2024-2025學(xué)年重慶市西南大學(xué)附中高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A=｛0,1,2,3,8｝,B=｛X\X-1EA｝,則ACB=()

A.{2,3}B.{1,2}C.{3}D.{1,2,3)

.在數(shù)列｛｝中，已知由

2an=1,nan+1=(n+l)an,則與=()

A.3B.4C.5D.6

3.(1-的展開(kāi)式中，好的系數(shù)為()

A.-160B.-80C.80D.160

4.下列函數(shù)中奇偶性與其它三個(gè)不同的是()

A"⑶=玄B./(%)=—

'、'tanx

C./(%)=cos2x—sin2%D./(%)=ln(V1+%2—%)

5.從甲乙丙丁戊五人中挑選四人參加4X100接力賽，乙若參加必須是甲的下一棒，則一共有多少種不同

的安排方式()

A.42B.45C.48D.51

6.平面直角坐標(biāo)系中以。(0,0),力(3,0),8(2,3),C(0,3)四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋

轉(zhuǎn)體的體積為七，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為七，貝1)()

A.%>七B.%=勺

C.Vx<VyD.VX,Uy大小無(wú)法計(jì)算

7.已知f'(x)—f(x)>0在R上恒成立，且f(0)=1,則不等式e-V(x)>1的解集為()

A.(-oo,0)B.(0,+oo)

C.(一8,0)u(0,1)D.(-1,0)U(0,+oo)

8.已知Fi，%分別是雙曲線/-:=1(6>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Fi與雙曲線的一條漸近線平行的直線交

雙曲線的另一條漸近線于點(diǎn)P,若點(diǎn)P在以線段％七為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是()

A.(1,2)B.(73,+oo)C.(1,0U(2,+oo)D.(2,+oo)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為｛SJ,已知Sn=足一Bn+C,的=一8,則下列選項(xiàng)中正確的是()

A.C=0,B=—9B.等差數(shù)列｛an｝的公差d=2

C.使％>0成立的n最小為10D.當(dāng)n=5時(shí)，S.取得最小值

第1頁(yè)，共16頁(yè)

10.已知正四面體4—BCD棱長(zhǎng)為6,點(diǎn)E,F分別位于棱BD,CD上,其中DE=2BE,CF=DF,動(dòng)點(diǎn)P在平

面BCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)(包含邊界)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中4P與平面BCD所成角的正切值為2，云則下列選項(xiàng)正確的是()

A.AB1CD

B.頂點(diǎn)2在平面BCD的投影為點(diǎn)。，則直線2。與直線EF共面I\\

C.直線力B與EF所成角的正弦值為喑二上4D

D.點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2宿兀

11.已知圓C：(久一1)2+y2=4和拋物線。：y2=2p%(p>0)的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)A,點(diǎn)B為圓C與拋物線。的一

個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)N,M分別為圓C與拋物線。上的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是()

A.p=2

B.點(diǎn)B到D的準(zhǔn)線的距離為2

C.直線4B與拋物線。相交

D.若點(diǎn)E(4,3),則|ME|+|MN|的最小值為3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)/'(x)=f'(^)cosx+sinx,則f'(看)=.

13.某生在一次考試中，共有8道題供選擇，已知該生會(huì)答其中5道題，隨機(jī)從中抽4道題供該生回答，至

少答對(duì)2道題則及格，則該生在第一題不會(huì)答的情況下及格的概率是.

14.已知定義在R上的函數(shù)/'(X)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，/(I+%)+/(I-x)=-2,f(%)=g(x)-2x,且函數(shù)

gQ+2)為偶函數(shù)，則￡*〃，)=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

數(shù)列｛冊(cè)｝中，的=—2,滿足冊(cè)+i+3%=4律+1.

(1)證明：數(shù)列｛冊(cè)-冊(cè)為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛&J的前n項(xiàng)和Sn.

16.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱4BC-481cl中，AC1BC,BC=1,=2,AC=4,M、N分別是AC、的中點(diǎn).

第2頁(yè)，共16頁(yè)

(1)求證：MN〃平面BCC/i；

(2)求二面角的-MN-8的余弦值.

17.(本小題15分)

2025年5月25日，多哈世界乒乓球錦標(biāo)賽男單決賽，王楚欽4：1戰(zhàn)勝巴西選手雨果奪得冠軍，奪得三

大賽單打首冠；現(xiàn)有甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行日常訓(xùn)練.

