專題強(qiáng)化3:空間向量與立體幾何考點(diǎn)梳理

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

【考點(diǎn)突破】

一、空間向量的概念及運(yùn)算

1.已知向量建,U(-l,0,2),且歷+B與%人互相垂直,則左的值是()

457

A.-1B.-C.-D.-

335

【答案】D

【分析】先求出心+B與213的坐標(biāo)，再由歷+B與互相垂直，可得他+4(2力)=0,

從而可求出左的值.

【詳解】因?yàn)椋?(l,l,o),U(-l,0,2),

所以筋+2=/(1,1,0)+(-1,0,2)=(I,。2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2),

因?yàn)闅v+B與y-坂互相垂直，

所以9Z+B)-(2￡_B)=3(%_l)+2左一4=0,解得左=(,

故選：D

2.已知空間向量2,b,Z滿足Z+B+"=0,同=1,同=2,R=S\則2與耳的夾角為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】將a+B=4,兩邊平方，利用空間向量的數(shù)量積即可得選項(xiàng).

【詳解】設(shè)a與B的夾角為。.由a+分+2=0,得￡+3=4,兩邊平方，得7+2￡不+片=廣，

所以l+2xlx2cos8+4=7,解得cosO=；,又。目0,I],所以6=60。，

故選：C.

3.如圖所示，在空間四邊形Q4BC中，況=2,無(wú)=反區(qū)=",點(diǎn)/在OA上，且旃=2涼，N為

8C中點(diǎn)，則麗()

【答案】B

【分析】由向量的加法和減法運(yùn)算法則計(jì)算即可.

___.___,_______1__?___9__??11

【詳解】MN=ON-OM=-(OB+OCk)--OA=--a+-b+-c

故選：B

4.已知空間三點(diǎn)4(-2,0,8),Pgm,m),B(4,-4,6),若向量麗與麗的夾角為60。，則實(shí)數(shù)機(jī)=

()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

【分析】直接由空間向量的夾角公式計(jì)算即可

【詳解】QA(-2,0,8),B(4,T,6),

PA=2—m,—m,8—in),PB=(4—m,—4-m,6—m)

PA-PB3療一⑵〃+40

由題意有cos60。==苛=/2U

PA||PBJ3"-12%+6843"-12/77+68

即----------=3"-12m+40,

2

整理得病—4/71+4=0,

解得力=2

故選：B

5.(多選)已知空間向量Z=(W),U(-l,0,2),則下列正確的是()

A.a+b=(0,1,3)B.|o|=C.a-b=2D.<a,b>——

【答案】AB

【分析】利用空間向量坐標(biāo)的加法公式、向量模的坐標(biāo)公式、向量的數(shù)量積公式依次計(jì)算各選

項(xiàng)即可得出結(jié)果.

【詳解】??,向量2=(1,1,1),力=(-1,0,2),

,-.a+S=(l,l,l)+(-l,0,2)=(0,1,3),則A正確,

|a|=Vl2+12+12=A/3,則B正確，

a-fe=lx(-l)+lx0+lx2=l,則C錯(cuò)誤，

1715兀

ET廿3,則D錯(cuò)誤.

故選：AB

6.已知向量2,1滿足2=(1』,0),|*2,且B+*碼【內(nèi)則Z+B在￡上的投影向量的坐標(biāo)為

【答案】31述'

【分析】對(duì)|%+4=6|￡-目?jī)蛇吰椒胶蟮玫絑I=2,代入投影向量的公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】R+B卜石兩邊平方化簡(jiǎn)得：2容一8無(wú)方+252=0,①

因?yàn)閆=（u,夜），所以同=Jl+l+2=2,

又W=2,代入①得：8-8無(wú)6+8=0,解得：a-b=2,

所以a+加在Z上的投影向量坐標(biāo)為

伍+萬(wàn)）0aa2+a-b似虛）4+2似血）,333應(yīng)］

-|aj同一22-一~22--J

’33

故答案為:

7.如圖所示，在平行六面體A3CD-ABG。中，AGP^D^F,若通=-5+y；W+z麗，則

x+y+z=,

【答案】2

【分析】題中幾何體為平行六面體，就要充分利用幾何體的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化,

/=初+甌+耳聲=油+甌+;砌,再將曬轉(zhuǎn)化為茄，以及將麗轉(zhuǎn)化為通,麗=麗，總之等

式右邊為15,而，麗，從而得出x=y=；,z=i.

