第11練分式方程

(一)分式方程

1.分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

2.分式方程的一般方法

解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。

它的一般解法是：

(1)去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母

(2)解所得的整式方程

(3)驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應該舍去；若不等于零，就是原方程的根。

3.分式方程的特殊解法

換元法：換元法是中學數(shù)學中的一個重要的數(shù)學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式,

一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法。

(二)列方程(組)解應用題常見類型題及其等量關系；

1.工程問題

(1)基本工作量的關系：工作量=工作效率x工作時間

(2)常見的等量關系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作總量

(3)注意：工程問題常把總工程看作“1”，水池注水問題屬于工程問題

2.行程問題

(1)基本量之間的關系：路程=速度x時間

(2)常見等量關系：

相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及問題(設甲速度快)：

同時不同地：甲的時間=乙的時間；甲走的路程-乙走的路程=原來甲、乙相距路程

同地不同時：甲的時間=乙的時間-時間差；甲的路程=乙的路程

3.水中航行問題：

順流速度=船在靜水中的速度+水流速度；

逆流速度=船在靜水中的速度-水流速度

4.增長率問題：

常見等量關系：增長后的量=原來的量+增長的量；增長的量=原來的量x（1+增長率）；

5.數(shù)字問題：

基本量之間的關系：三位數(shù)=個位上的數(shù)+十位上的數(shù)X10+百位上的數(shù)xlOO

（三）列方程解應用題的常用方法

1、譯式法：就是將題目中的關鍵性語言或數(shù)量及各數(shù)量間的關系譯成代數(shù)式，然后根據(jù)代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)

系找出等量關系。

2、線示法：就是用同■直線上的線段表示應用題中的數(shù)量關系，然后根據(jù)線段長度的內(nèi)在聯(lián)系，找出等量

關系。

3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從而找出各種量之間的關系。

4、圖示法：就是利用圖表示題中的數(shù)量關系，它可以使量與量之間的關系更為直觀，這種方法能幫助我們

更好地理解題意。

番［基礎過關練

1.已知方程：

ol—9Y%x2c22

①——=0；②一+——=1③X+—-=2+--；

x2x2x-2x-2

這四個方程中，分式方程的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

2.某工程甲單獨做需1天完成，如果乙單獨做要比甲多3天.若甲乙合作5天后，余下的由甲獨做3天也

能完成該工程，那么根據(jù)題意可列出方程（）

?85-851

xx+3x+3x

=/I1'13n851

C.5-+------=1+-D.-------+-=1

（Xx+3Jxx-3x

3.若關于x的方程Y=a無解，則。的值為（）

X+1

A.1B.-1C.0D.±1

4.若關于x的方程2+二彳=告有增根，則a的值是（）.

x-3x-3

A.3B.—3C.9D.—9

5.若關于x的分式方程T3的解為正實數(shù)，則實數(shù)機的取值范圍是（

x—22—x

A.m<3且機w1B.m<3且根w2C.m<3D."z<6且w2

Yk

6.己知關于無的分式方程上;-4=二的解為負數(shù)，則4的取值范圍是（

%—33-x

A.后-12且#-3B.k>-UC.%<-12且厚-3D.k<-\2

A.x=-2B.x=0D.無解

-4a

8.如果關于1的不等式組"-11%+1至少有3個整數(shù)解，且關于y的分式方程--+--=1的解是

丁+1>亍>-22-y

非負數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)〃的和是（）

A.20B.18C.16D.14

9.方程f上---L4=o的根是

x—2x—2

10.開學在即，由于新冠疫情學校決定共用6000元分兩次購進口罩2200個免費發(fā)放給學生.若兩次購買

口罩的費用相同，且第一次購買口罩的單價是第二次購買口罩單價的1.2倍，則第二次購買口罩的單價是

元.

11.用換元法解分式方程上7-1+3=0時，如果設」=y,將原方程化為關于y的整式方程，那么這

x-13xx

個整式方程是.

12.若關于X的分式方程上方=沁有增根，則實數(shù)的值是—.

x-33-x

能力提升練

13.解方程:

c、2x+2%+2x—2

⑵下一h七

14.小明去離家3000米的奧體中心看某明星演唱會，到奧體中心后，發(fā)現(xiàn)演唱會門票忘帶了，此時離演唱

會開始還有30分鐘，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一輛“共享單車”原路趕回奧體中心，已知小明騎

車的時間比跑步的時間少用了5分鐘，且騎車的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍.

（1）求小明跑步的平均速度；

(2)如果小明在家取票和尋找“共享單車”共用了4分鐘，他能否在演唱會開始前趕到奧體中心？說明理由.

