第09講勾股定理的逆定理與簡單應用

思維導圖

8析教材學知識

②知識點1勾股定理的逆定理

1.上節(jié)課我們學習了勾股定理，回顧一下勾股定理的內容。

直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

2.如果一個三角形的兩條邊的平方和等于第三步的平方，那么這個三角形是直角三角形嗎？

如圖，在AABC中a2+b2=c2,AABC是否為直角三角形？

是。作Rt三角形ABC,使得BC』a,AC=bA

：NA，CB=90。'

/.A'B^aHb2

,."AB2=a2+b2b

.?.AB』AB2

CB

，AB=AB

在AABC和▲A，B，C中

A'B'=AB

<B，C，=BC

A'C'=AC

，▲ABCg^ABC'(SSS

...zc=zc

AAABC是直角三角形

因此，如果三角形的三邊長分別為a、b、c,且a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形，這

個稱為勾股定理的逆定理。

3.根據(jù)三邊長度，判斷下面的三角形形狀。

（1）3,4,3；銳角三角形

（2）3,4,5；直角三角形

（3）3,4,6；鈍角三角形

（4）5,12,13.一直角三角形

銳角三角形：a2+b2>c2

直角三角形：a2+b2=c2

鈍角三角形：a2+b2〈c2

滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

4.根據(jù)勾股定理填寫表格。

a36912???3n

b481216???4〃

c5101520???5n

所以在求勾股定理的時候，還可以用比例解。

5.若AABC的兩邊長為3和4,則能使AABC為直角三角形的第三邊的平方是（C）

A,5；B.7；C.5或7；D.8.

②知識點2勾股定理的簡單應用

一株荷葉高出水面1米，一陣風吹來，荷葉被吹得貼著水面，這時它偏離原來的位置有3米遠，如圖所示,

求荷葉的高度和水面的深度.

解：設Q4=C?=x米，則OC=(x-l)米，BC=3米，在Rt^OBC中，由勾股定理得：OC-+BC-=OB2,

：.(X-1)2+32=X2,解得x=5,；.0A=5(米)，OC=x—1=4(米)，答：荷葉的高度為5米，水面的深度為4

米.

方法：解設x勾股定理。

m練習題講典例

解：(1)根據(jù)勾股數(shù)擴大相同的正整

教材習題01數(shù)倍仍是勾股數(shù),得到兩組勾股數(shù)為

法國數(shù)學家費爾馬早在17世紀就研究過形如

(6,8,10),(9,12,15).

V+y2=z2的關系式，顯然，滿足這個關系式的％y，z

故答案為：6,8,10；9,12,15.

有無數(shù)組.當x,y,z都為正整數(shù)時，我們把這樣的三個(2)證明：/+,2=(2〃『+(〃2_］『

數(shù)x,y,z叫做勾股數(shù)，如，3,4,5就是一組勾股數(shù).

=4H2+n4-2n2+1

(1)請你再寫出兩組勾股數(shù)：_；

=+2/+1

(2)古希臘的哲學家柏拉圖曾指出：如果〃表示大

=(H2+1)2

于1的整數(shù)，x=2n,y=n2-l,z=n2+l,那么，尤,％2

2

為勾股數(shù)，請你加以證明.=z

即無，y，z為勾股數(shù).

解：「AT（是AABC的中線，BC=14

教材習題02

;.BD=；BC=7

如圖，AD是VABC的中線，

AD=24,AB=25,BC=14,求AC.BD2+AD2=72+242=625,

AAB2=252=625

A

BD1+AD1=AB-

是直角三角形，且

ZADB=90°

垂直平分3C

BDC

.-.AC=AB=25.

教材習題03解：設竹子折斷處離地面有無尺，

《九章算術》中記“今有竹高一丈，末折抵地，去本由題意得：ZC=90°,3c=4,

四尺.問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一AC+AB=10,AC=x,

丈，蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好著地,AB=10—x,

著地處離原竹子根部4尺遠.問：竹子折斷處離地面則：X2+42=(10-X)2,

有幾尺？（1丈=10尺）

解得：x=4.2.

答：竹子折斷處離地面有4.2尺.

.?.4000x15=60000（元）

答：最節(jié)約鋪設水管的費用為60000

元.

解：在RtaACD中，CD=4,

教材習題05

圍墻內一棵大樹被風吹歪后斜靠在旁邊的圍墻上，然后在圍AD=3,

22

墻的頂部被折斷，樹梢著地（如圖），已知圍墻高CD=4m,AC=AD-+CD=32+42=25,

樹的根部到圍墻的距離AD=3m,樹梢著地點到圍墻的距離AC=5(m).

