五年級(jí)奧數(shù)專題精講精練一

第26講最小公倍數(shù)（一）

一、專題簡析：

1、幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)公倍數(shù)，叫做這

幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。自然數(shù)a、b的最小公倍數(shù)可以記作[a、b],當(dāng)（a、b）

=1時(shí)，[a、b]=aXbo

2、兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)有著下列關(guān)系：

最大公約數(shù)X最小公倍數(shù)二兩數(shù)的乘積

即（a、b）X[a、b]=aXb

要解答求最小公倍數(shù)的問題，關(guān)鍵要根據(jù)題目中的已知條件，對(duì)問題作全面的

分析，若要求的數(shù)對(duì)已知條件來說，是處于被除數(shù)的地位，通過就是求最小公

倍數(shù)，解題時(shí)要避免和最大公約數(shù)問題混淆。

二、精講精練

例題1兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是15,最小公倍數(shù)是90,求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？

練習(xí)一

1、兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是9,最小公倍數(shù)是90,求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？

2、兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是12,最小公倍數(shù)是60,求這兩個(gè)數(shù)的和是多少？

例題2兩個(gè)自然數(shù)的積是360,最小公倍數(shù)是120,這兩個(gè)數(shù)各是多少？

練習(xí)二

1、求36和24的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。

2、已知兩個(gè)數(shù)的積是3072,最大公約數(shù)是16,求這兩個(gè)數(shù)。

例題3甲、乙、丙三人是朋友，他們每隔不同天數(shù)到圖書館去一次。甲3天去

一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他們?nèi)饲『迷趫D書館相會(huì)，

問至少再過多少天他們?nèi)擞衷趫D書館相會(huì)？

練習(xí)三

1、1路、2路和5路車都從東站發(fā)車，1路車每隔10分鐘發(fā)一輛，2路車每隔

15分鐘發(fā)一輛，而5路車每隔20分鐘發(fā)一輛。當(dāng)這三種路線的車同時(shí)發(fā)車后，

至少要過多少分鐘又這三種路線的車同時(shí)發(fā)車？

2、甲、乙、丙從同一起點(diǎn)出發(fā)沿同一方向在圓形跑道上跑步，甲跑一圈用120

秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。問：再過多少時(shí)間三人第二次同時(shí)

從起點(diǎn)出發(fā)？

例題4一塊磚長20厘米，寬12厘米，厚6厘米。要堆成正方體至少需要這樣

的石專頭多少塊？

練習(xí)四

1.用長9厘米、寬6厘米、高7厘米的長方體木塊疊成一個(gè)正方體，至少需要

用這樣的長方體多少塊？

2、有200塊長6厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體木塊，要把這些木塊堆成

一個(gè)盡可能大的正方體，這個(gè)正方體的體積是多少立方厘米？

例題5甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的環(huán)形跑

道從同一地點(diǎn)同時(shí)同方向跑步，經(jīng)過多少時(shí)間三人又同時(shí)從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)？

練習(xí)五

1、有一條長400米的環(huán)形跑道，甲、乙二人同時(shí)同地出發(fā)，反向而行，1分鐘

后第一次相遇；若二人同時(shí)同地出發(fā)，同向而行，則10分鐘后第一次相遇。已

知甲比乙快，求二人的速度。

2、一環(huán)形跑道長240米，甲、乙、丙從同一處同方向騎車而行，甲每秒行8米,

乙每秒行6米，丙每秒行5米。至少經(jīng)過幾分鐘，三人再次從原出發(fā)點(diǎn)同時(shí)出

發(fā)？

三、課后作業(yè)

1、兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是60,最小公倍數(shù)是720,其中一個(gè)數(shù)是180,另一個(gè)

數(shù)是多少？

2、已知兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是13,最小公倍數(shù)是78,求這兩個(gè)數(shù)的差。

