廣西南寧市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)Z滿足zi=i-1,則復(fù)數(shù)Z的虛部為（）

A.1B.-1C.iD.-i

2.如圖，直角梯形ABC。中，ABlAD,AB//CD,AB=6,CD=2,AD=2y/2,則直角梯形

ABC。的直觀圖A'3'CZ）'的面積為（）

A.2B.2拒C.4D.4忘

3.已知直線/，相，〃與平面團(tuán)力，下列命題正確的是（）

A.若alIB，lua,nu0,貝1"http://〃B.若mua,nu0,mlId汨la,則。//6

C.若/_L〃,m_L〃，貝〃根D.若機(jī)_La,〃//a,則機(jī)_L〃

4.在平行四邊形A3C￡＞中，M為BC的中點(diǎn)，AN=^AM,則CN=（）

1-3131115

A.——AB——ADB.——AB——ADC.——AB——ADD.——AB——AD

24446226

5.若一個(gè)圓臺(tái)的兩個(gè)底面半徑分別為1和2,側(cè)面積為3缶，則它的體積為（）

7兀571

A.37iB.—C.—D.771

33

6.平面向量。，。滿足|a|=2,1|=3,卜+6卜4,則8在a方向上的投影向量為（）

A.叵aB.-aC.-aD.巫a

12488

7.在VABC中，a,b,c分別是角A,2,C的對(duì)邊，P：bcosB=ccosC,（1■.|AB+AC|=|BC|,

則P是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不

充分也不必要條件

TT—

8.在VABC中，〃是BC上靠近點(diǎn)8的四等分點(diǎn)，若乙4=7,ABC的面積為名，則

6

AM.(AB+AC)的最小值為()

A.10B.11C.12D.13

二、多選題

9.設(shè)z”Zz，Z3為復(fù)數(shù)，440,則下列命題正確的是()

若閡=闖,貝!|z?=±Z3

A.B.若Z/2=ZjZ3,則Z2=Z3

C.若4*2互為共輾復(fù)數(shù)，貝b也為實(shí)數(shù)D.若i為虛數(shù)單位，見(jiàn)為正整數(shù)，則產(chǎn)+3=i

10.下列計(jì)算或化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是()

2tancrcoscr

A.；---------=2

sina

.1riCOST

B.右sina?cosa=—,貝'tanaH--------=2

2sina

_#1fl2sina」

C.右tana=—,則----------=1

2cosa-sina

-j,cosasmar-

D.若。為第一象限角，則0

A/1+COS2aA/1-COS2a

11.棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A旦GA中，石為棱CG的中點(diǎn)，尸為正方形3CG耳內(nèi)一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)(包括邊界)，且A尸//平面則下列結(jié)論正確的是()

A.動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡的長(zhǎng)度為血

B.|AF|的最小值為平

4

C.三棱錐4-eq尸體積的最小值為］

D.當(dāng)三棱錐4-CCZ體積取最小值時(shí)，其外接球的表面積為147t

三、填空題

12.設(shè)向量〃2=(a,l),n=(a+2,-3),且加_L〃，則。=.

13.如圖，點(diǎn)P,Q分別是正方體ABC。-A瓦G2的面對(duì)角線A2，8。的中點(diǎn)，則異面直

線尸。和8G所成的角為.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

14.已知正四面體的棱長(zhǎng)為。，球。|與正四面體六條棱相切，球。2與正四面體四個(gè)面相切,

%

則兩個(gè)球的體積比昔=

四、解答題

15.已知q,e?都為單位向量，且q,?的夾角為60°,完成如下問(wèn)題:

(1)若a=-2昌+3a，b-ex-2e2,求a);

(2)若次=《+2，”=24一《，求向量相，”的夾角。的大小.

16.在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且6sinB-asinA=(c-a)sinC.

⑴求&

⑵若。為AC邊的中點(diǎn)，BD=3,ac=6,求江

17.如圖，在正方體中，S是8Q的中點(diǎn)，瓦EG分別是BC、DC、SC的中點(diǎn).

(1)求證：平面EFG//平面DBBR；

(2)若正方體棱長(zhǎng)為1,過(guò)4、E、G三點(diǎn)作正方體的截面，畫(huà)出截面與正方體的交線(不必

說(shuō)明畫(huà)法與理由，但要說(shuō)明點(diǎn)在棱的位置)，并求出截面的面積.