15.某縣為了落實中央的“強基惠民工程”，計劃將某村的居民自來水管道進行改造.該工程若由甲隊單獨施

工恰好在規(guī)定時間內(nèi)完成；若乙隊單獨施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的3倍.如果由甲、乙隊先

合做15天，那么余下的工程由甲隊單獨完成還需10天.

⑴這項工程的規(guī)定時間是多少天？

(2)已知甲隊每天的施工費用為6500元，乙隊每天的施工費用為3500元.為了縮短工期以減少對居民用水

的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊合做來完成.則該工程施工費用是多少？

16.截至2021年，高速公路已經(jīng)貫通云南16個州市，云南省正全力推進縣域高速公路“能通全通”“互聯(lián)互

通”工程建設.已知甲、乙兩地之間國道全長為500km,經(jīng)過改修高速公路后，長度減少了100km,高速

公路通車后，一輛長途汽車在高速公路上行駛的平均速度比在國道上行駛的平均速度快30km/h,從甲地

到乙地，由高速公路所需時間是由國道所需時間的一半.求該長途汽車在國道上行駛的平均速度.

墟」______

等［拓展練

17.已知，關于尤的分式方程1式-N=l.

2x4-3x-5

(1)當。=2,〃=1時，求分式方程的解；

(2)當。=1時，求b為何值時分式方程-竺=1無解；

(3)若a=3＞，且a、》為正整數(shù)，當分式方程彳-—二=1的解為整數(shù)時，求b的值.

2x+3X—J

5/19

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第11練分式方程

域.___

妻［積累運用

(一)分式方程

1.分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

2.分式方程的一般方法

解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。

它的一般解法是：

(1)去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母

(2)解所得的整式方程

(3)驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應該舍去；若不等于零，就是原方程的根。

3.分式方程的特殊解法

換元法：換元法是中學數(shù)學中的一個重要的數(shù)學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式,

一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法。

(二)列方程(組)解應用題常見類型題及其等量關系；

1.工程問題

(1)基本工作量的關系：工作量=工作效率x工作時間

(2)常見的等量關系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作總量

(3)注意：工程問題常把總工程看作“1”，水池注水問題屬于工程問題

2.行程問題

(1)基本量之間的關系：路程=速度x時間

(2)常見等量關系：

相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及問題(設甲速度快)：

同時不同地：甲的時間=乙的時間；甲走的路程-乙走的路程=原來甲、乙相距路程

同地不同時：甲的時間=乙的時間-時間差；甲的路程=乙的路程

3.水中航行問題：

順流速度=船在靜水中的速度+水流速度；

逆流速度=船在靜水中的速度-水流速度

4.增長率問題：

7/19

常見等量關系：增長后的量=原來的量+增長的量；增長的量=原來的量X（1+增長率）；

5.數(shù)字問題：

基本量之間的關系：三位數(shù)=個位上的數(shù)+十位上的數(shù)X10+百位上的數(shù)xlOO

（三）列方程解應用題的常用方法

1、譯式法：就是將題目中的關鍵性語言或數(shù)量及各數(shù)量間的關系譯成代數(shù)式，然后根據(jù)代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)

系找出等量關系。

2、線示法：就是用同一直線上的線段表示應用題中的數(shù)量關系，然后根據(jù)線段長度的內(nèi)在聯(lián)系，找出等量

關系。

3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從而找出各種量之間的關系。

4、圖示法：就是利用圖表示題中的數(shù)量關系，它可以使量與量之間的關系更為直觀，這種方法能幫助我們

更好地理解題意。

墟」______

瞽［基礎過關練

1.已知方程：

①匕字=0;②2+二=1③x+V=2+2

xx2x—2x—2

這四個方程中，分式方程的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】根據(jù)定義可知，①②③為分式方程，故選：B.

2.某工程甲單獨做需x天完成，如果乙單獨做要比甲多3天.若甲乙合作5天后，余下的由甲獨做3天也

能完成該工程，那么根據(jù)題意可列出方程（）

,8585,

xx+3x+3x

=1、?3「851

C.5-+------=1+-D.-------+-=1

x+3Jxx-3x

【答案】A

【解析】解：??.某工程甲單獨做需x天完成，如果乙單獨做要比甲多3天

為甲每天能完成的工作量，一二為乙每天能完成的工作量，5（-+-1-3

?）即甲乙合作5天的工作量，一為

xx+3xx+3X

QC

甲獨做3天的工作量，化簡為：-+^-=1.故選：A.

xx+3

3.若關于x的方程Y=a無解，貝U〃的值為（）

X+1

A.1B.-1C.0D.±：1

8/19

【答案】D

【解析】解：Y=a,

化簡得：龍==，

1一〃

當分式方程有增根時，

x=-l代入得〃=—1,

當分母為。時，a=l,

〃的值為-1或1,

故選：D.