【詳解】解：因?yàn)橥?荏+函+后=通+鬲+）麗

=濟(jì)+鬲+;（麗一艱）

—.—.1—.1—.

=AB+BB.+-AD——AB

122

1-.1—.___

=-AB+-AD+AAi,

又AF=xAB+AD+zAAi,

所以x=y=J,z=l,

則x+y+z=2

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】要充分利用幾何體的幾何特征，以及將而=犬處+苞+z而作為轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，從而得

解.

二、利用空間向量證明位置關(guān)系

1.如圖所示，在直三棱柱A再G中，AC=3,BC=4,AB=5,M=4.

⑴求證：AC±BC1；

⑵在A5上是否存在點(diǎn)。，使得4CJ/平面CZ）S,若存在，確定。點(diǎn)位置并說(shuō)明理由，若不存在,

說(shuō)明理由.

【答案】⑴證明見解析；

⑵在AB上存在點(diǎn)D使得//平面C。片，且。為的中點(diǎn).

【分析】（1）本題首先以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，然后得出衣=（-3,0,0）、

況'=（01,4）,最后根據(jù)恁?%=0即可證得AC_L2G；

（2）本題可假設(shè)點(diǎn)O存在，則須=4通=（-34,440）,然后通過(guò)蕾=加麗+〃鴕得出

—3=m（3—34）

<0=m（42-4）-4?,最后求出X的值，即可得出結(jié)論.

4=-4m-4n

【詳解】（］）因?yàn)锳C=3,BC=4,A5=5,所以ZAC8=90。，

如圖所示，在直三棱柱ABC-A再G中，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線G4、CB、CC,分別為x軸、,軸、

z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則C(OQO),4(3,OQ),G(0,0,4),B(0,4,0),4(044),

因?yàn)橐?(一3,0,0),因=(O,T,4),

所以恁?a=(),AC1BQ,gpAClBC,.

(2)若存在點(diǎn)。使AQ〃平面C。%則而=4旗=(-34440),0W4W1,

0(3-32,42,0),麗=(3-344幾-4,T),麻=(0,<-4),AQ=(-3,0,4),

因?yàn)锳C"/平面C。%所以存在實(shí)數(shù)加、"，使蕾=哂5+哂T成立,

—3=機(jī)(3—3Z)

則,0=加(42-4)-4〃，解得

4=-4m-4n-

故在AB上存在點(diǎn)。使AG//平面CDB,,此時(shí)點(diǎn)。為AB中點(diǎn).

2.如圖所示，在長(zhǎng)方體A8CD-A4G2中，AD=1,AB=AA,=2,N、M分別AB、的中點(diǎn).

（1）求證：AM〃平面AAZ）n；

（2）求證：平面

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC、。"所在直線分別為x、八z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；

(2)求出平面48陽(yáng)的一個(gè)法向量，利用空間向量法可證得結(jié)論成立.

【詳解】(1)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC、所在直線分別為x、＞、z軸建立如下圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，

則4(1,0,0)、M(0,l』)、N(l,l,0)、4。,2,2)、4(1,0,2),

W=(-1,0,1),易知平面AADA的一個(gè)法向量為)=(0,1,0),

NM-77i=-lxO+Oxl+lxO=O>則NM_L〃z,

???AM<z平面AADD,,故NMH平面\ADD｛；

(2)設(shè)平面A4M的法向量為百=(x,y,z),福=(0,2,0),^7=(-1,1,-1),

唱舞:得圖一。

取x=-l,可得〃,

所以，NM=n,故MVf_L平面

3.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，ABAC=90°,AB=AC=AAl=2,“為A3的中點(diǎn)，N為艮a

的中點(diǎn)，P是BG與20的交點(diǎn).