18.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，尸底面ABCD,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，

PD=CD,F,G分別是RB,AZ)的中點(diǎn).

p

⑵求證：，右1.平面「261；

(3)求GA與平面尸GB所成角的正弦值.

19.當(dāng)VABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，在VABC內(nèi)，使得/AMB=/3MC=/CM4=120。

的點(diǎn)M為VABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”；當(dāng)VABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為

VABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”.已知VA3C中，角A,民C的對(duì)邊分別為a,b,c,acosC+島sinC-b-c=0,

a=2,點(diǎn)尸是VABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”.

⑴求角A；

(2)若PA-PB+PB-PC+PC-PA=-1,求VABC的周長(zhǎng);

(3)若AC_LBC,|翻+|PBk&PC|,求實(shí)數(shù)C的值.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《廣西南寧市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案ACDABCBCBCABD

題號(hào)11

答案ABD

1.A

【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,再根據(jù)復(fù)數(shù)虛部的定義即可得解.

【詳解】由zi=i—1,得z=匕L"5=l+i，

ii

所以復(fù)數(shù)z的虛部為1.

故選：A.

2.C

【分析】根據(jù)斜二測(cè)法確定直觀圖A9CD的形狀及相關(guān)線段長(zhǎng)，即可求面積.

【詳解】由題意，直觀圖AB'C'D為梯形，其高//=1AD-sin45o=l,

2

C,D,=CD=2,A,B,=AB=6,

所以直觀圖A'B'CD'的面積為S=1h(C'D'+A'B')--xlx(2+6)=4.

22

故選：C

3.D

【分析】根據(jù)各項(xiàng)線面關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)及空間想象判斷各項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】A：由a///?,/ua,則/〃力，又〃u/?,故/，〃平行或異面，錯(cuò)；

B：巖mua,nudmlId汨la,易知a,6平行或相交都有可能,錯(cuò)；

C：在空間中易知/，力平行、相交、異面均有可能，錯(cuò);

D：由”//a,則〃可沿某個(gè)平面平移至平面a內(nèi)，

又根」夕,則"?垂直于平面a內(nèi)任意直線，易得相_L〃，對(duì).

故選：D

4.A

【分析】利用向量的線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行分解即可.

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

CN=CM+MN=--AD--AM=--AD--\AB+-AD\=--AB--AD

222212^24

故選：A.

5.B

【分析】由側(cè)面積求得母線長(zhǎng)，再求出圓臺(tái)的高，然后由體積公式計(jì)算.

【詳解】記母線長(zhǎng)為/,高為防

由側(cè)面積為5=無(wú)(1+2)/=3"1,/=&,則高為九=J(夜)2_(2-1)2=],

177r

所以體積為V=A(F+lx2+22)xl=7，

故選：B.

6.C

【分析】由題設(shè)條件，利用向量的模長(zhǎng)公式求得再利用6在。方向上的投影向量的公

_^\b\cos(b,a)a-b

式———-一-a=--a即可求得.

1?11?|2

【詳解】由卜+6卜J(a+6)2=+2°山+|6『=?3+2a-b=4可得=：,

3

而分在。方向上的投影向量為glcos血a〉刁3

CI-Ct-Ct-Ct

|a||a|248

故選：C.

7.B

【分析】利用正弦定理將邊化角，即可得到P：VA2C為等腰三角形或?yàn)橐訟為直角的直角

7T

三角形，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到A=],即4：VA5C為以A為直角的直角三角形，再根

據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】P：bcosB=ccosC,由正弦定理可得sinBcosjB=sinCcosC,則sin28=sin2C,

又仇小(0,乃,所以2氏2。?0,2兀),則2B=2C或23+2C=冗,

TTTT

所以8=(7或8+。=—,則8=(7或4=巴，

22

即7ABe為等腰三角形或?yàn)橐訟為直角的直角三角形；

q：|AB+AC|=|BC|,貝u|AB+AC卜,乙一4耳,所以+=卜0一48/，

目umuunuum1012umumuumUUBI2

AB2+2ABAC+AC=AB2-2ABAC+AC，

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

TT

所以=即A2_LAC，所以4=萬(wàn)，所以VABC為以A為直角的直角三角形，

所以。推不出4,即充分性不成立，由4推得出P,故必要性成立.

