中考試題解密時間：2025年6月14日上午8：00南充市二〇二五年初中學業(yè)水平考試數(shù)學試題（滿分150分，時間120分鐘）注意事項：1．答題前將姓名、座位號、身份證號、準考證號填在答題卡指定位置；2．所有解答內(nèi)容均須涂、寫在答題卡上；3．選擇題須用2B鉛筆將答題卡相應題號對應選項涂黑，若需改動，須擦凈另涂；4．填空題、解答題在答題卡對應題號位置用0.5毫米黑色字跡筆書寫．一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）每小題都有代號為A、B、C、D四個答案選項，其中只有一個是正確的．請根據(jù)正確選項的代號填涂答題卡對應位置，填涂正確記4分，不涂、錯涂或多涂記0分．1.下列計算正確的是（）A. B.C. D.2.如圖，把含有的直角三角板斜邊放在直線l上，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.3.2024年9月25日8時44分，我國火箭軍成功發(fā)射了一枚“東風-31AG”洲際彈道導彈，導彈平均速度為25馬赫，馬赫為速度單位，1馬赫約為340米/秒．用科學記數(shù)法表示“東風-31AG”導彈的平均速度為（）A.米/秒 B.米/秒C.米/秒 D.米/秒4.一次體質(zhì)健康檢測中，某班體育委員對該班20名男生在一分鐘內(nèi)“引體向上”的個數(shù)進行了統(tǒng)計，并制作如下統(tǒng)計表：個數(shù)69111215人數(shù)25832則這20名男生在一分鐘內(nèi)“引體向上”的個數(shù)的眾數(shù)是（）A.6 B.9 C.11 D.155.我國宋代數(shù)學家秦九韶發(fā)明“大衍求一術”闡述了多元方程的解法，大衍問題源于《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三……，問物幾何？”意思是：有一些物體不知個數(shù)，每3個一數(shù)，剩余2個；每5個一數(shù)，剩余3個……．問這些物體共有多少個？設3個一數(shù)共數(shù)了x次，5個一數(shù)共數(shù)了y次，其中x，y為正整數(shù)，依題意可列方程（）A. B.C. D.6.如圖，把直徑為1個單位長度的圓從點沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上點到達點，點對應的數(shù)是2，則滾動前點對應的數(shù)是（）A. B. C. D.7.如圖是正六邊形與矩形疊拼成的一個組合圖形，若正六邊形的邊長為2，那么矩形的面積是（）A12 B. C.16 D.8.已知，則的值是（）A.2 B.3 C.4 D.69.如圖，是的直徑，于點，交于點，于點，交于點，為弧的中點，為線段上一動點，若，則的最小值是（）A.4 B. C.6 D.10.已知某函數(shù)圖象關于軸對稱，當時，；當時，．若直線與這個函數(shù)圖象有且僅有四個不同交點，則實數(shù)的范圍是（）A. B.C. D.或二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）請將答案填在答題卡對應的橫線上．11.計算：________．12.不透明的袋子中裝有個黑球和個白球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，隨機從袋子中摸出一個球，恰好為白球的概率是______．13.不等式組解集是，則的取值范圍是________．14.如圖，，在射線上取一點，以點為圓心，長為半徑畫??；再以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點，連接并延長交射線于點．設，則的長是________．15.已知直線與直線的交點在軸上，則的值是________．16.如圖，為正方形的對角線，平分，交于點，把繞點逆時針方向旋轉90°得到，延長交于點，連接，交于點．給出下列結論：①；②；③；④．以上結論正確的是________．（填寫序號）三、解答題（本大題共9個小題，共86分）解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：．18.如圖，在五邊形中，．（1）求證：．（2）求證：．19.為了弘揚優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校擬增設四類興趣班：A川劇班、B皮影班、C剪紙班、D木偶班．學校的調(diào)研小組在全校隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)查，調(diào)查問題是“你最希望增設的興趣班”（四類中必選并只選一類），調(diào)研小組根據(jù)調(diào)查結果繪制出如下不完整的統(tǒng)計圖．