǎn)角即可得出點(diǎn)p的橫坐標(biāo)，即可求出解析式;

(2)可得當(dāng)|片「=2百時(shí)，/尸。4=點(diǎn)，即可求出.

24

【詳解】(1)由題意可得周期為7=2,貝心秒鐘后，旋轉(zhuǎn)角為&=干/=必,

此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x=2cos,+f,

所以點(diǎn)P到直線/的距離為〃。=3-23卜+。此0；

(2)當(dāng)|庶乃=2百時(shí)，ZPOP0=^-,

27r47r

可得P旋轉(zhuǎn)了說=+2k兀,keN或兀t=y+2%匹keN,

24

解得^=—+2%,ZEN或.=§+2k,keN.

51Tli、

21.(1)----兀+k7i,——+女女(k^Z)

_1212_

(2)?>5

布、1r16、

【詳解】(1)化簡得/(x)=cosx—sinx+^—cosx+——sin2x+^—cos2x

22J212->

1.cA/3l+cos2x1.cV3c73

=—sin2x+——x------------F—sin2x+——cos2x-----

42244