⑴證明：AC1BQ；

⑵在線段AN上是否存在點(diǎn)Q,使得PQ回平面ACM?若存在，請(qǐng)確定。的位置；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴證明見解析

⑵存在；線段AN上靠近N的三等分點(diǎn)Q

【分析】（1）解法一：連結(jié)AG,由線面垂直的判定定理可證得4?上面ACGA,則A8LAC,

由已知條件可得四邊形AAGC為正方形，則ACLAG,再由線面垂直的判定定理可得AC，面

ABCX,從而可得ACJ.BG,解法二：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.C4、叫方向分別為龍、八z軸

正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,然后利用空間向量證明即可，

（2）解法一：利用空間向量，設(shè)麗=/卷（0"41）,所以。（7,T,2）,求出平面ACM的法向量3

再由線面平行的關(guān)系可得可從而可求出，的值，解法二：取A耳中點(diǎn)H,連結(jié)BH、C’H、

MH,可證得回AMC,GH回平面A]MC,從而可得平面即工回平面4幽。，進(jìn)而可得尸Q回平面

\CM,

【詳解】（1）解法一：連結(jié)4。在直三棱柱ABC-4qG中，有他，面A3C

因?yàn)锳Bu面A3C,所以A4TA2,

△ft4c中，ABAC^90°,即ABIAC,

因?yàn)锳41nAe=A,所以AB人面ACC0,

因?yàn)锳Cu面ACGA,所以AB，A。，

在四邊形A4iCC中，AAt±AC,AC=AAI=2,

所以四邊形eGC為正方形，所以AC，AG,

因?yàn)锳8cAG=A,所以AC,面ABC-

因?yàn)锽Qu面ABC一所以ACLBG.

解法二：在直三棱柱ABC-4用G中，因?yàn)?及1C=9O。，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,CA,方向

分別為X、y、z軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-個(gè)Z.

因?yàn)锳B=4C=A4,=2,所以4（0,0,2）,C（0-2,0）,B（2,0,0）,G（0,-2,2）

所以或=（一2,-2,2）,AC=（0,-2,-2）

亞.用=（0,-2,2）.（-2,-2,-2）=0所以AC，BQ.

（2）解法一：存在線段AN上靠近N的三等分點(diǎn)。，滿足PQ回平面ACM.

證明如下：在直三棱柱ABC-AB?中，因?yàn)镹R4c=90。，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.CA.人4方

向分別為x、＞、z軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-邙.

因?yàn)锳8=AC=AA=2,〃為A3的中點(diǎn)，N為4G的中點(diǎn)，P是Bq與30的交點(diǎn)，所以

A（0,0,2）、C（0,-2,0）、尸（1,-1,1）、M（1,0,0）、N（l,-L2）、

設(shè)而=/嘉（04/41）,所以Q（f,T,2）

所以而=（"1,1T,1），AC=（0,-2,-2）,AM=（1,0,-2）,

設(shè)“=（…）為平面ACM的法向量，則］：甯°。即，

取z=l得x=2,y=T可得平面ACM的一個(gè)法向量為元=（2,-1,1）.

若PQ回平面ACM,則①_13,所以而4=—t,1）.（2,—1,1）=0,ap2（r-l）-（l-r）+l=0

解得好；，所以存在線段AN上靠近N的三等分點(diǎn)Q,使得PQ回平面ACM.

解法二：存在線段AN上靠近N的三等分點(diǎn)。，滿足尸Q回平面ACM.

證明如下：取A片中點(diǎn)H,連結(jié)3"、G”、MH.

在正方形中，M為A3的中點(diǎn)，所以3”回4加.

因?yàn)锳Mu平面AMC,8//仁平面AMC,

所以平面3〃回AMC,

在正方形4414g中，”為A3的中點(diǎn)，H為A4中點(diǎn)，所以M/回AA-

因?yàn)锳A回GC且A4,=GC,所以Affi回GC,MH=CiC,

所以四邊形MH￡C為平行四邊形，所以G5回CM.

因?yàn)镃Mu平面AMC,平面AMC,所以回平面AMC,

因?yàn)?GHu平面BHu平面BHQ

所以平面即/G回平面A,MC,

記C#cAN=Q,則Q為ABAC的重心，即Q為線段AN上靠近N的三等分點(diǎn)，且PQu平面BHC,,

所以PQ回平面\CM,

所以存在線段AN上靠近N的三等分點(diǎn)Q,使得PQ回平面ACM.

三、利用空間向量計(jì)算距離

1.如圖，在長(zhǎng)方體4BCD-4BGA中，AD=AAl=l,AB=2,E為AB的中點(diǎn).

⑴求點(diǎn)G到直線AE的距離；

⑵求點(diǎn)E到平面ACD,的距離.