故選：B

8.C

31

【分析1根據(jù)向量線性運(yùn)算法則得AM^^AB+-AC,根據(jù)三角形面積公式化簡(jiǎn)得秘=4石,

結(jié)合基本不等式，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求解最值即可.

【詳解】

如圖，*/AM=AB+BM=AB+-BC=AB+-（AC-AB）

44

=1AB+-AC,AM-（AB+AC）=\-AB+-Ac}fAB-^AC

44U4J

3-21-2

=-AB+ABAC+-AC,設(shè)在VA5C中，AB,C所對(duì)的邊為a,b,c,

44

因?yàn)锳=F，VABC的面積為6，所以!bcsinF=6,即6c=46，

626

3.21.2

所以AM?（A3+AC）=—A5+ABAC+-AC=

44

-c2+c-b-cosA+-b2=-c2+-b2+6>2.-c2--b2+6=12,

4444\44

（當(dāng)且僅當(dāng)。2=302時(shí)取“=”）.

故選：C

9.BC

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)乘法、共輾復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的乘方等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確

定正確答案.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，取Z2=l,Z3=i,滿足上|=閭，但是Z2=±Z3不成立，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)Z[Z2=Z]Z3時(shí)，有Z]（Z2-Z3）=O,又Z|RO,所以Z2=Z3，故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，Z]=。+歷*2=。一歷互為共軌復(fù)數(shù)，貝1]（。+歷）（。-歷）=/+",

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

即ZZz為實(shí)數(shù)，故C項(xiàng)正確;

對(duì)于D項(xiàng)，i4-3=i3=_i，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

10.ABD

【分析】直接通過(guò)“切化弦”的思想即可判斷AB；通過(guò)對(duì)分式齊次式化簡(jiǎn)可判斷C；通過(guò)二

倍角余弦公式化簡(jiǎn)可判斷D.

sina

【詳解】對(duì)于A,2tanacosa2c08axeosa故A正確;

sinasina

對(duì)于B,因?yàn)閟ina?cosa=—,

2

匚cosers.inacosasi.n7a+cos2a十.

所以tana+i——=----+———=-------------=2,故B正確;

sinacosasinasinacosa

對(duì)于C,因?yàn)閠ana=」，

2

2sina2taner1_

----------=-------=-----2

所以cose-sina1-taner11，故C錯(cuò)誤；

i—

2

對(duì)于D,因?yàn)閍為第一象限角，所以sinc>0,cosa>0,

cosa+sintrcosasma

所以=6,故D正確;

Jl+cos2aJl-cos2a&cosaVasina

故選：ABD.

11.ABD

【分析】取5綜4G的中點(diǎn)M，N,連接ME,MN,BC],AN,AM,可得MN為尸的軌跡，求

解可判斷A；歹為MN的中點(diǎn)時(shí)，AF_LMN,求解可判斷B；〃_?：/，可得

尸在點(diǎn)N處，體積最小，求解可判斷C；外接球的球心在過(guò)NC中點(diǎn)K且與平面CGN垂直

的直線上，求得外接球的表面積可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,取的中點(diǎn)M,N,連接ME,MN,3G，AN,AM,

所以MN//BG，又易證BCJ/AQ,所以MN//A2,

又平面A，U平面A￡)]E,所以"N//平面AZ^E,

又因?yàn)镋為棱CG的中點(diǎn)，所以EG//M4，EC、=MB、,

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

所以四邊形EC4M是平行四邊形，所以耳G〃陞，BG=ME,

又4G〃A2，BG=AR,所以A〃//ME,A,D1=ME,

所以四邊形ERAM是平行四邊形，所以

又&W它平面ARE,REu平面4RE,所以&1///平面ARE,

又&W\MN=M,AM,MNu平面A〃N,所以平面4亞亞〃平面AQE,

又尸為正方形BCG片內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且4尸//平面A2E,

所以跖V為歹的軌跡，又MN=①，所以動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡的長(zhǎng)度為也，故A正確;

對(duì)于B,又易得4"=4雙=而1=6,所以尸為"N的中點(diǎn)時(shí)，貼工MN,

此時(shí)AF=U=哼，所以IA典的最小值為半，故B正確；

對(duì)于C,V^.CC1F=1SCC,F-AB,=1x1xCC,xx,其中d為歹到CG的距離,

所以d最小時(shí)，最小，顯然歹在點(diǎn)N處時(shí)，d最小,

112

=JX2X2X1X2=3,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)镃C]N是直角三角形，所以外接球的球心在過(guò)NC中點(diǎn)K且與平面CGN垂直的直線上,

設(shè)外接球的球心為0,由0A=°G，可得OK2+EC；+g[=[2—g[+（2—OK）2+12,

2

2一gj+（2-OK）2+l23

所以O(shè)Q+1+1解得OK=],

=恒，所以外接球的表面積為14兀，故D正確》

解得。4二

42

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

故選：ABD.