BD=Sm,CDLAB.求大樹折斷前的高度.在RtABCD中，C￡>=4,BD=8,

BC-=BD2+CD2=82+42=80,

BC=4V5(m).

AC+BC=5+4y/5(m)

因此，大樹折斷前的高度為

(5+4V5)m

8練考點強知識

考點一、勾股數(shù)

1.下列幾組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.1,2,3B.5,12,13C.0.3,0.4,0.5D.1,近

【答案】B

【分析】本題考查了勾股數(shù)，熟知勾股數(shù)是滿足勾股定理的一組正整數(shù)是解題的關鍵.根據(jù)勾股數(shù)的定義

解答即可.

【詳解】解：A,12+22^3\錯誤，不是勾股數(shù)，不符合題意；

B、52+122=132,正確，是勾股數(shù)，符合題意；

C、不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，錯誤，不符合題意；

D、也不是正整數(shù)，錯誤，不是勾股數(shù)，不符合題意

故選：B.

2.勾股數(shù)，①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請你寫出

有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：.

【答案】11,60,61

【分析】本題考查了勾股數(shù)，解題的關鍵是根據(jù)所給的勾股數(shù)找出規(guī)律，按照規(guī)律進行解答.根據(jù)所給的

幾組勾股數(shù)可找出規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律即可求出第⑤組勾股數(shù).

【詳解】解：??,①3=2xl+l,4=2xlx(l+l),5=2xlx(l+l)+l,

②5=2x2+l,12=2x2x(2+l),13=2x2x(2+l)+l,

③7=2x3+l,24=2x3x(3+l),25=2x3x(3+l)+l,

二第⑤組勾股數(shù)：2x5+1=11,2x5x(5+l)=60,2x5x(5+l)+l=61,

故答案為：11,60,61.

3.數(shù)學興趣小組開展探究活動，研究“勾股數(shù)”.指導老師首先提出一個猜想：如果〃表示大于1的整數(shù)，

則2w,/-I,+1為勾股數(shù).例如：當〃=2時，2〃=4,"2—1=3,M2+1=5.

32+42=52,

.?.數(shù)據(jù)3,4,5是勾股數(shù).

對于此規(guī)律，興趣小組的成員進行了如下證明：

"：n>\,

+1—2〃=(〃-1)>0,

①一2".(填""或“<”)

?/?2+1-(?2-1)=2>0,

??"2+1>”2-1.

???(n2-l)2+(24二②一二③一，(/+4=④」

(I—1)+(2/)2=(〃2+1),

2"一I,”“為勾股數(shù).

(1)請補全橫線上所缺的內容.

(2)若數(shù)據(jù)8,a,6為勾股數(shù)，且a<6,求a,6的值.

【答案】(1)①〉；②"4-2/+1+4,/；③4+2"+1；④/+2/+1.

(2)a=15,6=17或。=6,6=10.

【分析】本題考查了勾股數(shù)及其應用.

(1)根據(jù)解題過程，結合上下文即可完成；

(2)分三種情況：2〃=8；?2-1=8;"+1=8,分別求出“，由(1)中結論即可求出余下兩個數(shù).

【詳解】(1)解：

+1—2M=(n—1)->0,

+1>2〃.

?/n2+l-(n2-l)=2>0,

?■rr+\>rr-\-

'：(n2-1)2+(2/?)2=H4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1,(w2+1)2=n4+2n2+1,

(n2-l)2+(2??)2=(/72+l)2,

/.+i為勾股數(shù).

①〉；②]-2"2+l+4〃2；③〃4+2//+1；④〃4+2/+1.

(2)解：分三種情況：

①若2/7=8,貝U〃=4,

n2-l=15,;j2+l=17,

a=15,/?=17；

②若〃2_I=8,貝!j〃=3,

2九=6,九2+1=10,

a=6,b=10；

③若1+1=8,貝卜=近不是有理數(shù)，故舍去.

綜上所述，。=15,8=17或a=6,fo=10.

考點二、構成直角三角形

1.已知。，b,。是VABC的三條邊，則下列條件能判定VABC為直角三角形的是()

A.a:b:c=l:2:3B.(a+b^~+(a—=2c2

C.ZA:ZB:ZC=2:3:4D.ZA=ZB=2ZC

【答案】B

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的內角和定理，熟練應用勾股定理逆定理是解題的

關鍵.

根據(jù)勾股定理的逆定理以及三角形內角和定理逐項分析判斷即可解答.