4.若關于x的方程2+—、=—有增根，則a的值是（）.

x—3x—3

A.3B.—3C.9D.—9

【答案】A

【解析】解：原方程兩邊同乘以（廠3）得

2（%—3）+〃=%,

??,方程有增根，

???增根為《x=3,

將x=3代入得，〃=3,

故選：A.

5.若關于x的分式方程弋+:巴=3的解為正實數(shù)，則實數(shù)機的取值范圍是（

x-22-x

A.m<3_l=Ln?1B.m<3J=Lm2C.m<3D.加<6且加#2

【答案】A

【解析】解：答+普=3

x—22—x

去分母，得

x+m-3n2=3（x-2）解得x=3-m

V3-m^2

又分式方程的解為正實數(shù)

3-m>0

/.m<3

**?實數(shù)m的取值范圍是“<3且機wl

故選：A.

9/19

6.已知關于尤的分式方程二-4=占的解為負數(shù)，則左的取值范圍是（）

x-33-x

A.七-12且厚-3B.k>-12C.N-12且厚-3D.k<-12

【答案】D

Yk

【解析】方程工7-4=4的兩邊同時乘以（1-3）得：

x-33-x

x—4（冗—3）=—k,

??x—4x+12——k,

??一3龍——k—12,

X——+4,

3

???解為負數(shù)，

-+4<0

.3

13

解得：左〈一12,故D正確.

故選：D.

7.方程的解是（）

x—2兀？—4%+2

A.x=—2B.x=0C.x=2D.無解

【答案】D

【解析】解：兩邊同乘a+2）a。，得4（元+2）=16-3（x-2）,

去括號，移項并合并同類項，得7x=14,

系數(shù)化為1,求得x=2,

經(jīng)檢驗，x=2為原分式方程的增根，原方程無解.

故選：D

x<a,

4ar

8.如果關于尤的不等式組尤-1,無+1至少有3個整數(shù)解，且關于y的分式方程--+--=1的解是

------+1>------y-22-y

I23

非負數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)。的和是（）

A.20B.18C.16D.14

【答案】C

【解析】解：解不等式三工+1>+得：x>-1，

,[x<a

...原不等式組的解集為：

10/19

??,原不等式組至少有3個整數(shù)解，

a>2,

4a

解分式方程--+--=1得：y=6-a,

y-22-y

:尸2,

6—ax2,解得:ar4,

:原分式方程的解是非負數(shù)，

6-a>0,解得：a<6,

綜上分析，a的范圍是：2VaV6且aw4,

.?.滿足條件的整數(shù)a的和為：2+3+5+6=16,

故選：C.

2

9.方程」Y-----4力=。的根是

-2x-2

【答案】x=-2

r24

【解析】解：分式方程」.....-=0,

x—2x—2

去分母得：%2-4=0,

解得：尤=2或X--2,

經(jīng)檢驗：尤=2是增根，

則分式方程的解為彳=-2.

故答案為：x=-2.

10.開學在即，由于新冠疫情學校決定共用6000元分兩次購進口罩2200個免費發(fā)放給學生.若兩次購買

口罩的費用相同，且第一次購買口罩的單價是第二次購買口罩單價的1.2倍，則第二次購買口罩的單價是

?元.

【答案】2.5

【解析】解：設第二次購買口罩的單價是x元,則第一次購買口罩的單價是L2x元,

6000+2=3000

依題意得：^22+^92=2200

1.ZXX

解得：x=2.5

經(jīng)檢驗，x=2.5是原方程的解，且符合題意.

故答案為：2.5.

，丫—1X—1

11.用換元法解分式方程上;X-?+3=0時,如果設土」=y,將原方程化為關于y的整式方程，那么這

x-13xX

個整式方程是

11/19

【答案】1/-3y-2-0

y_1YI

【解析】解：設工"!?=>,貝IJ—r=一,

尤X-1y

原方程化為：2-；y+3=0,

y3

兩邊同時乘以y得：2—gr+3y=0,即gy2_3y_2=0.

故答案為：1/-3y-2=0.