【答案】⑴百；⑵；

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求直線4E的方向向量，利用點(diǎn)到直線距離公式求解.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面AC，的法向量，利用點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算.

【詳解】⑴如圖，以。為原點(diǎn)，分別以況，DC,西的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空

間直角坐標(biāo)系，

則A(1，O，1)，G(0,2,1)所以帕=(-1,2,0),|而|=6,

淳=（0,1,一1）,I卒卜忘，"翁='（o』,T）,4G-M-V2.

因?yàn)?

所以點(diǎn)G到直線\E的距離為5

(2)由(1),得＞(1,0,0),C(0,2,0),4(0,0,1),

所以工=(一1,2,0),西=(-1,0,1),￡4=(0-1,0).

設(shè)平面ACD］的一個(gè)法向量為7=（尤,y,z）,

-x+2y=0.…

則',令y=i,則x=2,z=2,

禽1即—x+z=0n

所以,=（2,1,2）,

則點(diǎn)E到平面皿的距離八甲L昌方斗

2.如圖，在正方體ABCD-ABGR中，E為B片的中點(diǎn).

⑴證明：陽(yáng)〃平面ADE

⑵求直線BC,到平面AD,E的距離；

【答案】⑴證明見解析；(2)]

【分析】(1)利用線面平行的判定定理.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的距離公式求解.

【詳解】(1)RG=AB,

二.四邊形為平行四邊形，

DtA//CtB,

???O,Au面A*,C]B面ADtE,

BC]//平面ARE.

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—邙，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

則4(0,0,0),5(0,2,0),A(2,0,2),Q(2,2,2),￡(0,2,1),

V2弓//平面4。也，

直線BC到平面ARE的距離即為點(diǎn)8到平面ARE的距離,

所以荏=(0,2,0),M=(2,0,2),荏=(0,2,1),

設(shè)平面ARE的一個(gè)法向量為1=(x,y,z),

n?ADX=2x+2z=0

則取Z=T,得為=,

h-AE=2y+z=0

M卜。，2Ml'>"]2

???直線B3到平面ADtE的距離為1.

四、利用空間向量求空間角

1.如圖，在正三棱柱ABC-A4G中，AAt=j3AC=2y/3,。是8月的中點(diǎn).

⑴求異面直線\D與3C所成角的余弦值；

(2)證明：平面AOCJ平面ADC.

【答案】(1)當(dāng)；(2)證明見解析.

【分析】(1)分別作AC,AG的中點(diǎn)。，連接03,00,,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以Q4,

0B,。。所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線4。與BC的空間向量，即可利

用線線角的公式求解.

(2)分別求出平面AOG和平面ADC的法向量，利用法向量數(shù)量積為0,即可證明.

【詳解】(1)如圖，分別作AC,4G的中點(diǎn)。，。一連接08,。。1,

在正三棱柱ABC-ABC中，底面ABC,^.BOIAC,

則。4,0B,。?；ハ啻怪保?。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以04,0B,。。所在直線為x，y，z軸，建

立如圖空間直角坐標(biāo)系，

z」

已知A4[=6AC=26,則A(l,0,24)，D(0,6,6),WO,"。)，C(-1,O,O),

設(shè)異面直線AQ與8C所成角為6,??(。，/，

?.?麗=(-l,e-廂，品=(-1,-瘋0),

uuuuuu

,IADBCI_|1-3|_77

..cosu—iHitr-----UUP=-j=——?

\\D\-\BC\J7x27'

(2)由題可知A(l,0,0),Ct(-1,0,273),福=(-2,0,0),AD=(-1,73,5/3),AC=(-2,0,0),

設(shè)平面AQG的法向量為立=(XI，M，ZJ,

m-A[D=-%+"vi-A/3ZJ=0

則令y=1,.*.m=(0,1,1),

m?AG=—2%1=0

設(shè)平面ADC的法向量為。=（%2，為?）,

n-AD--x2+y/3y2+A/3Z2=0

則4l一令為=1,.?/=(()工-1),

n-AC=—2X2=0

QJZ￡=1-1=0,平面AQG_L平面ADC.

2.如圖，平面五邊形A3CDE中，VADE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，CD//AE,CD=AE,

冗

ZBAD=ZABC=~,將VADE沿AD翻折，使點(diǎn)E翻折到點(diǎn)P.