【詳解】解：A.由a:6:c=l:2:3,設。=左,6=2匕c=3左，則左z+4左左？，即。能判定VABC

不是直角三角形，不合題意；

B.由(4+6)2+(4-6)2=202可得/+》2=c2,能判定VABC是直角三角形，符合題意；

C.由NA:NB:NC=2:3:4可得/A=40。，ZB=60°,/C=80。，不能判定VABC是直角三角形，不合題意；

D.由/4=々=2/?？傻?4=72。，ZB=72°,ZC=36°,不能判定VABC是直角三角形，不合題意.

故選：B.

2.已知三角形三邊長分別為1,3,回,則這個三角形的面積為.

3

【答案】-/1-5

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的面積，能求出三角形是直角三角形是解此題的關鍵.

根據(jù)勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根據(jù)直角三角形的面積公式求出面積即可.

【詳解】解：：F+32=io,(Ji6『=io,

/.12+32=(A/10)2,

...以1,3,V10,為三角形三邊的三角形是直角三角形，

13

.?.這個三角形的面積為彳xlx3=彳，

22

3

故答案為：—.

3.閱讀下列內容：

設a,6,c是一個三角形的三條邊的長，且。是最長邊，我們可以利用b,c三邊長間的關系來判斷這

個三角形的形狀：①若片=〃+02,則該三角形是直角三角形；②若/>從+02,則該三角形是鈍角三角

形；③若片<62+02,則該三角形是銳角三角形.例如：若一個三角形的三邊長分別是4,5,6,則最長

邊是6,由于6?=36<4?+5?,由結論③可知該三角形是銳角三角形.請解答以下問題：

(1)若一個三角形的三邊長分別是6,7,8,則該三角形是________三角形(填“銳角”、“直角”或“鈍角”)；

(2)若一個三角形的三邊長分別是5,12,x,且這個三角形是直角三角形，則x的值為.

【答案】(1)銳角；

⑵13或而？

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，解決本題的關鍵是根據(jù)閱讀材料中提供的思路進行判斷即可.

⑴根據(jù)題意，三角形的三邊長分別是6,7,8,其中最長邊是8,計算出8?和6z+72的大小，從而可以判

斷三角形的形狀；

(2)當x是最長邊時，可得方程爐=52+122,解方程求出x即可，當12是最長邊時，可得方程122=52+/,

解方程求出x即可.

【詳解】(1)解：三角形的三邊長分別是6,7,8,其中最長邊是8,

?.?82<62+72,

???該三角形是銳角三角形，

故答案為：銳角；

(2)解：?.?三角形的三邊長分別是5,12,x,且這個三角形是直角三角形，

當x是最長邊時，

可得：X2=52+122,

解得：x=13,

當12是最長邊時，

可得：122=52+X2,

解得：x=J119,

故答案為：13或標.

考點三、計算三角形、四邊形的面積

1.為增長學生自然科學知識，培養(yǎng)學生的勞動技能與責任感，學校分給各班級一塊地，讓學生學習種菜.八

年級三班分得一塊三角形菜地，測得三角形菜地的三邊長分別為2.5m,6m,6.5m,則三角形菜地的面積

是()

A.7.5m2B.8.125m2C.15m2D.19.5m2

【答案】A

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，解題的關鍵是熟練掌握，如果一個三角形的三條邊6、c

滿足/+>2=02,那么這個三角形為直角三角形.先根據(jù)勾股定理的逆定理證明三角形菜地為直角三角形，

然后根據(jù)三角形面積公式進行求解即可.

【詳解】解：：2.52+62=42.25=6.52，

三角形菜地為直角三角形，

???三角形菜地的面積為；x6x2.5=7.5(n?).

故選：A.

2.如圖，凸四邊形ABCD的四邊AB,BC,CO和DA的長分別是3,4,12和13,ABC=90°,則四邊

形ABCD的面積5=.

【答案】36

【分析】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，連接AC,在直角AABC中，根據(jù)勾股定理可以求得

AC=5,在AACD中，BJ^AC2+CD2=AD2,根據(jù)勾股定理的逆定理確定AAOC為直角三角形，四邊形

ABCD的面積為AACD和AABC面積之和.

【詳解】解：連接AC,

D

在直角AABC中，AB=3,BC=4,

AC=y/AB2+BC2=5-

又,:AC2+CD2=52+122=169=132=AD2，,AACD為直角三角形，

RW5C的面積為:x3x4=6,RsACD的面積為:x5xl2=30,

四邊形ABCD的面積為AACD和44BC面積之和，即5=30+6=36.

故答案為：36.

3.如圖，四邊形ABCD中，2B90?,AB=4,BC=3,CD=13,AD=12,求四邊形ABCD的面積.

