期末熱點(diǎn).重難點(diǎn)立體圖形的直觀圖

選擇題（共5小題）

1.（2025?秦皇島一模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

脩視國

A.44B.32C.10+6V17D.22+6V17

2.（2024秋?達(dá)州期末）如圖所示，梯形4夕。。是平面圖形42。。用斜二測畫法得到的直觀圖，A'D'=2B'C'

=2,A'B,^1,則平面圖形ABC。的面積為（）

3.（2024秋?上海校級期中）水平放置的△ABC的直觀圖如圖，其中3‘0'=0,C=2,A'0'=百,

C.三邊中只有兩邊相等的等腰三角形

D.三邊互不相等的三角形

4.（2024春?越秀區(qū)校級期末）一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖）.ZABC=45°,

AB=AD=1,DC±BC,則這個平面圖形的面積為（)

B.2+孝1V2

A.-+一C.-+—D.-+V2

44422

5.（2024春?惠陽區(qū)校級期中）如圖直角△OZE是某一平面圖形的直觀圖，斜邊09=2,則這個平面圖

A.—B.1C.V2D.2V2

2

多選題（共4小題）

（多選）6.（2025?福州模擬）如圖，四邊形A8CD的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形A8CO,已知Ab

)

B.四邊形ABC。的周長為4+2/+2百

C.A'D'=2V2

D.四邊形ABC。的面積為6位

（多選）7.（2024春?濟(jì)陽區(qū)校級期中）下列命題正確的是（）

A.已知q,e2是兩個不共線的向量，a=e1+2e2，b=2et-e2,貝！Ja與6可以作為平面向量的一組基

B.在△ABC中，b=\\,?=20,8=30°,則這樣的三角形有兩個

V6

C.已知△A8C是邊長為2的正三角形，其直觀圖的面積為二

4

D.已知a=（3,-4）,b=（k,3）,若a與a+2b的夾角為鈍角，則上的取值范圍為（—8,-

（多選）8.（2024春?祿勸縣校級期中）下列結(jié)論正確的是（）

A.在棱柱的所有面中，至少有兩個面互相平行

B.用斜二測畫法畫水平放置的邊長為1的正三角形，它的直觀圖的面積是匚

4

C.正方體48CD-4B1C1D1中，直線與B1C是異面直線

D.正方體ABCO-ALBICIDI中，M,N分別為BC,AB的中點(diǎn)，尸是線段A1D1（不含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，

過M,N,尸點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為六邊形

（多選）9.（2024秋?廣東月考）已知水平放置的正方形的邊長為2魚，利用斜二測畫法繪制該正方形在

水平平面內(nèi)的直觀圖四邊形A8CD,則（）

A.的最小值小于15°

B.的最大值小于90°

C.|AC|的最小值大于2

D.的最大值大于4

三.填空題（共3小題）

10.（2024秋?上海校級期末）如圖，一個水平放置的平面圖形0ABe的斜二測直觀圖是直角梯形O'A'B'C,

其中O'A'//B'C,ZO'A'B'=90°,0'A'=2B'C=4,A'B'=2,則平面圖形0ABe的面積

11.（2024秋?上海校級期末）若三棱錐尸-4BC的側(cè)棱長B4=P8=PC,則點(diǎn)尸在底面的射影。是AABC

的心.

12.（2024秋?浦東新區(qū)期末）如圖，若平行四邊形A'B1C1D1是用斜二測畫法畫出的水平放置的平面

圖形A3CZ）的直觀圖，已知A'B1=4cm,ZD1A1B1=45°,平行四邊形A'B'CD'的面積為

8cm2,則原平面圖形ABC。中A。的長度為.

13.（2024春?文安縣校級期中）已知長方體的長、寬、高分別是3aw,2cm,1.5cm,用斜二測畫法畫出它

的直觀圖.

14.(2024春?臨汾期中)一個豎直放置的幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是等邊三角形.

