初中教學(xué)

相交線與平行線（知識歸納+題型突破）

課標(biāo)要求

1.熟練掌握對頂角，鄰補(bǔ)角及垂線的概念及性質(zhì)，了解點(diǎn)到直線的距離與兩平行線間的距離的概念;

2.區(qū)別平行線的判定與性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用；

3.了解命題的概念及構(gòu)成，并能通過證明或舉反例判定命題的真假；

4.了解平移的概念及性質(zhì).

基礎(chǔ)知識歸納

知識點(diǎn)一相交線

1.對頂角、鄰補(bǔ)角

兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系，它們的概念及性質(zhì)如下表:

圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系

Z1的兩邊與

對頂角相等

對頂角有公共頂點(diǎn)Z2的兩邊互為

Z1與N2即/1=/2

反向延長線

/3與/4有一

條邊公共，另一鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即

鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)

邊互為反向延Z3+Z4=180°

N3與N4

長線.

特別說明:

⑴對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角.對頂角的特征:有公共頂點(diǎn)，角的兩邊

互為反向延長線.

⑵如果/a與/￡是對頂角，那么一?定有反之如果那么與/￡不一定是

對頂角.

⑶如果/a與/￡互為鄰補(bǔ)角，則一定有/。+/￡=180°；反之如果N。+/￡=180°,則與/

￡不一定是鄰補(bǔ)角.鄰補(bǔ)角的特征:有公共頂點(diǎn)，有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.

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⑶兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對頂角只有一個(gè).

2.垂線及性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離

(1)垂線的定義：

當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫

做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.如圖1所示，符號語言記作：ABLCD,垂足為。.

A0\B

b

圖1

特別說明：

要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個(gè)角中，是否有一個(gè)角是直角，兩條線段垂直，

是指這兩條線段所在的直線垂直.

(2)垂線的性質(zhì)：

垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記).

垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.

(3)點(diǎn)到直線的距離：

直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離，如圖2：點(diǎn)尸到直線N3的

距離是垂線段的長.

特別說明：垂線段PO是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條.

知識點(diǎn)二平行線

1.平行線的判定

判定方法1：同位角相等，兩直線平行.

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判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

特別說明：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：

（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行.

（2）如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行（平行線的傳遞性）.

（3）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.

（4）平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

2.平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

特別說明：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：

（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn).

（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直.

3.兩條平行線間的距離

如圖3,直線EFL4B于E,EFLCD于F,則稱線段斯的長度為兩平行線48與CD間的

特別說明：

（1）兩條平行線之間的距離處處相等.

（2）初中階級學(xué)習(xí)了三種距離，分別是兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線距離、平行線間的距離.這三種距離的

共同點(diǎn)在于都是線段的長度，它們的區(qū)別是兩點(diǎn)間的距離是連接這兩點(diǎn)的線段的長度,點(diǎn)到直線距離是直線

外一點(diǎn)引已知直線的垂線段的長度，平行線間的距離是一條直線上的一點(diǎn)到與之平行的另一直線的距離.

（3）如何理解“垂線段”與“距離”的關(guān)系：垂線段是一個(gè)圖形，距離是線段的長度，是一個(gè)量，

它們之間不能等同.

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知識點(diǎn)三命題及平移

1.命題：判斷一件事情的語句，叫做命題.每個(gè)命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成.題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)

論是由己知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).

2.平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移.

特別說明：平移的性質(zhì):

(1)平移后,對應(yīng)線段平行（或共線）且相等;

(2)平移后,對應(yīng)角相等;

(3)平移后,對應(yīng)點(diǎn)所連線段平行（或共線）且相等;

(4)平移后,新圖形與原圖形是一對全等圖形.

重要題型

【題型一對頂角、領(lǐng)補(bǔ)角的定義理解】

例題1：（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級校考期中）下列各圖中，N1與N2是對頂角的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了對頂角的定義，根據(jù)對頂角的定義判斷即可.有一個(gè)公共點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別

是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角互為對頂角.

【詳解】解：4、4的兩邊不是N2的兩邊的反向延長線，N1與N2不是對頂角，故該選項(xiàng)不合題意；

B、N1的兩邊不是N2的兩邊的反向延長線，N1與N2不是對頂角，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、N1的兩邊分別是N2的兩邊的反向延長線，N1與N2是對頂角，故該選項(xiàng)符合題意；

D、N1的兩邊不是N2的兩邊的反向延長線，N1與/2不是對頂角，故該選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

例題2.（2023下?福建泉州?七年級?？计谥校┫铝袌D形中，N1與N2是鄰補(bǔ)角的是（）

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【答案】c

【分析】鄰補(bǔ)角是指兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，叫

做鄰補(bǔ)角，且兩個(gè)角的和為180。，由此即可求解.

【詳解】解：A、不是鄰補(bǔ)角，原選項(xiàng)不符合題意;

B、是對頂角，原選項(xiàng)不符合題意;

C、是鄰補(bǔ)角，原選項(xiàng)符合題意；

D、不是鄰補(bǔ)角，原選項(xiàng)不符合題意;

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查鄰補(bǔ)角的概念及識別，理解并掌握其概念，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022上?黑龍江哈爾濱?七年級?？计谥校┫铝袌D中，N1和N2是對頂角的有（）個(gè).