【答案】36

【分析】本題考查勾股定理及其逆定理,熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵.先利用勾股定理在

Rt/SA5c中求出AC,再結合CD=13,AD=12,判定AAS是直角三角形，且NG4￡>=90。，再利用

S四邊形ABC￡)=^Z\ABC+^AACD即可求解.

【詳解】解：如圖，連接AC,

B°-^C

V?B90?,AB=4,BC=3,

AC=JAB?+BC2=,不+3?=5，

VCD=13,AD=12,

/.AC2+m=25+144=169=CD2，

...△ACD是直角三角形，且NC4D=90。，

S四邊形MCO=+S-CO=548,BC+gAC，AD=5*4*3+萬*5><12=36.

考點四、勾股定理的應用——梯子滑落問題

1.一架長5m的梯子，如圖那樣斜靠在一面墻上，梯子的底端離墻1.4m,如果梯子的頂端下滑0.8m,那么

他的底部滑行了()

h\\

A.0.8mB.ImC.1.2mD.1.6m

【答案】D

【分析】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵；由題意易得AB=4.8m,設它的底部滑

行了疝!，則有3E=(1.4+x)m,然后根據(jù)勾股定理可建立方程進行求解.

；?AB=^AC2-BC-=4.8m，

**?BD=AB—AD=4m,

設它的底部滑行了的，則有3E=(L4+x)m,

42+(1.4+X)2=52,

解得：x=1.6；

故選D.

2.如圖，滑桿在機械槽內運動，/ACB為直角，已知滑桿A3長25m,頂端A在AC上運動，量得滑桿底

端B距點C的距離為15m,當?shù)锥薆向右移動5m達點D,頂端A到達點E時，求滑桿頂端A下滑米.

【答案】5

【分析】本題考查勾股定理的應用，根據(jù)勾股定理求得AC、CE,進而求得AE即可求解.

【詳解】解：由題意，在中，AB=25m,BC=15m,

/.AC2=AB2-BC2=252-152=400，

/.AC=20（m）；

在RtzXECZ）中，DE=25m,CD=BC+BD=20m,

：.CE2=DE2-CD2=252-202=225,

/.CE=15m,

AE=AC-CE=20-15=5（m）,

故滑桿頂端A下滑5米，

故答案為：5.

3.如圖，一根長為25m的梯子A3斜靠在垂直于地面的墻上,這時梯子的底端8點離墻根E點的距離為7m,

如果梯子的底端向外（遠離墻根方向）移動8m到。點處，試求梯子的頂端將沿墻向下移動的距離AC為多

【答案】4m

【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，根據(jù)題意可得BE=7m,AB=CD=25m,BD=8m,

ZE=90°,由勾股定理求出AE,CE的長，即可求解.

【詳解】解：由題意得，BE=1m,AB=CD=25m,BD=8m,ZE=90°,

/.DE=BE+BD=15m,

在Rt^AEB中，由勾股定理得.=^AB2-BE2=V252-72=24m，

在RtACED中，由勾股定理得CE=^CEr-DE1=7252-152=20m-

:.AC=AE-CE=4m,

答：梯子的頂端將沿墻向下移動的距離AC為4m.

考點五、勾股定理的應用——旗桿高度問題

1.如圖，學校需要測量升旗桿的高度.同學們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出了一段，但這

條繩子的長度未知.經(jīng)測量，繩子多出的部分長度為2m,將繩子沿地面拉直，繩子底端距離旗桿底端6m,

A.10mB.9mC.8mD.7m

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理的應用，設旗桿的高度為疝!，則AC=(x+2)m,在中，由勾股

定理得出方程求解即可.

【詳解】解：設旗桿的高度為由，則AC=(x+2)m,

由題意可知BC-6m,

在Rt^ABC中，由勾股定理得，

AB2+BC2=AC2,

即無2+62=(X+2)2,

解得x=8,

即旗桿的高度為8m,

故選：C.

2.如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面5m處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，旗桿折斷之

前的高度是.

【答案】18m

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關鍵.

根據(jù)勾股定理求出A3的長，再加上BC的長度即可求解.

【詳解】解：由題意得：AC=12m,BC=5m,

在RtZXABC中，根據(jù)勾股定理得：AB=VAC2+BC2=V122+52=13(m),

二旗桿折斷之前的高度是BC+AB=5+13=18(m),

故答案為：18m.

3.八年級11班松松同學學習了“勾股定理”之后，為了測量如圖的風箏的高度CE,測得如下數(shù)據(jù):

①測得3。的長度為8米：(注：BDLCE)

②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長為17米；

③牽線放風箏的松松身高L6米.

(1)求風箏的高度CE.