⑴證明：PWC；

⑵若PC=3,求二面角「一AD—3的大小，以及直線尸3與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析；⑵/甯

【分析】（1）在平面圖形中取AD中點(diǎn)。，則有OPLAD、OC±AD,再應(yīng)用線面垂直的判定、

性質(zhì)證結(jié)論；

（2）由（1）^OPIAD,OCYAD,則二面角尸-AD-8的平面角為NPOC,在△POC中利用

余弦定理求解即可；在平面POC內(nèi)作OMLOC,以。為原點(diǎn)，為x軸，0c為y軸，OM為z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求直線尸3的方向向量、平面PCD的法向量，進(jìn)

而求線面角的正弦值.

【詳解】（1）在平面圖形中取AO中點(diǎn)。，連接0C,0E,

回V4圮是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

0OE±A￡>,0D=l,故翻折后有

又回CZ）〃AE,0ZC￡）O=ZJDAE=|,^\CD=AE=2,回OC_LAD,

且OPcOC=。，OP,OCu平面POC,回AD,平面POC,

TT

回NBAO=NABC=5，0AD/7BC,回平面尸OC,

又回尸Cu平面POC,0BC1PC.

（2）由（1）^OP±AD,OC±AD,回二面角尸—池一3的平面角為/200

在apoc中，OC=OP=sf3,PC=3.

1OjT

由余弦定理得cos/POC=-j,0ZPOC=y,

二面角P-AD-3的大小是g,

在平面尸0c內(nèi)作。WLOC,交PC于M,回AD,平面尸OC,

以。為原點(diǎn)，以為x軸，0C為）軸，OM為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

由（1）得，四邊形owe為矩形，又回NPOC=m，0P=6

所以各點(diǎn)坐標(biāo)為A（l,0,0）,0（-1,0,0）,網(wǎng)1,君,0）,c（o,g,o）,

所以麗=,手,_?,無(wú)=1，￥，_胃，比=（1,百,0）,

fn-PC=O3也丫3z=0

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量1=（x,y,z）,則一，即2-2'

fi-DC=0r--

設(shè)y=i,則z=VLx=Y,0?=(-\^,i,>/3),

設(shè)直線尸3與平面PCD所成角為e,

【隨堂演練】

11

1.平面a的一個(gè)法向量是為=（2，-1,§）,平面夕的一個(gè)法向量是血=（-3,6,-2）,則平面a與平面

P的關(guān)系是（）

A.平行B.重合C.平行或重合D.垂直

【答案】C

【分析】由題設(shè)知成=Y萬(wàn)，根據(jù)空間向量共線定理，即可判斷平面a與平面夕的位置關(guān)系.

【詳解】：平面。的一個(gè)法向量是為=(g,T,g),平面夕的一個(gè)法向量是沅=(-3,6,-2),

平面。與平面夕的關(guān)系是平行或重合.

故選：C.

2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD,PB=AB=2BC=4,AB1BC,則點(diǎn)C到直

線叢的距離為()

A.273B.2君C.72D.4

【答案】A

【分析】取以的中點(diǎn)/，連接8M,CM,可證得CM的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到直線PA的距離，在直角三角

形中，由勾股定理求得C"；也可以用向量法，直接求得.

【詳解】解法一：(幾何法)

解：如圖，取的中點(diǎn)連接

因?yàn)槭?,平面ABC。，3Cu平面ABC。

所以又因?yàn)锳B/5C,PBcAB=B

所以BC1平面PAB,叢u平面BIB

所以3C1R4

因?yàn)?是的中點(diǎn)，依=AB

所以_LB1,又BMC\BC=B

所以PA，平面BCM,又CMu平面BCM

所以CM，PA,即CM為點(diǎn)、C到直線PA的距離.

在等腰直角三角形從8中，BM=^PB=2枝,

2

在直角三角形BOW中，CM=ylBM2+BC2=A/8+4=273

故點(diǎn)C到直線PA的距離為2右.

故選：A.

解法二：(向量法)

解：如圖，以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線3C、BA、3尸分別為x軸、J7軸、2軸的非負(fù)半軸，建立空

間直角坐標(biāo)系.則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,4,0),P(0,0,4),

PC=(2,0,-4),PA=(0,4,-4)

所以公需*=2后

^.h=\lpC2-d2=>j20-8=2y/3

即點(diǎn)C到直線叢的距離為2G.