【答案】A

【分析】根據(jù)對頂角的兩邊互為反向延長線對各圖形分析判斷后進(jìn)行解答.

【詳解】根據(jù)對頂角的定義：

A中N1和N2不是對頂角；

B中N1和N2是對頂角；

C中N1和N2不是對頂角；

D中N1和/2不是對頂角；

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了對頂角的定義，掌握對頂角的定義是解題的關(guān)鍵.

2.（2023下?河北承德?七年級統(tǒng)考期末）下列四個(gè)選項(xiàng)中，N1與N2互為鄰補(bǔ)角的是（）

【答案】A

【分析】只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角，由此即

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可判斷.

【詳解】解：；只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角,

只有選項(xiàng)/中的N1與22互為鄰補(bǔ)角.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查鄰補(bǔ)角，關(guān)鍵是掌握鄰補(bǔ)角的定義.

【題型二對頂角、領(lǐng)補(bǔ)角性質(zhì)的應(yīng)用】

例題：（2023上?山東濱州?七年級?？计谥校┤鐖D，直線相交于點(diǎn)。，。/平分NEOC.

（1）若NEOC=80。，求的度數(shù)；

⑵若NEOC:ZEOD=4:5,求ZBOD的度數(shù).

【答案】⑴40。=40°

⑵40。=40°

【分析】本題考查了角的計(jì)算：1直角=90。；1平角=180。，角平分線的定義和對頂角的性質(zhì).

（1）根據(jù)角平分線定義和對頂角相等即可得到結(jié)論；

4

（2）由題意得/EOC+/EOD=180。，根據(jù)/EOC:/EOD=4:5,得到/EOC=丁180。=80。，然后與（1）

的計(jì)算方法一樣.

【詳解】（1）解：：NEOC=80。，OA平分NEOC,

：.ZAOC=-ZEOC=40°,

2

：.ZBOD=ZAOC=40°；

（2）解：?:/EOC:/EOD=4:5,/EOC+/EOD=180。,

4

NEOC=—義180。=80。.

9

又平分/

/.ZBOD=ZAOC=-ZEOC=40°.

2

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【變式訓(xùn)練】

1.(2023下?河南駐馬店?七年級統(tǒng)考期中)如圖，直線43、CD、EF相交于點(diǎn)O.

⑴寫出乙4OC,N2OE的鄰補(bǔ)角.

(2)寫出NDO4/EOC的對頂角.

(3)如果NNOC=48。，求NBOD,NC03的度數(shù).

【答案】(1)//OC的鄰補(bǔ)角是NCOBZAOD-NBOE的鄰補(bǔ)角是：NAOE,Z.BOF

(2)/004的對頂角是/COB,ZEOC的對頂角是尸

(3)132°

【分析】(1)根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)對頂角的定義進(jìn)行求解即可；

(3)根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，對頂角相等進(jìn)行求解即可.

【詳解】⑴解：由題意得，//0C的鄰補(bǔ)角是NCOB,ZAOD；NB0E的鄰補(bǔ)角是：NAOE,NBOF；

(2)解：由題意得，的對頂角是NCO8,NEOC的對頂角是N。。尸；

(3)解：VAAOC=48°,

二ZBOD=ZAOC=48°,ZCOB=180°-//OC=132°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了對頂角的定義和性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義和性質(zhì)，熟知對頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)是解

題的關(guān)鍵.

2.(2023下?陜西渭南?七年級統(tǒng)考期末)如圖，直線和。。相交于點(diǎn)。，OE把//OC分成兩部分，且

(1)/80。的對頂角為一，//OE的鄰補(bǔ)角為」

⑵若/8。。=69。，求/BOF度數(shù).

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【答案】⑴N/OC,ZBOE

(2)40尸=78.5。

【分析】(1)根據(jù)對頂角的概念求解即可；

(2)首先根據(jù)對頂角相等得到4OC=40。=69。，然后由44?！辏?￡。。=1：2得到//?！?23。，利用

鄰補(bǔ)角求出N8O￡=157。，最后利用角平分線的概念求解即可.

【詳解】(1)NB0D的對頂角為ZAOC,NA0E的鄰補(bǔ)角為ZBOE,

故答案為：ZAOC,NBOE；

(2)由對頂角相等，得ZAOC=/BOD=69。

"：ZAO￡：ZEOC=1：2,

ZAOE=-ZAOC=23°,

3

：.NBOE=180°-ZAOE=180°-23°=157°,

OF平分NBOE,

ZBOF=-ZBOE=78.5°.

2

【點(diǎn)睛】此題考查了對頂角，幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的計(jì)算，鄰補(bǔ)角等知識，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握以上知識點(diǎn).

【題型三垂線的定義的理解與應(yīng)用】

例題：如圖，ZACD=90°,CE1AB,垂足為￡,則下面的結(jié)論中，不正確的是(

B.與NC互相垂直

C.AB與CE互相垂直D.線段CD的長度是點(diǎn)〃到/C的距離

【答案】A

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】解：A.-JCEIAB,

:?點(diǎn)C到N8的垂線段是線段CE的長度，原說法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意;

B、'：ZACD=90°,

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，CD1AC,

即CD與/C互相垂直，原說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意;

C、CE1AB,垂足為￡,

與CE互相垂直，原說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意;

D、VZACD=90°,

：.CD1AC,

；?線段CD的長度是點(diǎn)。到/C的距離，原說法正確，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)到直線的距離，熟知直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離是

解答此題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.過點(diǎn)C向邊作垂線段，下列畫法中正確的是（)

【分析】根據(jù)垂線段的定義逐個(gè)判斷即可得出正確結(jié)論.