(2)若松松同學想風箏沿CD方向下降9米，則他應該往回收線多少米？

【答案】⑴16.6米

⑵7米

【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟悉勾股定理，能從實際問題中抽象出勾股定理是解題的關鍵;

(1)利用勾股定理求出CO的長，再加上DE的長度，即可求出CE的高度；

(2)根據(jù)勾股定理即可得到結論：

【詳解】(1)解：在RtZXCftB中，

由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=172-82=225

所以，CD=15(負值舍去)，

所以，CE=CD+DE=15+1.6=16.6(米)，

答：風箏的高度CE為16.6米；

(2)如圖：由題意得，CN=9米，。0=6米，

BM2=DM2+BD1=82+62=100,

BM=10米，

:.BC-BM=1（米），

.?.他應該往回收線7米.

考點六、勾股定理的應用——方向問題

1.如圖所示為雷達圖，規(guī)定：1個單位長度代表100m,以點。為圓心，過數(shù)軸上的每一刻度點畫同心圓，

并將同心圓平均分成十二等分.一艘海洋科考船在點。處用雷達發(fā)現(xiàn)A,B兩處魚群，那么A,B兩處魚群

的距離是（）

A.5mB.100mC.500mD.300m

【答案】C

【分析】本題考查的知識點是勾股定理的應用，解題關鍵是熟練掌握勾股定理.根據(jù)題意得出/AO3=90。

及。1、后即可根據(jù)勾股定理求解.

【詳解】解：如圖，連接AB,數(shù)軸交點為0,

由題意得，同心圓平均分成十二等分，則每三等分即為360。+12*3=90。,

.?.ZAOB=90°,

又1個單位長度代表100m,

二.OA=300m,OB=400m,

「?根據(jù)勾股定理可得，

，及AAOB中，AB=y/o^+OB2=500m.

故選：C.

2.如圖，已知一貨輪以30海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一集裝箱船以40海里/時的速

度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距海里.

【答案】100

【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.根據(jù)勾股定理進行計算

即可.

【詳解】解：設輪船向東北航行到8,向東南方向航行到C,

由題意得，45=30x2=60海里，

AC=40*2=80海里，

BC=y]AB2+AC2=100-

故答案為：100.

3.釣魚島及其附屬島嶼是中國的固有領土，我國對釣魚島的巡航已經(jīng)常態(tài)化.如圖，甲、乙兩艘海警船同

時從位于南北方向的海岸線上某港口產(chǎn)出發(fā)，各自沿一固定方向對釣魚島巡航，若甲船每小時航行6海里，

乙船每小時航行8海里.

(1)若甲乙兩船離開港口一小時后分別位于Q、R處(圖1),且相距10海里，如果知道甲船沿北偏東72。方

向航行，你知道乙船沿哪個方向航行嗎？請說明理由.

(2)若甲船沿北偏東60。方向航行(圖2),從港口P離開經(jīng)過兩個小時后位于點C處，此時船上有名乘客需

要以最快的速度回到海岸線上，若他從C處出發(fā)，乘坐的快艇的速度是每小時45海里，他能在14分鐘

內回到海岸線嗎？請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：石句.7）

【答案】（1）乙船沿南偏東18。方向航行，理由見解析

（2）他能在14分鐘內到海岸線，理由見解析

【分析】此題考查勾股定理的應用，關鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理得出APQR是直角三角形進行解答.

（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得出APQR是直角三角形，進而解答即可；

（2）作CD1AS于。,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質和勾股定理求得8的長，進一步計算得出答案.

【詳解】（1）解：由題意可得：入針。=70。，PQ=6xl=6（海里），

PR=8xl=8（海里），

在APQR中，

,/PQ2+PR2=62+82=100,Q7?2=102=100,

/.PQ2+PR2=QR2,

是直角三角形，且/。m=90。，

NBPR=180。一ZAPQ-ZQRP=180°-72°-90°=18°,

乙船沿南偏東18。方向航行；

（2）過點C作于。，

。乙----7c

p/

B

由題知NCPD=60。，則/C=30。，PC=2x6=12（海里），

尸。=」尸。=6海里，

2

CD=A/122-62=6A/3~10.2（海里），

14

45X—=10.5（海里），

60

10.5>10,2,

他能在14分鐘內到海岸線.

考點七、勾股定理的應用——《九章算術》問題

1.《九章算術》中有這樣一個問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？意思是：

一根竹子原高一丈（1丈=10尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，間折斷處離地面幾尺？設折

斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）

B.X2-102=（6+X）2

C.32=102-X2D.X2=(10+X)2

【答案】A

【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，設折斷處離地面的高度為無尺，根據(jù)勾股定理列出方程即

可.