（1）求問卷調(diào)查的總人數(shù)，并補全條形圖．（2）若該校共有800名學生，估計最希望增設“木偶班”的學生人數(shù)．（3）本次調(diào)研小組共有5人，其中男生3人，女生2人，現(xiàn)從5人中隨機抽取2人向?qū)W校匯報調(diào)查結果，求恰好抽中一男一女的概率．20.設，是關于的方程的兩根．（1）當時，求及m的值．（2）求證：．21.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象交于點，．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式．（2）點在反比例函數(shù)第二象限的圖象上，橫坐標為，過點作軸的垂線，交于點，，求的值．22.如圖，中，于點D，以為直徑的交于點E，交于點F，M為線段上一點，．（1）求證：是的切線．（2）若，，求的長．23.學校計劃租用客車送師生到某紅色基地，參加主題為“緬懷先烈，強國有我”研學活動，請閱讀下列材料，并完成相關問題．材料一租車公司有A，B兩種型號的客車可供租用，在每輛車滿員情況下，每輛A型客車比每輛B型客車多載客15人；用A型客車載客600人與用B型客車載客450人的車輛數(shù)相同．材料二A型客車租車費用為3200元/輛；B型客車租車費用為3000元/輛．優(yōu)惠方案：租用A型客車m輛，租車費用元/輛；租用B型客車，租車費用打八折．材料三租車公司最多提供8輛A型客車；學校參加研學活動師生共有530人，租用A，B兩種型號客車共10輛．（1）A，B兩種型號的客車每輛載客量分別是多少？（2）本次研學活動學校的最少租車費用是多少？24.矩形中，，點E是線段上異于點B的一個動點，連接，把沿直線折疊，使點B落在點P處．【初步感知】（1）如圖1，當E為的中點時，延長交于點F，求證：．【深入探究】（2）如圖2，點M在線段上，．點E在移動過程中，求的最小值．【拓展運用】（3）如圖2，點N在線段上，．點E在移動過程中，點P在矩形內(nèi)部，當是以為斜邊的直角三角形時，求的長．25.拋物線與x軸交于，B兩點，N是拋物線頂點．（1）求拋物線的解析式及點B的坐標．（2）如圖1，拋物線上兩點，，若，求m的值．（3）如圖2，點，如果不垂直于y軸的直線l與拋物線交于點G，H，滿足．探究直線l是否過定點？若直線l過定點，求定點坐標；若不過定點，請說明理由．解密時間：2025年6月14日上午8：00南充市二〇二五年初中學業(yè)水平考試數(shù)學試題（滿分150分，時間120分鐘）注意事項：1．答題前將姓名、座位號、身份證號、準考證號填在答題卡指定位置；2．所有解答內(nèi)容均須涂、寫在答題卡上；3．選擇題須用2B鉛筆將答題卡相應題號對應選項涂黑，若需改動，須擦凈另涂；4．填空題、解答題在答題卡對應題號位置用0.5毫米黑色字跡筆書寫．一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）每小題都有代號為A、B、C、D四個答案選項，其中只有一個是正確的．請根據(jù)正確選項的代號填涂答題卡對應位置，填涂正確記4分，不涂、錯涂或多涂記0分．1.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查合并同類項，單項式乘單項式，單項式除以單項式，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵；根據(jù)合并同類項，單項式乘單項式，單項式除以單項式的法則進行解答即可．【詳解】解：A、，故本選項錯誤，不符合題意；B、，故本選項錯誤，不符合題意；C、，故本選項正確，符合題意；D、，故本選項錯誤，不符合題意；故選：C2.如圖，把含有的直角三角板斜邊放在直線l上，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查直角三角形內(nèi)角和與平角的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形內(nèi)角特點和平角為是解題關鍵．先確定三角板的內(nèi)角，再利用平角與對頂角等知識，通過角度關系求出．【詳解】解：直角三角板含角，則另一個銳角為．∴故選：D．3.2024年9月25日8時44分，我國火箭軍成功發(fā)射了一枚“東風-31AG”洲際彈道導彈，導彈平均速度為25馬赫，馬赫為速度單位，1馬赫約為340米/秒．用科學記數(shù)法表示“東風-31AG”導彈的平均速度為（）A.米/秒 B.米/秒C.米/秒 D.米/秒【答案】B【解析】【分析】本題主要考查科學記數(shù)法的表示方法，熟練掌握科學記數(shù)法中（）與（整數(shù)位數(shù)減）的確定是解題的關鍵．