【詳解】解：A.此選項(xiàng)是過點(diǎn)4作3C邊的垂線段，故錯(cuò)誤;

B.此選項(xiàng)是過點(diǎn)3作N8邊的垂線段，故錯(cuò)誤;

C.此選項(xiàng)是過點(diǎn)C作N8邊的垂線段，故此項(xiàng)正確;

D.此選項(xiàng)是過點(diǎn)3作C4邊的垂線段，故錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段的定義及作法，是一道基礎(chǔ)題，解題時(shí)要善于觀察，準(zhǔn)確理解垂線段的定義是

解題的關(guān)鍵.

2.如圖所示，ZBAC=9Q°,ADLBC,則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（

?ABLAC,②/。與/C互相垂直；③點(diǎn)C到的垂線段是線段④點(diǎn)4到8C的距離是線段/D；⑤

線段48的長度是點(diǎn)3到/C的距離；⑥NBAD=NC.

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4.2個(gè)8.3個(gè)C.4個(gè)D5個(gè)

【答案】B

【分析】本題要根據(jù)垂線定義、垂線段定義（定理）、點(diǎn)到直線的距離定義，逐一判斷.

【詳解】解：：/B/C=90。，.?.①正確，符合題意；

：ND4c大90。，二/。與NC不互相垂直，所以②錯(cuò)誤，不符合題意；

點(diǎn)C到N3的垂線段應(yīng)是線段/C,所以③錯(cuò)誤，不符合題意；

點(diǎn)/到的距離是線段的長度，所以④錯(cuò)誤，不符合題意；

線段43的長度是點(diǎn)8到NC的距離，所以⑤正確，符合題意；

同角的余角相等，則NA4D=/C,所以⑤正確，符合題意.

綜上，正確的有①⑤⑤共3個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到

對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義，要善于區(qū)分不同概念之間的聯(lián)

系和區(qū)別.

【題型四利用垂線的定義求角的度數(shù)】

例題：（2023上?河南商丘?七年級校考階段練習(xí)）如圖，直線。相交于點(diǎn)O,射線OE在NOO5內(nèi)部,

（1）若/C。尸=54。，求/8OE的度數(shù)；

（2）^ZCOF=ZDOE,那么03平分NOO尸嗎？為什么？

【答案】（1）NBO￡的度數(shù)為18°

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(2)能，理由見解析

【分析】本題主要考查了垂線，角平分線的有關(guān)計(jì)算，熟練掌握垂直的性質(zhì)，根據(jù)題意得到角與角之間的

數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)直角的性質(zhì)，可得/￡。尸=90。，根據(jù)補(bǔ)角的定義得/。0￡=180-/￡。尸-/。0尸，再由

ADOE=2ZBOE,即可求解；

(2)根據(jù)/COF=NZ)OE,ZCOF+ZDOE=90°,BJZCOF=ZDOE=45°,再由ZDOE=2NBOE,可

得NBOE=22.5。,從而得到/DO5=67.5。，48。尸=90。一22.5。=67.5。，即可求解.

【詳解】(1)解：⑴■■■OFLOE,

NEOF=90°,

?/ZCOF=54°,

ZDOE=180°-/EOF-ZCOF=180°-90°-54°=36°,

???ZDOE=2NBOE,

/BOE=-ZDOE=L36=1不,

22

.?.NBOE的度數(shù)為18。；

(2)證明：平分，理由如下：

???ZCOF=ZDOE,ZCOF+ZDOE=90°,

ZCOF=ZDOE=45°,

???ZDOE=2/BOE,

ZBOE=22.5°,

NDOB=ZDOE+NBOE=67.5°,

ZBOF=ZEOF-ZBOE=90°-22.5°=67.5°,

ZDOB=ZBOF,

:.OB平分/DOF.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023上?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥?己知：如圖，直線與直線交點(diǎn)

O,OELDC,OE平分ZAOF.

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(1)如圖1,求證：OC平分NBOP；

(2)如圖2,OG,OP,0K,在直線45的下方，若0K平分NCOG,O尸平分NBOG,NKOP=25。，求AAOF

的度數(shù).

【答案】(1)見詳解

(2)80°

【分析】該題主要考查了角的和差倍分運(yùn)算以及角平分線的定義、垂直定義、對頂角相等，解題的關(guān)鍵是

找到圖中角度之間的關(guān)系，列出等式；

(1)根據(jù)垂直的定義得出NCOE=/DOE=9匕根據(jù)角平分線的定義得出=尸，等量代換即可證

明；

(2)根據(jù)角平分線的定義得出/。。6=2/。0眩,/206=2/20尸,再根據(jù)角的和差倍分計(jì)算即可得出

ZCOB=2AKOP=50°,結(jié)合(1)即可求解；

【詳解】(1)OEYDC,

ZCOE=ZDOE=9QP,

???0E平分ZA0F,

ZAOE=ZEOF,

■■■NEOF+NCOF=NAOE+NDOA=90,

:.ZCOF=ZDOA,

ZDOA=ACOB,

ACOF=ACOB,

：.CO^ZBOF.