【詳解】解：設折斷處離地面的高度為尤尺，

由題意得，%2+32=(10-X)2,

故選：A.

2.如圖，《九章算術》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡.問索長幾

何.譯文：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部

分有三尺(繩索比木柱長3尺)，牽著繩索退行，在距木柱底部8尺(8C=8)處時而繩索用盡.則木柱長

【答案】苧/91

66

【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，解題關鍵是熟練運用勾股定理解題.設木柱長為無尺，則繩索

長為(x+3),然后根據(jù)勾股定理列式求解即可.

【詳解】解：設木柱長為x尺，根據(jù)題意得：

AB2+BC2=AC2,

則尤2+82=(尤+3)2,

解得：X=苧，

6

答：木柱長為芋尺.

0

故答案為：--.

0

3.我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有這樣一個問題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，

適與岸齊.問水深、葭長各幾何.(1丈=10尺)，大意是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，

在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池

邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？

將這個實際問題轉化為數(shù)學問題，根據(jù)題意畫出圖形(如圖所示)，其中水面寬AB=10尺，線段CD,CB表

示蘆葦，CDLAB于點E.

C

(1)圖中OE=尺，EB=尺；

(2)求水池中水的深度.

【答案】(1)1,5

(2)水深為12尺

【分析】本題考查了勾股定理的應用等知識.

(1)根據(jù)題意即可求解；

(2)設水深x尺，則蘆葦CD=BC=(x+l)尺，在RtVECB中，根據(jù)勾股定理列方程5?+/=(工+1)2,解方

程即可求解.

【詳解】(1)解：由題意可得：DE=1尺,BE=^AB=5K.

故答案為：1,5；

(2)解：設水深尤尺，

則蘆葦CD=3C=(x+l)尺，

在RtVECB中，52+x2=(x+l)\

解得：x—12,

答：水深為12尺.

考點八、勾股定理的逆定理求解

1.如圖，在VA3C中，AC=15,BC=25,點。在邊BC上，且AD13C,AD=12.

A

(1)求A3的長；

(2)判斷VABC的形狀，并說明理由.

【答案】(1)20

(2)VABC是直角三角形，理由見解析

【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正確理解定理是關鍵.

(1)在直角"DC中利用勾股定理得CD=9,進而求得即=16,在中，勾股定理即可求解.

(2)利用勾股定理的逆定理即可判斷.

【詳解】(1)解：?.?ACBC,

.?.△ADC是直角三角形，ZADC=ZADB=90°.

DC=y/AC2-AD2=A/152-122=9-

BD=BC-CD=25-9=16

在Rt^ABD中，AB=^AIJr+BEr=7122+162=20

(2)VABC是直角三角形，理由如下：

VAB=20,AC=15,BC=25

■,-152+202=252,

.?.△ABC是直角三角形，/B4c是直角.

2.如圖，在VA3C中，NC=90。，AC=8,BC=6,DE是的邊AB上的高，且43=5,BD=50

求DE的長.

【答案】竽

2

【分析】本題考查了勾股定理，勾股逆定理，先由勾股定理算出入=以。2+笈2=10,再結合

AD2+BD2^AB2,則/ADB=90。，故△ABD的面積=gABME=；AD4。，然后代入數(shù)值計算，即可作

答.

【詳解】解：???NC=90。，AC=8,BC=6,

AB=A/AC2+BC2=>/82+62=10，

22

AD+BD=5?+1⑹°=100=AB2,

.?.△ABO是直角三角形，ZADB=90°,

.△ABD的面積=[AB?OE=[AD?8D,

22

“ADBD5x57356

AB102

3.定義：在VABC中，若5c=a,AC=b,AB=c,且a,b,c滿足的+/二〃，則稱這個三角形為“類勾

股三角形”.

請根據(jù)以上定義解決下列問題：

圖1圖2

⑴如圖1,若等腰三角形ABC是“類勾股三角形"，AB=BC,AOAB,求NC的度數(shù).

(2)如圖2,在VABC中，ZB=2ZA,S.ZACB>ZA,。是AB上的點，連接C，滿足AT>=CE>,過點C作

CEJ.AB,垂足為E.求證：VA3C為“類勾股三角形”.

【答案】(1)45。

(2)見解析

【分析】本題考查了等腰三角形的判定及性質，勾股定理等知識點，熟悉掌握各性質是解題的關鍵.

(1)設BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)類勾股三角形的特征ac+a2=〃，把a=c代入運算求解即可.

(2)設BC=a,AC=b,AB=c,利用角的等量代換證出N3=NCD8,得到CD=CB=a,利用等腰三角

形的性質得到DE=BE=R,再利用勾股定理列式求解即可.