(1)假設(shè)每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且每局比賽甲獲勝的概率為|,乙獲勝的概率為，若比賽采用三局兩勝制,

求甲獲勝的概率；

(2)若第一局甲獲勝，則下一局甲獲勝的概率為,，若第一局甲失敗，則下一局甲獲勝的概率為，已知第一

局甲獲勝的概率為今在前兩局比賽中，用X表示甲獲勝的次數(shù)，求X的方差；

(3)如果每局比賽甲獲勝的概率為P,且比賽的賽制有五局三勝制和三局兩勝制兩種選擇，對(duì)于

甲選手來(lái)說(shuō)，選擇哪種賽制獲勝概率更大？請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.(本小題17分)

已知曲線C到兩個(gè)定點(diǎn)(-1,0)和(1,0)的距離和為定值4.

(1)求C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F(l,0)的直線1(斜率存在且不為0)與C交于M,N兩點(diǎn)，N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P.已知Q(4,0).

(i)證明：P、M、Q三點(diǎn)共線；

(ii)求麗?麗的取值范圍.

19.(本小題17分)

已知4B,C是曲線y=f(久)上不同的三點(diǎn).若點(diǎn)4B,C的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，且曲線y=/(x)在點(diǎn)B處的

切線的斜率小于直線4C的斜率，則稱/(x)是其定義域上的“等比左偏函數(shù)”,已知久)=a/n%-2x.

第3頁(yè)，共16頁(yè)

(1)討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若/(x)是(0,+8)上的“等比左偏函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)列｛冊(cè)｝滿足/i+i=f(<xn)+2an++L"1=5，證明：EM5<2n+1.

第4頁(yè)，共16頁(yè)

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={0,123,8},B={x\x-1EA}={1,2,3,4,9},

故/CB={1,2,3}.

故選：D.

結(jié)合交集的定義，即可求解.

本題主要考查交集的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：由嗎+i=(九+1居，可得舒=攀，

故數(shù)列{%}為常數(shù)列，可得血=?=1,

nJn1

BPan=7i,

因此，a6=6.

故選：D.

推導(dǎo)出數(shù)列{攀}為常數(shù)列，即可得出。6的值.

本題考查數(shù)列的遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：二項(xiàng)式的展開(kāi)式中含好的項(xiàng)為腐(-2久)3=-80爐，

所以好的系數(shù)為-80,

故選：B.

利用二項(xiàng)式定理求出展開(kāi)式中含爐的項(xiàng)，由此即可求解.

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：A,x0,/(一x)=耳］=一表=一/。)，即/(久)為奇函數(shù)；

BX銬,kez,f(一乃=需5=_關(guān)=_"%),即"X)為奇函數(shù)；

C,xER,/(—%)=cos(—2x)—sin2(—%)=cos2x—sin2x=/(%),即/(%)為偶函數(shù)；

D,xER,/(—%)=ln(V1+%2+%)=In,1一=—ln(V1+%2—%)=—/(%),即/(%)為奇函數(shù).

第5頁(yè)，共16頁(yè)

故選：c.

先求出各函數(shù)的定義域，然后檢驗(yàn)/（-久）與“久）的關(guān)系即可判斷.

本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，乙參加必須是甲的下一棒，則甲乙都入選且位置固定,

只需從剩余3人中選2人，再與甲乙排列，

則一共有鑿題=18種方式；

乙若不參加，則有蛋=24種方式，

則-共有18+24=42種不同方式.

故選：A.

根據(jù)題意可分乙參加與乙不參加兩類即可.

本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：滿足條件的四個(gè)點(diǎn)位置如下圖所示：

這個(gè)四邊形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是一個(gè)：

以3為底面半徑，以2為高的圓柱加一個(gè)同底且高為1的圓錐,

-1

可得%=7TX32X2+17TX32X1=21兀，

這個(gè)四邊形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是一個(gè)：

以2為上底面半徑，3為下底面半徑，高為3的圓臺(tái)，

可得Uy=gx兀（22+32+2X3）X3=19兀，

%>%

故選：A.