(2)QOKZCOG,OP平分NBOG,

ZCOG=2ZCOK,ZBOG=2ZBOP,

QZCOK=ZCOB+ZBOK/BOP=AKOP+ABOK,

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ZCOG-ZBOG=2(ZCOK-ZBOP)=2(/COB-AKOP),

QZCOG-ZBOG=ZCOB,

ACOB=2(ZCOB-ZKOP),

ZCOB=2ZKOP=50°,

由(1)知NAOE=NEOF/COF=NCOB,

ZAOE=ZEOF=90°-ZCOF=90°-ZCOB=90°-50°=40°,

zL40F=2x40°=80°.

2.(2023上?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第十七中學(xué)校校考階段練習(xí))已知：直線48、。相交于點(diǎn)O.

圖3

(1)如圖1,NBOC=5ZAOC,求的度數(shù).

(2)如圖2,射線。￡、。尸在直線AB的上方，5.ZCOF-ZAOC,作平分2/OE,求NCOH與NE。尸的

數(shù)量關(guān)系.

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)。尸，A8于。，在AS下方作OK,CD于。，射線。P在NK。。的內(nèi)部，OG

平分/COP,若NBOE-NHOF=26°,5ZGOK+2ZDOP-ZCOH=71°,求/EO尸的度數(shù).

【答案】(1)30。

Q)NEOF=2/COH

(3)117°

【分析】(1)根據(jù)已知條件和鄰補(bǔ)角的定義，得出//OC=30。，再利用對頂角相等，即可求出的度

數(shù)；

(2)根據(jù)角平分線的定義，得到乙40尸=2//OC,ZAOH=^ZAOE,再利用角度計(jì)算，即可得出NCOH與

NEO廠的數(shù)量關(guān)系；

(3)根據(jù)垂直和角平分線的定義，得到/COF="OC=45。，進(jìn)而得到々3=45。，再根據(jù)

NBOE—NHOF=26°,求得“。尸=26。，ZBOE=52°,然后利用垂直和角平分線的定義，得到

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NGOK=g/DOP,再結(jié)合5/GOK+2/QOP—NCO//=71。，求得/。?！?20。，即可求出/E0尸的度數(shù).

【詳解】(1)解：\'ZBOC=5ZAOCfZAOC+ZBOC=\SO0,

:.ZAOC+5ZAOC=1SO°,

ZAOC=30°f

ZBOD=3(T；

(2)解：vZCOF=ZAOC,

:.ZAOF=2ZAOC,

????！ㄆ椒?4OE,

ZAOH="OH=-ZAOE,

2

ZAOH=ZAOC+ZCOH,ZAOE=ZAOF+/EOF,

ZAOC+4cOH=g(NZO尸+/EOF)=；(2N4OC+/EOF)=ZAOC+g/EOF,

ZCOH=1/EOF,gp/EOF=2ZCOH；

(3)解：-/OFLAB,

:.ZAOF=ZBOF=90°,

ZCOF=ZAOC,NAOF=ZAOC+ZCOF,

ZCOF=ZAOC=45°,

ZBOD=ZAOC=45°,

???ZBOE=ZBOF-ZEOF=90°-24coH,ZHOF=ZCOF-ZCOH=45°-4cOH,

/.ABOE=2NHOF,

???/BOE—/HOF=26。,

2ZHOF-Z.HOF=26°,

/.ZHOF=26°,ZBOE=52°,

ZCOH=ZCOF-ZHOF=45°-26°=19°,

-OKLCD,

ZCOK=Z.DOK=90°,

/.APOK=ZDOK-ZDOP=90°-ZDOP,

QOG平分乙COP,

初中教學(xué)

ZPOG=IzCOP=1(180°-NDOP)=90°-；NDOP,

NGOK=ZPOG-ZPOK=90°-；NDOP-(90°-ZDOP)=~NDOP,

■：5ZGOK+2ZDOP-ZCOH=71°,

:.5x-ZDOP+2ZDOP-19°=1\0,

2

ZDOP=20°,

ZEOP=ZBOE+ZBOD+ZDOP=52°+45°+20°=117°.

【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，垂線的定義，角平分線的定義，補(bǔ)角和余角的性質(zhì)，根據(jù)題意正確找出

角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【題型五點(diǎn)到直線的距離與垂線段最短】

例題：如圖，點(diǎn)A,B,C是直線/上的三點(diǎn)，點(diǎn)P在直線/外，PALI,垂足為A,PA=5cm,PB=】cm,

PC=6cm,則點(diǎn)P到直線I的距離是cm.

【答案】5

【分析】根據(jù)“直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)的所有線中，垂線段最短”進(jìn)行解答.

【詳解】解：..?直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短，

又；P4L,垂足為A,P4=5cm,

.?.點(diǎn)P到直線I的距離是PA=5ctn.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線段最短的性質(zhì).理解和掌握該性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023下?七年級課時(shí)練習(xí)）如圖，CDLOB,垂足為。，EFYOA,垂足為尸，則點(diǎn)C到直線05的距

離是；點(diǎn)￡到直線的距離是；點(diǎn)。到直線E尸的距離是；點(diǎn)￡到直線CD的距離

是.