(1)根據(jù)三視圖，求其表面積和體積；

3

(2)若該容器內(nèi)盛有其體積一的水，當(dāng)該容器的一個側(cè)面水平放置時，求容器內(nèi)水面的高度.(容器壁

4

的厚度忽略不計(jì))

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

15.(2023春?涪城區(qū)校級月考)如圖是一個獎杯的三視圖，試根據(jù)獎杯的三視圖計(jì)算:

(1)求獎杯的體積；(尺寸如圖，單位：cm,n取3)

(2)求下部四棱臺的側(cè)面積.

期末熱點(diǎn).重難點(diǎn)立體圖形的直觀圖

參考答案與試題解析

一.選擇題（共5小題）

1.（2025?秦皇島一模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

6

俯視圖

A.44B.32C.10+6V17D.22+6V17

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【專題】數(shù)形結(jié)合；分割補(bǔ)形法；立體幾何.

【答案】D

【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是底面為矩形四棱錐，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的表面積.

【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是底面為矩形四棱錐；

且矩形的長為6,寬為2,四棱錐的高為4,如圖所示：

所以該四棱錐的表面積為

S=S矩形ABCQ+2S△必B+2S△尸5c

11______

=6X2+2x5x6xV42+l2+2x*x2xV42+32

=22+6717.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了利用空間幾何體的三視圖求表面積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

2.（2024秋?達(dá)州期末）如圖所示，梯形A8CO是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，AU=2BC

=2,則平面圖形ABC。的面積為（）

A.3V2B.2C.3D.2企

【考點(diǎn)】斜二測法畫直觀圖.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求出直觀圖梯形ABC。的面積，由直觀圖與原圖的關(guān)系分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，四邊形A'8'C。是梯形，其中AO=28C=2,=

其高B'Xsin45°=孝，

竽

九

X-

則其面積S'=(AzD'+B'2-

則平面圖形ABCD的面積S=2&S'=3；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查斜二測畫法，涉及平面圖形的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2024秋?上海校級期中）水平放置的△ABC的直觀圖如圖，其中B0'=0,C=2,A'0'=依,

B.等邊三角形

C.三邊中只有兩邊相等的等腰三角形

D.三邊互不相等的三角形

【考點(diǎn)】由斜二測直觀圖還原圖形；平面圖形的直觀圖.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】由圖形和40'=百通過直觀圖的畫法知在原圖形中三角形的底邊8c=8,C,AO±BC,且

AO=2V3,故三角形為等邊三角形，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，在原△ABC中，AO±BC,

因?yàn)?0'=V3,則4。=2V3,

因?yàn)?‘O'=O'C=2,貝!J3C=4,

而AO_L8C,AB=AC=4,故AB=AC=8C,即原△ABC是一個等邊三角形.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查平面圖形的直觀圖，注意斜二測畫法，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2024春?越秀區(qū)校級期末）一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖）.ZABC=45",

AB=AD=1,DCLBC,則這個平面圖形的面積為（）

1V21

C.-+—D.-+

422

【考點(diǎn)】平面圖形的直觀圖.

【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離.

【答案】B

【分析】先確定直觀圖中的線段長，再確定平面圖形中的線段長，即可求得圖形的面積.

【解答】解：在直觀圖中，?.?/ABC=45°,AB=AD=l,DCLBC

；.AD=1,BC=1+孝，

原來的平面圖形上底長為1,下底為1+孝，高為2,

1+1+—6

???平面圖形的面積為一Lx2=2+華.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查斜二測畫法，直觀圖與平面圖形的面積的比例關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

5.（2024春?惠陽區(qū)校級期中）如圖直角△OA9是某一平面圖形的直觀圖，斜邊08=2,則這個平面圖

形的面積是（）

▼，

y

A

/45。\

0/Br_

V2LL

A.—B.1C.V2D.2V2

2

【考點(diǎn)】斜二測法畫直觀圖；平面圖形的直觀圖.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，求出直觀圖的直角邊的邊長，進(jìn)而可得其面積，根據(jù)平面圖形的面積是

直觀圖的2或倍，計(jì)算得到結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)題意，比△ONE是一平面圖形的直觀圖，且斜邊。8=2,

