微專題9向量問題的常見解題策略

策略n?底法

例1⑴(2024?上饒一模)在平行四邊形NBC/)中，|懿|=4,/)|=2,<AB,AD)=|,

點(diǎn)跖N分別是CD,的中點(diǎn)，則赤血=3.

【解析】如圖，AM=AD+DM=AD+-A^,MN=MC+CN=-A^--AD,則施?疝=

222

廝+呵廝—河=1赤-1宓+

9?25.又盛2=16,病2=4,蕊25=4X2x1=

4242

4,則命?血=1乂16—1x4+1x4=3.

424

DMC

L

AB

(例1⑴答)

(2)如圖，在平行四邊形45c。中，DE=-EC,b為5c的中點(diǎn)，G為防上的一點(diǎn)，

2

^AG=mAB-\■-AD,則實(shí)數(shù)冽==.

3一2一

D

—

B

(^J1(2))

―?—?―?1-?—>

【解析】由題意，次=25+發(fā)=25+1灰赤=AB+BF=AB+-BC=AB

332

、西=上"3Asl+(1-

+；應(yīng)).由￡,F,G三點(diǎn)共線，可設(shè)前=九年+(1—1)力，；

田+河」用壽++辦又前=加法+2而，

根據(jù)向量相等的原則得

23

1—5=冽，

3

1+^2解得力=：,加=：.

23

，總結(jié)提煉A

利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系.

變式1（1）（2024?淮安、連云港期末）已知△/8C的內(nèi)角B,C的對(duì)邊分別為a,b,

c,若c=4,/且BE為邊/C上的高，AD為邊3c上的中線，則應(yīng)）-靛=（D）

A.2B.-2

C.6D.-6

【解析】如圖，因?yàn)?D為邊上的中線，所以疝=3卷+用.又BE為邊NC上的

高，所以前=0,且在Rt^ABE中，|病|=|的|cos/A4E=4Xcos；=2,所以2b?盛=

1->―?—>1-?—>1—?—?1—?—?1—?—?―?1—?—>1->

L(AB+ACyBE=-ABBE+LACBE=-AB'BE=-AB(AE-AB)=-ABAE--AB2=

2222222

1-A-?JT1—?111

5網(wǎng)閾cos3-21^=2X4X2X2-2X16=-6.

（變式1⑴答）

（2）已知點(diǎn)G為△45。的重心，4=120。，ABAC=~2,則|元|的最小值是（C）

【解析】如圖所示，設(shè)5。的中點(diǎn)為由三角形重心性質(zhì)可得元=2/6，又"為

3

-?1-?-?-A0-?1-A-?-A

2C中點(diǎn)，所以；(/8+/C),所以NG=+/C),貝U|/G|=

I/----?----?----?----?

F+瑟＞『+2荔.衣.又48/C=—2,N=120。，由向量的數(shù)量積定義可得A8/C=

懣前|cos120。=-2,所以畫花=4.所以而尸;H+公產(chǎn)_/;

當(dāng)且僅當(dāng)以方|=|左|=2時(shí)等號(hào)成立，即日@的最小值為:

（變式1⑵答）

策略3建立坐標(biāo)系

例2(1)(2024?山西省二模X多選)蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴(yán)

格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底(由三個(gè)相

同的菱形組成)，巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜.如圖是一個(gè)蜂巢的正六邊形開口/28￡下,

它的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸是內(nèi)部(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，貝!J(AD)

ED

AB

(例2(1))

A.DE=AF--AD

2

-*"-A3

Q.ACBD=~

4

C.若尸為E尸的中點(diǎn),則成在比上的投影向量為一3反1

D.|詼+麗|的最大值為S

【解析】設(shè)正六邊形/8CDEF的中心為O,對(duì)于A,因?yàn)閷?而一礪=能一Lib,

2

故A正確；對(duì)于C,由題意可知若P為跖的中點(diǎn)，所以殍在虎上的投影向量

為一E-C,故C錯(cuò)誤；對(duì)于BD,如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則4I」2'-q2]，從I2'-四2),

月回一臼一一一

C(l,0),D[A22j,Efl-K22j,尸(一1,0),可得/C=lE22J,BD=(0,弋3),所以ACBD

=|,故B錯(cuò)誤；設(shè)P(x,y),可知一IWxWg,OWyW?,則FE=L'2],FP=(x+1,y),

FE+FP^+l'>+方，貝巾應(yīng)+而可知當(dāng)x=g,y=?,即點(diǎn)

P與點(diǎn)。重合時(shí)，|庇+而|取得最大值南，故D正確.