第6頁(yè)，共16頁(yè)

根據(jù)已知中以。(0,0),力(3,0),8(2,3),C(0,3)四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角梯形，畫出滿足條件的平面圖形，根據(jù)

旋轉(zhuǎn)體的定義，分析旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的形狀，然后代入體積公式即可判斷.

本題考查了組合體幾何體的體積問(wèn)題，是中檔題.

7.【答案】B

【解析】解:令尸(x)=e-xf(x),則Fz(x)=e-x[f7(x)-/(x)]>0,F(x)為增函數(shù),

故e-xf。)>10F(X)>F(0),即解集為(0,+8).

故選；B.

構(gòu)造函數(shù)F(x)=e-歲(x),由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性后，由單調(diào)性得結(jié)論.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，不等式的解法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程，以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力,

屬于中檔題.

設(shè)出左焦點(diǎn)坐標(biāo)和雙曲線的漸近線方程，聯(lián)立直線方程可得交點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入/+產(chǎn)>02解不等式，結(jié)

合離心率的公式，即可得到所求范圍.

【解答】

解：設(shè)％(―c,0),雙曲線,=l(b>0)的漸近線方程為丫=±6刈

不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)Fi與雙曲線的一條漸近線平行的直線方程為y=b(x+c),

聯(lián)立漸近線方程丫=-bx,可得交點(diǎn)P(-gc，9),

點(diǎn)P在以線段匕匕為直徑的圓外，可得

(-1c)2+(y)2>心,

即有房>3,

可得雙曲線的離心率e=￡=YTTP>2,又e>l,

a

即e>2.

故選D

9.【答案】BC

第7頁(yè)，共16頁(yè)

【解析】解：由等差數(shù)列前幾項(xiàng)和的形式，公差為d,首項(xiàng)為由的等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=5n2+(%-5)幾，

所以號(hào)=1,—B=ai—又a1=—8,所以d=2,B=9,故/錯(cuò)誤，3正確；

所以%=*-9n，令％>0,解得兀>9,所以使%>0成立的幾最小為10,C正確；

由71為正整數(shù)知，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的形式，結(jié)合曲的值，可得B,C以及d,可判斷4B,由5?的表達(dá)式，可判斷CD.

本題主要考查等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和，屬于中檔題.

10.【答案】ACD

A

【解析】解:選項(xiàng)4由題意知，點(diǎn)?是。。的中點(diǎn)，A

連接力F,BF,貝I」力F_LCD,BF1CD,/fI\\

因?yàn)榱?AF,BFu平面力BF,_.\p

所以CD1平面力BF,匕卜

又ABu平面力BF,所以481CD,故選項(xiàng)/正確；C"

選項(xiàng)3,由正四面體的性質(zhì)，頂點(diǎn)4在底面BCD上的投影點(diǎn)。應(yīng)落在BF上，不在EF上，

所以直線4。與直線EF不共面，故選項(xiàng)3錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C過(guò)點(diǎn)B作B”〃EF,交CD于H,連接AH,則喋=器，

BEHF

而DE=2BE,所以DF=2”F=3,即HF=|,

所以CH=CF-HF=I，

在中，由余弦定理知，BH2=BC2+CH2-2BC-CHcos^BCD=36+3-2*6*襄:=孚，即BH=

4LL4

------,

2

因?yàn)?乙BCH=LACH,CH=CH,所以絲△AC”,

所以4H=8H="史，

因?yàn)?/p>

所以或其補(bǔ)角即為與EF所成角,

工/§&n

在等腰△48”中，cosZ-ABH==

所以sinZ-ABH=當(dāng)F，

第8頁(yè)，共16頁(yè)

即直線力B與EF所成角的正弦值為察，故選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)。，由點(diǎn)力在底面BCD上的投影為點(diǎn)。，知。A1平面BCD,

所以N4P。就是4P與平面BCD所成角，即tan/AP。=272,

在等邊△BCD中，BF=3<3,OF^^BF=<3,OB=273,

所以04=7AB2-OB2=2<6>

所以tan/AP。=2-\/-2=需=即。P==。/，

所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，，可為半徑的圓，其周長(zhǎng)為2兀?，百=2，百兀，

即點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2宿兀，故選項(xiàng)。正確.

故選：ACD.