則RtZ\OAb的直角邊長是魚,其面積S'=1xV2xV2=1；

則這個平面圖形的面積S=2&S'=2或.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查平面圖形的直觀圖，涉及直觀圖與平面圖形的面積之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

二.多選題（共4小題）

（多選）6.（2025?福州模擬）如圖，四邊形A2C￡）的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形已知AE

=4,CD'^2,則下列說法正確的是（）

A.AB=4

B.四邊形ABC。的周長為4+2企+2舊

C.ND'=2五

D.四邊形ABC。的面積為6企

【考點(diǎn)】平面圖形的直觀圖；斜二測法畫直觀圖.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；立體幾何；邏輯思維.

【答案】AD

【分析】根據(jù)斜二測畫法的直觀圖，判斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可.

【解答】解：根據(jù)斜二測畫法的直觀圖，知A8=Ab=4,選項(xiàng)A正確;

CD=CD'=2,AD=2A'D'=2V12+12=2魚，BC=J(2V2)2+22=2V3,

所以四邊形ABC。的周長為6+2應(yīng)+2遍，選項(xiàng)8錯誤；

A,D'=V2,選項(xiàng)C錯誤；

1

四邊形ABCD的面積為5X(2+4)X2V2=6V2,選項(xiàng)。正確.

【點(diǎn)評】本題考查了斜二測畫法的直觀圖應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

(多選)7.(2024春?濟(jì)陽區(qū)校級期中)下列命題正確的是()

A.已知e「e?是兩個不共線的向量，a=q+2e2，b=2er—e2,貝！Ja與6可以作為平面向量的一組基

￡

B.在△ABC中，b=\\,a=20,8=30°,則這樣的三角形有兩個

V6

C.已知AABC是邊長為2的正三角形，其直觀圖的面積為一

4

D.已知會=(3,-4),%=(k,3),若石與2+的夾角為鈍角，則上的取值范圍為(—8,-1)

【考點(diǎn)】平面圖形的直觀圖；平面向量的基本定理；正弦定理.

【專題】整體思想；綜合法；解三角形；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】ABC

【分析】利用基底的定義可判斷A;利用正弦定理可判斷8；利用原圖形面積與直觀圖面積的比值可判

斷C；利用向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求出2+2b,再根據(jù)夾角為鈍角，可得之?區(qū)+26)V0且之與(五+26)

不平行，求出左的范圍可判斷D

【解答】解：對于A,設(shè)房是兩個不共線的向量，3=[+2扇，b=2er-e2y

設(shè)a=kb,（%為常數(shù)），即馬+2G=2/cei—Zee2，則｛：[二：，故左不存在，

T—

則Q與力不平行，可作為平面向量的一組基底，A正確；

對于8,在△ABC中，Z?=ll,tz=20,3=30°,

abasinB10

因?yàn)?~.—可得sniA=-T—=77，

sinAsinB011

因?yàn)椤?gt;b,故A>3,這樣的三角形有兩個，故5正確；

對于C,邊長為2的正三角形的面積為乎x22=V3,

原圖面積：直觀圖面積=2a,

芯

故直觀圖的面積為下，。正確；

4

TTT7

對于。，a=（3,-4）,b=（k,3）,故a+2b=（2k+3,2）,

若石與3+2%的夾角為鈍角，

則展?G+2b）V0且:與（五+2b）不平行，

即6>1<0且3X2#-4（2A-+3）,

解得kV—當(dāng)且k4—故Z）錯誤.

64

故選：ABC.

【點(diǎn)評】本題主要考查了基底的定義，考查了利用正弦定理判斷三角形個數(shù)，以及平面圖形的直觀圖面

積，向量夾角問題，屬于中檔題.

（多選）8.（2024春?祿勸縣校級期中）下列結(jié)論正確的是（）

A.在棱柱的所有面中，至少有兩個面互相平行

B.用斜二測畫法畫水平放置的邊長為1的正三角形，它的直觀圖的面積是匚

4

C.正方體A8CQ-ALBICLDI中，直線BD1與B1C是異面直線

D.正方體A8CO-A181C1O1中，M,N分別為8c,45的中點(diǎn)，尸是線段4D（不含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，

過M,N,尸點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為六邊形

【考點(diǎn)】斜二測法畫直觀圖；平面的基本性質(zhì)及推論；異面直線的判定；命題的真假判斷與應(yīng)用；棱柱

的結(jié)構(gòu)特征.