先根據(jù)1馬赫的速度算出25馬赫的速度，再轉化為科學記數(shù)法形式．【詳解】解：計算25馬赫的速度：（米/秒）用科學記數(shù)法表示：（米/秒）,故選：B．4.一次體質(zhì)健康檢測中，某班體育委員對該班20名男生在一分鐘內(nèi)“引體向上”的個數(shù)進行了統(tǒng)計，并制作如下統(tǒng)計表：個數(shù)69111215人數(shù)25832則這20名男生在一分鐘內(nèi)“引體向上”的個數(shù)的眾數(shù)是（）A.6 B.9 C.11 D.15【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了眾數(shù)的定義，熟練掌握眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是解題的關鍵．根據(jù)眾數(shù)的定義，找出這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．【詳解】解：觀察統(tǒng)計表中“個數(shù)”對應的“人數(shù)”，個數(shù)出現(xiàn)次，個數(shù)出現(xiàn)次，個數(shù)出現(xiàn)次，個數(shù)出現(xiàn)次，個數(shù)出現(xiàn)次．因為，即個數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)最多．∴“引體向上”的個數(shù)的眾數(shù)是11，故選C5.我國宋代數(shù)學家秦九韶發(fā)明的“大衍求一術”闡述了多元方程的解法，大衍問題源于《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三……，問物幾何？”意思是：有一些物體不知個數(shù)，每3個一數(shù)，剩余2個；每5個一數(shù)，剩余3個……．問這些物體共有多少個？設3個一數(shù)共數(shù)了x次，5個一數(shù)共數(shù)了y次，其中x，y為正整數(shù)，依題意可列方程（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查根據(jù)實際問題列二元一次方程，熟練掌握從實際情境中找出等量關系是解題關鍵．根據(jù)題目中“每3個一數(shù)，剩余2個；每5個一數(shù)，剩余3個”這兩個條件，分別找出物體總數(shù)與、的等式關系，進而列出方程．【詳解】解：∵每3個一數(shù)，數(shù)了次，剩余2個，∴物體總數(shù)可表示為．又∵每5個一數(shù)，數(shù)了次，剩余3個，∴物體總數(shù)也可表示為．由于物體總數(shù)是固定的，∴故選：A．6.如圖，把直徑為1個單位長度的圓從點沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上點到達點，點對應的數(shù)是2，則滾動前點對應的數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查圓的周長公式及數(shù)軸上點的移動規(guī)律，熟練掌握圓的周長計算和數(shù)軸上點的平移關系是解題關鍵．先根據(jù)圓的直徑求出滾動一周的距離（即圓的周長），再結合點對應的數(shù)，通過逆向推理得到滾動前點對應的數(shù)．【詳解】解：由題意可得圓的直徑，根據(jù)圓的周長公式，可得周長．圓從點滾動到，滾動的距離是圓的周長，點對應數(shù)是，那么滾動前點對應的數(shù)是，故選D．7.如圖是正六邊形與矩形疊拼成的一個組合圖形，若正六邊形的邊長為2，那么矩形的面積是（）A.12 B. C.16 D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了矩形和正六邊形性質(zhì)，解直角三角形．根據(jù)矩形和正六邊形的性質(zhì)可得，然后解直角三角形可得，從而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，∵是正六邊形與矩形疊拼成的一個組合圖形，且正六邊形的邊長為2，∴，，∴，∴，，同理，∴，∴矩形的面積是．故選：B．8.已知，則的值是（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，分式的化簡．根據(jù)，可得，從而得到，然后代入化簡即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故選：D9.如圖，是的直徑，于點，交于點，于點，交于點，為弧的中點，為線段上一動點，若，則的最小值是（）A.4 B. C.6 D.