(例2⑴答)

(2)(2025?煙臺(tái)期中)已知平行四邊形/BCD中，3=45。，AB=2,AD=曲,P是BC邊

上的動(dòng)點(diǎn)，則成?訪的取值范圍為「一6,一為.

【解析】以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則8(0,0),C(也，0),

4d2,42),￡>(242,42).因?yàn)辄c(diǎn)P在邊8C上，所以設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)(0WaW?APPD

-|e[-6,-2],即善?訪的取值范圍為[—6,-2].

(例2⑵答)

＜總結(jié)提煉A

(1)根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化；

(3)運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法(如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等)求

解.

變式2(1)(2024?景德鎮(zhèn)三檢X多選)若等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,AD^2DC,AE=EB,

BD與CE交于點(diǎn)、F,貝！J(BD)

一2一1一

A.BD=-BA+LBC

33

B.CF=-C￡

2

C.5bCE=-l

D.訪在比上的投影向量為工詼

6

【解析】對(duì)于A,由平面向量線性運(yùn)算得至24—3C)

^BC+-BA,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,以￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，或，詼分別為x軸、y軸正方向建立

33

n四

平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則項(xiàng)0,0),A(l,0),8(—1,0),C(0,3)，3J設(shè)

「一一「二，廠叫一一

尸(0,y),ye(0,43),所以39=(1,y),DF=l3/3J.因?yàn)?/〃D*所以了一丁=

一L，解得了=3，所以無(wú)=1無(wú)，故B正確.對(duì)于C,由B可知，應(yīng))=k'~3~\,CE=

322

(0,一3)，所以應(yīng))?無(wú)=々*0+個(gè)義(一/)=一2,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,防=[?T^),

1n——BDBCBC

就=(1,韻)，所以訪?詼=；義1卜4"x3=M,所以在3C上的投影向量為

33|ic|\BC\

10__

XX^=^BC,故D正確.

(變式2⑴答)

(2)己知△ABC的外接圓圓心為。，＞2AO=AB+AC,|O/|=|NC|=1,點(diǎn)。是線段

上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是(C)

1

A.--B.

416

3

D.

「I8

【解析】因?yàn)?/O=/8+/C,可知。為2C的中點(diǎn)，因?yàn)?。為?8C的外接圓圓心,

則ZBL4C,且|0/|=|陽(yáng)=1,即|04|=四=|。。|=1,可知△CMC為等邊三角形，KPZACB

2,設(shè)。（。,0）,aG[-l,1],可

；.如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則8(—1,0),

L2）,DB=（一1—a,0）,則（—1—a）=a2~\~^a—g,可知當(dāng).

得=

1—?—?Q

=一工時(shí)，￡%力3取到最小值一Z.

416

(變式2(2)答)

策略間構(gòu)造圖形

例3(2024?濰坊二模X多選)已知向量。,b,c為平面向量，同=1,網(wǎng)=2,ab=0,|c

-a|=1,貝Ij(BCD)

3

A.gc|W；

B.(c—0)&—6)的最大值為中

C.TW/rcWl

D.若。=筋+〃〃，則U+〃的最小值為1——

【解析】對(duì)于A,設(shè)。=(1,0),5=(0,2),c=(x,y),根據(jù)心一〃|=；有二(工-1)2+儼=

即(x—1)2+/=：,是圓心為(1,0),半徑為;的圓，如圖.又|c尸點(diǎn)，2的幾何意義為原

11a

點(diǎn)到圓(X—1)2+/=1上點(diǎn)(%,y)的距離，貝與WldWg,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,(c—ay(c—b)=(x

k—斗5一1

222

—l)x+j(y—2)=x—x+j/—2>y=L2J+(y—I)—當(dāng)圓(%—1)2+爐=1上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)

g1］的距離最大時(shí)，(C—〃)?(c—6)取最大值，為-4—9=仔+上'=

44

1+產(chǎn),故B正確；對(duì)于C,bc=2y,因?yàn)橐籫WyWg,故一IW"cWl,故C正確；對(duì)于

D,因?yàn)?工一1)2+廿=；,故可設(shè)x=言乜+1,歹=空乜，因?yàn)椤?癡+〃〃，故％=x,%

Icose「Isin夕0+^sin?/.,八】、|“在廣，小乩山.