【專題】對應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)棱柱的性質(zhì)即可判斷A,根據(jù)斜二測畫法的性質(zhì)即可求解2,由異面直線的定義即可判斷

C,根據(jù)平面基本性質(zhì)即可作出截面判斷D

【解答】解：對于A,由棱柱的性質(zhì)可知：棱柱的上下底面互相平行，故A正確，

對于8,根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則可知：直觀圖中，高4D'=xs譏45。=4x字，

1V2V3V6

所以直觀圖的面積是-x1x（JxJ）=故8錯誤，

24216

對于C,由于在正方體ABC。-AiBiCiOi中，直線8。與81c既不平行也不相交，所以是異面直線,

對于。，延長MN,D4相交于E,連接PE交A41于點(diǎn)凡同理延長MN,OC交于點(diǎn)H,

由于M,N是中點(diǎn)，所以MN〃AC,AC//AiCi^>AiCi//MN,

故在平面ALBCLDI中，作尸?！?C1交邊C1D于。連接。“交CC1于G,

因此六邊形MNEPQG即為所求截面六邊形，故。正確，

故選：ACD.

【點(diǎn)評】本題考查斜二測畫法相關(guān)知識，屬于中檔題.

（多選）9.（2024秋?廣東月考）已知水平放置的正方形的邊長為2/，利用斜二測畫法繪制該正方形在

水平平面內(nèi)的直觀圖四邊形A8CD,則（）

A.ZABD的最小值小于15°

B.NBOC的最大值小于90°

C.|AC|的最小值大于2

D.的最大值大于4

【考點(diǎn)】斜二測法畫直觀圖.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】AD

【分析】根據(jù)題意，由斜二測畫法的性質(zhì)，畫出直觀圖，然后對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【解答】解：正方形的一條邊與尤'軸重合時，由斜二測畫法的性質(zhì)，

另一條邊與<軸重合，如圖所示：

壇

DZL__

7CBx'

由于對稱性與旋轉(zhuǎn)可換性，圖中NACB與NBDC均等價(jià)為所求角，

由斜二測畫法圖形性質(zhì)知，AB=CD=V2,BC=AD=2近,ZCAB+ZACB=01=45°,

即NACB<15°,故NAB。的最小值小于15°,選項(xiàng)A正確；

過。作的垂線，易有。2=45°,

S.tand3=2彳二1=2V2-1>1=tan45°,

故03>45°,則N2DC>90°,NMC的最大值大于90°,選項(xiàng)2錯誤;

設(shè)圖形繞C點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)a,

則=(4cosa+yflsina,yjlsina),

即|C/1=J(4cosa+Vasina)2+(Vasina)2

=716cos2a+8y/2sinacosa+4sin2cr

=J10+2y/17sin(2a+(/?),

其中tan,=竽，則最小值為J10-2舊<2,

最大值為J10+2g>4,選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)。正確.

故選：AD.

【點(diǎn)評】本題考查了斜二測畫法應(yīng)用問題，是中檔題.

三.填空題（共3小題）

10.（2024秋?上海校級期末）如圖，一個水平放置的平面圖形048c的斜二測直觀圖是直角梯形0,A'B'C,

其中。川〃B'C,ZO'A'B'=90°,O'A=28'C'=4,A'B'=2,則平面圖形。ABC的面積為12A/2.

O'AX

【考點(diǎn)】平面圖形的直觀圖.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】12V2.

【分析】根據(jù)給定條件，求出O'C,再作出水平放置的原平面圖形作答.

【解答】解：在直角梯形。'A'B'C中，O'A'//B'C,O'A'=28'C=4,A'B'=2,

顯然〃°,C'=450,于是°'C'=^^=蔡=2日

直角梯形O'A'B'C'對應(yīng)的原平面圖形為如圖中直角梯形。ABC,

BC//OA,OCLOA,OA=2BC=4,OC=2O'C=4也

所以該平面圖形的高為4夜，

1

故平面圖形。42c的面積為：-x（2+4）X4V2=1272.