【答案】C【解析】【分析】如圖，延長交于點，連接，，，由垂徑定理得，進而得，點關于的對稱點為點，根據(jù)兩點之間線段最短得當，，三點共線時，最小，最小值為的長，在利用直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，延長交于點，連接，，，∵于點，交于點，為弧的中點，∴∴，∵，∴，∴，∴點關于的對稱點為點，∴，∴當，，三點共線時，最小，最小值為的長，∵，，∴，∴，∵，∴，即，∴，∵，，∴，∴，∴的最小值．故選：C．【點睛】本題主要考查了弧、圓心角的關系，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，兩點之間線段最短，熟練掌握弧、圓心角的關系，垂徑定理是解題的關鍵．10.已知某函數(shù)圖象關于軸對稱，當時，；當時，．若直線與這個函數(shù)圖象有且僅有四個不同交點，則實數(shù)的范圍是（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)交點問題，熟練掌握函數(shù)圖象的繪制和直線平移時與函數(shù)圖象交點情況的分析是解題的關鍵．先根據(jù)函數(shù)圖象關于軸對稱，求出時的函數(shù)表達式，再畫出函數(shù)圖象，結合直線的平移，分析直線與函數(shù)圖象有四個交點時的取值范圍．【詳解】解：∵函數(shù)圖象關于軸對稱，當時，，∴當時，；當時，．畫出函數(shù)圖象：當時，，這是一個開口向上，頂點為，與軸交點為，的拋物線一部分．當時，，是一條為，過的射線．根據(jù)對稱性畫出時的函數(shù)圖象．聯(lián)立（時），得，當，即時，直線與（）相切．當直線過時，．結合圖象可知，當時，直線與這個函數(shù)圖象有且僅有四個不同交點．故選：A．二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）請將答案填在答題卡對應的橫線上．11.計算：________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了單項式乘以多項式，合并同類項，先根據(jù)單項式乘以多項式的計算法則去括號，然后合并同類項即可得到答案．【詳解】解：，故答案為：．12.不透明的袋子中裝有個黑球和個白球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，隨機從袋子中摸出一個球，恰好為白球的概率是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了等可能事件的概率計算公式，直接根據(jù)等可能事件的概率計算公式即可求解，解題的關鍵是熟記等可能事件的概率計算公式．【詳解】解：∵不透明的袋子中裝有個黑球和個白球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，∴隨機從袋子中摸出一個球，恰好為白球的概率是，故答案：．13.不等式組的解集是，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】本題考查解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式的解集，熟知不等式組的解集取值規(guī)則是關鍵．先分別求出每一個不等式的解集，再根據(jù)兩個解集結合不等式組的解集求出m的取值范圍即可．【詳解】解：解不等式得：，解不等式得：，∵不等式組的解集是，∴，∴．故答案為：14.如圖，，在射線上取一點，以點為圓心，長為半徑畫??；再以點為圓心，長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點，連接并延長交射線于點．設，則的長是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關鍵．先確定是等邊三角形，則，再解直角三角形即可求解．【詳解】解：連，由作圖可得，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：．15.已知直線與直線的交點在軸上，則的值是________．【答案】【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)的交點問題，由直線與直線的交點在軸上可知當時函數(shù)值相等，得到，然后代入化簡即可．推導知時函數(shù)值相等是解題的關鍵．【詳解】解：當時，，，∵直線與直線的交點在軸上，∴，∴．16.如圖，為正方形的對角線，平分，交于點，把繞點逆時針方向旋轉90°得到，延長交于點，連接，交于點．給出下列結論：①；②；③；④．以上結論正確的是________．