+//=——FH—=-^X55)+1=751口(。+夕)+1(其中tan9=2),故當(dāng)sin

(。+9)=—1時(shí)，力+〃取得最小值1—屋，故D正確.

(例3答)

，總結(jié)提煉A

(1)先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡；

(2)根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式，再解得結(jié)果.

變式3(1)已知a,8是單位向量，"力=0.若向量c滿足|c—a+〃=2,則|c|的最大值

為_2±也

【解析】由〃，〃是單位向量，且?6=0,則可設(shè)〃=(1,0),〃=(0,1),c=(x,J),

所以c—〃+A=(x—l,y+1).因?yàn)橄蛄縞滿足|c—a+〃=2,所以1)2+(+1-=2,即(x

—l)2+(y+l)2=4,它表示圓心為C(l,—1),半徑為r=2的圓.又心尸十^^2表示圓上的

點(diǎn)(X,回到坐標(biāo)原點(diǎn)0(0,0)的距離，|。。|=,12+(—1)2=也所以|c|max=|0C|+-=2+也.

⑵設(shè)向量，，b,c滿足同=回=1,“T〈…,…寸則罔的最大值為

(A)

A.2B,^3

D.1

crb=所以〈*b)=——,所以

【解析】由題意可得同=回=1,—1,IXlXcoscos

22

〈〃，b)=-K又〈%b)￡[0,7i],所以〈%b〉=，.設(shè)為=〃，OB=b,OC=c,則我

3

a—c,CB=b-c,又〈。一c,b—c〉所以N4C5+N4O5=71,所以4,0,5，。四

3

點(diǎn)共圓.如圖，當(dāng)|c|最大時(shí)，有|c|=Qq=2R,R為該圓的半徑.由/4=(〃一〃)2=4+力2

—2ab=3,得|益|=?3.在△403中，由正弦定理可得2R=AB3

sinNAOBsin120°

的最大值為27?=2.

O

(變式3(2)答)

配套精練

1.(2024?濱州二模)已知向量。，b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正

方形的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)則c(b—a)=(A

A.4B.1

D.-4

【解析】建立如圖所不的平面直角坐標(biāo)系，可知〃=(一1,-2),b=(—2,1),c=(2,

2),則〃一a=(—l,3),所以C0—a)=—2+6=4.

2.(2024?湖北七市州3月調(diào)研)已知正方形45CQ的邊長(zhǎng)為2,若麗=立:,則成?訪

B)

A.2B.-2

C.4D.-4

【解析】以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，由屈=菸可得尸為

的中點(diǎn)，所以點(diǎn)(2,1),易知4(0,0),。(0,2),5(2,0),可得善=(2,1),礪=(—2,2),

所以成—ib=2X(-2)+lX2=-2.

（第2題答）

3,若壽?/=荔2=4,且|成|=1,則及?叁的最大值為（A）

A.-2B.-4

C.2D.4

【解析】因?yàn)槭?就=養(yǎng)2=4,所以助產(chǎn)=4,前|=2.設(shè)向量力與為夾角為仇則。引0,

Ti],cos6*e[-l,1],所以無(wú)一叁=（叁一衣?盛套一病成||盛|cosd—益?病=

2cos0—4.因?yàn)閏osOW[—1,1],所以當(dāng)cosO=l時(shí)，3?亞的最大值為2—4=—2.

4.(2024?煙臺(tái)、德州二模)在△48C中，48=3,/C=2,/B4c=60°,AB=3AF,BE=

EC,AE,CF交于點(diǎn)、D,則|麗|=(C)

A也B

3-f

C3^/3

,4

【解析】由題可建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則可得/（0,0）,2（3,0）,C（l,韻）.