12.-3或1

【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)值.

【詳解】由題設(shè)?(。+2,-3)=儲(chǔ)+2。一3=(a+3)(a-1)=0,

所以a=-3或a=1.

故答案為：-3或1

13.-

3

【分析】把兩條異面直線通過(guò)平行移動(dòng)，移動(dòng)成相交直線，找相交直線所成的角即可.

【詳解】因?yàn)椤Ｊ?0的中點(diǎn)，所以連接AC交80于點(diǎn)Q,連接

因?yàn)槭?，。分別是AR,AC的中點(diǎn)，所以尸Q〃RC,

在正方體ABCD-ABCIR中，因?yàn)锳DJ/BC],PQUD^C,

所以NARC即為異面直線PQ和BC,所成的角,

因?yàn)锳RC為等邊三角形，所以/A，C=1TT.

故答案為：—■

14.373

【分析】將四面體補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱切球即正方體的內(nèi)切球，求出正方體的棱長(zhǎng)，

即可得球。I的半徑R1,由題意得球。2的球心到正四面體的各個(gè)面的距離都相等，且為半徑

由等體積法即可求出&,利用球的體積公式即可求解.

【詳解】將四面體補(bǔ)成正方體，則四面體的棱長(zhǎng)全是該正方體的面對(duì)角線，

球。I與正四面體六條棱相切，則球01為正方體的內(nèi)切球，且切點(diǎn)為面對(duì)角線的中點(diǎn),

答案第6頁(yè)，共12頁(yè)

正四面體的棱長(zhǎng)為。，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x,則2=sin45=顯,

a2

則％=a，

2

故正方體內(nèi)切球的半徑K=亨。，

正四面體的棱長(zhǎng)為“，

設(shè)底面三角形的高為d,則4=$吊60=走,

a2

即d=^-a，

2

底面三角形的面積S=L〃?走〃=走〃2

224

2

頂點(diǎn)在底面的投影位為底面三角形高的|■處,

設(shè)正四面體的高為工

由勾股定理得％=2Vdy=卜母療=痔,

則正四面體的體積為v=Ls-，Sa=L3/

3334312

球。2與正四面體四個(gè)面相切,

則球心到正四面體的各個(gè)面的距離都相等，且為半徑&,

則正四面體的體積為V=」S表里=-x4-—a2-R,=—a2-R,,

3*34”3”

則由等體積法得丫=3。2?舄=克/,

3212

可得R,=1°,

-12

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

故答案為：3\/3.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于正四面體的棱切球，可以轉(zhuǎn)化為正方體的內(nèi)切球，方便理解與運(yùn)

算.

9

15.（1）--;

⑵*

【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的定義以及運(yùn)算律求解;

（2）利用平面向量數(shù)量積的定義以及運(yùn)算律求夾角.

【詳解】(1)由題意，q-e?=|eiM|cos60=lxlxg=；,

_.79

以a,b=(-Ze[+3?)(q—26)——.e?-——2+——6———.

13

(2)由題意，加,加=(6+02)(2?1-七)=+4=2+耳_]=i,

+e2)=yje；+2q+e.=6，|n|=J(2q—e2)=J4e：-4q?%+e；=6，

3

所以cose__3_i

c°s”一砸廠用6-2

因?yàn)椤(O,7i),所以。=；.

71

16.(I-]

⑵6=2卡.

【分析】（1）利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解.

（2）由（1）的結(jié)論，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合（1）中信息求解.