（填寫序號）【答案】①③④【解析】【分析】本題考查正方形性質(zhì)，旋轉性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)與判定，角平分線定義，圓周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性質(zhì)與判定，三角形的三邊關系等知識，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵．由旋轉性質(zhì)得，可得，，，進而由即可判斷①；由即可判斷②；由、、、、在以為直徑的圓上，可以證明，即可判定③，設，由勾股定理解三角形可得，，即可判斷④．詳解】解：由旋轉可知：，∴，，，∵在正方形中，∴，，又∵，∴，∴，即，故①結論正確，∵，，∴，故②結論錯誤；如圖：∵在正方形中，∴，∴，∴、、、、在以為直徑的圓上，∵，∴，故結論③正確；如圖：過點作，交于，∵平分，，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，，∴，設，在中，，∴，∴，（負根已舍去）∵，∴，∴．故結論④正確；綜上所述：①③④結論正確，故答案為：①③④．三、解答題（本大題共9個小題，共86分）解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．原式利用二次根式性質(zhì)，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，以及特殊角的三角函數(shù)值法計算即可求出值．【詳解】解：原式．18.如圖，在五邊形中，．（1）求證：．（2）求證：．【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊對等角等知識點，靈活運用相關判定與性質(zhì)成為解題的關鍵．（1）先說明，再根據(jù)即可證明結論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得，然后根據(jù)角的和差即可證明結論．【小問1詳解】證明：，．．在與中，．【小問2詳解】解：，．，．，．19.為了弘揚優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校擬增設四類興趣班：A川劇班、B皮影班、C剪紙班、D木偶班．學校的調(diào)研小組在全校隨機抽取了部分學生進行問卷調(diào)查，調(diào)查問題是“你最希望增設的興趣班”（四類中必選并只選一類），調(diào)研小組根據(jù)調(diào)查結果繪制出如下不完整的統(tǒng)計圖．（1）求問卷調(diào)查的總人數(shù)，并補全條形圖．（2）若該校共有800名學生，估計最希望增設“木偶班”的學生人數(shù)．（3）本次調(diào)研小組共有5人，其中男生3人，女生2人，現(xiàn)從5人中隨機抽取2人向?qū)W校匯報調(diào)查結果，求恰好抽中一男一女的概率．【答案】（1）100人，補全統(tǒng)計圖見解析（2）240人（3）【解析】【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖的信息關聯(lián)，用樣本估計總體，樹狀圖或列表法求解概率，正確理解題意，讀懂統(tǒng)計圖是解題的關鍵．（1）由A川劇班得人數(shù)除以占比，即可求解問卷調(diào)查的總人數(shù)，然后由總人數(shù)減去的人數(shù)求出木偶班人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；（2）用樣本估計整體的方法即可求解；（3）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結果數(shù)，再找到符合題意的結果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【小問1詳解】解：問卷調(diào)查的總人數(shù)為：（人），∴木偶班人數(shù)為：（人），∴補全統(tǒng)計圖：【小問2詳解】解：最希望增設“木偶班”的學生人數(shù)：（人），答：最希望增設“木偶班”的學生有240人；【小問3詳解】解：畫樹狀圖為：由樹狀圖可知一共有20種等可能性的結果數(shù)，恰好抽中一男一女的結果數(shù)有12種，∴恰好抽中一男一女的概率是．20.設，是關于方程的兩根．（1）當時，求及m的值．（2）求證：．【答案】（1），；（2）詳見解析．【解析】【分析】本題主要考查了根據(jù)一元二次方程的根的判別式判斷一元二次方程的根的情況，一元二次方程根與系數(shù)的關系，解一元二次方程，方程的解，正確理解一元二次方程根的判別式，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根；熟記：一元二次方程的兩個根為，，則，是解題的關鍵．