【詳解】(1)解：設BC=a,AC=b,AB=c,

；VABC是“類勾股三角形”，

?■etc+ci~=b~,

AB=BC,

：.a=c,

c2+a2=b2>

.IB90?,

.VABC是等腰直角三角形,

.ZC=45°；

(2)證明：設BC=a,AC=b,AB=c,

AD=CD,

：.ZA=ZDCA,

：.ZCDB=ZA+ZDCA=2ZA,

又?.?NB=2NA,

ZB=ZCDB,

CD=CB=a,

AD=CD=a,

?：CE_LAB,

c—n

.?.DE=BE=——，

在RtzXAEC中，AE=AD+DE=a+C^a-=C^,由勾股定理得CE?=4^-AE?=6一(”

222

2222

在RtACED中，由勾股定理得CE=CD-DE=a

??b~=ci~+etc?

VABC為“類勾股三角形”.

考點九、最短問題

1.綜合與實踐

【主題】自制環(huán)保筆筒

【素材】如1圖，一個直徑為8cm,高14cm的紙筒卷，一張長30cm,寬20cm的包裝紙，一張邊長為10cm

的小正方形紙板，一根裝飾繩子，一把剪刀，一瓶固體膠.

出

紙筒卷包裝紙紙板繩子剪刀固體膠

【實踐操作】

步驟1：在包裝紙上用剪刀裁剪出一張剛好能與紙筒卷外表面緊密貼合的紙;

步驟2：用固體膠把包裝紙緊密地貼在紙筒卷外表面；

步驟3：用固體膠把裝飾用的繩子粘在紙筒外面；

步驟4：用固體膠把小正方形紙板粘在紙筒卷的底部，得到一個形如2圖所示的環(huán)保筆筒.

(1)求出步驟1中裁剪出的包裝紙的面積；(結果保留兀)

(2)如3圖，如果想要繩子纏繞筆筒2圈，正好從A點繞到正上方的5點，求所需繩子的最短長度.(結果保

【答案】⑴11271cm2

(2)2,647?+49cm

【分析】本題主要考查了圓柱的側面展開圖、勾股定理及兩點之間，線段最短，熟練掌握勾股定理是解題

的關鍵.

(1)根據(jù)圓柱側面展開圖為長方形即可求解；

(2)畫出側面展開圖，根據(jù)勾股定理及兩點之間，線段最短即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示為筆筒卷的側面展開圖

A,------------------------------1。

B'-----------------------'C

由題意得：裁剪出的包裝紙的面積等于圓柱形的側面積S惻=8兀*14=112兀(0112)

，裁剪出的包裝紙的面積為112兀cm2

(2)解：如圖所示，作點B關于點C的對稱點尸，連結A尸交CO于點E,連結BE,由題意可知點E是CO

的中點，AE=BE,此時3E+AE最短，即繩子纏繞筆筒2圈，所需繩子的長度最短，

BC=-F

...繞2圈所需繩子的最短長度為而cm

2.唐代詩人李欣《古從軍行》里有這樣一句詩“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.由此引申出一系列有

趣的數(shù)學問題，后來人們通常稱之為“將軍飲馬”問題.

圖1圖2圖3圖4

【經(jīng)典再現(xiàn)】如圖1,詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河旁邊的點尸飲馬后再到點5宿

營.請問怎樣走才能使總的路程最短？

某課題組在探究這一問題時把這一情境抽象出數(shù)學模型：直線/同旁有兩個定點A,8,在直線/上存在點P,

使得B4+PB的值最小.

解法如下：如圖2,作點8關于直線/的對稱點？，連接AQ,則A9與直線/的交點即為P,且B4+PB的

最小值為AB'的長.

【數(shù)學思考】學習了三角形之后，我們發(fā)現(xiàn)有很多問題都可用類似的方法去思考解決.

任務一:如圖3,在等邊三角形A3c中，是BC邊上的高，E為A3的中點，P為AD上一動點，若AB=8VL

求△P3E周長的最小值；

任務二：如圖4,在VA3C中，AB^AC=5,AD是中線，點E是AB上一動點，尸為AD上一動點，若VABC

的面積等于6,則尸3+PE的最小值為.

12

【答案】任務一：12+46；任務二：—

【分析】任務一：連接CE,則CE的長度即為PE+網(wǎng)的最小值，再加上BE的長即可求得△P3E周長的最

小值；

12

任務二：作CE工AS于E,交AD于點尸，由VA8C的面積等于6,求得CE=^,由等腰三角形的性質得

PB=PC,由點到直線的距離垂線段最短知：P3+PE的最小值為CE,即可求解.