初中教學(xué)

線段E尸的長線段CF的長線段即的長

【分析】點(diǎn)到直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離，據(jù)此回答即可.

【詳解】解：：，08,垂足為D,EFLOA,垂足為尸,

.?.點(diǎn)C到直線03的距離是線段的長；點(diǎn)E到直線CM的距離是線段印的長；點(diǎn)C到直線E尸的距離是

線段CF的長；點(diǎn)E到直線。的距離是線段即的長.

故答案為：①線段的長；②線段EF的長；③線段CF的長；④線段取＞的長

【點(diǎn)睛】此題考查了點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握點(diǎn)到直線的距離的定義是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，BCLAC,BC=8cm,AC6cm,AB^lOcm.那么點(diǎn)3到NC的距離是7點(diǎn)/、3兩點(diǎn)的

距離是，點(diǎn)C到AB的距離是

A

10cm##10厘米4.8cm

【分析】過點(diǎn)。作CC/8于點(diǎn)。，則線段CO的長即為點(diǎn)。到N3的距離，再根據(jù)三角形的面積公式求

出CD的長；再根據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義即可得出結(jié)論.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CDLAB于點(diǎn)D,則線段CD的長即為點(diǎn)C到AB的距離,

A

AC=6cm,

11

2BC-AC=2AB>CD,

.*.C￡>=6x8-10=4,8(cm),

???點(diǎn)B到AC的距離是BC的長8cm.

初中教學(xué)

點(diǎn)/、8兩點(diǎn)的距離是48的長10cm,

點(diǎn)C到AB的距離是CD的長4.8cm.

故答案為：Scm,10cm,4.8cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，是基礎(chǔ)題，熟記點(diǎn)到直線的距離的定義是解題的關(guān)鍵.

【題型六同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別】

例題：（2023下?黑龍江綏化?七年級校考期中）如圖，N3的同旁內(nèi)角是,N4的內(nèi)錯(cuò)角是

E

【答案】Z4,Z5Z2,Z64/4

【分析】兩直線被第三條直線所截，同位角位于兩直線同側(cè)，第三條直線的同旁；內(nèi)錯(cuò)角位于兩直線之間,

第三條直線的兩側(cè)；同旁內(nèi)角位于兩直線之間，第三條直線的同側(cè).

【詳解】解：由圖可得：N3的同旁內(nèi)角是N4,N5；

/4的內(nèi)錯(cuò)角是N2,26；

N7的同位角是4/4,

故答案為：4,N5；Z2,Z6；Z1,Z4.

【點(diǎn)睛】本題涉及到三線八角的知識，熟練掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義是關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖所示，N1與N2是角，是直線和直線被直線所截而形成的，N1與

Z3是角，是直線和直線被直線所截而形成的.

【答案】內(nèi)錯(cuò)ABCBAC同旁內(nèi)ACBCAB

初中教學(xué)

【分析】根據(jù)三線八角中的內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角定義即可得出答案.

【詳解】解：如圖所示，N1與/2是內(nèi)錯(cuò)角，是直線和直線C2被直線所截而形成的，

N1與23是同旁內(nèi)角，是直線AC和直線BC被直線AB所截而形成的.

故答案為內(nèi)錯(cuò)；AB-,CB-,AC；同旁內(nèi)；AC；BC-,AB.

【點(diǎn)睛】本題考查三線八角中的內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角，掌握三線八角中的截線與被截直線，內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)

角.

(1)/I和43c是直線Z8、CE被直線所截得的角；

(2)N2和/8/C是直線CE、被直線_______所截得的________角；

(3)/3和是直線、被直線所截得的角；

(4)48c和NNCD是直線、被直線所截得的角；

(5)43。和是直線、被直線所截得的角.

【答案】BD(BC)同位AC內(nèi)錯(cuò)ABACBC同旁內(nèi)ABACBC同

位ABCEBC同旁內(nèi)

【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的性質(zhì)判斷即可；

【詳解】(1)N1和N/8C是直線48、CE被直線3。(BC)所截得的同位角；

(2)/2和是直線CE、被直線/C所截得的內(nèi)錯(cuò)角；

(3)/3和NA8C是直線AS、NC被直線3c所截得的同旁內(nèi)角；

(4)/48C和N/CD是直線/2、/C被直線2C所截得的同位角；

(5)和N8CE是直線/8、CE被直線所截得的同旁內(nèi)角.

故答案是：BD(50；同位；AC；內(nèi)錯(cuò)；AB；AC-,BC；同旁內(nèi)；AB；AC-,BC；同位；AB；CE；BC-,同

旁內(nèi).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的判斷，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵.