選項(xiàng)/,易證CD1平面4B凡再由線面垂直的性質(zhì)定理，即可判斷；選項(xiàng)8,結(jié)合正四面體的性質(zhì)與異面直

線的判定方法，即可判斷；選項(xiàng)C,過(guò)點(diǎn)、B作BH〃EF,交CD于H,連接A”，貝比力或其補(bǔ)角即為所求，

再結(jié)合解三角形的知識(shí)求解即可；選項(xiàng)D,由。力J_平面BCD,知tanN力P。=2，1，于是有0P=4，進(jìn)而

得點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，，百為半徑的圓，然后求得該圓的周長(zhǎng)即可.

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定與性質(zhì)定理，線面角的定義與求法、異面直線所

成角的求法，以及空間動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題的處理方法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能

力，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于4因?yàn)?。的?zhǔn)線"=一，與圓C相切，

則一3=-1,即p=2,故/正確；

對(duì)于8,由a可知拋物線焦點(diǎn)即為圓心c(i,o),

則由拋物線定義知點(diǎn)B到。的準(zhǔn)線的距離等于|BC|=2,故8正確；

對(duì)于C,點(diǎn)4(一1,0),設(shè)則由8選項(xiàng)知向+1=2,亞=1,可得B(l,±2),所以七B=±1，

拋物線方程產(chǎn)=4久對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=±2C，導(dǎo)函數(shù)為y'=±表，

則點(diǎn)B處的切線斜率為±1,則直線48與拋物線相切，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，點(diǎn)E(4,3)位于拋物線內(nèi)，|ME|+|MN|的最小值等價(jià)于|ME|+\MC\-2的最小值，

過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M',貝U|ME|+\MC\=\ME\+\MM'\ME\+\MM'|的最小值為點(diǎn)E到準(zhǔn)

線的距離，即為5,

則陽(yáng)5|+附/|最小值為5-2=3,故。正確.

第9頁(yè)，共16頁(yè)

故選；ABD.

由拋物線的性質(zhì)求得p判斷4根據(jù)拋物線的定義判斷B,由直線與拋物線的位置關(guān)系判斷C,根據(jù)拋物線的

定義與圓的性質(zhì)判斷D.

本題考查拋物線與圓的綜合、直線與拋物線的綜合，借助導(dǎo)數(shù)求曲線斜率等知識(shí)點(diǎn)解題，屬于中檔題.

12.【答案】苧

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=f，%)cosx+sinx,

所以//(%)=f/(看)(—sinx)+cosx,

令X=戰(zhàn)，f'/)=f'1￡)(-sinJ)+cosJ,

解得u(?=苧.

故答案為：苧.

先求出導(dǎo)函數(shù)U⑶，再令X屋求解即可.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案W

【解析】解：設(shè)力=從8道題中抽4道，第一題不會(huì)，8=從8道題中抽4道，至少2道會(huì)答，

則nQ4)=嗎6=105,n(AB)=C*鬣屐+反嘮=90,

故力)=

XP(1B|1J",i(Q448))=—105=-7,

故答案為：y.

根據(jù)條件概率公式即可求解.

本題主要考查了古典概率公式及條件概率的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】-4899

第10頁(yè)，共16頁(yè)

【解析】解：由/(I+%)+/(I-％)=—2,可得/(%)+/(-％+2)=-2,

由/(%)=g(%)-2%,可得f(一％+2)=g(-％+2)-2(-X+2),又+2)是偶函數(shù)，所以有/(一1+

2)-g(—%+2)—2(-%+2)—g(%+2)—2(—x+2),

將/'(%)=g(x)-2%與/(一x+2)=g(x+2)-2(-x+2)聯(lián)立，可得/(x)+f(-%+2)=g(x)+g(x+

2)—4—2,所以g(x)+g(%+2)=2,

由函數(shù)/(x)圖像過(guò)原點(diǎn)，所以f(0)=0,由/0)+/(—久+2)=—2,可得/(l)+f(l)=-2,即f(l)=一L

所以有f(l)=g(l)-2-1,所以g(l)=1,g(3)=2—g(l)=1,f(3)=g(3)—6=1—6=—5,

所以/(-l)=-2-f(3)=-2+5=3,

所以有f①=f(l)+f(2)+...+f(70)=f(-l)+f(0)+/(l)+f(2)+...+f(70)-[/(-1)+

/(O)]=g(-1)+g(O)+g(l)+g(2)+...+^(70)-(-2)-0-2-4-...-140-3

—2+140

=72-—.x72-3=-4899.