【詳解】（1）在VABC中，由6sinB-asinA=（c-a）sinC及正弦定理，^b2-a2=c2-ae,

即a2+c2-b2=ac，

〃24「2_序

,得COSB=2=L,而8W(0,2,

由余弦定理cosB=--------------

2ac2ac2

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

所以2=全

(2)由。是AC中點(diǎn)，^BD=^(BA+BC),

則IBDl2=-(BA+BC)2=-(c2+a2+2accosB),

44

BP9=—(a"+c"+2x6x-),解得a2+c2=30,

由(1)得，a2+c2-b2^ac,則》2=3()_6=24,所以b=2

17.(1)證明見(jiàn)解析

(2)作圖見(jiàn)解析，截面面積逅

2

【分析】(1)根據(jù)中位線得到線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理得線面平行，再根據(jù)面面

平行的判定定理可得面面平行.

(2)取A2的中點(diǎn)“，連G"A"，AE，GE,可證四邊形AEGH為平行四邊形，從而可得

C/,AH,AE，GE就是交線，求出AE和AE上的高，可得截面面積.

【詳解】(1)連S3,如圖：

因?yàn)椤?、P分別是8C、。。的中點(diǎn)，所以EF〃BD,

因?yàn)闅v平面。3瓦2，9匚平面^^用，，所以EF〃平面DBBQi；

因?yàn)镋、G分別是BC、SC的中點(diǎn)，所以EG〃S3,

因?yàn)镋G<Z平面OB4R,SBu平面。所以EG//平面。8耳口；

因?yàn)?。EG=E,且EFu平面E/G,EGu平面EFG,

所以平面EFGH平面DBBR.

(2)取AA的中點(diǎn)“，連G"AH,AE，GE，

因?yàn)锳G與HE交于正方體的中心，且互相平分，所以四邊形AEG"為平行四邊形,

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

則CHAH,AE,CXE就是截面與正方體的交線,

過(guò)C作AE的延長(zhǎng)線的垂線CM,垂足為連GM，

因?yàn)镚C_L平面A3CD,EA/u面ABCO,所以6。，敏，

因?yàn)镃GQCM=C且都在面GCM內(nèi)，所以平面,

又C|Mu面GCM,所以

CCH,CM=CE-sinZCEM=CE-sinNAEB=-x—=ix-J=正

所以2AE2FT5，

所以GM=JCC；+CM?=Jl+1=等，

所以截面面積為AExGM-「工x5=直.

V452

18.(1)證明見(jiàn)解析；

⑵證明見(jiàn)解析；

⑶坐.

3

【分析】(1)若E為尸C的中點(diǎn)，連接。瓦斯，先證EFG。為平行四邊形，即有陽(yáng)〃￡0,

再應(yīng)用線面平行的判定定理證明結(jié)論；

(2)根據(jù)已知有尸G,尸C、FG1PB,再應(yīng)用線面垂直的判定定理證明結(jié)論；

(3)應(yīng)用等體積法求棱錐A-P3G的高，結(jié)合線面角的定義及已知求線面角的正弦值即可.

【詳解】(1)若E為尸C的中點(diǎn)，連接所，又尸，G分別是尸民AP的中點(diǎn)，

所以成/ABC且跖=；BC,而底面ABC。是正方形，則。G//BC且DG=gBC,

所以EFV/DG,EF=DG,故EFGD為平行四邊形，^FGHED,

由bGo平面PCD,EDu平面尸CD,則尸G//平面PCD；

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p

(2)由(1)及PD=CD,則OELPC,而FG//ED,故FGL尸C,

由尸D_L底面ABC。，DGu底面ABCD,則PD_LDG,

所以PGNPD^+DG。="TT=5

由底面ABC。是正方形，則BG=JAB2+AG2=67T=6,

所以PG=3G,F是尸3的中點(diǎn)，則PGLPB,

由PCPB=P且都在面平面P2C內(nèi)，故9G_L平面尸BC；

(3)由PD_L底面ABCD,828(=底面458,則尸￡>_L3￡>,PD1CD,

又BD=PC=2近,PD=2,FG=DE=；PC=C,

所以尸3=,3D2+尸￡>2=而二=2』，則Sme=g<FG-PB=B,

令棱錐A-P3G的高為h,又VA_PBG=VP_ABG,

貝i]"/i=Lpr).S,?r=-x2x-xlx2=-,所以//=逅，

33ABG3233

又AG=1,故GA與平面PG3所成角的正弦值為士=如.

AG3

兀

19.(1)A=-；

(2)2+710；

(3)6.

【分析】(1)利用正弦邊角關(guān)系、三角恒等變換、三角形內(nèi)角的性質(zhì)化簡(jiǎn)條件，即可得；

(2)