【詳解】解：任務一：如圖5,連接CE,與AD交于點P,此時尸E+M最小，

圖5

:.PC=PB,

：.PE+PB=PC+PE=CE,即CE就是PE+PB的最小值,

AB=873,E為A3的中點，VABC是等邊三角形，

BE=45/3,CE.LAB,BC=AB=8B

:.CE=YBC2-BE2=12'

.?aPBE周長的最小值為：BE+PE+PB=12+4y/3;

任務二：作CE1工AB于E,交AD于點P,如圖6,

圖6

:.-ABCE=6,

2

??,AD是中線，AB^AC,

AD是8c邊上的高線，即AD垂直平分BC,

:.PB=PC,

:.EP+PC=EP+BP=CE=—,

5

12

???夫5+尸￡的最小值為了，

,12

故答案為：—.

【點睛】本題考查了軸對稱一最短問題，等腰三角形的性質，點到直線的距離垂線段最短，勾股定理，熟

練掌握以上知識點是解答本題的關鍵.

3.【模型建立】

“數(shù)形結合”和“建模思想”是數(shù)學中的兩個很重要的思想方法，先閱讀以下材料，然后解答后面的問題.

例：求代數(shù)式心+31+J(12-蛾+22的最小值.

分析：4r百和712-無『+2?是勾股定理的形式,正方是直角邊分別是尤和3的直角三角形的斜邊，

J(12-X『+22是直角邊分別是12-x和2的直角三角形的斜邊,因此，我們構造兩個直角VABC和

并使直角邊2C和跖在同一直線上(圖1),向右平移直角AABC使點2和￡重合(圖2),這時

CF=x+n-x=n,AC=3,=2,問題就變成“點8在線段CP的何處時，A8+OB最短？”根據(jù)兩點間

線段最短，得到線段就是它們的最小值.

(1)代數(shù)式42+32+912-力2+22的最小值為_；

⑵變式訓練：利用圖3,求代數(shù)式J尤2+4+，(5一元)2+1的最小值;

【模型拓展】

(3)已知正數(shù)x滿足，36-(+&4—32=10,求x的值.

【答案】(1)13；(2)734：(3)4.8

【知識點】用勾股定理構造圖形解決問題

【分析】本題主要考查勾股定理的應用，關鍵是根據(jù)題意的數(shù)形結合思想進行求解問題.

(1)根據(jù)題目所給的方法直接建立模型進行求解即可；

(2)根據(jù)題目所給的方法建立直角三角形然后進行求解即可；

(3)先建立模型，然后根據(jù)題意直接進行求解即可.

【詳解】(1)AH=3+2=5,HD=12,

AD=6+儂=13,

Vx2+32+7(12-X)2+22的最小值是13,

故答案為13；

(2)如圖，

AH=2+1=3,HD=5,

AD=V32+52=V34>

y/x2+4+7(5-X)2+1的最小值是;

(3)構造AASGCD_LBC于O,AC=6,BC=S,如圖所示:

c

設CD=X,則AD=，36—x2,BD=q64-爐，

:.AB=V36-x2+A/64-X2=10，

?.?62+82=102,

:.ZACB=90°,

—x6x8=—xlOxx,

22

."=4.8,

**?方程的解是x=4.8.

串知識識框架

知識導圖記憶

過關測穩(wěn)提升

1.下列幾組數(shù)中，能構成直角三角形三邊的是（）

A.1,2,2B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，解決本題的關鍵是根據(jù)一組數(shù)中的三個數(shù)是否滿足片+/='2,若

能則能構成直角三角形三邊，否則不能構成直角三角形三邊.

【詳解】解：A選項：?.?『+22=5/于，2,2不能構成直角三角形三邊，故A選項不符合題意；

B選項：-.-22+32=13^42,:.2,3,4不能構成直角三角形三邊，故B選項不符合題意；

C選項：?.?32+42=25=52,.13,4,5能構成直角三角形三邊，故C選項符合題意；

D選項：；42+52=41/62,,4,5.6不能構成直角三角形三邊，故D選項不符合題意.

故選：C.

2.下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（）

A.7,12,13B.3,3,4C.0.3,0.4,0.5D.9,12,15

【答案】D

【分析】本題考查了勾股數(shù)，如果三個正整數(shù)滿足/+f=c2,那么這三個正整數(shù)就是勾股數(shù)，解決本題的

關鍵是根據(jù)勾股數(shù)的定義進行判斷.

【詳解】解：A,v72+122^132,

；.7,12,13不是勾股數(shù)，故該選項不符合題意；

B,-.-32+32^42,

??.3,3,4不是勾股數(shù)，故該選項不符合題意；

C