（）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可；（）利用根的判別式，根與系數(shù)的關系求解即可．【小問1詳解】解：把代入方程得，∴，∴，即，解方程得，，，故，；【小問2詳解】證明：方程可化為，∵，∴原方程有兩個不相同實數(shù)根，由根與系數(shù)的關系得，，∵，∵，∴．21.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象交于點，．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．（2）點在反比例函數(shù)第二象限的圖象上，橫坐標為，過點作軸的垂線，交于點，，求的值．【答案】（1），；（2）或【解析】【分析】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)表達式，解一元二次方程等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．（）先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再求出點的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；（）由題意可得，，因為，所以，然后解方程并檢驗即可．【小問1詳解】解：設反比例函數(shù)解析式為，∵經(jīng)過點，∴．∴反比例函數(shù)為，∵在圖象上，，∴，設一次函數(shù)解析式為，∴，解得，∴一次函數(shù)為；【小問2詳解】解：∵軸，∴，，∵，∴，解得：或或或∵點在第二象限，∴或．22.如圖，中，于點D，以為直徑的交于點E，交于點F，M為線段上一點，．（1）求證：是的切線．（2）若，，求的長．【答案】（1）詳見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了切線的證明、直徑所對的圓周角等于90度、全等三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識點．熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．（1）如圖：連接，利用證明得到即可證明是的切線；（2）如圖：連接，先說明，即．再根據(jù)圓周角定理可得；設，，由勾股定理可得，即．解答，進而得到、；由全等三角形的性質(zhì)可得，進而得到；則，然后求得即可解答．【小問1詳解】證明：如圖：連接，在與中，，∴．∴，∴為的切線．【小問2詳解】解：如圖：連接．∵，，∴．∴．．∵為直徑，∴，．設，，，∴．∴，，．∵，∴．∵，∵，∴，∴，∴．∴．∴．23.學校計劃租用客車送師生到某紅色基地，參加主題為“緬懷先烈，強國有我”的研學活動，請閱讀下列材料，并完成相關問題．材料一租車公司有A，B兩種型號的客車可供租用，在每輛車滿員情況下，每輛A型客車比每輛B型客車多載客15人；用A型客車載客600人與用B型客車載客450人的車輛數(shù)相同．材料二A型客車租車費用為3200元/輛；B型客車租車費用為3000元/輛．優(yōu)惠方案：租用A型客車m輛，租車費用元/輛；租用B型客車，租車費用打八折．材料三租車公司最多提供8輛A型客車；學校參加研學活動師生共有530人，租用A，B兩種型號客車共10輛．（1）A，B兩種型號的客車每輛載客量分別是多少？（2）本次研學活動學校的最少租車費用是多少？【答案】（1）A型客車每輛載客量為60人，B型客車每輛載客量為45人（2）本次研學活動學校最少租車費用為27000元【解析】【分析】本題主要考查了分式方程的應用，二次函數(shù)的實際應用，根據(jù)題意得到等量關系式是解題的關鍵．（1）設A型客車每輛載客量為人，根據(jù)題意列出方程，求解即可；（2）設租A型客車輛，B型客車輛，租車總費用，根據(jù)材料三先求出m的取值范圍，再列出w關于m的函數(shù)關系式，結合二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【小問1詳解】解：設A型客車每輛載客量為人，根據(jù)題意得：．解之得．經(jīng)檢驗：是方程的根，且符合題意，答：A型客車每輛載客量為60人，B型客車每輛載客量為45人．【小問2詳解】解：設租A型客車輛，B型客車輛，租車總費用，則．解之得．．∵，且對稱軸為，∴時，隨著的增大而增大．∵取正整數(shù)，且，∴當時，最小值為27000（元）．∴本次研學活動學校最少租車費用為27000元24.矩形中，，點E是線段上異于點B的一個動點，連接，把沿直線折疊，使點B落在點P處．【初步感知】（1）如圖1，當E為的中點時，延長交于點F，求證：．【深入探究】（2）如圖2，點M在線段上，．點E在移動過程中，求的最小值．【拓展運用】（3）