【題型七平行線的判定】

初中教學(xué)

例題：（2022?山東泰安?七年級期末）如圖，AB1BC,Zl+Z2=90°,/2=/3.請說明線段與。尸的

位置關(guān)系？為什么？

FC

【答案】BE//DF,見解析

【分析】由已知推出/3+/4=90。，利用Nl+N2=90。，，2=/3,得到/1=/4,即可得到結(jié)論8E〃。足

【詳解】解:BE//DF,

VAB1BC,

：.ZABC=90°,

.*.Z3+Z4=90°,

?/Z1+Z2=90°,/2=/3,

.*.Z1=Z4,

:.BE〃DF.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定定理，熟記平行線的判定定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.已知如圖所示，ZB=NC,點(diǎn)、B、A、E在同一條直線上，ZEAC=ZB+ZC,且/。平分/E4C,試

說明4D〃3c的理由.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)角平分線定義求出Nl=5/E/C，根據(jù)已知求出推出NC=N1,根據(jù)平行

線的判定得出結(jié)論.

【詳解】理由：?.1￡＞平分/E/C,

初中教學(xué)

???/1=5/EAC,

VZEAC=ZB+ZC,/B=/C,

j_

:?/C=3NEAC,

AZC=Z1,

:?AD〃BC.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義和平行線的判定，關(guān)鍵是根據(jù)定理和已知推出N1=NC,題目比較典型,

難度不大.

2.如圖，射線5C平分且Nl=110。，Z2=70°.求證：AB//CD.

【答案】見解析

【分析】先根據(jù)角平分線的定義和對頂角相等可得出NZ5C=N2=70。，再由對頂角相等可得出

Z1=Z5C￡=11O°,則N/BC+N5CE=180。，由此可得出結(jié)論.

【詳解】證明：???射線5c平分N45。，

???NABC=/2,

VZ1=11O°,Z2=70°,N1=NBCE,

：.ZABC=70°fNBCE=110。,

???NABC+NBCE=18。。,

：.AB//CD,

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定，用到的知識點(diǎn)為：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

【題型八添加一條件使兩條直線平行】

例題：如圖，點(diǎn)E在4C的延長線上，若要使48〃。。，則需添加條件（寫出一種即可）

初中教學(xué)

【答案】Z1=Z2等（寫出一種即可）

【分析】根據(jù)平行線的判定定理得出直接得出即可.

【詳解】解：???當(dāng)/1=/2時(shí)，AB"CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；

...若要使則需添加條件/1=/2；

故答案為：Z1=Z2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，填寫一個(gè)能使48〃CD的條件：.

【答案】Z1-Z2（答案不唯一）

【分析】根據(jù)平行線的判定定理進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：填寫的條件為：4=/2,

???Zl=Z2,

--AB//CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

故答案為：Z1=Z2（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.

2.如圖，要使5E〃。尸，需補(bǔ)充一個(gè)條件，你認(rèn)為這個(gè)條件應(yīng)該是（填一個(gè)條件即可）.

初中教學(xué)

【答案】=（答案不唯一）

【分析】利用兩線平行的判定方法，找到一組同位角相等即可.

【詳解】解：當(dāng)=時(shí)：BE//DF,

故答案為：ND=NCOE（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的判定方法.利用同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同

旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，任選其一解題即可.

【題型九根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度】

例題：（2023下?浙江溫州?七年級?？计谀┤鐖D，已知尸，￡分別是射線48,CD上的點(diǎn).連接/C,AE

平分/R4C,EF平分NAED,Z2=Z3.

（1）試說明N3〃CD；

（2）若44FE-N2=30。，求//尸E的度數(shù).

【答案】（1）見解析

⑵NNFE的度數(shù)為70°

【分析】（1）利用角平分線的定義可得4=/2,從而利用等量代換可得Nl=N3,然后利用內(nèi)錯(cuò)角相等，

兩直線平行可得N8〃CD,即可解答；

（2）根據(jù)已知可得4收=/2+30。，然后利用平行線的性質(zhì)可得//FE=/EED=/2+30。，從而利用角

平分線的定義可得乙4即=2/血＞=2/2+60。，再利用平角定義可得/3+乙4切=180。，最后進(jìn)行計(jì)算可

求出/2=40。，從而求出//回的度數(shù)，即可解答.

【詳解】（1）解：:NE平分NB4C,

Zl=Z2,

-,?Z2=Z3,

Zl=Z3,

AB//CD；

初中教學(xué)

(2)\-ZAFE-Z2=30°,

:./AFE=/2+30。,

?;AB//CD,

/.ZAFE=/FED=/2+30°,

???EF平分ZAED,

/.ZAED=2ZFED=2Z2+60°,

???/3+乙4￡。=180。，

/3+2/2+60。=180。，

???Z3=Z2,

/.Z2=40°,

/.zL4ra=Z2+30°=70°,

.?.//尸E的度數(shù)為70。.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023上?河北邢臺?八年級?？茧A段練習(xí))如圖，4尸，5尸于點(diǎn)尸.Zl+Z2=90°

⑴求證：AD//PE；

(2)若/C平分NCU尸，交PE于點(diǎn)、C,且NZC尸=54。，求/2的度數(shù).

【答案】(1)見詳解

(2)/2=18。

【分析】(1)利用已知可得乙4尸。+/2=90。，從而利用同角的余角相等可得Zl=/4PC,然后利用平行線

的判定，即可解答：

(2)利用(1)的結(jié)論可得=54。，然后利用角平分線的定義可得/D4P=2/D/C=108。，從而可得

初中教學(xué)

AAPC=72。,進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】（1）證明：：/尸_L8P，

ZAPB=90°,

:.ZAPC+Z2=9Q°,

???Zl+Z2=90°,

Z1=ZAPC,

AD//PE;

（2）AD//PE,

ADAC=ZACP=54°,

?.?AC平分"AP,

ZDAP=2ZDAC=1QS°,

QAD〃PE,

QZAPC=180°-NDAP=72°,

Z2=90°-72°=18°,

Z2=18°.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂線、平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2023上?浙江金華?八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在三角形/8C中，E是NC上一點(diǎn)，EF//BC,交4B

于點(diǎn)尸，。是上一點(diǎn)，ZAFE=ZCDE.