則可得4],

又AB=3AF,BE=EC,故F(l,0),故直線/￡的方程為

所以|無(wú)|=1（1—1）2+0一

5.在△N3C中，AB=4,AC=4ZBC=8,動(dòng)點(diǎn)P自點(diǎn)C出發(fā)沿線段C2運(yùn)動(dòng)，到達(dá)

點(diǎn)8時(shí)停止，動(dòng)點(diǎn)。自點(diǎn)3出發(fā)沿線段運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)。時(shí)停止，且動(dòng)點(diǎn)。的速度是動(dòng)

點(diǎn)尸的2倍.若二者同時(shí)出發(fā),且一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),則該過程中成-而

的最大值是（C）

7

A.-B.44

2

C.-D.23

2

【解析】方法一：因?yàn)?5=4,4。=43，BC=8,所以4爐+力^二日？，所以△/呂。

是直角三角形，且NR4C=90。，/ACB=30。,N/BC=60。.如圖，以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，分

別以AC,AB所在直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)|及|=3貝*詼|=2/，且0W2W8,

即O0W4,則/(O,O),Q(0,4-而=(收,4—。，/二卜3-J，3,

所以?shī)W?而=他5萬(wàn)1+%(4—/)=—2戶+1書=—2(―j2+T(°WfW4),當(dāng)上；時(shí)，

/P/0取得最大值，且最大值為

方法二：因?yàn)?8=4,AC=4?BC=8,所以△48C是直角三角形，

且//=90°,NC=30°,/3=60°.設(shè)CP=f,則2。=27,且0W2tW8,即0W/W4,曲與就

的夾角為30°,也與蠢的夾角為60°,所以?shī)W?而曲病?詼+

C_P/_8+C_尸4_0=4市X2tXcos3(T+4X/Xcos60。-2祥=一25+1射=一21(_24J+

y(0</<4),當(dāng)/=半時(shí)，成?而取得最大值，且最大值為

6.(2024?邵陽(yáng)二聯(lián))“四葉回旋鏢”可看作是由四個(gè)相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所

示，AB=2,CD=1,N/=45。.若點(diǎn)P在線段與線段位上運(yùn)動(dòng)，則說?麗的取值范圍

為(C)

悌6題)

A.[-4,6]B.[0,6]

C.[0,8]D,[4,8]

【解析】如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，易知/(—2,1),5(0,1),

F(0,-1),E(—l,-2),H(l,0),L(l,2),當(dāng)點(diǎn)尸在線段48上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)P(x,1),其

中一2WxW0,所以西=(2,2),而=(x,2),則萬(wàn)力?麗=2x+4.因?yàn)橐?WxW0,所以詼?赤引0,

4].當(dāng)點(diǎn)P在線段BL上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)P(x,y)(0WxWl),則加=(x,y—1),BL=(\,1),且加〃度,

則》=＞一1,故P(x,x+l)(0WxWl),赤=(x,x+2),則詼?赤=4x+4,因?yàn)镺WxWl,所

以麗?麗G[4,8].綜上，詼?成的取值范圍為[0,8].

(第6題答)

7.(2024?永州三模)在△/3C中，ZACB=]20°,\AC\=3,|SC|=4,DC-nB=O,則|成+

的最小值為(A)

A.6A/3-2B.2^19-4

C.3^3-1D.亞一2

【解析】由題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C8所在直線為x軸，過點(diǎn)C且垂直于C8的直

線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，貝!]2,2J,2(4,0).由力d/赤=0,可得點(diǎn)

￡)在以3C為直徑的圓上，所以點(diǎn)。的軌跡方程為(》一2)2+產(chǎn)=4.取2。的中點(diǎn)M,設(shè)M(x,

xo+4

X

2

xo=2x—4,

y)次),可得所以所以(2x—6)2+(2y)2=4,所以點(diǎn)M

9D(XQ9二次+0

yyo=2y,

2

的軌跡方程為(x—3)2+/=l,圓心為"(3,0),半徑為1.由荔+石=26，所以|益+方)|

=2\AM\,所以|益+Ib|min=2|由min,所以|施|min=而T卜廠l+R-―^一1

=3^3—1,所以|/5+4。扃11=6m一2.

8.設(shè)平面向量歷〃滿足同=4,〃與〃一b的夾角為135。，記帆=S+(1—當(dāng)

|劑取最小值時(shí)，am=_S_.

【解析】設(shè)CM=〃，OB=b,則a—6=54,如圖，因?yàn)椤ㄅca—〃的夾角為135