故選：A.

3.設(shè)x、yeR,向量Z=(x,l,l),b=(l,y,l),；(3,-6,3)且￡_1_),bH~c,則忖+q=()

A.2.72B.2A/3C.4D.3

【答案】D

【分析】利用空間向量垂直與共線的坐標(biāo)表示求出x、)的值，求出向量3+B的坐標(biāo)，利用空

間向量的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閯t72=3尤一6+3=0,解得x=l,則2=(1,U),

因?yàn)榫停瑒tg=5,解得產(chǎn)一2，即7(1，-2,1),

所以，a+b=(2,-l,2),因此，,+@=J4+1+4=3.

故選：D.

4.已知直線/過(guò)定點(diǎn)4(2,3」)，且方向向量為?=(0,1,1),則點(diǎn)尸(4,3,2)至以的距離為()

A.述B.3C.叵D.垃

222

【答案】A

【分析】本題首先可根據(jù)題意得出Q,然后求出|Q|與而j，最后根據(jù)空間點(diǎn)到直線的距離

公式即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(2,3,1),尸(4,3,2),所以Q=(2,0,l),

則網(wǎng)=卮AP?!與

3A/2

由點(diǎn)到直線的距離公式得d=

F

故選：A.

5.已知a=(l,2-y),fe=(x,l,2),且(^+2b)//(2a-b),則()

A.%=［，>=1B.%=［，y=-4

32

C.x=2y=—D.x=l,y=-l

94

【答案】B

【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合空間向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.

L1向電a=(1,2,_y),Z?=(%/,2),貝ljQ+2Z?=(1+2羽4,4—y),2a—Z?=(2—%,3,—2y—2),

Lt-一一一十口/=1+2x44-ye/口1

因(a+2/7)//(2a—b),于是得--=T=――,斛得尤=不，>=_4,

所以x=；，y=-4.

故選：B

6.已知。為空間任意一點(diǎn),A、3、C、P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且麗=根由+麗+花,

則m的值為（）

A.—1B.2C.—2D.—3

【答案】C

【分析】。為空間任意一點(diǎn)，A、B、aP滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，均有結(jié)論

OP=aOA+bOB+cOC,其中a+6+c=l,故可由赤=無(wú)+而進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用結(jié)論即可

【詳解】OP=OB+BP=mOA+2OB+OC,

回。為空間任意一點(diǎn)，A、B、C、P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，

0m+2+l=l,回相=一2.

故選：c

7.如圖，在平行六面體ABCD-A1sleQi中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6,且它們彼此

的夾角都是60。，下列說(shuō)法中不正確的是（）

B.3?；仄矫鍭CG

C.向量鴕與麗的夾角是60°

D.直線3D】與AC所成角的余弦值為

【答案】C

【分析】利用空間向量法，通過(guò)計(jì)算線段長(zhǎng)度、向量夾角、線線角以及證明線面垂直等知識(shí)確

定正確答案.

【詳解】以｛存，而，可｝為空間一組基底.

AC[=AB+AD+AA^,AC^=(AB+AD+AA^

=AB2+AD2+A4^2+2(AB-AD+AD-AB-AAf)

=36+36+36+2(3x6x6xcos60。)=216,

所以西=6#,A選項(xiàng)正確.

由于四邊形是菱形，所以5OLAC,

BD=AD-AB，BDCC1=

=6x6xcos600-6x6xcos60°=0,

所以彷，網(wǎng)'，即BO_LCC1,

由于AcncG=c,所以加上平面ACC1,B選項(xiàng)正確.

麗=甌，三角形BC四是等邊三角形，

由圖可知函與配的夾角為鈍角，也即麻與福■的夾角為鈍角，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

的=皿-刀=蒞+麗-通，

BD]=(AO+A4i-叫=AD+招+AB+2(皿不-45-平㈣

=36+36+36+2x(6x6xcos600-6x6xcos600-6x6xcos60°)=72,

所以|阿|=6后

AC=AB+AD,AC2=^AB+AD^=AB+2ABAD+AD=36+2x6x6xcos60°+36=108,

所以|碼=6日

BZ^-AC=(AD+AX-AB).(AB+AD)

=ADAB+AA,AB-ABAB+ADAD+A^AD-ABAD

=2x6x6xcos600=36.