（1）。￡與平行嗎？請說明理由；

⑵若/B=130。，求NDE廠的度數(shù).

【答案】（1）平行，見解析

⑵130度

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得乙=等量代換得出乙=根據(jù)平行線的判定定

理，即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NB+/班E=180。，由（1）可得DE〃AB,進(jìn)而得出NDE尸+乙8FE=180。，

初中教學(xué)

即可求解.

【詳解】（1）解：〃/5,理由如下；

■：EF//BC（已知）,

=（兩直線平行，同位角相等），

?.?NNFE=NCDE（已知），

.?Z8C=/CDE（等量代換），

.?.DE〃/2（同位角相等，兩直線平行）；

（2）-.-EF//8c（已知），

:./B+NBFE=180°,

由（1）得DE〃AB

ZDEF+ZBFE=180°,

NB=NDEF=130°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【題型十平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】

例題：已知：某小區(qū)地下停車場的欄桿如圖所示，當(dāng)欄桿抬起到最大高度時(shí)//3C=150。，若此時(shí)CO平行

地面NE,貝i]N8CD=度.

CD

B/

AE

【答案】120

【分析】過點(diǎn)8作瓦?〃CD,因?yàn)?8_L4￡,可得//5尸=90。，即可得出/期。的度數(shù)，再由8尸〃CD,可

得ZFBC+ZBCD=180°，代入計(jì)算即可得出答案.

【詳解】解：過點(diǎn)8作8尸〃CD,如圖，

初中教學(xué)

由題意可知，ZABF=90°,

'：ZABC=150°,

：.ZFBC=ZABC-ZABF=l50°-90°=6Q°,

,JBF//CD,

，ZF5C+Z5CZ)=180°,

/BCD=180°-ZFBC=l80°-60°=120°.

故答案為：120.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當(dāng)光線從空氣射向水中時(shí)，會發(fā)生折射.如圖，在空氣中平行

的兩條入射光線,在水中的兩條折射光線也是平行的.若水面和杯底互相平行，且/I=132。,則Z2=.

【答案】48。##48度

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：如圖，：水面和杯底互相平行,

.,.Zl+Z3=180°,又Nl=132。,

.,.Z3=180°-Zl=48°,

???水中的兩條折射光線是平行的,

；.N2=/3=48°,

故答案為：48

z

一針~玄立—*二5二二彳二0―3k二：

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

2.如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點(diǎn)O的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線A4,⑦都是水平線，若

初中教學(xué)

ZABO=20°,/LBOC=80°,則/0CO的度數(shù)為

【答案】60。##60度

【分析】如圖所示，過點(diǎn)。作°￡夕，則四〃①〃利，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)。作°￡〃月方，

?.?光線A4,CD都是水平線，

???AB//CD，

AB//CD//OE,

...NBOE=/ABO=20。,

ZDCO=ZEOC=ZBOC-ZBOE=60°,

故答案為：60。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵.

【題型十一平行線的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用】

例題：（2023下?四川成都?八年級校考期中）如圖1,03c中，N4BC、//C8的平分線交于。點(diǎn)，過。

點(diǎn)作3c平行線交/C于。、E.

初中教學(xué)

圖2

(1)請寫出圖1中線段助，CE,之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

(2)如圖2,“BC若/48C的平分線與“3C的外角平分線交于。，過點(diǎn)。作3c平行線交48于。，交/C

于￡.那么3DCE,之間存在什么數(shù)量關(guān)系？并證明這種關(guān)系.

【答案】(1)DE=BD+CE,理由見解析

(2)DE=BD-CE,理由見解析

【分析】(1)/48C和NZC8的平分線相交于點(diǎn)。，DE//BC,所以NOO8=NO8C,ZEOC=ZBCO,

進(jìn)而3。=。。，OE=CE,即可求解；

(2)//8C和//CF的平分線相交于點(diǎn)O,所以/DBO=NO3C,ZECO=ZFCO,過。點(diǎn)作8c平行線

交4B、/C于。、E.得DO〃BF,進(jìn)而即可求解；

【詳解】⑴解：￡>￡=8D+CE,理由如下：

???/4BC和/ACB的平分線相交于點(diǎn)。，

ZDBO=ZOBC,ZECO=ABCO,

:過。點(diǎn)作3c平行線交48、ZC于。、E.

：.DE//BC,

：.ZDOB=ZOBC,ZEOC=ZBCO,

ZDOB=ZDBO,ZEOC=ZECO,

Z.BD=DO,OE=CE,

：.DO+OE=BD+CE,

即DE=BD+CE；

(2)DE^BD-CE,理由如下：

^ABC^ZACF的平分線相交于點(diǎn)。，

NDBO=NOBC,NECO=ZFCO,

初中教學(xué)

:過。點(diǎn)作平行線交48、NC于。、E.