故答案為：12夜.

【點(diǎn)評】本題考查了直觀圖的畫法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

11.（2024秋?上海校級期末）若三棱錐P-ABC的側(cè)棱長PA=PB=PC,則點(diǎn)P在底面的射影OMAABC

的夕卜心.

【考點(diǎn)】平行投影及平行投影作圖法.

【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；演繹法；空間位置關(guān)系與距離.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)從一點(diǎn)出發(fā)的斜線段，如果斜線段長相等，那么它們的射影長也相等得到，點(diǎn)P在底面

的射影O到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，從而即可選出答案.

【解答】解：如圖，由題意得:

耿=PB=PC,

：.OA=OB=OC,

即0點(diǎn)是三角形ABC的外心,

【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的外心，三角形三條邊的垂直平分線的交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形外接

圓的圓心，即外心.外心到三頂點(diǎn)的距離相等.

12.（2024秋?浦東新區(qū)期末）如圖，若平行四邊形A'B'CD'是用斜二測畫法畫出的水平放置的平面

圖形ABC。的直觀圖，已知A'B'=4a”，AD'A'B'=45°,平行四邊形A'B'CD'的面積為

8c7/，則原平面圖形ABCD中AD的長度為4V2cm.

【考點(diǎn)】由斜二測直觀圖還原圖形.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解.

【答案】4V2cm.

【分析】根據(jù)題意，分析可得直觀圖中A'D'的長度，結(jié)合斜二測畫法分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，平行四邊形A'B'CD'中，A'B'=4cm,ZD'NB'=45。，其面積為

8cm,

/,

則有5=4B'XAD'XsinZD'AB'=8c%2,解可得人，D'=24夜cm,

在原圖中，ZDAB=90°,AD=2.A'D'=4?cm；

故答案為：4V2cm.

【點(diǎn)評】本題考查斜二測畫法的應(yīng)用，注意斜二測畫法中的長度關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題（共3小題）

13.(2024春?文安縣校級期中)已知長方體的長、寬、高分別是3c7九，2cm,1.5cm,用斜二測畫法畫出它

的直觀圖.

【考點(diǎn)】空間幾何體的直觀圖；斜二測法畫直觀圖.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象.

【答案】見解答.

【分析】畫棱柱的直觀圖，通常將其底面水平放置，利用斜二測畫法畫出底面，再畫出側(cè)棱，就可以得

到棱柱的直觀圖，長方體是一種特殊的棱柱，為畫圖簡便，可取經(jīng)過長方體的三條棱所在直線為x軸,

y軸，z軸.

【解答】解：(1)畫軸，如圖，畫無軸，y軸，z軸，三軸相交于點(diǎn)。(A),使/x°y=45°,ZxOz=

90°.

(2)畫底面，在x軸正半軸上取線段A2,使A2=3cm,在y軸正半軸上取線段AD使AO=lcm,

過點(diǎn)B作y軸的平行線，過點(diǎn)D作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)為C,

則長方形ABCD就是長方體的底面ABCD的直觀圖.

過2,C,。各點(diǎn)分別作z軸的平行線，在這些平行線上分別截取1.5a〃長的線段,CC,DD'.

(4)成圖，順次連接4,，夕，C',，工加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線),

就得到長方體的直觀圖.

【點(diǎn)評】本題考查空間幾何體的直觀圖的畫法，考查斜二測畫法的規(guī)則，是中檔題.

14.(2024春?臨汾期中)一個豎直放置的幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是等邊三角形.

(1)根據(jù)三視圖，求其表面積和體積；

3

(2)若該容器內(nèi)盛有其體積二的水，當(dāng)該容器的一個側(cè)面水平放置時，求容器內(nèi)水面的高度.(容器壁

4

的厚度忽略不計(jì))

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象；運(yùn)算求解.

【答案】(1)表面積24+2國，體積4百.

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