故答案為:-4899.

根據(jù)/(x)與g(x)的數(shù)量關(guān)系，將求和轉(zhuǎn)化為對(duì)g(x)的求和即可.

本題主要考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，利用對(duì)稱性和函數(shù)的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解，屬中檔題.

15.【答案】證明見(jiàn)解答；Sn=1n(n+1)-^-^^.

【解析】(1)證明：的=-2,滿足an+i+3冊(cè)=4n+1,

即有a九+i=4n+1—3a九，

a九+1一(九+1)=+1—3azi—n—1=—3((1n—九),

則數(shù)列｛%-71｝是首項(xiàng)和公比均為-3的等比數(shù)列；

(2)0n-n=(-3)n,即有0n=n+(—3)n,

則Sa—(1+2+3+...+n)+[(—3)+9+...+(—3)n]=^n(n+1)H-—/二，，

z1一(-3)

1,,r、3(-3)"+l

=-n(n+l)---------—?

(1)由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義，推得%+1-0+1)=-3(%—n),可得證明;

(2)運(yùn)用數(shù)列的分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，可得所求和.

本題考查數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與求和公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.【答案】證明見(jiàn)解析；|.

【解析】解：(1)證明：連結(jié)B?

???44/iB為矩形，???ABrCAiB=N,

第11頁(yè)，共16頁(yè)

又M為AC的中點(diǎn)；；.MN〃CBi，

又???MNC平面BCGi/,CB1，平面BCC/i，

.-.MN//平面BCCiBi，

(2)分別以CB,CA,CCi所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖，可知M(0,2,0),%,2,1),B(1,O,O),Q(0,0,2),

麗=*,0,1),而=(1,—2,0),宿=(一1一2,1),

設(shè)平面MNB的法向量為記=(%,y,z),

pit?亞=0,則g%+z=0

I沆-MB=01%—2y=0

令％=2,y=1,z=-1,Am=(2,1,—1),

設(shè)平面MN/的一個(gè)法向量是元=(a,bfc),

(n-MN=!a+c=0

由L—,i,

In-NC]=--a—2b+c=0

取Q=2,得元=(2,——

4—1+1_2

??-cos(m,n)=曹口

I詞網(wǎng)3，

???二面角Gi-MN—B為銳角,

;它的余弦值為|.

(1)由中位線定理得證MN〃CB〉再由線面平行的判定定理得證;

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角.

本題考查線面平行的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】~

83

144；

五局三勝對(duì)甲有利，理由見(jiàn)解析.

【解析】(1)設(shè)事件4="比賽采用三局兩勝制甲勝”，則「04)=弓)2+或弓)2《=3

111

(2)x的所有可能取值為0,1,2,=0)=-x-=

c?“、

P(X=l)=1-x-1+,-1x-1=-5,

第12頁(yè)，共16頁(yè)

P(X=2)E12x,去1

所以期望為E(X)=1x^+2x|=||,

、i.c，，八/■r\13、213、25i/c13、2183

方差為0(X)=(0-運(yùn))X]+(l-適)X—+(2-—)x§=^；

(3)采用三局二勝制進(jìn)行比賽甲獲勝的概率/(p)=p2+C加2(1一p)=p2(3一2p),

采用五局三勝制進(jìn)行比賽甲獲勝的概率：g(p)=p3+C弼(1一p)+C,p3(l-p)2=p3(6p2-15P+10),

令g(p)—f(p)=3P2(2p3—5P2+4p-1)=3P2(p—l)2(2p—1),

因?yàn)閺VP<1時(shí)，2P-l>0,所以g(p)>/(p)，選擇五局三勝對(duì)甲有利.

(1)三局兩勝制甲勝有兩種情況：前兩局甲連勝、前兩局甲勝一局且第三局甲勝；

(2)三局兩勝入的所有可能取值為0、1、2,分析每種取值所包含的事件并求出概率，代入期望公式求出期

望，最后代入方差公式求方差；

(3)首先分別求出兩種賽制甲獲勝的概率，然后作差比較大小，最后得出結(jié)論.

本題考查概率的應(yīng)用及方差和期望，屬于中檔題.