12.若關于x的分式方程二《=廣有增根，則實數(shù)機的值是

x-33-x

【答案】6

【解析】解：??,分式方程有增根，

'.x-3=0,

解得冗=3,

原分式方程化為：3-2x=m-9,

才巴x=3代入3-2x=m-9,

得3-2x3=m-9,

解得m=6,

故答案為：6.

管j能力提升練

13.解方程:

(2)2x+2%+2-2

xx-2x2-2x

【答案】⑴原方程無解；⑵戶-;

【分析】⑴去分母得：x-3+x-2=-l,

解得：x=2,

檢驗：當％=2時，％-2=0,

，%=2是增根，原方程無解；

(2)去分母得：(2x+2/x—2)—x(x+2)=f—2,

12/19

解得：”一

檢驗：當x=-］時，x(x—2)=z*。,

=是原方程的解.

14.小明去離家3000米的奧體中心看某明星演唱會，到奧體中心后，發(fā)現(xiàn)演唱會門票忘帶了，此時離演唱

會開始還有30分鐘，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一輛“共享單車”原路趕回奧體中心，已知小明騎

車的時間比跑步的時間少用了5分鐘，且騎車的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍.

(1)求小明跑步的平均速度；

(2)如果小明在家取票和尋找“共享單車”共用了4分鐘，他能否在演唱會開始前趕到奧體中心？說明理由.

【答案】(1)小明跑步的平均速度為200米/分鐘

(2)小明能在演唱會開始前趕到奧體中心，見解析

【分析】(1)設小明跑步的平均速度為x米/分鐘，則小明騎車的平均速度為L5x米/分鐘，

30003000仁

根據(jù)題意得:-----------------=5

x1.5x

解得：尤=200.

經(jīng)檢驗，x=200是原分式方程的解.

答：小明跑步的平均速度為200米/分鐘.

⑵小明跑步到家所需時間為3000^200=15(分鐘)，

小明騎車所用時間為15-5=10(分鐘)，

小明從開始跑步回家到趕回奧體中心所需時間為15+10+4=29(分鐘),

V29<30,

小明能在演唱會開始前趕到奧體中心.

15.某縣為了落實中央的“強基惠民工程”，計劃將某村的居民自來水管道進行改造.該工程若由甲隊單獨施

工恰好在規(guī)定時間內(nèi)完成；若乙隊單獨施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的3倍.如果由甲、乙隊先

合做15天，那么余下的工程由甲隊單獨完成還需10天.

(1)這項工程的規(guī)定時間是多少天？

(2)已知甲隊每天的施工費用為6500元，乙隊每天的施工費用為3500元.為了縮短工期以減少對居民用水

的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊合做來完成.則該工程施工費用是多少？

【答案】(1)30天；(2)225000元

【分析】解：(1)設這項工程的規(guī)定時間是x天，根據(jù)題意得：

r1nio.

一+丁X15+—=1,

3xJx

解得：x=30.

經(jīng)檢驗，x=30是原分式方程的解.

13/19

答：這項工程的規(guī)定時間是30天.

(2)該工程由甲、乙隊合做完成，所需時間為：1+(5+不1]=22.5(天)，

IJUJXJUJ

則該工程施工費用是：22.5x(6500+3500)=225000(元).

答：該工程的費用為225000元.

16.截至2021年，高速公路已經(jīng)貫通云南16個州市，云南省正全力推進縣域高速公路“能通全通”“互聯(lián)互

通”工程建設.己知甲、乙兩地之間國道全長為500km,經(jīng)過改修高速公路后，長度減少了100km,高速

公路通車后，一輛長途汽車在高速公路上行駛的平均速度比在國道上行駛的平均速度快30km/h,從甲地

到乙地，由高速公路所需時間是由國道所需時間的一半.求該長途汽車在國道上行駛的平均速度.

【答案】50km/h

【解析】解：設長途汽車在國道上行駛的平均速度為xk"/h,則在高速公路上行駛的平均速度為(x+30)

km/h,

5001400

由題意得:___X_—_____

x2x+30

解得：％=50,

經(jīng)檢驗：1=50是方程的根，且符合實際，

答：該長途汽車在國道上行駛的平均速度為50初z/h.

'4________

t[拓展練

17.已知，關于x的分式方程7-一絲=1.

2x+3x-5

(1)當。=2,〃=1時，求分式方程的解；

(2)當。=1時，求b為何值時分式方程不一-空=1無解；

2x+3x-5

(3)若。=36,且a、b為正整數(shù)，當分式方程；--絲=1的解為整數(shù)時，求b的值.

2x+3x-5

【答案】(l)x=-1；(2)?或5；(3)3、29、55、185

【分析】⑴解：把。=2,6=1代