設(shè)直線BD,與直線AC所成角為e,

BD^AC36_

則cos。=|cos^B￡>j,AC^|=D選項(xiàng)正確.

6夜x66—6

故選：C

8.已知矩形A3CD,AB=1,BC=y/3,沿對(duì)角線AC將ZkABC折起，若平面ABC與平面ACD

所成角的余弦值為一，則3與。之間距離為（）

A.1B.72C.V3D.—

2

【答案】C

【分析】過(guò)3和。分別作BEHAC,DF^AC,根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，利用向量數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化

求解即可.

【詳解】過(guò)3和。分別作BEHAC,DF^AC,

ELAS=1,BC=\/3,

0AC=2,

^-ABBC=-ACBE,

22

^\BE=DF=^~,

2

則AE=CR=g,BPEF=2-1=1,

回平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為-1,

回cos（EB,FZ>>=--,

^BD=BE+EF+FT),

^\BD2=^BE+EF+FD^=BE2+EF2+FD2+2BEEF+2EFFI5+2BE-FD

=*+“2x與立x［二］=3,

44221

則I而I=5

即3與。之間距離為石，

故選：C.

9.設(shè)直線/的方向向量為初=(2,Tz),平面。的一個(gè)法向量為為=(4,-2,-2),若直線〃/平面a,

則實(shí)數(shù)z的值為.

【答案】5

【分析】由線面平行可得用，為，由向量垂直的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得z的值.

【詳解】：直線〃/平面a,.詡_L為，即8+2-2z=0,解得：z=5.

故答案為：5.

10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCL(-A4G，中，M,N分別為棱G2,CG的中點(diǎn)，則△MM)

的重心到直線3N的距離為.

——-,Ci

【答案】|/1|

【分析】以DADCDR為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由重心坐標(biāo)公式求得△ADM的重心G的

坐標(biāo)，用空間向量法求點(diǎn)到直線的距離.

【詳解】以DADC，?！閤，V，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A(2,0,0),8(2,2,0),N(0,2,l),

M(0,l,2),D(0,0,0),設(shè)△ADA1的重心是G(x,y,z),

__.452__.

BG=麗=(—2,0,1),

BG-BA^=-|+O+-|=^,|BG|=+(-|-)2+(|-)2=^,|BA^|=V5,

10

—.--BGBNW=2

cos<BG,BN>=I_

在x正3

貝lj〈苑麗>是銳角，sin<M^V>=Jl-(|)2=^,

所以G到直線BN的距離為九=|旃卜in<旃，而;>=若=g.

11.如圖，在四棱錐尸-AB8中，已知棱AB,AD,AP兩兩垂直且長(zhǎng)度分別為1,2,2,AB//CD,

AB=-DC.

2

P

（1）若PC中點(diǎn)為證明：BM〃平面PAD；

（2）求點(diǎn)A到平面PCD的距離.

【答案】（1）證明見解析；（2）72.

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方向向量的和平面PAD

的法向量行，證明的?訪=0即可；

（2）利用待定系數(shù)法求出平面PDC的法向量，求出而的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線的距離公

式求解即可.

【詳解】解：(1)證明：分別以AB,AD,”所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)

因?yàn)锳B,AD,AP的長(zhǎng)度分別為1,2,2,<AB=1oC,

則A(O,O,1),5(1,0,0),￡>(0,2,0),尸(0,0,2),C(2,2,0),

又M是PC的中點(diǎn)，所以

所以而7=(0,1,1),由已知可得平面PAD的一個(gè)法向量為1=(1,0,0),

則的■.3=0xl+lx0+lx0=0,

所以的，萬(wàn)，又平面PAD,

所以BM//平面PAD；

LU

(2)解：設(shè)平面尸DC的法向量為m=(x,y,z),

因?yàn)?=(-2,0,0),PD=(0,2,-2),

fnCD=0

則有

m-PD=0

令y=i,貝Ijx=o,z=i,故碗=(0,1,1),

又15=(0,2,0),

___y,AD-m0x0+lx2+lx0r-

所以點(diǎn)A到平面PCD的距禺”=「I=-------7=------=V2.

\m\72

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：(1)觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目?/p>

間直角坐標(biāo)系；(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向

量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；

(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

12.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD,AB^l,AD=+,CD=2,

jr

ZADC=-,平面P3C1平面ABC。，且尸3=PC,E為BC的中點(diǎn)，證明：平面尸AE，平面尸3D.