2Q‘2

18.【答案】av+勺=1；

(i)證明見(jiàn)解析；⑺停,12).

【解析】(1)因?yàn)?>2,由橢圓定義可知，曲線C為以(-1,0)和。0)為兩焦點(diǎn)的橢圓,

222

其中2Q=4,c=1,解得次=4,b=a—c=3,

故C的方程為1+4=1；

43

x=my+1

x2y2_

IT+T=

消去％得(3血2+4)y2+6my—9=0,設(shè)N(x2)y2V則尸(%2,一丫2)?

由韋達(dá)定理得乃+乃=一許，乃力=一罰，

則直線PM的方程為y一乃=魯("一/),

即y=雪!(”一久D+為=肝—』)=肝(久-/

—18m.—6m

甘田%2月+%1丫2_(my+l)yi+(myi+l)y2_2mlyiy2+yi+y2_3m2+43m2+4_A

不''；一2；—；——ftm-—

yi+y2yi+y2yi+y2

3mz+4

則直線PM的方程為y=當(dāng)(久-4),

第13頁(yè)，共16頁(yè)

故直線PM過(guò)定點(diǎn)(4,0),即P、M、Q三點(diǎn)共線;

(ti)w=(4-%1，為)，W=(4-孫y-1)'

麗?麗=(4一%0(4-x2)+乃為=(3-myj(3-my2)+yry2

2

=(m+1)為丫2-3nl(乃+y2)+9

=-9(病+1)18m29=12-21

3m2+43m2+437712+4?

因?yàn)?e(0,+8),所以3；2；4e(°，？)，所以12-3；2；4e牌，⑵,

所以麗■麗的取值范圍為(a12).

⑴根據(jù)橢圓定義得到。2=4,廣=/—02=3,故c的方程為。+號(hào)=1;

(2)(。設(shè)直線/方程為久=zny+l(znH0),N(%2，y2)，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到兩根之和，兩

根之積，直線PM的方程為y=*(x-陪產(chǎn))，代入兩根之和、兩根之積，求出智產(chǎn)=4,故直

%i一%2yi+y2yi+y2

線PM過(guò)定點(diǎn)(4,0),即P、M、Q三點(diǎn)共線；⑷計(jì)算出麗?而=12—標(biāo)為€仔,12),得到麗?麗的取

值范圍為(1,12).

4

本題考查了直線與橢圓的綜合，考查了方程思想及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

19.【答案】答案見(jiàn)解析；

(一0°,0)；

證明見(jiàn)解析.

【解析】(1)由/(x)=abix-2%,x￡(0,+oo),(久)=(一2,

①當(dāng)aW0時(shí)，(x)<0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，/(%)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

②當(dāng)a>0時(shí)，令/"'(x)>0,可得0<x<*令//(久)<0可得比>p

故/(x)在(0段)上單調(diào)遞增，《,+8)上單調(diào)遞減，

???fO)在無(wú)=］處取得極大值，無(wú)極小值，/(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0,當(dāng)a>0時(shí)，/(久)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

第14頁(yè)，共16頁(yè)

(2)設(shè)4(久1，為)，C(x2,y2),

???/(%)是(0,+8)上的“等比左偏函數(shù)”，

XB-7XrX2,易知久14％2，不妨設(shè)0<久1〈久2，

z

???/'(x)=2—2,.?.曲線y=f(x)在點(diǎn)B處切線的斜率k=f(xB)=—-2,

Xyj%1%2

k__Q(ln%2-皿巧)_2

AC

-X2-X±-%2-%1'

k-kAC=———=_強(qiáng))=—^―(=_ln這)<0.

L，%1%2%2一%1%2—X1vxlx2X1%2—X1也Xi

X2>x1>0,?,?％2—%1>0，

令"孑，貝亞>1,所以k—汰=吉(提—lnt)<0,

a(^JL—Int)<0(t>1),令g(t)=-j=--Int(t>1),

mile/小1.11t+l-2<t(6—1)2

■,■g(t)在(1,+8)上單調(diào)遞增，；.g(t)>g(l)=.一m1=0,

結(jié)合(*)式，得a<0,即a的取值范圍為(—8,0)；

11

(3)證明：當(dāng)a=1時(shí)，f(%)=ITLX-2Xf