3、五年級(jí)一班的同學(xué)每周一都要去看軍屬張爺爺，二班的同學(xué)每6天去看一次,

三班的同學(xué)每兩周去看一次。如果“六一”兒童節(jié)三個(gè)班的同學(xué)同一天去看張

爺爺，那么，再過多少天他們?nèi)齻€(gè)班的同學(xué)再次同一天去張爺爺家？

4、一個(gè)長方體長2.7米、寬1.8分米、高L5分米，要把它切成大小相等的正

方體小塊，不許有剩余，這些小正方體的棱長最多是多少分米？

5、甲、乙、丙三人在一條長240米的跑道上來回跑步，甲每秒跑4米，乙每秒

跑5米，丙每秒跑3米。若三人同時(shí)從一端出發(fā)，再經(jīng)過多少時(shí)間三人又從此

處同時(shí)出發(fā)？

第26講最小公倍數(shù)（一）

專題簡析：

幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)公倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。自然數(shù)

a、b的最小公倍數(shù)可以記作[a、b],當(dāng)（a、b）=1時(shí)，[a、b]=aXb。

兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)有著下列關(guān)系：

最大公約數(shù)X最小公倍數(shù)=兩數(shù)的乘積

即（a、b）X[a、b]=aXb

要解答求最小公倍數(shù)的問題，關(guān)鍵要根據(jù)題目中的已知條件，對(duì)問題作全面的分析，若要求的數(shù)對(duì)已知條

件來說，是處于被除數(shù)的地位，通過就是求最小公倍數(shù)，解題時(shí)要避免和最大公約數(shù)問題混淆。

例題1兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是15,最小公倍數(shù)是90,求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？

分析根據(jù)“兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積”可先求出這兩個(gè)數(shù)的乘積，

再把這個(gè)積分解成兩個(gè)數(shù)。根據(jù)題意：

15~~-aibi=90+l5=6=1X6=2X3

aibi

當(dāng)albl分別是1和6時(shí)，a、b分別為15X1=15,15X6=90；當(dāng)albl分別是2和3時(shí)，a、b分別為15X

2=20,15X3=45o所以，這兩個(gè)數(shù)是15和90或者30和45。

練習(xí)一

L兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是9,最小公倍數(shù)是90,求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？

2,兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是12,最小公倍數(shù)是60,求這兩個(gè)數(shù)的和是多少？

3,兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是60,最小公倍數(shù)是720,其中一個(gè)數(shù)是180,另一個(gè)數(shù)是多少？

【答案】1.90+9=10=1X10=2X5這兩個(gè)數(shù)分別為9義1=9和9X10=90或者9X2=18和9義5=45

2.604-12=5=1X5這兩個(gè)數(shù)分別是1X12=12和5X12=60,它們的和是12+60=72

3.1804-60=37204-3=240

例題2兩個(gè)自然數(shù)的積是360,最小公倍數(shù)是120,這兩個(gè)數(shù)各是多少？

分析我們把這兩個(gè)自然數(shù)稱為甲數(shù)和乙數(shù)。因?yàn)榧?、乙兩?shù)的積一定等于甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)與最

小公倍數(shù)的積。根據(jù)這一規(guī)律，我們可以求出這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是360+120=3。又因?yàn)椋?3=a,

乙+3=b）中，3XaXb=120,a和b一定是互質(zhì)數(shù)，所以，a和b可以是1和40,也可以是5和8。當(dāng)a

和b是1和40時(shí)，所求的數(shù)是3X1=3和3X40=120；當(dāng)a和b是5和8時(shí)，所求的數(shù)是3X5=15和3X

8=24o

練習(xí)二

1,求36和24的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。

2,已知兩個(gè)數(shù)的積是3072,最大公約數(shù)是16,求這兩個(gè)數(shù)。

3,已知兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是13,最小公倍數(shù)是78,求這兩個(gè)數(shù)的差。

【答案】1.36X24=864

2.最小公倍數(shù)為3072+16=1921924-16=12=1X12=2X6=3X4,這兩個(gè)數(shù)分別是1X16=16和12X16=192

或2X16=32和6X16=96或3X16=48和4X16=64

3.78+13=6=1X6=2X3,這兩個(gè)數(shù)分別是26和39或13和78,差是13或65

例題3甲、乙、丙三人是朋友，他們每隔不同天數(shù)到圖書館去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙

5天去一次。有一天，他們?nèi)饲『迷趫D書館相會(huì)，問至少再過多少天他們?nèi)擞衷趫D書館相會(huì)？

分析從第一次三人在圖書館相會(huì)到下一次再次相會(huì)，相隔的天數(shù)應(yīng)該是3、4、5的最小公倍數(shù)。因?yàn)?、

4、5的最小公倍數(shù)是60,所以至少再過60天他們?nèi)擞衷趫D書館相會(huì)。

練習(xí)三

1,1路、2路和5路車都從東站發(fā)車，1路車每隔10分鐘發(fā)一輛，2路車每隔15分鐘發(fā)一輛，而5路車

每隔20分鐘發(fā)一輛。當(dāng)這三種路線的車同時(shí)發(fā)車后，至少要過多少分鐘又這三種路線的車同時(shí)發(fā)車？

2,甲、乙、丙從同一起點(diǎn)出發(fā)沿同一方向在圓形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙

跑一圈用100秒。問：再過多少時(shí)間三人第二次同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)？

3,五年級(jí)一班的同學(xué)每周一都要去看軍屬張爺爺，二班的同學(xué)每6天去看一次，三班的同學(xué)每兩周去看

一次。如果“六一”兒童節(jié)三個(gè)班的同學(xué)同一天去看張爺爺，那么，再過多少天他們?nèi)齻€(gè)班的同學(xué)再次同

一天去張爺爺家？

【答案】1.最小公倍數(shù)60,至少要過60分鐘

2.(120,80,100)=12001200秒=20分鐘，至少再過20分鐘

3.再過42天

例題4一塊磚長20厘米，寬12厘米，厚6厘米。要堆成正方體至少需要這樣的磚頭多少塊？

分析把若干個(gè)長方體疊成正方體，它的棱長應(yīng)是長方體長、寬、高的公倍數(shù)?，F(xiàn)在要求長方體磚塊最少,

它的棱長應(yīng)是長方體長、寬、高的最小公倍數(shù)，求出正方體棱長后，再根據(jù)正方體與長方體體積之間的關(guān)

系就能求出長方體磚的塊數(shù)。

練習(xí)四

L用長9厘米、寬6厘米、高7厘米的長方體木塊疊成一個(gè)正方體，至少需要用這樣的長方體多少塊？

答案：解：9、6、7的最小公倍數(shù)是126

所以拼成的這個(gè)正方體的棱長最小是126厘米

(126+9)x(126+6)x(126+7)

=14x21x18

=5292(塊)

答：至少需要這樣的木塊5292塊.

2,有200塊長6厘米、寬4厘米、高3厘米的長方體木塊，要把這些木塊堆成一個(gè)盡可能大的正方體，

這個(gè)正方體的體積是多少立方厘米？

答案:解：6、4、3的最小公倍數(shù)是12,則大正方體的棱長是12厘米，長用12+6=2

塊，寬用12+4=3塊，高用12+3=4塊，此時(shí)最少需要用2x3x4=24塊，

當(dāng)大正方體的棱長是24厘米時(shí)，24+6=4塊，24+4=6塊，24+3=8塊；4x6x8=192

塊＜200塊，滿足條件，所以體積是：24x24x24=13824(立方厘米)，=13,824立

方分米.答：這個(gè)正方體的體積是13824立方分米.

3,一個(gè)長方體長2.7米、寬L8分米、高1.5分米，要把它切成大小相等的正方體小塊，不許有剩余，

這些小正方體的棱長最多是多少分米？

答案：解：2.7米=27分米，1.8米=18分米，1.5米=15分米，因?yàn)?7、18、15的最

大公因數(shù)是3,所以，小正方體的棱長最多是3分米.

例題5甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的環(huán)形跑道從同一地點(diǎn)同時(shí)同方向

跑步，經(jīng)過多少時(shí)間三人又同時(shí)從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)？

分析甲跑一圈需要600+3=200秒，乙跑一圈需要600+4=150秒，丙跑一圈需要600+2=300秒。要使

三人再次從出發(fā)點(diǎn)一齊出發(fā)，經(jīng)過的時(shí)間一定是200、150和300的最小公倍數(shù)。200、150和300的最小

公倍數(shù)是600,所以，經(jīng)過600秒后三人又同時(shí)從出發(fā)點(diǎn)出發(fā)。

練習(xí)五

1,有一條長400米的環(huán)形跑道，甲、乙