【答案】證明見解析；

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法證明DBLAP,進(jìn)而證明線面垂直與面面

垂直.

【詳解】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方，前的方向分別為無(wú)，＞軸的正方向建立空間直角坐

標(biāo)系。一孫z,

則A（點(diǎn)0,0）,B（73,1,0）,C（0,2,0）,E^,1,0

因?yàn)镻B=PC,E為BC的中點(diǎn)，所以PEL3c.

因?yàn)槠矫鍼BC，平面ABC。且交于BC,所以尸平面ABCD,

令d先4

則9=(6,1,0),金卜與M，刀［苦於』，

所以麗.理=0,DBAP^O,所以DB±AP,

因?yàn)锳EIAP=A,AE,APu平面R4E,

所以。平面ELE,

因?yàn)镈Bu平面P6D,

所以平面P3￡>_L平面上4E.

13.如圖，由直三棱柱ABC-4旦G和四棱錐。-8與GC構(gòu)成的幾何體中,

ABAC=9&,AB=1,BC=BBI=2,CQ=CDM,平面CCXD，平面ACC^

(1)求證：AC±DCl；

(2)若〃為。C中點(diǎn)，求證：AM〃平面。網(wǎng)；

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】(1)在直三棱柱ABC-A瓦G中，易得CCJAC,又平面CCQ，平面ACCM,利用面面

垂直的性質(zhì)定理證明即可；

(2)由平面AAG,且NBAC=90。，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面。8片的一個(gè)法向量

為3=(x,y,z),證明用?。即可；

【詳解】(1)???在直三棱柱ABC-ABC中，

CQ±平面A3C,又ACu平面ABC,

回CCJAC,

回平面CC\D±平面ACC|A，且平面CC\Dc平面ACCjAj=CQ,

X-.-ACc平面ACCH,

回AC,平面CG。，

又。GU平面CG。，0AC1DQ

(2)直三棱柱ABC-A禺G中，

0M1平面431cl,而其耳,4G<=平面A^IG

團(tuán)Az4j_LA旦,AA^J_AG,

XZBAC=90°,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(2,o,o),c(2,6,o)，c(o,3o"(2,o,i)，4(o,o,i),r>(i,g,2),

所以函=(-2,0,0),麗=(1,一6,-1),

設(shè)平面。8耳的一個(gè)法向量為元=(%,y,z),

n?BB]=0—2x—0

則即

n?BD=0%—Gy—z=0

令y=i,則、=（0』,一石）,

回M為°G的中點(diǎn)，則M[，疝1],所以汨=[-1,/“，

因?yàn)檎f(shuō)4=0,所以與7或，又AWZ平面。2月，回AM//平面。明.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積

為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)

某直線的方向向量平行，然后說(shuō)明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)

算.

14.在邊長(zhǎng)是2的正方體ABCD-4氏C/D/中，E,R分別為AB,4C的中點(diǎn).應(yīng)用空間向量

方法求解下列問(wèn)題.

(1)求ER的長(zhǎng)

(2)證明：E配平面AA/DLD；

(3)證明：E/平面A/CD

【答案】(1)0;(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【分析】(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出向量斷的坐標(biāo)表示，代入長(zhǎng)度公式求解；

(2)求出值的坐標(biāo)表示，關(guān)鍵坐標(biāo)關(guān)系判斷EFMD,再利用線面平行的判定定理證明；

(3)利用前.麗！=0,EF\D=0,可證直線ER垂直于CD、A1D,再利用線面垂直的判定定

(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),

C(0,2,0),Di(0,0,2),D(0,0,0),

回E,R分別為A3,A/C的中點(diǎn)，回E(2,1,0),F(1,1,1),

EF=(-1,0,1),

01EF|=A/1+0+1=y/2.

(2)回函=(-2,0,2)=2EF,^EMDI,

又ADu平面AA1D1D,ERC平面AAiDiD,

回Efl3平面AAiDiD.

(3)CD=(0,-2,0),40=(-2,0,-2),

^\CDEF=0,EFAJJ^O,^EF3\CD,EF^\AiD,又CDcAiD=D,

回平面AiCD.

15.如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A用G2，AB=2,