：.DO//BF,

：.NDOB=NOBC,NEOC=ZFCO,

ZDOB=ZDBO,ZEOC=NECO,

：.BD=DO,OE=CE,

'：DE=DO-OE,

：.DE=BD-CE.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及證明，角平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023上?全國?八年級專題練習(xí))己知，MN//PQ,直線AB交MN于點(diǎn)A,交尸。于點(diǎn)B,點(diǎn)C在線段

A8上，過C作射線CE、C尸分別交直線MV、尸。于點(diǎn)E、F.

(1)如圖1,當(dāng)時(shí)，求N4EC+NBFC的度數(shù)；

(2)如圖2,若NMEC和/跳7的角平分線交于點(diǎn)G,求/EC尸和NG的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上，當(dāng)CELCF,且43尸=60。，N/CE=20。時(shí)，射線口繞點(diǎn)尸以5。每秒的

速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為/秒，當(dāng)射線FG與的一邊互相平行時(shí)，請直接寫出/的值.

【答案】(1)90。；

⑵ZECF+2ZEGF=180。；

(3”的值為5,13,17,41,49,55秒.

【分析】(1)過點(diǎn)C作CH〃兒W,利用平行線的性質(zhì)可得N/EC=NES,/BFC=/HCF,再利用垂

直定義即可得解；

(2)過點(diǎn)C作CH〃兒W,過點(diǎn)G作GZ〃MN,根據(jù)平行線的性質(zhì)及判定以及角平分線的定義即可得解;

(3)分6種情況求解即可.

【詳解】(1)解:如圖，過點(diǎn)C作〃兒W,

初中教學(xué)

???AAEC=ZECH,

?：MN//PQ

；.CH//PQ,

???NBFC=NHCF,

■:CE1CF,

：.AAEC+ZBFC=ZECF=90°；

(2)解：如圖過點(diǎn)。作CH〃跖V,過點(diǎn)G作G￡〃必V,

?:/MEC和ZPFT的角平分線交于點(diǎn)G,

工/MEG=ZCEG=-AMEC,ZPFG=ZTFG=-ZPFT,

22

由(1)得/BFC+ZAEC=/ECF,

???NBFC=NPFT,ZAEC+/CEM=180°,

???ZECF=ZPFT+180°-/CEM,

???GL〃MN,

談4BNG=x,WJ/?VM=2x,

u：CH//MN,MN//PQ,

：.CH//MN//PQ,

:?NMEG=NEGL,NPFG=NFGT,

?：/MEC和ZPFT的角平分線交于點(diǎn)G,

初中教學(xué)

/MEG=ACEG=-AMEC,ZPFG=ZTFG=-ZPFT=ZTGF,

22

???NECF=180°-2NEGT+2NPFT=180。—2/EGF-2NTGF+2ZTGF=180。—2NEGF,

：?/ECF+2NEGF=1800；

(3)解：,:CE1CF,

：.ZECF=90°,

?：ZACE=20°,ZACE+ZECF+ZBCF=1SO°,

：.NBCF=70°,

乙45?=60。，

???ZPFT=ZBFC=180°-ZBCF-ZABP=50°,

???ZPFC=180。一50°=130。,

?:FG平分4PFT,

：.ZGFT=ZPFG=-ZPFT=25。，

2

①當(dāng)尸G旋轉(zhuǎn)到在射線尸尸上時(shí)，有AE〃FG,

此時(shí)，5%=25,

解得”5(秒)

②當(dāng)尸G旋轉(zhuǎn)到尸G'平行于射線CE時(shí)，有CE〃FG,

則NG'FT=NECF=90。,

：.AGFG=90°-ZGFT=65°

此時(shí)，5/=65,

解得t=13（秒）；

初中教學(xué)

③當(dāng)FG旋轉(zhuǎn)到尸G'平行于射線。時(shí)，有NC〃尸G',

貝！l/G'FPuN/BPuGO。，

ZG'FG=ZG'FP+ZGFP=85°,

此時(shí)，5/=85,

解得/=17（秒）

④當(dāng)尸G旋轉(zhuǎn)到在射線￡5上時(shí)，有AE〃FG,

此時(shí)，5f=25+180,

解得f=41（秒）

⑤當(dāng)尸G旋轉(zhuǎn)到尸G'平行于射線EC時(shí)，有CE〃FG',

此時(shí)，57=130+90+25,

解得f=49（秒）

初中教學(xué)

⑥當(dāng)FG旋轉(zhuǎn)到尸G'平行于射線/C時(shí)，有NC〃FG',

ZBFG'=ZABP=60°,

止匕時(shí)5f=360°-25°-60°,

解得1=55（秒）

綜上可知，f的值為5,13,17,41,49,55秒.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判

定與性質(zhì)及分類討論是解題的關(guān)鍵.

2.（2023下?吉林長春?九年級?？茧A段練習(xí)）如果兩個(gè)角的差等于30。，就稱這兩個(gè)角互為“兄弟角”.其中

一個(gè)角叫做另一個(gè)角的“兄弟角”.例如a=70。，/=40。，a力=30。，則。和￡互為“兄弟角”，即。是￡的“兄

弟角”，￡也是a的“兄弟角”.

圖1圖2